SKKN Ứng dụng hệ thức Viét để giải các bài toán về phương trình bậc hai”.

SKKN Ứng dụng hệ thức Viét để giải các bài toán về phương trình bậc hai”.

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (181.84 KB, 19 trang )

Bạn đang đọc: SKKN Ứng dụng hệ thức Viét để giải các bài toán về phương trình bậc hai”.

MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ:……………………………………………… 2
I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI……………………………………. 2
II- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA SKKN:………………………….3
III- PHƯƠNG PHÁP, PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU………………………..3
1. Phương pháp: ……………………………………… 3
2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: ……………………..3
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ……………………. 4
I- CƠ SỞ LÝ LUẬN………………………………………………… 4
II- THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: ………………………….4
1. Thực trạng……………………………………..4
2. Kết quả của thực trạng: ……………………………… 4
III- CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN ……………………5
2. Lý thuyết: ……………………………. 5
2. Các ứng dụng của hệ thức Vi-ét: …………………. 5
IV-KIỂM NGHIỆM ……………………. 18
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT……………….. 19
I- KẾT LUẬN:……………………. 19
II- KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ XUẤT:………………….. 19

1

A: ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là môn khoa học được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, một
môn học không thể thiếu được với mỗi chúng ta, là môn học trừu tượng và khó
cho người học cũng như người dạy. Với vai trò quan trọng của bộ môn có tính
quyết định đến chất lượng học tập các bộ môn khác. Hơn nữa chương trình toán
THCS là những viên gạch đặt nền móng đầu tiên cho cả quá trình học tập sau
này.

Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ
thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở
bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái
độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các
lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học.
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo
viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt
khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho
học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính
tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong nhiều năm trở lại đây trong đề khảo sát cuối năm, các đề thi vào lớp
10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 đều có các bài toán về
phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội
dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập
chưa đa dạng. Vì thế đa số học sinh khi gặp bài toán có vận dụng hệ thức Vi-ét
thì đều lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về
nhà các em không biết cách đọc thêm sách tham khảo nên việc áp dụng hệ thức
Vi-ét còn nhiều hạn chế.
Bản thân là giáo viên đã nhiều năm giảng dạy môn Toán khối 9, tham gia
bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập nâng cao kiến thức cho học sinh thi
tuyển vào lớp 10. Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học
tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài
toán về phương trình bậc hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi
tuyển. Đó là lý do tôi chọn đề tài này: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài
toán về phương trình bậc hai”.

2

II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

Nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán về phương
trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh lớp 9 THCS. Từ đó
các em có thể làm tốt các bài toán về phương trình bậc hai trong các kỳ thi
tuyển.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ
phương trình bậc hai mà cả các dạng toán khác.
Nghiên cứu các phương trình bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét, tìm
phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các em biết
cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình.
III. PHƯƠNG PHÁP PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU:
1. Phương pháp nghiên cứu:
– Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Đọc và chọn ra các bài toán về
phương trình bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếp thành các nhóm ứng
dụng.
– Phương pháp phỏng vấn, điều tra: Điều tra kết quả thông qua các bài
kiểm tra của 30 học sinh lớp 9A
– Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Sau khi sắp xếp thành các nhóm
ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng
dụng trên.
2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
– Khảo sát mức độ vận dụng hệ thức Vi-ét của học sinh lớp 9A trường
THCS Nga An năm học 2013-2014 trước và sau khi tổ chức hướng dẫn cho học
sinh học hệ thức Vi-ét và các ứng dụng
– Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong môn đại số lớp 9, tìm
hiểu các phương trình bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét.
3. Kế hoạch nghiên cứu: Năm học 2013-2014

3

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện
về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực
cá nhân, tính năng động sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã
hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học
sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo
vệ Tổ quốc”.
Để thực hiện mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế
theo hướng giảm tính lý thuyết, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức,
khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt động ngoại khóa.
Trong chương trình lớp 9, hệ thức Vi-ét được học trong 2 tiết:
* Tiết 1: Học sinh được học hệ thức Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để
nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, vận dụng làm các bài tập
* Tiết 2: Vận dụng hệ thức Vi-ét để tìm hai số biết tổng và tích của chúng,
từ đó biết lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm và làm các bài tập củng
cố tiết lý thuyết vừa học.
Theo chương trình trên, học sinh được học hệ thức Vi-ét nhưng không có
nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm
và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và
hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1. Thực trạng
Thuận lợi:
– Phần đa số học sinh của lớp có ý thức học tập tốt, nắm được kiến thức
cơ bản chương trình THCS.
– Bản thân là một giáo viên có nhiều năm tham gia dạy bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 9, ôn tập cho học sinh thi vào THPT.
– Công tác bồi dưỡng, phụ đạo cho học sinh được làm thường xuyên góp
phần nâng cao kiến thức cho học sinh.

Khó khăn
– Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, do vậy chưa khai
thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét.
– Một bộ phận học sinh chưa có ý thức học tập tốt, chưa có sự quan tâm
thường xuyên của các bậc phụ huynh nên kết quả học tập còn yếu.
– Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để nâng
cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế.
2. Kết quả của thực trạng
Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS Nga An, việc ứng dụng hệ
thức Vi-ét đối với học sinh còn nhiều khó khăn. Nhiều bài các em không định
hướng được cách làm, kỹ năng vận dụng yếu
4

Số lượng học sinh vận dung hệ thức Vi-ét còn thấp. Kết quả thống kê
bài kiểm tra sau khi dạy 2 tiết hệ thức Vi-ét như sau:
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Lớp TSHS
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%

SL
%
9A
30
1
3.3
5 16.7 11 36.7 11 36.7 2
6.6
III. CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1. Lý thuyết
* Hệ thức Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

ax 2

b

x

x

1
2


a

c
�x1. x2 

a

2. Các ứng dụng của hệ thức Vi-ét
Sau khi học sinh đã nắm được nội dung của hệ thức Vi-ét, giáo viên chia
các bài tập về ứng dụng của hệ thức Vi-ét thành các dạng cụ thể như sau:
Dạng 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Dạng 3: Lập phương trình bậc hai :
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm của phương trình:
Dạng 5. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :
Dạng 7. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Dạng 8. Tìm GTLN, GTNN, bất đẳng thức của biểu thức giữa các nghiệm:
Với mỗi dạng giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cách giải và tìm các bài tập
minh họa, tổ chức các buổi ôn tập cho học sinh
Dạng 1: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:
1. Cách giải
Nếu phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có:
* a +b+c =0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia là x2 =

c
a

* a -b+c =0 thì phương trình có một nghiệm x1 = -1, nghiệm kia là x2 = 

c
a

2. Ví dụ
* Tính nhẩm nghiệm của các phương trình cho trước
5

Ví dụ1 :
Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 5×2 – 8x + 3 = 0 (1)
b/ 11×2 + 15x + 4 = 0 (2)
Giải:
Ta thấy: Phương trình (1) có dạng a + b + c = 5-8+3=0, nên có một
nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 =

3
5

Phương trình (2) có a – b + c =11 – 15 + 4 = 0, nên có một nghiệm
x1 = -1 và nghiệm kia là x2 =

4
11

Bài tập áp dụng: Hãy tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 101×2 – 105x + 4 = 0
b/ 7×2 – 20x – 27 = 0
c/ 2×2 – 29x +27 = 0
d/ 4531×2 + 31x – 4500 = 0
* Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình, tìm
nghiệm còn lại:
Ví dụ 2:

a/ Cho phương trình 2×2 + 2mx + 5 = 0 (1) có một nghiệm x 1 = -2. Tìm m
và nghiệm còn lại.
b/ Phương trình x2 – 4kx + 6 = 0 (2) có một nghiệm x 1 = 3, tìm k và
nghiệm còn lại.
Giải:
a/ Ta thay x1 = -2 vào phương trình (1), ta được: 2.(-2) 2 + 4.(-2).m + 5 = 0
�m 

13
8

Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 =

5
5
suy ra: x2 =
2
4

b/ Ta thay x1 = 3 vào phương trình (2) ta được: 32- 4.3.k +6 = 0 � k 

5
4

Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = 6 suy ra: x2 = 2
Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
1. Cách giải
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình : x2 – Sx + P = 0
Điều kiện để tồn tại hai số là: S2 – 4P ≥ 0

2. Ví dụ
Ví dụ :
Tìm hai số u và v biết u+v = – 3 và u.v = – 4.
Giải:
Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
Giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= – 4
6

Vậy u = 1 thì v = – 4
Hoặc u = – 4 thì v = 1
Bài tập áp dụng:
Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a/ S = 3 và P = 2
b/ S = -3 và P = 6
c/ S = 9 và P = 20
d/ S = 2x và P = x2 – y2
Bài tập nâng cao:
Tìm hai số a, b biết:
a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41
b/ a – b = 5
và a.b = 36
2
2
c/ a + b =61 và a.b = 30
Hướng dẫn:
a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức
Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b.
Từ a  b  9 �  a  b   81 � a  2ab  b  81 � ab 
2

2

2

81  a 2  b 2
2

  20

x 4

x2  5

1
2
Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình : x  9 x  20  0 � �

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
Nếu a = 5 thì b = 4
b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b

Từ  a  b    a  b   4ab �  a  b    a  b   4ab  169
2

2

2

2

a  b  13

2
�  a  b   132 � �
a  b  13

– Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x  4

x 2  13 x  36  0 � �1
x2  9

Vậy a = – 4 thì b = – 9
– Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
x 4

x 2  13x  36  0 � �1
x2  9

Vậy a = 4 thì b = 9
c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
a  b  11

a  b  11

2
2
2
2
2
Từ a  b  61 �  a  b   a  b  2ab  61  2.30  121  11 � �
2

– Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
x  5

x 2  11x  30  0 � �1
x2  6

7

Vậy a = – 5 thì b = – 6 hay a = – 6 thì b = – 5
– Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :
x 5

x 2  11x  30  0 � �1
x2  6

Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
Với các câu trên giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh làm theo cách khác

Dạng 3: Lập phương trình bậc hai
* Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
Ví dụ:
Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1= -2; x2= 5
Giải:
�x1  x2  3

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: �
�x1. x2  10
Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng:
x2 – 3x -10 = 0
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
a/ x1= 8 và x2= – 3
b/ x1= 3a và x2= a
c/ x1= 36 và x2= – 104
d/ x1= 1+ 2 và x2= 1 – 2
* Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa
hai nghiệm của một phương trình cho trước
Ví dụ:
Cho phương trình x2 – 7x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Không
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x2 

Giải:

1
1
y2  x1 

x1

x2

Theo hệ thức Vi-ét, ta có

:

�1 1 �
1
1
x x
7 49
 x1    x1  x2   �  �  x1  x2   1 2  7  
x1
x2
x1 x2
6 6
�x1 x2 �

1 �� 1 �
1
1 49
P  y1. y2  �x2  �
. �x1  � x1. x2  1  1 
8 
x1 x2
6 6
� x1 �� x2 �

S  y1  y2  x2 

Vậy phương trình cần lập có dạng:
y 2  Sy  P  0 hay y 2 

49
49
y
 0 � 6 y 2  49 y  49  0
6
6

Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3×2 + 5x – 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2. Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x1 

1
1
y2  x2 

x2
x1
8

2/ Cho phương trình: x2 – 5x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2. Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn:
y1  x14 và y2  x2 4
3/ Cho phương trình: x2 – 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Hãy lập
phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho:
a/ y1  x1  3 và y2  x2  3

b/ y1  2 x1  1 và y2  2 x2  1
Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm của phương trình:
1. Cách giải
+ Chứng tỏ phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 (  �0)
+ Biến đổi biểu thức bài cho về dạng tổng và tích hai nghiệm
+ Viết hệ thức Vi-ét thay vào biểu thức tính giá trị
Ngoài các bước giải trên, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh một số phép
biến đổi các biểu thức để đưa về dạng chứa tổng và tích của các nghiệm
1

x x

1

1
2
a/ x  x  x x
1
2
1 2

b/ x12  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2
2

3
3
2
2
 x1  x2   3x1x2 �
c/ x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  �


�hoặc
2

x13  x2 3   x1  x2   3 x1 x2  x1  x2 
3

 2x 2 x 2
 x1  x2   2 x1x2 �
d/ x14  x2 4   x12    x22    x12  x2 2   2 x12 x2 2  �

� 1 2
2

2

2

2

e/  x1  x2   x12  2 x1 x2  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   4 x1 x2   x1  x2   4 x1 x2
2

2

� x1  x2  �  x1  x2   4 x1 x2 …..
2

2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình x2- 10x+15 = 0 không giải phương trình. Hãy tính

giá trị của các biểu thức sau( Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x1a) x12  x2 2
x2

1

1

b) x  x
1
2

c) x13  x 32

x1

d) x  x
e) x12  x2 2
g) x13  x 32
1
2
Học sinh thường giải như sau: Theo hệ thức Vi-ét ta có x1  x2  10, x1.x2  15 .
Sau đó biến đổi các hệ thức của bài cho mà không biết phương trinh đã cho có
nghiệm hay không. Do đó giáo viên cần nhắc lại cho học sinh cách giải trước
hết là phải kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình
Giải:
Xét phương trình x2- 10x+15 = 0
 ’=(-5)2-1.15=10>0=> phương trình có hai nghiệm x1, x2 (x19

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

x1  x2  10 (1)
x1.x2  15 (2)

a) x12  x2 2 = ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 =102-2.15=100-30=70
1

1

x1  x2

10

2

b) x  x = x x = =
15
3
1
2
1 2
3
3
2
c) x1  x 2 = ( x1  x2 )( x 1  x1 x2  x 22 ) = ( x1  x2 )[( x1  x2 ) 2  3×1 x2 ]
= ( x1  x2 )3  3×1 x2 ( x1  x2 ) =103-3.10.15=1000-450=550
x2 x1
x 2 2  x 21


d) x x =
x1.x2
1
2

70 14

15 3
e) Đặt A= x12  x22 =( x1  x2 )( x1  x2 )
B= x1  x2 <0 (vì x1
=

Ta có B2 = ( x1  x2 )2 = x12  x2 2 2×1 x2 = 70-2.15 = 40
=>B= – 2 10
Do đó A= x12  x22 =10.(- 2 10 )= – 20 10
g) x13  x 32 = ( x1  x2 )( x 21  x1 x2  x 22 ) = – 20 10 (70  15) = – 20 10. 85 = 170 10
Ví dụ 2: Cho phương trình x2-5x+6=0 không giải phương trình. Hãy tính
giá trị của các biểu thức sau( Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x1>x2)
a) x1  x2

b) x1 x1  x2 x2

c) x2 x1  x1 x2

d) x1  x2
Giải:
2

Xét phương trình x -5x+6=0
 =(-5)2-4.6=25-24=1>0
Phương trình có hai nghiệm x1, x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2  5  0
x1.x2  6  0 => x1>0, x2>0

a)A= x1  x2 >0
A2= ( x1  x2 )2= x1  x2 2 x1 x2 = 5  2 6 = ( 3  2)2
Vậy A= 3  2
b) x1 x1  x2 x2 = ( x1  x2 )( x1  x2  x1 x2 ) = ( 3  2 )( 5  6) = 3 3  2 3
c) x2 x1  x1 x2 = x2 x1 ( x1  x2 )  6( 3  2)  3 2  2 3
d) Đặt B= x1  x2 >0 vì x1>x2
B2=( x1  x2 )2= x1  x2 2 x1 x2 = 5  2 6 = ( 3  2)2
Vậy B= 3  2
Bài tập áp dụng:
10

1/ Cho phương trình: 8×2 – 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy
tính:
1

1

b/ x  x
1
2
2
2/ Cho phương trình: 2x – 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy

tính:
a/ x12  x2 2

a/ x12  x2 2
1

1

x1

x2

1  x1

1  x2

b/ x  1  x  1
2
1

c/ x  x
d/ x  x
1
2
1
2
2
3/ Cho phương trình: x – 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x 1, x2. Không giải
phương trình, hãy tính: Q 

6 x12  10 x1 x2  6 x2 2
5 x1 x23  5 x13 x2

2

2
6. 4 3  2.8
6  x1  x2   2 x1 x2
6 x12  10 x1 x2  6 x2 2
17
Q




3
3
(HD:
2
2
5 x1 x2  5 x1 x2
�4 3  2.8� 80 )
5 x1 x2 �
�x1  x2   2 x1 x2 �
5.8




4/ Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x 1,
x2 (x1> x2 ). Tính giá trị biểu thức : A  x13 x2  x1 x23 theo m.
Dạng 5. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa
nghiệm
1. Cách giải
– Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và  �0).
– Từ biểu thức nghiệm đã cho biến đổi để áp dụng hệ thức Vi-ét đưa về
phương trình có ẩn là tham số để giải.
– Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho phương trình x2+mx-m2-8=0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm thoả mãn: x21+x22=25
Khi gặp phương trình chứa tham số m, sai lầm thường mắc phải của học
sinh đó là không tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà thường vận dụng
luôn hệ thức Vi-ét, do đó giáo viên cần nhấn mạnh cách giải bước đầu tiên là
tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó cho học sinh giải.
Giải:
2
2
Xét phương trình x +mx-m -8=0

Ta có:  = m2+4(m2+8)= 5m2+32>0 với mọi m
Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2   m
(1)
2
x1.x2  m  8
(2)
11

Theo đề bài ta có: x21+x22=25 � ( x1  x2 )  2 x1 x2 =25 (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta có: (-m)2 + 2m2 + 16 = 25
� 3m2 = 9 � m2 = 3 � m = � 3
Vậy với m= � 3 thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x21+x22=25
Ví dụ 2 :
Cho phương trình: mx2 – 6(m – 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số
m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  x1 x2
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
2

m �0
m �0


m �0


��
��
2

2
2
3  m  21 �
� ‘ �0

� 9  m  3 m �0
� ‘  9  m  2m  1  9m  27 �0
� ‘  �
m �0
m �0


��
��
 ‘  9  m  1 �0
m �1


6(m  1)

S  x1  x2 


m
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x .x  9( m  3)

1 2

m
Vì x1  x2  x1 x2 (giả thiết)
6(m  1) 9(m  3)

� 6(m  1)  9(m  3) � 3m  21 � m  7 ( thỏa mãn)
Nên
m
m

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn hệ
thức: x1  x2  x1 x2
* Nếu hệ thức của bài cho không chứa tổng và tích của hai nghiệm thì giáo
viên hướng dẫn học sinh giải theo cách sau:
+ Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm
+ Viết hệ thức Vi-ét
b

x1  x2 
(1)


a

�x1. x2  c (2)

a

+ Kết hợp với hệ thức của bài cho (3)

Từ (1) và(3) ta được hệ phương trình ẩn x1, x2
+Giải hệ phương trình ẩn x1, x2 theo m
+ Thay x1, x2 vào (2) ta được phương trình ẩn m
+ Giải phương trình ẩn m ta tìm được m
+ So sánh với điều kiện có nghiệm.Trả lời.
Ví dụ 3: Cho phương trình x2-mx+m-1=0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1- 2×2 = 1
Giải:
2
Xét phương trình x -mx+m-1=0
12

Ta có:  =(m)2-4(m-1)=m2-4m+4=(m-2)2 �0 với mọi m
Suy ra phương trình có hai nghiệm x1, x2 với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2  m
(1)
x1.x2  m  1
(2)
Theo đề bài ta có: x1-2×2=1 (3)
Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:
�x1  2 x2  1 (3)

�x1  x2  m (1)
� x1 

2m  1
m 1
; x2 

3
3

Thay x1, x2 vào (2) ta có:

2m  1 m  1
g
 m 1
3
3
� 2m 2  2m  m  1  9m  9
� 2m 2  10m  8  0
� m  1; m  4

Vậy m = 1, m = 4 là các giá tri cần tìm.
Bài tập áp dụng:
1/Cho phương trình x2-2x+m+2=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
thoả mãn:
a) x21+x22+4 x1x2=0
x2

x1

10

b) x  x  3
1
2
2/ Cho phương trình x2- (a-2)x – 2a = 0. Tìm a để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2×1+ 3×2 = 0

(Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2005-2006)
3/ Cho phương trình: mx2 +2 (m – 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: x1  2 x2  0
4/ Cho phương trình: x2 + (m – 1)x + 5m – 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 4 x1  3×2  1
5/ Cho phương trình: 3×2 – (3m – 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 3×1  5 x2  6
Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hai
nghiệm này không phụ thuộc vào tham số :
1. Cách giải
– Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2
(thường là a ≠ 0 và  �0).
– Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
– Dùng quy tắc cộng hoặc thế để khử tham số .
2. Ví dụ
13

Ví dụ 1: Cho phương trình x2+(2m+1)x+m-1=0. Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1,
x2 không phụ thuộc vào m.
Giải:
2
Xét phương trình x +(2m+1)x+m-1=0.
Ta có:  =(2m+1)2-4(m-1) = 4m2+4m+1- 4m+4 = 4m2+5>0 với mọi m
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2  2m  1
(1)
x1.x2  m  1
(2)

Từ (1) và (2)
� x1 +x2+2x1x2=-2m-1+2(m-1)
� x1 +x2+2x1x2=-3
Vậy hệ thức cần tìm là: x1 +x2+2x1x2=-3
Ví dụ 2 :
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0.
chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 không phụ thuộc giá trị
của m.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì:
m �1

m �1

m  1 �0
m �1




��2
��
�� 4

 ‘ �0
5m  4 �0
m   m  1  m  4  �0
m�



5

2m

S  x1  x2 
(1)


m 1
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: �
�P  x1. x2  m  4 (2)

m 1

Thay (1) và (2) vào biểu thức A, ta có:
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8

2m
m4
6m  2m  8  8(m  1)
0
 2.
8 

0
m 1
m 1
m 1

m 1
4
Vậy A = 0 với mọi m �1 và m � .
5

A= 3.

Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m – 1) =0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy
lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2
độc lập đối với m.
2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m – 4) =0 có 2 nghiệm x 1 và x2.
Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của phương trình sao cho x1 và
x2 không phụ thuộc giá trị của m.
3/ Cho phương trình: x2 – (m + 1)x + (2m – 3) =0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
14

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1, x2 của phương trình sao cho hệ
thức đó không phụ thuộc vào m.
(Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2004-2005)
Dạng 7. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
1. Cách giải
Cho phương trình: ax2+bx+c= 0 (a �0)
Phương trình có 2 nghiệm �  �0
Theo hệ thức Vi-ét:
S = x1+x2= P = x1x2=

b
a

c
a

c
<0
a
� �0

* Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu: � �
c
P = x1x 2 = >0

a



( ‘) �0

b

S= x1 + x 2    0

a
* Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dương: � �
c

P = x1x 2 = >0


a

* Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu � P = x1x2=

* Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng âm: �


�( ‘) �0

b

S= x1 + x 2    0

a

c

P = x1x 2 = >0

a

2. Ví dụ
Ví dụ 1: Không giải phương trình, hãy xác định dấu 2 nghiệm số của phương
trình bậc hai sau:
a, 3×2-5x+7=0
b, x2+5x+6=0
c, x2-5x+6=0

d, 7×2-4x-1=0
Giải
a, Xét phương trình: 3×2-5x+7=0
Ta có:  = 52-4.3.7=25-84=-59<0
Phương trình vô nghiệm
15

b, Xét phương trình: x2+5x+6=0
Ta có:  = 52-4.6=25-24=1>0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
S = x1+x2= -5<0
P = x1x2= 6>0
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu âm
c, Xét phương trình: x2-5x+6=0
Ta có:  = 52-4.6=25-24=1>0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
S = x1+x2= 5>0
P = x1x2= 6>0
Vậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
d, Xét phương trình: 7×2-4x-1=0
1
7

Ta có P = – <0
Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu
Nếu bài toán yêu cầu tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc 2
thoả mãn với điều kiện về dấu của các nghiệm ta giải các bất phương trình trên

ứng với mỗi trường hợp sau đó kết hợp nghiệm của các bất phương trình.
Ví dụ 2: Xác định tham số m sao cho phương trình: x2-2(m-1)+2m-5=0 có 2
nghiệm dương phân biệt.
Giải:
Ta có  ’=(m-1)2-2m+5=m2-4m+5=(m-2)2+1>0 với  m.
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì:
�S  0


�P  0

Vậy m 

2m  5  0


m 1  0

� 5
m
5

� � 2 � m
2

m 1

5
thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
2

Ví dụ3 :
Xác định tham số m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0
có 2 nghiệm trái dấu.
Giải:
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì:
m2  m  6
p0�P
 0 � P   m  3  m  2   0 � 2  m  3
2
Vậy với 2  m  3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.

Bài tập áp dụng:
16

1/ Cho phương trình: mx2-2(m-1)+2m-5=0
a) Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
d) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
Dạng 8. Tìm GTLN, GTNN, bất đẳng thức của biểu thức giữa các nghiệm:
1. Cách giải
Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x1, x2
Viết hệ thức Vi-ét theo các hệ số của phương trình
Thay hệ thức vừa viết vào biểu thức bài cho rồi biến đổi để tìm GTLN,
GTNN, chứng minh bất đẳng thức

2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho phương trình x2-(2m+1)x+m2+m-1=0. Tìm m để phương trình
có hai nghiệm x1, x2 sao cho A=(2×1-x2) (2×2-x1) đạt GTNN
Giải:
2
2
Xét phương trình x -(2m+1)x+m +m-1=0
Phương trình có 2 nghiệm �  =(2m+1)2-4(m2+m-1)=5 >0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2  2m  1
(1)
2
x1.x2  m  m  1
(2)
Thay (1) và (2) vào A :
A=(2×1-x2) (2×2-x1)=4 x1x2-2 x12-2 x22+ x1x2=9 x1x2-2(x1+x2)2
1
2

=9(m2+m-1)-2(2m+1)2=m2+m-11=( m  )2 
Vậy GTNN của A=

45
1
1
� m 0� m 
4
2
2

45 45

4
4

Ví dụ 2: Cho phương trình x2+2(m-1)x-(2m+5)=0. Tìm m để phương trình
có hai nghiệm x1, x2 và biểu thức B=12-10x1x2)- (x12+x22) đạt GTLN
Giải:
2
Xét phương trình x +2(m-1)x-(2m+5)=0
Phương trình có 2 nghiệm �  ’=(m-1)2+2m+5=m2+6 >0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2  2(m  1)
(1)
x1.x2  2m  5
(2)
Thay (1) và (2) vào B :
B=12-10x1x2)- (x12+x22) = 12-8x1x2- (x1+x2)2
=12+8(2m+5)-4(m-1)2 = -4m2+24m+48 = -(2m-6)2+84 �84
Vậy GTLN của B = 84 � m = 3
17

Ví dụ 3: Cho phương trình x2-2(m-1)x-(2m+5)=0. Tìm m để phương trình có
hai nghiệm x1, x2 thoả mãn bất đẳng thức: x1 +x2+2x1x2 �6
Giải:
2
Xét phương trình x -2(m-1)x-(2m+5)=0

Phương trình có 2 nghiệm �  ’=(m-1)2+2m+5=m2+6 >0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
x1  x2  2(m  1)
(1)
x1.x2  2m  5
(2)
Thay (1) và (2) vào bất đẳng thức:
x1 +x2+2x1x2 �6 � 2(m-1)- 2(2m+5) �6
� 2m-2-4m-10 �6 � -2m �18 � m �-9
Vậy m �-9 là điều kiện cần tìm
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 .
2
Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ nhất.
2/ Cho phương trình: x2 – 2(m – 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m sao 2
nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện :
a/ A  x1  x2  3×1 x2 đạt giá trị lớn nhất.
b/ B  x12  x2 2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
3/ Cho phương trình: x2 – (2m – 1)x + m(m-1) = 0 (1).
a/ Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) (với x1< x2).
Chứng minh x12  2 x2  3 �0 .
(Đề thi vào lớp 10 THPT tỉnh Thanh Hóa năm học 2011-2012)
IV. KIỂM NGHIỆM
Sau khi dạy xong cho học sinh phần kiến thức này và kết hợp với việc rèn
luyện giải một số bài tập tôi nhận thấy:
– Học sinh nắm chắc các vấn đề liên quan đến phương trình bậc hai và hệ
thức Vi-ét.
– Học sinh biết phân biệt và nhận dạng từng loại bài tập và vận dụng linh

hoạt được kiến thức đã học để giải toán…
– Học sinh làm bài và trình bày bài khoa học, lập luận chặt chẽ.
– Kết quả kiểm tra học 30 sinh lớp 9A năm học 2013-2014 sau khi ứng dụng
như sau
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Lớp TSHS
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
9A
30
7 23.3 10 33.4 11 36.7 2
6.6
0
0
C. KẾT LUẬN
18

I. KẾT LUẬN
Qua nghiên cứu lý luận và áp dụng các giải pháp đã làm tại trường trung
học cơ sở Nga An tôi tự rút ra kết luận sau đây:
Đa số các em học sinh khá, giỏi đều rất muốn được mở rộng, nâng cao kiến
thức nhưng các em không biết bằng cách nào, đọc sách nào là tốt vì sách tham
khảo rất nhiều loại. Vì vậy giáo viên cần nghiên cứu tìm cách hướng dẫn học
sinh cách tự học ở nhà, tự chọn sách tham khảo,…
Tạo cho học sinh niềm say mê hứng thú trong học tập, sự yêu thích đối với
bộ môn toán
Xây dựng được kế hoạch tổ chức bồi dưỡng học sinh giỏi, phụ đạo học
sinh yếu trong các tiết dạy chính khóa và ngoài giờ
Làm tốt công tác biểu dương khen thưởng đối với những học sinh có nhiều
tiến bộ trong học tập.
Cần nâng cao nhận thức cho giáo viên, học sinh, phụ huynh về mục đích, ý
nghĩa, vai trò của môn toán trong nội dung chương trình THCS.
Mong rằng đề tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán về phương
trình bậc hai” sẽ góp phần giúp các em thêm kiến thức, biết ứng dụng hệ thức
Vi-ét vào giải các bài toán về phương trình bậc hai để các em thêm tự tin trong
các kỳ thi tuyển.
II. ĐỀ XUẤT
Trên đây là một số kinh nghiệm và biện pháp nhằm giúp học sinh vận
dụng tốt hơn các ứng dụng của hệ thức Vi-ét đối với học sinh lớp 9 tại trường
THCS Nga An mà tôi đã áp dụng trong thời gian qua, nó đã đem lại những kết
quả nhất định. Tuy nhiên trong quá trình tổ chức chắc chắn không tránh khỏi
thiếu sót rất mong sự đóng góp của các đồng chí đồng nghiệp để chất lượng
giáo dục của nhà trường nói chung và môn toán nói riêng ngày một vững chắc
hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2014
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của

mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.
Người thực hiện

Trịnh Thị Trang

19

Môn Toán ở trung học cơ sở có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó tăng trưởng hệthống hóa kiến thức và kỹ năng, kỹ năng và kiến thức và thái độ mà học viên đã lĩnh hội và hình thành ởbậc tiểu học, mặt khác nó góp thêm phần chuẩn bị sẵn sàng những kiến thức và kỹ năng, kỹ năng và kiến thức và tháiđộ thiết yếu để liên tục lên trung học phổ thông, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cáclĩnh vực lao động sản xuất yên cầu những hiểu biết nhất định về Toán học. Chương trình Toán trung học cơ sở khẳng định chắc chắn quy trình dạy học là quy trình giáoviên tổ chức triển khai cho học viên hoạt động giải trí để sở hữu kiến thức và kỹ năng và kiến thức và kỹ năng. Mặtkhác muốn nâng cao chất lượng cho học viên, giáo viên cần phải hình thành chohọc sinh những kỹ năng và kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tínhtích cực của học viên, lan rộng ra tầm tâm lý. Trong nhiều năm trở lại đây trong đề khảo sát cuối năm, những đề thi vào lớp10 trung học phổ thông, trong những đề thi tuyển học viên giỏi lớp 9 đều có những bài toán vềphương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ cập. Trong khi đó nộidung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tậpchưa phong phú. Vì thế hầu hết học viên khi gặp bài toán có vận dụng hệ thức Vi-étthì đều lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, vềnhà những em không biết cách đọc thêm sách tìm hiểu thêm nên việc vận dụng hệ thứcVi-ét còn nhiều hạn chế. Bản thân là giáo viên đã nhiều năm giảng dạy môn Toán khối 9, tham giabồi dưỡng học viên giỏi lớp 9 và ôn tập nâng cao kỹ năng và kiến thức cho học viên thituyển vào lớp 10. Vì thế tôi đã tâm lý làm thế nào để nâng cao chất lượng họctập cho những em học viên, giúp những em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải những bàitoán về phương trình bậc hai. Góp phần giúp những em tự tin hơn trong những kỳ thituyển. Đó là nguyên do tôi chọn đề tài này : “ Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải những bàitoán về phương trình bậc hai ”. II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Nhằm mục tiêu bổ trợ nâng cao kiến thức và kỹ năng giải những bài toán về phươngtrình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho những em học viên lớp 9 THCS. Từ đócác em hoàn toàn có thể làm tốt những bài toán về phương trình bậc hai trong những kỳ thituyển. Kích thích, giúp những em biết cách tìm kiến thức và kỹ năng nhiều hơn nữa, không chỉphương trình bậc hai mà cả những dạng toán khác. Nghiên cứu những phương trình bậc hai có tương quan đến hệ thức Vi-ét, tìmphương pháp truyền đạt, hướng dẫn học viên tiếp thu kỹ năng và kiến thức để những em biếtcách tìm kiếm nâng cao kiến thức và kỹ năng cho mình. III. PHƯƠNG PHÁP PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU : 1. Phương pháp nghiên cứu và điều tra : – Phương pháp điều tra và nghiên cứu tài liệu : Đọc và chọn ra những bài toán vềphương trình bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếp thành những nhóm ứngdụng. – Phương pháp phỏng vấn, tìm hiểu : Điều tra tác dụng trải qua những bàikiểm tra của 30 học viên lớp 9A – Phương pháp thực nghiệm sư phạm : Sau khi sắp xếp thành những nhómứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã triển khai lên lớp hướng dẫn học viên những ứngdụng trên. 2. Phạm vi và đối tượng người dùng nghiên cứu và điều tra : – Khảo sát mức độ vận dụng hệ thức Vi-ét của học viên lớp 9A trườngTHCS Nga An năm học 2013 – năm trước trước và sau khi tổ chức triển khai hướng dẫn cho họcsinh học hệ thức Vi-ét và những ứng dụng – Nghiên cứu những ứng dụng của hệ thức Vi-ét trong môn đại số lớp 9, tìmhiểu những phương trình bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét. 3. Kế hoạch nghiên cứu và điều tra : Năm học 2013 – 2014B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀI. CƠ SỞ LÝ LUẬNVới tiềm năng giáo dục phổ thông là “ Giúp học viên tăng trưởng toàn diệnvề đạo đức, trí tuệ, sức khỏe thể chất, thẩm mĩ và những kỹ năng và kiến thức cơ bản, tăng trưởng năng lựccá nhân, tính năng động phát minh sáng tạo, hình thành nhân cách con người Nước Ta xãhội chủ nghĩa, kiến thiết xây dựng tư cách và nghĩa vụ và trách nhiệm công dân, chuẩn bị sẵn sàng cho họcsinh liên tục học lên hoặc đi vào đời sống lao động, tham gia thiết kế xây dựng và bảovệ Tổ quốc ”. Để triển khai tiềm năng trên, nội dung chương trình trung học cơ sở mới được thiết kếtheo hướng giảm tính triết lý, tăng tính thực tiễn, thực hành thực tế bảo vệ vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời hạn tự học và hoạt động giải trí ngoại khóa. Trong chương trình lớp 9, hệ thức Vi-ét được học trong 2 tiết : * Tiết 1 : Học sinh được học hệ thức Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét đểnhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, vận dụng làm những bài tập * Tiết 2 : Vận dụng hệ thức Vi-ét để tìm hai số biết tổng và tích của chúng, từ đó biết lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm và làm những bài tập củngcố tiết kim chỉ nan vừa học. Theo chương trình trên, học viên được học hệ thức Vi-ét nhưng không cónhiều tiết học đi sâu khai thác những ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên những em nắmvà vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh động. Là giáo viên ta cần phải tu dưỡng vàhướng dẫn học viên tự học thêm kỹ năng và kiến thức phần này. II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ1. Thực trạngThuận lợi : – Phần đa phần học viên của lớp có ý thức học tập tốt, nắm được kiến thứccơ bản chương trình THCS. – Bản thân là một giáo viên có nhiều năm tham gia dạy tu dưỡng họcsinh giỏi lớp 9, ôn tập cho học viên thi vào THPT. – Công tác tu dưỡng, phụ đạo cho học viên được làm tiếp tục gópphần nâng cao kiến thức và kỹ năng cho học viên. Khó khăn – Thời lượng phân bổ tiết cho phần này còn hạn chế, do vậy chưa khaithác hết những ứng dụng của hệ thức Vi-ét. – Một bộ phận học viên chưa có ý thức học tập tốt, chưa có sự quan tâmthường xuyên của những bậc cha mẹ nên hiệu quả học tập còn yếu. – Số học sinh tự học tập thêm kỹ năng và kiến thức, tìm hiểu thêm tài liệu, … để nângcao kiến thức và kỹ năng chưa nhiều nên số lượng học viên giỏi Toán còn rất hạn chế. 2. Kết quả của thực trạngTrong trong thực tiễn giảng dạy toán ở trường THCS Nga An, việc ứng dụng hệthức Vi-ét so với học viên còn nhiều khó khăn vất vả. Nhiều bài những em không địnhhướng được cách làm, kiến thức và kỹ năng vận dụng yếuSố lượng học viên vận dung hệ thức Vi-ét còn thấp. Kết quả thống kêbài kiểm tra sau khi dạy 2 tiết hệ thức Vi-ét như sau : GiỏiKháTBYếuKémLớp TSHSSLSLSLSLSL9A303. 35 16.7 11 36.7 11 36.7 26.6 III. CÁC GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN1. Lý thuyết * Hệ thức Vi-ét : Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai : + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) thì : ax 2  b � x1. x2  2. Các ứng dụng của hệ thức Vi-étSau khi học viên đã nắm được nội dung của hệ thức Vi-ét, giáo viên chiacác bài tập về ứng dụng của hệ thức Vi-ét thành những dạng đơn cử như sau : Dạng 1 : Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn : Dạng 2 : Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : Dạng 3 : Lập phương trình bậc hai : Dạng 4 : Tính giá trị của biểu thức giữa những nghiệm của phương trình : Dạng 5. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn nhu cầu biểu thức chứanghiệmDạng 6 : Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hainghiệm này không nhờ vào vào tham số : Dạng 7. Xác định dấu những nghiệm của phương trình bậc hai : Dạng 8. Tìm GTLN, GTNN, bất đẳng thức của biểu thức giữa những nghiệm : Với mỗi dạng giáo viên cần hướng dẫn cho học viên cách giải và tìm những bài tậpminh họa, tổ chức triển khai những buổi ôn tập cho học sinhDạng 1 : Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn : 1. Cách giảiNếu phương trình : ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có : * a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1, nghiệm kia là x2 = * a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = – 1, nghiệm kia là x2 =  2. Ví dụ * Tính nhẩm nghiệm của những phương trình cho trướcVí dụ1 : Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của những phương trình sau : a / 5×2 – 8 x + 3 = 0 ( 1 ) b / 11×2 + 15 x + 4 = 0 ( 2 ) Giải : Ta thấy : Phương trình ( 1 ) có dạng a + b + c = 5-8 + 3 = 0, nên có mộtnghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = Phương trình ( 2 ) có a – b + c = 11 – 15 + 4 = 0, nên có một nghiệmx1 = – 1 và nghiệm kia là x2 =  411B ài tập vận dụng : Hãy tính nhẩm nghiệm của những phương trình sau : a / 101×2 – 105 x + 4 = 0 b / 7×2 – 20 x – 27 = 0 c / 2×2 – 29 x + 27 = 0 d / 4531×2 + 31 x – 4500 = 0 * Tìm giá trị của tham số khi biết một nghiệm của phương trình, tìmnghiệm còn lại : Ví dụ 2 : a / Cho phương trình 2×2 + 2 mx + 5 = 0 ( 1 ) có một nghiệm x 1 = – 2. Tìm mvà nghiệm còn lại. b / Phương trình x2 – 4 kx + 6 = 0 ( 2 ) có một nghiệm x 1 = 3, tìm k vànghiệm còn lại. Giải : a / Ta thay x1 = – 2 vào phương trình ( 1 ), ta được : 2. ( – 2 ) 2 + 4. ( – 2 ). m + 5 = 0 � m  13T heo hệ thức Vi-ét : x1. x2 =  5 suy ra : x2 = b / Ta thay x1 = 3 vào phương trình ( 2 ) ta được : 32 – 4.3. k + 6 = 0 � k  Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 6 suy ra : x2 = 2D ạng 2 : Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : 1. Cách giảiNếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm củaphương trình : x2 – Sx + P = 0 Điều kiện để sống sót hai số là : S2 – 4P ≥ 02. Ví dụVí dụ : Tìm hai số u và v biết u + v = – 3 và u. v = – 4. Giải : Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình : x2 + 3 x – 4 = 0G iải phương trình trên ta được x1 = 1 và x2 = – 4V ậy u = 1 thì v = – 4H oặc u = – 4 thì v = 1B ài tập vận dụng : Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P : a / S = 3 và P = 2 b / S = – 3 và P = 6 c / S = 9 và P = 20 d / S = 2 x và P = x2 – y2Bài tập nâng cao : Tìm hai số a, b biết : a / a + b = 9 và a2 + b2 = 41 b / a – b = 5 và a. b = 36 c / a + b = 61 và a. b = 30H ướng dẫn : a / Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để vận dụng hệ thứcVi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b. Từ a  b  9 �  a  b   81 � a  2 ab  b  81 � ab  81  a 2  b 2   20 x  4×2  5S uy ra : a, b là nghiệm của phương trình : x  9 x  20  0 � � Vậy : Nếu a = 4 thì b = 5N ếu a = 5 thì b = 4 b / Đã biết tích : ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + bTừ  a  b    a  b   4 ab �  a  b    a  b   4 ab  169 a  b   13 �  a  b   132 � � a  b  13 – Với a + b = – 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x   4 x 2  13 x  36  0 � � 1×2   9V ậy a = – 4 thì b = – 9 – Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x  4 x 2  13 x  36  0 � � 1×2  9V ậy a = 4 thì b = 9 c / Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b : a  b   11 a  b  11T ừ a  b  61 �  a  b   a  b  2 ab  61  2.30  121  11 � � – Nếu a + b = – 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : x   5 x 2  11 x  30  0 � � 1×2   6V ậy a = – 5 thì b = – 6 hay a = – 6 thì b = – 5 – Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình : x  5 x 2  11 x  30  0 � � 1×2  6V ậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5V ới những câu trên giáo viên hoàn toàn có thể hướng dẫn cho học viên làm theo cách khácDạng 3 : Lập phương trình bậc hai * Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2Ví dụ : Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 = – 2 ; x2 = 5G iải : � x1  x2  3T heo hệ thức Vi-ét, ta có : � � x1. x2   10V ậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng : x2 – 3 x – 10 = 0B ài tập vận dụng : Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm : a / x1 = 8 và x2 = – 3 b / x1 = 3 a và x2 = ac / x1 = 36 và x2 = – 104 d / x1 = 1 + 2 và x2 = 1 – 2 * Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn nhu cầu biểu thức chứahai nghiệm của một phương trình cho trướcVí dụ : Cho phương trình x2 – 7 x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2. Khônggiải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn nhu cầu : y1  x2  Giải : y2  x1  vàx1x2Theo hệ thức Vi-ét, ta có � 1 1 � x  x7 49  x1    x1  x2   �  �   x1  x2   1 2  7   x1x2x1 x26 6 � x1 x2 � 1 � � 1 � 1 49P  y1. y2  � x2  �. � x1  �  x1. x2  1  1   8   x1 x26 6 � x1 � � x2 � S  y1  y2  x2  Vậy phương trình cần lập có dạng : y 2  Sy  P  0 hay y 2  4949 y   0 � 6 y 2  49 y  49  0B ài tập vận dụng : 1 / Cho phương trình 3×2 + 5 x – 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x2. Không giảiphương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn nhu cầu : y1  x1  y2  x2  vàx2x12 / Cho phương trình : x2 – 5 x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x2. Không giảiphương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn nhu cầu : y1  x14 và y2  x2 43 / Cho phương trình : x2 – 2 x – mét vuông = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2. Hãy lậpphương trình bậc hai có hai nghiệm y1 ; y2 sao cho : a / y1  x1  3 và y2  x2  3 b / y1  2 x1  1 và y2  2 x2  1D ạng 4 : Tính giá trị của biểu thức giữa những nghiệm của phương trình : 1. Cách giải + Chứng tỏ phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 (  � 0 ) + Biến đổi biểu thức bài cho về dạng tổng và tích hai nghiệm + Viết hệ thức Vi-ét thay vào biểu thức tính giá trịNgoài những bước giải trên, giáo viên cần hướng dẫn cho học viên 1 số ít phépbiến đổi những biểu thức để đưa về dạng chứa tổng và tích của những nghiệmx  xa / x  x  x x1 2 b / x12  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2  x1  x2   3×1 x2 � c / x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x2    x1  x2  � � hoặcx13  x2 3   x1  x2   3 x1 x2  x1  x2   2 x 2 x 2  x1  x2   2 x1x2 � d / x14  x2 4   x12    x22    x12  x2 2   2 x12 x2 2  � � 1 2 e /  x1  x2   x12  2 x1 x2  x2 2   x12  2 x1 x2  x2 2   4 x1 x2   x1  x2   4 x1 x2 � x1  x2  �  x1  x2   4 x1 x2 … .. 2. Ví dụVí dụ 1 : Cho phương trình x2 – 10 x + 15 = 0 không giải phương trình. Hãy tínhgiá trị của những biểu thức sau ( Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x1a ) x12  x2 2×2 b ) x  xc ) x13  x 32×1 d ) x  xe ) x12  x2 2 g ) x13  x 32H ọc sinh thường giải như sau : Theo hệ thức Vi-ét ta có x1  x2  10, x1. x2  15. Sau đó đổi khác những hệ thức của bài cho mà không biết phương trinh đã cho cónghiệm hay không. Do đó giáo viên cần nhắc lại cho học viên cách giải trướchết là phải kiểm tra điều kiện kèm theo có nghiệm của phương trìnhGiải : Xét phương trình x2 – 10 x + 15 = 0  ’ = ( – 5 ) 2-1. 15 = 10 > 0 => phương trình có hai nghiệm x1, x2 ( x1Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1  x2  10 ( 1 ) x1. x2  15 ( 2 ) a ) x12  x2 2 = ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 = 102 – 2.15 = 100 – 30 = 70×1  x210b ) x  x = x x = = 151 2 c ) x1  x 2 = ( x1  x2 ) ( x 1  x1 x2  x 22 ) = ( x1  x2 ) [ ( x1  x2 ) 2  3×1 x2 ] = ( x1  x2 ) 3  3×1 x2 ( x1  x2 ) = 103 – 3.10.15 = 1000 – 450 = 550×2 x1x 2 2  x 21 d ) x x = x1. x270 1415 3 e ) Đặt A = x12  x22 = ( x1  x2 ) ( x1  x2 ) B = x1  x2 < 0 ( vì x1Ta có B2 = ( x1  x2 ) 2 = x12  x2 2  2×1 x2 = 70-2. 15 = 40 => B = – 2 10D o đó A = x12  x22 = 10. ( – 2 10 ) = – 20 10 g ) x13  x 32 = ( x1  x2 ) ( x 21  x1 x2  x 22 ) = – 20 10 ( 70  15 ) = – 20 10. 85 =  170 10V í dụ 2 : Cho phương trình x2-5x+6 = 0 không giải phương trình. Hãy tínhgiá trị của những biểu thức sau ( Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x1 > x2 ) a ) x1  x2b ) x1 x1  x2 x2c ) x2 x1  x1 x2d ) x1  x2Giải : Xét phương trình x – 5 x + 6 = 0  = ( – 5 ) 2-4. 6 = 25-24 = 1 > 0P hương trình có hai nghiệm x1, x2Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1  x2  5  0x1. x2  6  0 => x1 > 0, x2 > 0 a ) A = x1  x2 > 0A2 = ( x1  x2 ) 2 = x1  x2  2 x1 x2 = 5  2 6 = ( 3  2 ) 2V ậy A = 3  2 b ) x1 x1  x2 x2 = ( x1  x2 ) ( x1  x2  x1 x2 ) = ( 3  2 ) ( 5  6 ) = 3 3  2 3 c ) x2 x1  x1 x2 = x2 x1 ( x1  x2 )  6 ( 3  2 )  3 2  2 3 d ) Đặt B = x1  x2 > 0 vì x1 > x2B2 = ( x1  x2 ) 2 = x1  x2  2 x1 x2 = 5  2 6 = ( 3  2 ) 2V ậy B = 3  2B ài tập vận dụng : 101 / Cho phương trình : 8×2 – 72 x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãytính : b / x  x2 / Cho phương trình : 2 x – 3 x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãytính : a / x12  x2 2 a / x12  x2 2×1 x21  x11  x2b / x  1  x  1 c / x  xd / x  x3 / Cho phương trình : x – 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x 1, x2. Không giảiphương trình, hãy tính : Q.  6 x12  10 x1 x2  6 x2 25 x1 x23  5 x13 x26. 4 3  2.86  x1  x2   2 x1 x26 x12  10 x1 x2  6 x2 217 ( HD : 5 x1 x2  5 x1 x2 � 4 3  2.8 � 80 ) 5 x1 x2 �  � x1  x2   2 x1 x2 � 5.84 / Cho phương trình : x2 – 3 x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x 1, x2 ( x1 > x2 ). Tính giá trị biểu thức : A  x13 x2  x1 x23 theo m. Dạng 5. Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn nhu cầu biểu thức chứanghiệm1. Cách giải – Đặt điều kiện kèm theo cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 ( thường là a ≠ 0 và  � 0 ). – Từ biểu thức nghiệm đã cho đổi khác để vận dụng hệ thức Vi-ét đưa vềphương trình có ẩn là tham số để giải. – Đối chiếu với điều kiện kèm theo xác lập của tham số để xác lập giá trị cần tìm. 2. Ví dụ : Ví dụ 1 : Cho phương trình x2 + mx-m2-8 = 0. Tìm m để phương trình có hainghiệm thoả mãn : x21 + x22 = 25K hi gặp phương trình chứa tham số m, sai lầm đáng tiếc thường mắc phải của họcsinh đó là không tìm điều kiện kèm theo để phương trình có nghiệm mà thường vận dụngluôn hệ thức Vi-ét, do đó giáo viên cần nhấn mạnh vấn đề cách giải bước tiên phong làtìm điều kiện kèm theo để phương trình có nghiệm, từ đó cho học viên giải. Giải : Xét phương trình x + mx-m – 8 = 0T a có :  = mét vuông + 4 ( mét vuông + 8 ) = 5 mét vuông + 32 > 0 với mọi mSuy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m + Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1  x2   m ( 1 ) x1. x2   m  8 ( 2 ) 11T heo đề bài ta có : x21 + x22 = 25 � ( x1  x2 )  2 x1 x2 = 25 ( 3 ) Thay ( 1 ), ( 2 ) vào ( 3 ) ta có : ( – m ) 2 + 2 mét vuông + 16 = 25 � 3 mét vuông = 9 � mét vuông = 3 � m = � 3V ậy với m = � 3 thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn : x21 + x22 = 25V í dụ 2 : Cho phương trình : mx2 – 6 ( m – 1 ) x + 9 ( m – 3 ) = 0. Tìm giá trị của tham sốm để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn nhu cầu hệ thức : x1  x2  x1 x2Giải : Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì : m � 0 m � 0 m � 0 � � � � 3  m  21  � �  ‘ � 0 �  9  m  3  m � 0 �  ‘  9  m  2 m  1   9 m  27 � 0 �  ‘  � m � 0 m � 0 � � � �  ‘  9  m  1  � 0 m �  16 ( m  1 ) S  x1  x2  Theo hệ thức Vi-ét, Ta có : � � P  x. x  9 ( m  3 ) 1 2V ì x1  x2  x1 x2 ( giả thiết ) 6 ( m  1 ) 9 ( m  3 ) � 6 ( m  1 )  9 ( m  3 ) � 3 m  21 � m  7 ( thỏa mãn nhu cầu ) NênVậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x 1 và x2 thỏa mãn nhu cầu hệthức : x1  x2  x1 x2 * Nếu hệ thức của bài cho không chứa tổng và tích của hai nghiệm thì giáoviên hướng dẫn học viên giải theo cách sau : + Tìm điều kiện kèm theo để phương trình bậc hai có nghiệm + Viết hệ thức Vi-ét  bx1  x2  ( 1 ) � x1. x2  c ( 2 ) + Kết hợp với hệ thức của bài cho ( 3 ) Từ ( 1 ) và ( 3 ) ta được hệ phương trình ẩn x1, x2 + Giải hệ phương trình ẩn x1, x2 theo m + Thay x1, x2 vào ( 2 ) ta được phương trình ẩn m + Giải phương trình ẩn m ta tìm được m + So sánh với điều kiện kèm theo có nghiệm. Trả lời. Ví dụ 3 : Cho phương trình x2-mx+m-1 = 0. Tìm m để phương trình có hainghiệm x1, x2 thoả mãn : x1 – 2×2 = 1G iải : Xét phương trình x – mx + m-1 = 012T a có :  = ( m ) 2-4 ( m-1 ) = m2-4m+4 = ( m-2 ) 2 � 0 với mọi mSuy ra phương trình có hai nghiệm x1, x2 với mọi m + Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1  x2  m ( 1 ) x1. x2  m  1 ( 2 ) Theo đề bài ta có : x1-2×2 = 1 ( 3 ) Từ ( 1 ) và ( 3 ) ta có hệ phương trình : � x1  2 x2  1 ( 3 ) � x1  x2  m ( 1 ) � x1  2 m  1 m  1 ; x2  Thay x1, x2 vào ( 2 ) ta có : 2 m  1 m  1  m  1 � 2 m 2  2 m  m  1  9 m  9 � 2 m 2  10 m  8  0 � m  1 ; m  4V ậy m = 1, m = 4 là những giá tri cần tìm. Bài tập vận dụng : 1 / Cho phương trình x2-2x+m+2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệmthoả mãn : a ) x21 + x22 + 4 x1x2 = 0x2 x1  10 b ) x  x  32 / Cho phương trình x2 – ( a-2 ) x – 2 a = 0. Tìm a để phương trình có hainghiệm x1, x2 thỏa mãn nhu cầu 2×1 + 3×2 = 0 ( Đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông tỉnh Thanh Hóa năm học 2005 – 2006 ) 3 / Cho phương trình : mx2 + 2 ( m – 4 ) x + m + 7 = 0. Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn nhu cầu hệ thức : x1  2 x2  04 / Cho phương trình : x2 + ( m – 1 ) x + 5 m – 6 = 0. Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn nhu cầu hệ thức : 4 x1  3×2  15 / Cho phương trình : 3×2 – ( 3 m – 2 ) x – ( 3 m + 1 ) = 0. Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn nhu cầu hệ thức : 3×1  5 x2  6D ạng 6 : Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình sao cho hainghiệm này không nhờ vào vào tham số : 1. Cách giải – Đặt điều kiện kèm theo cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 ( thường là a ≠ 0 và  � 0 ). – Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số. – Dùng quy tắc cộng hoặc thế để khử tham số. 2. Ví dụ13Ví dụ 1 : Cho phương trình x2 + ( 2 m + 1 ) x + m-1 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1, x2 không phụ thuộc vào vào m. Giải : Xét phương trình x + ( 2 m + 1 ) x + m-1 = 0. Ta có :  = ( 2 m + 1 ) 2-4 ( m-1 ) = 4 mét vuông + 4 m + 1 – 4 m + 4 = 4 mét vuông + 5 > 0 với mọi mSuy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m + Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1  x2   2 m  1 ( 1 ) x1. x2  m  1 ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) � x1 + x2 + 2×1 x2 = – 2 m – 1 + 2 ( m-1 ) � x1 + x2 + 2×1 x2 = – 3V ậy hệ thức cần tìm là : x1 + x2 + 2×1 x2 = – 3V í dụ 2 : Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình : ( m – 1 ) x2 – 2 mx + m – 4 = 0. chứng tỏ rằng biểu thức A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 không phụ thuộc vào giá trịcủa m. Giải : Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì : m � 1 m � 1 m  1 � 0 m � 1 � � 2 � � � � 4  ‘ � 05 m  4 � 0 m   m  1   m  4  � 0 m � 2 mS  x1  x2  ( 1 ) m  1T heo hệ thức Vi-ét, Ta có : � � P  x1. x2  m  4 ( 2 ) m  1T hay ( 1 ) và ( 2 ) vào biểu thức A, ta có : A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 82 mm  46 m  2 m  8  8 ( m  1 )  2.  8   0 m  1 m  1 m  1 m  1V ậy A = 0 với mọi m � 1 và m �. A = 3. Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của m. Bài tập vận dụng : 1 / Cho phương trình : x2 – ( m + 2 ) x + ( 2 m – 1 ) = 0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãylập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2độc lập so với m. 2 / Cho phương trình : x2 + ( 4 m + 1 ) x + 2 ( m – 4 ) = 0 có 2 nghiệm x 1 và x2. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của phương trình sao cho x1 vàx2 không nhờ vào giá trị của m. 3 / Cho phương trình : x2 – ( m + 1 ) x + ( 2 m – 3 ) = 0 a ) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m14b ) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1, x2 của phương trình sao cho hệthức đó không nhờ vào vào m. ( Đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông tỉnh Thanh Hóa năm học 2004 – 2005 ) Dạng 7. Xét dấu những nghiệm của phương trình bậc hai : 1. Cách giảiCho phương trình : ax2 + bx + c = 0 ( a � 0 ) Phương trình có 2 nghiệm �  � 0T heo hệ thức Vi-ét : S = x1 + x2 = P = x1x2 = < 0 �  � 0 * Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu : � � P = x1x 2 = > 0  (  ‘ ) � 0S = x1 + x 2    0 * Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dương : � � P = x1x 2 = > 0 * Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu � P = x1x2 = * Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng âm : � �  (  ‘ ) � 0S = x1 + x 2    0P = x1x 2 = > 02. Ví dụVí dụ 1 : Không giải phương trình, hãy xác lập dấu 2 nghiệm số của phươngtrình bậc hai sau : a, 3×2 – 5 x + 7 = 0 b, x2 + 5 x + 6 = 0 c, x2-5x+6 = 0 d, 7×2 – 4 x – 1 = 0G iảia, Xét phương trình : 3×2 – 5 x + 7 = 0T a có :  = 52-4. 3.7 = 25-84 = – 59 < 0P hương trình vô nghiệm15b, Xét phương trình : x2 + 5 x + 6 = 0T a có :  = 52-4. 6 = 25-24 = 1 > 0S uy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2Theo hệ thức Vi-ét ta có : S = x1 + x2 = – 5 < 0P = x1x2 = 6 > 0V ậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu âmc, Xét phương trình : x2-5x+6 = 0T a có :  = 52-4. 6 = 25-24 = 1 > 0P hương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2Theo hệ thức Vi-ét ta có : S = x1 + x2 = 5 > 0P = x1x2 = 6 > 0V ậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệtd, Xét phương trình : 7×2 – 4 x – 1 = 0T a có P = – < 0V ậy phương trình có hai nghiệm trái dấuNếu bài toán nhu yếu tìm điều kiện kèm theo của tham số m để phương trình bậc 2 thoả mãn với điều kiện kèm theo về dấu của những nghiệm ta giải những bất phương trình trênứng với mỗi trường hợp sau đó tích hợp nghiệm của những bất phương trình. Ví dụ 2 : Xác định tham số m sao cho phương trình : x2-2 ( m-1 ) + 2 m – 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt. Giải : Ta có  ’ = ( m-1 ) 2-2 m + 5 = m2-4m+5 = ( m-2 ) 2 + 1 > 0 với  m. Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt thì : � S  0 � P  0V ậy m  2 m  5  0 m  1  0 � 5 m  � � 2 � m  m  1 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệtVí dụ3 : Xác định tham số m sao cho phương trình : x2 – ( 3 m + 1 ) x + mét vuông – m – 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu. Giải : Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì : mét vuông  m  6 p  0 � P   0 � P   m  3   m  2   0 �  2  m  3V ậy với  2  m  3 thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu. Bài tập vận dụng : 161 / Cho phương trình : mx2-2 ( m-1 ) + 2 m – 5 = 0 a ) Tìm điều kiện kèm theo của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu. b ) Tìm điều kiện kèm theo của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. c ) Tìm điều kiện kèm theo của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. d ) Tìm điều kiện kèm theo của m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. Dạng 8. Tìm GTLN, GTNN, bất đẳng thức của biểu thức giữa những nghiệm : 1. Cách giảiTìm điều kiện kèm theo của tham số để phương trình có nghiệm x1, x2Viết hệ thức Vi-ét theo những thông số của phương trìnhThay hệ thức vừa viết vào biểu thức bài cho rồi đổi khác để tìm GTLN, GTNN, chứng tỏ bất đẳng thức2. Ví dụVí dụ 1 : Cho phương trình x2 – ( 2 m + 1 ) x + mét vuông + m-1 = 0. Tìm m để phương trìnhcó hai nghiệm x1, x2 sao cho A = ( 2×1 – x2 ) ( 2×2 – x1 ) đạt GTNNGiải : Xét phương trình x – ( 2 m + 1 ) x + m + m-1 = 0P hương trình có 2 nghiệm �  = ( 2 m + 1 ) 2-4 ( mét vuông + m-1 ) = 5 > 0 với mọi mVậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 + Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1  x2  2 m  1 ( 1 ) x1. x2  m  m  1 ( 2 ) Thay ( 1 ) và ( 2 ) vào A : A = ( 2×1 – x2 ) ( 2×2 – x1 ) = 4 x1x2-2 x12-2 x22 + x1x2 = 9 x1x2-2 ( x1 + x2 ) 2 = 9 ( mét vuông + m-1 ) – 2 ( 2 m + 1 ) 2 = mét vuông + m-11 = ( m  ) 2  Vậy GTNN của A =  45  1 � m   0 � m  45  45V í dụ 2 : Cho phương trình x2 + 2 ( m-1 ) x – ( 2 m + 5 ) = 0. Tìm m để phương trìnhcó hai nghiệm x1, x2 và biểu thức B = 12-10 x1x2 ) – ( x12 + x22 ) đạt GTLNGiải : Xét phương trình x + 2 ( m-1 ) x – ( 2 m + 5 ) = 0P hương trình có 2 nghiệm �  ’ = ( m-1 ) 2 + 2 m + 5 = mét vuông + 6 > 0 với mọi mVậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m + Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1  x2   2 ( m  1 ) ( 1 ) x1. x2   2 m  5 ( 2 ) Thay ( 1 ) và ( 2 ) vào B : B = 12-10 x1x2 ) – ( x12 + x22 ) = 12-8 x1x2 – ( x1 + x2 ) 2 = 12 + 8 ( 2 m + 5 ) – 4 ( m-1 ) 2 = – 4 mét vuông + 24 m + 48 = – ( 2 m – 6 ) 2 + 84 � 84V ậy GTLN của B = 84 � m = 317V í dụ 3 : Cho phương trình x2-2 ( m-1 ) x – ( 2 m + 5 ) = 0. Tìm m để phương trình cóhai nghiệm x1, x2 thoả mãn bất đẳng thức : x1 + x2 + 2×1 x2 � 6G iải : Xét phương trình x – 2 ( m-1 ) x – ( 2 m + 5 ) = 0P hương trình có 2 nghiệm �  ’ = ( m-1 ) 2 + 2 m + 5 = mét vuông + 6 > 0 với mọi mVậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m + Theo hệ thức Vi-ét ta có : x1  x2  2 ( m  1 ) ( 1 ) x1. x2   2 m  5 ( 2 ) Thay ( 1 ) và ( 2 ) vào bất đẳng thức : x1 + x2 + 2×1 x2 � 6 � 2 ( m-1 ) – 2 ( 2 m + 5 ) � 6 � 2 m – 2-4 m – 10 � 6 � – 2 m � 18 � m � – 9V ậy m � – 9 là điều kiện kèm theo cần tìmBài tập vận dụng : 1 / Cho phương trình : x2 + ( 4 m + 1 ) x + 2 ( m – 4 ) = 0. Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ nhất. 2 / Cho phương trình : x2 – 2 ( m – 4 ) x + mét vuông – 8 = 0. Xác định m sao 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo : a / A  x1  x2  3×1 x2 đạt giá trị lớn nhất. b / B  x12  x2 2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. 3 / Cho phương trình : x2 – ( 2 m – 1 ) x + m ( m-1 ) = 0 ( 1 ). a / Chứng minh phương trình ( 1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi mb ) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ( 1 ) ( với x1 < x2 ). Chứng minh x12  2 x2  3 � 0. ( Đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông tỉnh Thanh Hóa năm học 2011 – 2012 ) IV. KIỂM NGHIỆMSau khi dạy xong cho học sinh phần kiến thức và kỹ năng này và tích hợp với việc rènluyện giải 1 số ít bài tập tôi nhận thấy : – Học sinh nắm chắc những yếu tố tương quan đến phương trình bậc hai và hệthức Vi-ét. – Học sinh biết phân biệt và nhận dạng từng loại bài tập và vận dụng linhhoạt được kiến thức và kỹ năng đã học để giải toán … – Học sinh làm bài và trình diễn bài khoa học, lập luận ngặt nghèo. – Kết quả kiểm tra học 30 sinh lớp 9A năm học 2013 – năm trước sau khi ứng dụngnhư sauGiỏiKháTBYếuKémLớp TSHSSLSLSLSLSL9A307 23.3 10 33.4 11 36.7 26.6 C. KẾT LUẬN18I. KẾT LUẬNQua điều tra và nghiên cứu lý luận và vận dụng những giải pháp đã làm tại trường trunghọc cơ sở Nga An tôi tự rút ra Kết luận sau đây : Đa số những em học viên khá, giỏi đều rất muốn được lan rộng ra, nâng cao kiếnthức nhưng những em không biết bằng cách nào, đọc sách nào là tốt vì sách thamkhảo rất nhiều loại. Vì vậy giáo viên cần điều tra và nghiên cứu tìm cách hướng dẫn họcsinh cách tự học ở nhà, tự chọn sách tìm hiểu thêm, … Tạo cho học viên niềm mê hồn hứng thú trong học tập, sự thương mến đối vớibộ môn toánXây dựng được kế hoạch tổ chức triển khai tu dưỡng học viên giỏi, phụ đạo họcsinh yếu trong những tiết dạy chính khóa và ngoài giờLàm tốt công tác làm việc biểu dương khen thưởng so với những học viên có nhiềutiến bộ trong học tập. Cần nâng cao nhận thức cho giáo viên, học viên, cha mẹ về mục tiêu, ýnghĩa, vai trò của môn toán trong nội dung chương trình THCS.Mong rằng đề tài : “ Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải những bài toán về phươngtrình bậc hai ” sẽ góp thêm phần giúp những em thêm kỹ năng và kiến thức, biết ứng dụng hệ thứcVi-ét vào giải những bài toán về phương trình bậc hai để những em thêm tự tin trongcác kỳ thi tuyển. II. ĐỀ XUẤTTrên đây là một số ít kinh nghiệm tay nghề và giải pháp nhằm mục đích giúp học viên vậndụng tốt hơn những ứng dụng của hệ thức Vi-ét so với học viên lớp 9 tại trườngTHCS Nga An mà tôi đã vận dụng trong thời hạn qua, nó đã đem lại những kếtquả nhất định. Tuy nhiên trong quy trình tổ chức triển khai chắc như đinh không tránh khỏithiếu sót rất mong sự góp phần của những chiến sỹ đồng nghiệp để chất lượnggiáo dục của nhà trường nói chung và môn toán nói riêng ngày một vững chắchơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày 10 tháng 4 năm 2014T ôi xin cam kết ràng buộc đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dungcủa người khác. Người thực hiệnTrịnh Thị Trang19

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments