Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng cực hay

Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng cực hay

Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng cực hay

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

1. Định lý: Cho hàm số y=f(x) liên tục, không âm trên [a;b]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và 2 đường thẳng x=a, x=b là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Bài toán liên quan

    Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Chú ý:

– Nếu trên đoạn [ a ; b ], hàm số f ( x ) không đổi dấu thì :
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
– Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

    Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), x=h(y) và hai đường thẳng y=c, y=d được xác định:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị (C1): f1(x), (C2):f2(x) là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Trong đó : x1, xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình f ( x ) = g ( x )

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P):y=3-x2, đường thẳng y=-2x+3, trục tung và x=1.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm: 3-x2=-2x+3 ⇔ x2-2x=0Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Diện tích cần tìm được tính bằng công thức sau đây :
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Quảng cáo

Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=-2×2 và y=-2x-4.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của y = – 2×2 và y = – 2 x – 4 là :

-2×2=-2x-4 ⇔ -2×2+2x+4=0Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 3: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3-3x và y=x

Hướng dẫn:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm x3-4x=0 Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Diện tích
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=2x-x2 và đường thẳng x+y=2

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 + x-1 và y = x4 + x-1 là

x2+x-1=x4+x-1 ⇔ x2 (x2-1)=0Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ta có: x2 (x2-1) ≤ 0 ∀x ∈ [-1;1]. Do đó:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường x3-x và y=x-x2.

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm
x3-x = – x2 + x ⇔ x = 0 ; x = – 2 ; x = 1
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Quảng cáo

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=cosx; Ox; Oy; x=π

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx và trục Ox ( y = 0 ) là :
cosx = 0 ⇔ x = π / 2 + kπ ( k ∈ Z )
Xét trên [ 0 ; π ] nên x = π / 2 .
Do đó
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 4: Tính Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ex; y=1 và x=1

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ex và trục y = 1 là :
ex = 1 ⇔ x = 0 .
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=(e+1)x ,y=(1+ex )x

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ( e + 1 ) x và y = ( 1 + ex ) x là :

(e+1)x = (1+ex )xCác dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=sin2x,y=cosx và hai đường thẳng x=0 ,x=π/2

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = sin2x và y = cosx là :
sin2x = cosx ⇔ cosx. ( 2 sinx – 1 ) = 0
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Xét trên [ 0 ; π / 2 ] nên nhận x = π / 6
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 7: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y=√x và y=x2

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm sốy = √ xvà y = x2 là :

x2=√x ⇔ x=x4 ⇔ x4-x=0Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ta có : x2 – √ x ≤ 0, ∀ x ∈ [ 0 ; 1 ]. Do đó :
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=sinx; y=cosx; x=0; x=π

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = sinx ; y = cosx ; x = 0 ; x = π là :
sinx = cosx ⇔ tanx = 1 ⇔ x = π / 4 + kπ, k ∈ Z
Vì x ∈ [ 0 ; π ] nên x = π / 4 .
Ta có : sinx-cosx ≤ 0, ∀ x ∈ [ 0 ; π / 4 ] ; sinx-cosx ≥ 0, ∀ x ∈ [ π / 4 ; π ]
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởiCác dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hiển thị đáp án

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2 x và đồ thị hàm số y = 8 / x là
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Diện tích hình phẳng cần tìm là :
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Rate this post
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments