Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kết cấu.pdf (Cơ học kết cấu) | Tải miễn phí

Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kết cấu

pdf

Số trang Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kết cấu
109
Cỡ tệp Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kết cấu
1 MB
Lượt tải Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kết cấu
0
Lượt đọc Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kết cấu
2
Đánh giá Hướng dẫn giải bài tập lý thuyết đàn hồi và cơ học kết cấu

4.6 (
18 lượt)

1091 MB

Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu

Đang xem trước 10 trên tổng 109 trang, để tải xuống xem khá đầy đủ hãy nhấn vào bên trên

Chủ đề tương quan

Tài liệu tương tự

Nội dung

TRẦN CÔNG NGHỊ

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

CƠ HỌC KẾT CẤU
(TÀI LIỆU HỌC TẬP DÀNH CHO SINH VIÊN
KHOA ĐÓNG TÀU VÀ CÔNG TRÌNH NỔI)

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 6 – 2009
ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH

Trang này để trống

3

Chương 1
LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
Tóm tắt
Phương trình cân bằng:

∂σ x ∂τ xy ∂τ xz
+
+ X = 0⎪
+
∂y
∂z
∂x

∂σ y ∂τ yx ∂τ yz

+ Y = 0⎬
+
+
∂z
∂x
∂y


τ
∂σ z ∂τ zx

yz
+ Z = 0⎪
+
+
∂y
∂z
∂x

(1.1)

trong đó X, Y, Z – lực khối.

∂u


∂x

∂v

εy =
∂y


∂w
εz =

∂z

Phương trình biến dạng:
⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎬
γ xy = ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎪
⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎪
⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎪
γ yz = ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎪
⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎪
⎛ ∂u ∂w ⎞ ⎪
γ zx = ⎜ + ⎟⎪
⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎭
εx =

(1.2)

Điều kiện tương hợp (liên tục):
2
2
∂ 2ε x
∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞⎫
∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy ⎫
⎟⎪
= ⎜⎜ −
+
+
2
=
+

2
2
∂y∂z ∂x ⎝ ∂x
∂y
∂z ⎟⎠⎪
∂x∂y ⎪
∂x
∂y
∂ 2ε y
∂ 2 ε y ∂ 2 ε z ∂ 2γ yz ⎪⎪
∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞ ⎪⎪

⎟⎬
=

+
+
=
2


∂x∂z ∂y ⎜⎝ ∂x
∂y
∂z ⎟⎠ ⎪
∂y∂z ⎪
∂z 2
∂y 2
∂ 2 ε z ∂ 2 ε x ∂ 2γ xz ⎪
∂ 2ε z
∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ⎞ ⎪
+
=
⎟⎟ ⎪
= ⎜⎜
+

2

2
2
∂x∂z ⎪
∂x
∂z
x
y
z
x
y
z







⎠ ⎪⎭

(1.3)

Công thức chuyển của tensor ứng suất. Nếu ký hiệu ma trận các cosin góc giữa hai hệ trục là
[c], tensor ứng suất điểm trong hệ tọa độ Oxyz là [σ], tensor ứng suất trong hệ tọa độ mới [σ∗] tính
theo công thức:

[σ ] = [c][σ ][c]
*

T

(1.4)

4

⎡c xx*

với [c ] = ⎢c yx*
⎢ c zx*

c xz* ⎤

c yz* ⎥;
c zz* ⎥⎦

c xy*
c yy*
c zy*

⎡σ x τ xy τ xz ⎤
[σ ] = ⎢⎢τ xy σ y τ yz ⎥⎥
⎢τ xz τ yz σ z ⎥

Ứng suất chính xác định từ phương trình:

(σ x − σ )k + τ yx l + τ zx m = 0⎫

τ xy k + (σ y − σ )l + τ zy m = 0⎬
τ xz k + τ yz l + (σ z − σ )m = 0 ⎪⎭

(1.5)

hoặc dưới dạng ma trận:
⎡σ x − σ

⎢ τ yx
⎢ τ zx

τ xy

τ xz ⎤ ⎧ k ⎫
⎥⎪ ⎪
σ y −σ
τ yz ⎥ ⎨ l ⎬ = {0}
τ zy
σ z − σ ⎥⎦ ⎪⎩m⎪⎭

(1.6)

trong đó tổng bình phương các cosin bằng đơn vị k2 + l 2 + m2 = 1. Lời giải hệ phương
trình:
σ3 – σ2J1 + σJ2 – J3 = 0.

(1.7)

trong đó J1 = σx + σy + σz
J2 = σyσz + σzσx + σxσy – τyx2 – τzx2 – τxy2

(1.8)

J3 = σxσyσz + 2τxyτyzτxz – τxy2σz – τyz2σx – τzx2σy

(1.9)

Các đại lượng J1, J2, J3 được gọi bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai, và bất biến thứ ba của
tenso ứng suất.
Trường hợp ứng suất phẳng, trong hệ tọa độ xOy ứng suất chính tính theo công thức:

σ 1, 2 =

σ x +σ y
2

±

1
4

(σ x − σ y ) 2 + τ xy2

(1.10)

Hướng trục ứng suất chính tính từ công thức:
tg 2θ n =

2τ xy

(1.11)

σ x −σ y

Ứng suất cắt lớn nhất:

τ max,min = ±
tg 2θ s = 2

σ1 −σ 2

(1.12)

2

σ x −σ y
τ xy

(1.13)

Vòng tròn Mohr xây dựng từ phương trình:

5

σ +σ y

⎜⎜ σ − x
2

2

⎛σ −σ y

⎟⎟ + τ 2 = ⎜⎜ x
2


⎟⎟

2

(1.14)

Định luật Hooke áp dụng cho vật liệu đẳng hướng với mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson ν.

[
[
[

]
]
]

1

σ x − ν (σ y + σ z ) ⎪
E
⎪⎪
1
ε y = σ y − ν (σ x + σ z ) ⎬ và
E

1
ε z = σ z − ν (σ x + σ y ) ⎪
⎪⎭
E

εx =

trong đó G =

1

τ xy ⎪
G
⎪⎪
1
= τ yz ⎬
G ⎪
1
= τ zx ⎪
G ⎪⎭

γ xy =
γ yz
γ zx

(1.15)

E
2(1 + ν )

(1.16)

Nếu ký hiệu: e = ε x + ε y + ε z có thể viết:

νE


E
εx ⎪
(1 + ν )(1 − 2ν ) 1 + ν ⎪
E
νE

e+
σy =
εy⎬
(1 + ν )(1 − 2ν ) 1 + ν ⎪
E
νE
e+
σz =
ε ⎪
(1 + ν )(1 − 2ν ) 1 + ν z ⎪⎭

(1.17)

σ x = λe + 2Gε x ⎫

σ y = λe + 2Gε y ⎬
σ z = λe + 2Gε z ⎪⎭

(1.18)

σx =

trong đó λ =

e+

νE

(1 + ν )(1 − 2ν )

mang tên gọi hằng số Lamé.

Hàm ứng suất Airy Φ(x,y) : ∇4Φ(x,y) = 0.

σx =

∂ 2Φ
;
∂x 2

σy =

∂ 2Φ
;
∂y 2

τ xy = −

∂ 2Φ
;
∂x∂y

Ví dụ 1: Thành lập hàm ứng suất cho dầm dài L, hình 1.1, mặt cắt ngang hình chữ nhật cạnh đứng 2c,
chiều rộng b, chịu tác động tải phân bố đều q = const.
Điều kiện biên như sau:
a) Tại x = 0:

q

σx = 0; τxy = 0.
b) Tại x = L:
Hình 1.1

6

c

∫ τ xy bdy = qL ⎪



∫−cσ x bdy = 0 ⎬

c

2
1
=
σ
ybdy
qL

x
2

−c

−c
c

c) Tại y = c:

q
b

σy =− ;

τ xy = 0

d) Tại y = -c:
σy = 0;

τxy = 0.

Những nhận xét ban đầu:
– Điều kiện đầu tiên của a) trong trường hợp cụ thể không thể thỏa mãn.
– Từ tính chất đối xứng của mặt cắt ngang và σ y = −
thể rút ra σy sẽ là hàm lẻ của y.

q
tại y = c và σy = 0 tại y = -c, có
b

– Hàm σx cũng là hàm lẻ của y.
Hàm Airy nên viết dưới dạng:

Φ = Axy +Bx2 + Cx2y + Dy3 +Exy3 +Fx2y3 +Gy5
Có thể thấy rằng: ∇4Φ(x,y) = 24Fy + 120Gy = 0.
Từ phương trình cuối suy ra F = -5G.
Ứng suất tính theo công thức sau:

σx =

∂ 2Φ
= 6 Dy + 6 Exy − 30Gx 2 y + 20Gy 3
∂x 2

∂ 2Φ
σ y = 2 = 2 B + 2Cy + 10Gy 3
∂y

τ xy = −

∂ 2Φ
= −( A + 2Cx + 3Ey 2 − 30Gxy 2 )
∂x∂y

Từ công thức tính τxy có thể viết:
Thỏa mãn điều kiện τxy = 0 tại x = 0: A + 3Ey2 = 0, từ đó A = E = 0.
Thoả mãn τxy = 0 tại y = ±c có thể thấy:
0 = -(2Cx – 30Gc2x), hay là C = 15Gc2.
Giải phương trình xác định σy, thỏa mãn điều kiện biên cho phép xác định B, G:

7

q
= 2 B + 30Gc 3 − 10Gc 3 = 2 B + 20Gc 3
b

0 = 2 B − 30Gc 3 + 10Gc 3 = 2 B − 20Gc 3
Từ đó có thể nhận được:

B=−

q
;
4b

G=−

q
40bc 3

Biết rằng momen quán tính mặt cắt ngang tính bằng I = 23 bc 3, biểu thức của B và G sẽ có dạng:
B=−

qc 3
;
6I

G=−

q
60 I

Hằng C tính theo G sẽ là: C = 15Gc2 = – (qc2)/(4I)
Từ phương trình xác định σx có thể viết:

σ x = 6 Dy + 6 Exy − 30Gx 2 y + 20Gy 3 = 6 Dy +

q 2
q 3
x y−
y
2I
3I

Thay biểu thức cuối vào điều kiện biên tại x = L có thể thấy:
+c

q

∫ ⎜⎝ 6 Dy + 2 I x

2

y−

−c

q 3⎞
1
y ⎟ ybdy = qL2
3I ⎠
2

qc 2
30 I

Từ đó có thể viết: D =

Trường ứng suất có dạng sau:
q
q 3⎫
5 x 2 + 2c 2 )y −
y
(
10 I
3I ⎪
⎪⎪
q
σ y = − (2c 3 + 3c 2 y − y 3 ) ⎬
6I

q
2
2

x(c − y )
τ xy =
2I
⎭⎪

σx =

Ví dụ 2: Phương trình chuyển vị dầm trình bày tại hình 1.2 có dạng:

(

)

Py

6 Lx − 3 x 2 − υy 2

6 EJ

P
v( x, y ) = −
3Lx 2 − x 2 − 3υy 2 (L − x ) ⎪
6 EJ

u ( x, y ) =

[

]

8

Y

X

Hình 1.2
Xác định chuyển vị điểm tại trục y = 0 và xác định trường ứng suất.
Chuyển vị theo phương thẳng đứng tại y = 0:
v( x,0) = −

P
Px 2
(3L − x )
(
3Lx 2 − x 3 ) = −
6 EJ
6 EJ

Góc xoay dầm tính theo công thức θ xy =

1 ⎛ ∂v ∂u ⎞

− ⎟, mang dạng sau:
2 ⎜⎝ ∂x ∂y ⎟⎠

θ xy = ⎢−
(
6Lx − 3x 2 − 3υy 2 ) −
(
6Lx − 3x 2 − 3υy 2 )⎥ = −
(
6Lx − 3x 2 − 3υy 2 )
2 ⎣ 6EJ
6EJ
6EJ

1⎡

P

P

Tại y = 0 góc xoay sẽ là:

θ xy ( x,0) = −

P
(
6 Lx − 3x 2 )
6 EJ

Biến dạng trong dầm tính theo:

εx =

∂u
P
( L − x ) y;
=
∂x EJ

γ xy =

∂v ∂u
+ =
∂x ∂y

(

)

εy =

∂v
υP
(L − x ) y
=−
∂y
EJ

(

)

P
P
6Lx − 3x 2 − 3υy 2 +
6Lx − 3x 2 − 3υy 2 = 0
6EJ
6EJ

Trường ứng suất tính theo cách sau:

⎤ P
E ⎡ P
υ 2P
L
x
y
(

)

( L − x) y ⎥ = ( L − x) y ⎪
2 ⎢
EJ
1 − υ ⎣ EJ
⎦ J


E ⎡ υP
υP

( L − x) y +
( L − x) y ⎥ = 0
σy =


2 ⎢
EJ
1 − υ ⎣ EJ


τ xy = 0


σx =

9

P

Ví dụ 3: Sử dụng phương trình cân bằng trong “lý thuyết đàn hồi” thành lập hàm ứng suất σy, τxy
dầm, tiết diện dầm hình chữ nhật 2c x b, trong đó b – chiều rộng dầm, 2c – chiều cao dầm, chịu tải
trọng phân bố đều cường độ q(x) = const.
Ứng suất σx tính tại mặt cắt bất kỳ
của dầm, tại vị trí x, tính theo công thức:
q
M ( x)
σx =
y
(a)
J
(b)
trong đó M = − 12 qx 2
Hình 1.3
Hình 1.3
Nếu bỏ qua trọng lượng bản thân, lực khối dầm sẽ không được nhắc tới. Từ phương trình cân
bằng đầy đủ:


∂σ x ∂τ xy
+
+ f Bx = 0 ⎪

∂x
∂y
⎬ có thể viết:
∂τ xy ∂σ y
+
+ f By = 0⎪
⎪⎭
∂x
∂y
∂τ xy
∂y

=−

(c)

q
xy
J

(d)

Tiến hành tích phân phương trình đạo hàm riêng này sẽ nhận được:

τ xy = −

q
xy 2 ‘ = f ( x)
2J

(e)

Để ý rằng, trường hợp không có ứng suất cắt tại mép trên và mép dưới của dầm, τxy = 0 tại
y = c và y = -c, hàm f(x) sẽ phải là:
qc 2
f ( x) =
x
2J

(f)

Từ đây có thể viết: τ xy = −

q
x (c 2 − y 2 ‘ )
2J

(g)

Từ phương trình thứ hai của (c ) vớ FBy = 0 có thể viết:
∂σ y
∂y

=−

q 2
(c − y 2 )
2J

Sau tích phân có thể nhận được:

σy =−

q
y (3c 2 − y 2 ) + F ( x)
6J

(h)

Điều kiện biên tại y = c: σ y = − bq. Momen quán tính qua trục trung hòa mang giá trị
Từ đây xác định F(x) = −

qc 3
3J
10

J=

b ( 2 c )3
12

.

Hàm σy giờ có thể viết:

σy =−

(

q
2c 3 + 3c 2 y − y 3
6J

)

Ví dụ 4: Dùng phương trình từ điều kiện tương hợp (liên tục) xác định chuyển vị trong mặt phẳng
xOy dầm công xôn nêu tại ví dụ 2. Mặt cắt dầm trong trường hợp này là hình chữ nhật, dày, độ
cứng EJ, hệ số Poisson ν.

Y

X

Hình 1.4
Momen uốn dầm tính theo công thức:
M = -P(L – x) 0 < x < L (a) Các hàm ứng suất tính theo công thức quen thuộc sau: σx = − M P y = y ( L − x) J J (b) σy = 0; τxy = 0. Từ định luật Hooke có thể viết các phương trình biến dạng: εx = 1 (σ x − νσ y ) = P y( L − x) E EJ εy = 1 (σ y − νσ x ) = − νP y( L − x) E EJ γ xy = 2(1 + ν ) τ xy = 0 E (c) Quan hệ biến dạng - chuyển vị cho phép viết: ∂u P = εx = y ( L − x) ∂x EJ νP ∂v = εy = − y ( L − x) ∂y EJ (d) 11

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments