Định lý Viet và ứng dụng giải những dạng toán cơ bản

Định lý Viet là phần kiến thức và kỹ năng quan trọng tất cả chúng ta đã được học trong chương trình Toán lớp 9. Nếu bạn đang muốn giải những bài tập tương quan đến định lý Viet mà trót quên thì hãy tìm hiểu và khám phá lại với chúng tôi về định lý Viet ( thuận, hòn đảo ) cùng ứng dụng vào giải những dạng bài tập cơ bản tương quan đến định lí Vi ét nhé !

Định lý Viet thuận

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm tìm được thỏa mãn hệ thức sau:

Bạn đang đọc: Định lý Viet và ứng dụng giải những dạng toán cơ bản

định lý viet

Hệ quả : Dựa vào định lý Viét khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta hoàn toàn có thể nhẩm nghiệm trực tiếp của phương trình trong một số ít trường hợp đặc biệt quan trọng :

  • Nếu a + b + c = 0 thì ( * ) có 1 nghiệm x1 = 1 và x2 = a / c
  • Nếu a-b+c = 0 thì ( * ) có nghiệm x1 = – 1 và x2 = – c / a

Định lý Viet hòn đảo

Bên cạnh định lý Viet thuận còn có định lí Vi ét hòn đảo .
Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn nhu cầu hệ thức :

định lý viet đảo

thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2 : x2-Sx+P = 0 ( 1 ) .
Chú ý : điều kiện kèm theo S2-4P ≥ 0 là bắt buộc. Đây là điều kiện kèm theo để ∆ ( 1 ) ≥ 0 hay đây là điều kiện kèm theo để phương trình bậc 2 sống sót nghiệm .

Các dạng bài tập định lý Viet

Dạng 1. Dựa định lý Viet để tính nhẩm nghiệm

Thường thì khi gặp bài toán giải phương trình bậc 2, nhiều bạn dùng ngay biệt thức Δ để suy ra những nghiệm x1, x2 ( nếu có ). Tuy nhiên dựa vào định lí Vi ét, ta có một cách tính nhẩm nhanh hơn

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức giữa những nghiệm

Nếu ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1, x2 thì ta hoàn toàn có thể biểu lộ những biểu thức đối xứng giữa những nghiệm theo S = x1 + x2 và P = x1. x2 .

bài tập định lý viet

Chú ý : Khi tính giá trị của một biểu thức của những nghiệm thường thì, ta cần biến hóa sao cho trong biểu thức đó Open tổng và tích những nghiệm và vận dụng định lí Vi ét để giải .

Dạng 3. Tìm 2 số khi biết tổng và tích dựa vào định lí Vi ét hòn đảo

Dựa theo định lý Viet hòn đảo, ta có :

Ví dụ 1 : Một hình chữ nhật có chu vi 6 a, diện tích quy hoạnh là 2 a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh .
Hướng dẫn :
Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề bài ta có :

Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình : x2-3ax+2a2 = 0 .
Giải phương trình trên được x1 = 2 a, x2 = a ( do x1 > x2 )
Vậy hình chữ nhật có chiều dài là 2 a, chiều rộng là a .

Dạng 4. Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Giả sử ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0 ) có Δ ≥ 0

định lý viet và ứng dụng

Ví dụ : Phân tích 3×2 + 5 x – 8 thành nhân tử
Giải :
Nhận xét : 3×2 + 5 x – 8 = 0 có a + b + c = 3 + 5 – 8 = 0 => có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = c / a = – 8/3
Khi này tam thức 3×2 + 5 x – 8 = ( x – 1 ) ( x + 8/3 )

Dạng 5 : Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng

Phương pháp :

định lí viet và ứng dụng

Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau thì giá trị biểu thức không đổi khác :

  • Nếu f là một biểu thức đối xứng, nó luôn sống sót cách màn biểu diễn qua biểu thức đối xứng S = x1 + x2, P = x1. x2
  • Một số trình diễn quen thuộc :

  • Áp dụng định lý Viet, ta tính được giá trị biểu thức cần tìm .

Dạng 6 : Áp dụng định lý Viet vào những bài toán có tham số

Đối với những bài toán tham số, điều kiện kèm theo bắt buộc là phải xét trường hợp để phương trình sống sót nghiệm. Sau đó vận dụng định lí Vi ét cho phương trình bậc hai, ta sẽ có những hệ thức của 2 nghiệm x1, x2 theo tham số, tích hợp với dữ kiện đề bài để tìm ra đáp án .
Ví dụ 5 : Cho phương trình mx2-2 ( 3 – m ) x + m-4 = 0 ( * ) ( tham số m ) .
Hãy xác lập giá trị của tham số sao cho :

  1. Có đúng 1 nghiệm âm .
  2. Có 2 nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn :

bài tập định lý viet lớp 9

Đặc biệt, do ở thông số a có chứa tham số nên ta cần xét 2 trường hợp :

  • Trường hợp 1 : a = 0 ⇔ m = 0

Khi đó ( * ) ⇔ – 6 x – 4 = 0 ⇔ x = – 2/3. Đây là nghiệm âm duy nhất .

  • Trường hợp 2 : a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0

Lúc này, điều kiện kèm theo là :

Dạng 7. Tìm điều kiện kèm theo của tham số để phương trình bậc 2 có nghiệm x = x1 cho trước. Tìm nghiệm thứ hai

Tìm điều kiện kèm theo để phương trình có nghiệm x = x1 cho trước ta hoàn toàn có thể làm theo 1 trong 2 cách sau
Cách 1 :

  • Bước 1 : Tìm điều kiện kèm theo để phương trình có hai nghiệm Δ ≥ 0 ( Δ ≥ 0 ) ( * )
  • Bước 2 : Thay x = x1 vào phương trình đã cho tìm giá trị của tham số
  • Bước 3 : Đối chiếu giá trị vừa tìm được với điều kiện kèm theo ( * ) để Tóm lại

Cách 2 :

  • Bước 1. Thay x = x1 vào phương trình đã cho ta tìm được giá trị của tham số .
  • Bước 2. Thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình

Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình cho trước mà có Δ < 0 thì Tóm lại không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước . Để tìm nghiệm thứ hai ta hoàn toàn có thể làm như sau

  • Cách 1 : Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào phương trình rồi giải phương trình .
  • Cách 2 : Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm để tìm nghiệm thứ hai .
  • Cách 3 : Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào công thức tích hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai .

Ví dụ : k mang giá trị nào thì :

  1. a ) Phương trình 2×2 + kx – 10 = 0 có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm kia
  2. b ) Phương trình ( k – 5 ) x2 – ( k – 2 ) x + 2 k = 0 có một nghiệm x = – 2. Tìm nghiệm kia
  3. c ) Phương trình kx2 – kx – 72 có một nghiệm x = – 3. Tìm nghiệm kia ?

Lời giải

định lí viet và ứng dụng

Dạng 8. Xác định tham số để những nghiệm của phương trình bậc 2 thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo cho trước

“ Điều kiện cho trước ” ở đây hoàn toàn có thể là những nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn nhu cầu đẳng thức hoặc bất đẳng thức hay để một biểu thức của những nghiệm của phương trình bậc hai đạt GTLN, GTNN, …

định lý viet lớp 9

Chú ý : Sau khi tìm được tham số, hãy nhớ so sánh với điều kiện kèm theo phương trình có nghiệm .
Ví dụ : Cho phương trình : x2 – 6 x + m = 0. Tính giá trị của m biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo : x1 – x2 = 4
Lời giải

Dạng 9. xét dấu những nghiệm của phương trình bậc 2, so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số ít cho trước

Sử dụng định lý Viet ta hoàn toàn có thể xét dấu những nghiệm của phương trình bậc 2 : ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0 ) dựa trên những tác dụng sau :

định lý vi et trong toán học

Ngoài ra vận dụng định lí Vi-ét ta hoàn toàn có thể so sánh được nghiệm của phương trình bậc 2 với 1 số ít cho trước .
Ví dụ : Cho phương trình x2 – ( 2 m + 3 ) x + mét vuông + 3 m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau
Lời giải

Dạng 10 : Ứng dụng của định lý vi-ét vào giải phương trình, hệ phương trình

Ví dụ: Giải phương trình định lý viét

Lời giải

Hy vọng qua bài viết, các bạn học sinh cùng quý vị phụ huynh đã hiểu được định lý viet trong toán học là gì? Từ 10 dạng bài tập định lý Viet cơ bản, các bạn có thể ứng dụng vào giải các bài tập định lý Viet lớp 9, định lý Viet hàm bậc 3 cùng ứng dụng vào giải các dạng bài tập liên quan thật dễ dàng. Chúc các bạn có những giờ học Toán vui vẻ và đạt được kết quả tốt!

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments