Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng – Giáo Án, Bài Giảng

Bất đẳng thứclà một trong những nội rất hay nhưng khá khócủa Toán học .Nó lôi cuốn sự chăm sóc nghiên cứu và điều tra của rất nhiều nhà Toán học lớn, và cũng từ đónhiềubất đẳng thức haygắn liền vớitên tuổi của những nhà Toán học nổi tiếng

được ra đời như BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur, Trong đó nổi bật

hơn cả mà chúng không hề không nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ) ,do tại BĐT Côsi là một bất đẳng thức đơn thuần, gần gủi nhưnglại là một bất đẳngthức mạnh và có sự ứng dụng rộng rãitrong Toán học cũng như trong nhiềulĩnhvực khoa học tự nhiên khác .

pdf21 trang | Chia sẻ : manphan| Lượt xem : 6709| Lượt tải : 8download

Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 1 MỤC LỤC MỤC LỤC ………………………………………………………………………………………………. 1 MỞ ĐẦU ………………………………………………………………………………………………… 2 NỘI DUNG. …………………………………………………………………………………………….. 3 I. Ứng dụng của BĐT Côsi trong chứng tỏ BĐT. …………………………….. 4 II. Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi ……………………………………………….. 9 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong c / m những BĐT có điều kiện kèm theo …………. 9 2. Kỹ thuật tách-ghép Côsi …………………………………………………… 13 III. Ứng dụng của BĐT Côsi trong bài toán Max-Min ………………………… 15 KẾT LUẬN ……………………………………………………………………………………………. 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………………………………… 21 Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 2 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức là một trong những nội rất hay nhưng khá khó của Toán học. Nó lôi cuốn sự chăm sóc điều tra và nghiên cứu của rất nhiều nhà Toán học lớn, và cũng từ đó nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi của những nhà Toán học nổi tiếng được sinh ra như BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur, Trong đó điển hình nổi bật hơn cả mà chúng không hề không nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ), chính do BĐT Côsi là một bất đẳng thức đơn thuần, gần gủi nhưng lại là một bất đẳng thức mạnh và có sự ứng dụng thoáng đãng trong Toán học cũng như trong nhiều nghành khoa học tự nhiên khác. Trong chương trình Toán học đại trà phổ thông, yếu tố bất đẳng thức được xem là một nội dung hóc búa nhất. Khi điều tra và nghiên cứu, tìm hiểu và khám phá và học tập nội dung này hầu hết tất cả chúng ta đều quan ngại và không thật sự cảm thấy thú vị với nó. Tuy nhiên, bài toán bất đẳng thức lại là một bài toán phần đông góp mặt không thiếu trong những kì thi HSG cũng như trong những kì thi tuyển sinh Đại học. Như thế, chẳng lẽ khi gặp một bài toán BĐT trong một kì thi nào đó tất cả chúng ta lại bỏ lỡ và thuận tiện đầu hàng nó hay sao ? Để giúp cho người học có cái nhìn thiện cảm và không còn lo lắng yếu tố này nhiều toán học cũng như những người làm toán đã điều tra và nghiên cứu, tìm tòi phát minh sáng tạo và hình thành nên những chiêu thức chứng tỏ bất đẳng thức. Khi điều tra và nghiên cứu và khai thác BĐT Côsi, tôi thấy tâm đắc với hai kỹ thuật chứng tỏ BĐT rực rỡ, đó là kĩ thuật “ chọn điểm rơi ” và kỹ thuật “ tách-ghép Côsi ”. Với hai kỹ thuật này tất cả chúng ta hoàn toàn có thể vận dụng để chứng tỏ được rất nhiều bất đẳng thức mà thoạt nhìn tất cả chúng ta sẽ tưởng rất khó khăn vất vả. Với mong ước trao đổi kiến thức và kỹ năng trình độ cũng như kinh nghiệm tay nghề học toán và dạy toán cùng đồng nghiệp, trong chuyên đề “ Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng ” này, tôi trình diễn cụ thể hai kỹ thuật chứng tỏ trên và bộc lộ một cách đơn cử hai kỹ thuật đó qua những ví dụ và bài toán. Hy vọng đây là một tài liệu trình độ có giá trị. Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 3 NỘI DUNG  Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức ( BĐT ) Côsi cho hai số không âm : Định lý 1 : Cho hai số thực không âm a và b, ta có : 2 2 a b ab   ( 1 ) Đẳng thức xảy ra a b   ( Việc chứng tỏ BĐT này là khá đơn thuần ). BĐT ( 1 ) còn có nhiều cách trình diễn khác như sau : 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ) ( ) ( 3 ) 2 ( 4 ) 2 a b ab a ba b a bab               BĐT Côsi cho ba số không âm : Định lí 2 : Với ba số thực không âm a, b và c ta có : 3 ( 5 ) 3 a b c abc    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. a b c   Chứng minh : Chứng minh ( 5 ) có nhiều cách. Sau đây là một số ít cách chứng tỏ phát minh sáng tạo Cách 1 : Sử dụng BĐT cho hai cặp số không âm (, ) a b và 3 (, ) c abc ta được : 3 3 3 3 3 3 2 2 4. 4 3 3 3 a b c abc ab c abc ab c abc abc a b c abc a b c abc                      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. a b c   Cách 2 : Trước hết ta chứng tỏ BĐT Côsi cho bốn số a, b, c, d không âm. Ta có 4 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2. 2 4 a b c d a b c d a b c d ab cd abcd             4 ( * ) 4 a b c d abcd      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. a b c d    Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 4 Bây giờ, ta đặt 3 a b cd   . Ta có 4 4 4 4 3 3 4 3 3 4 ( ) 4 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b ca b c abc a b c a b c a b c a b cabc abc a b c a b c a b c a b cabc abc abc                                               Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. a b c    Tổng quát : Cho n số thực không âm 1 2, , … ,. na a a Ta có 1 2 1 2 … ( 6 ) n n n a a a a a a n        Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 na a a      . ( BĐT này được chứng tỏ bằng giải pháp qui nạp theo n ).  Một số quan tâm khi sử dụng BĐT Côsi : i ) Khi vận dụng BĐT Côsi thì những số phải không âm. ii ) BĐT Côsi thường được vận dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng tỏ có tổng và tích. iii ) Điều kiện xảy ra dấu “ = ” là những số bằng nhau. SAU ĐÂY CHÚNG TA XÉT MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BĐT CÔSI I. Ứng dụng của BĐT Côsi trong chứng tỏ BĐT.  Ví dụ 1 : Cho hai số thực không âm a và b. Chứng minh : ( ) ( 1 ) 4 a b ab ab    Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có : 2 1 2 a b ab ab ab         . Suy ra ( ) ( 1 ) 2. 2 4 a b ab ab ab ab    . Đẳng thức xảy ra 1. 1 a b a b ab           Ví dụ 2 : Cho hai số thực không âm a và b. Chứng minh : 1 1 ( ) 4. a b a b          Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có : 2 1 1 2 a b ab a b ab         . Suy ra 1 1 2 ( ) 2. 4 a b ab a b ab          . Đẳng thức xảy ra. a b   Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 5 Nhận xét : BĐT sau còn được viết lại dưới dạng sau : 1 1 4 ( I ) a b a b    hoặc 1 1 1 1 ( I ‘ ) 4 a b a b         . Các BĐT này có rất nhiều ứng dụng trong việc chứng tỏ những BĐT. Sau đây tất cả chúng ta xét 1 số ít ứng dụng đó :  Bài toán 1.1 : Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 12 p a p b p c a b c               Giải. Áp dụng BĐT ( I ) ta có : 1 1 4 4 4 2 ( ) p a p b p a p b p a b c             Tương tự, ta cũng có : 1 1 4 p b p c a     và 1 1 4 p c p a b      Cộng những BĐT này vế theo vế, ta được : 1 1 1 1 1 12 4 1 1 1 1 1 12 p a p b p c a b c p a p b p c a b c                                    Đẳng thức xảy ra 1 1 1 a b c p a p b p c            đều ( đpcm ).  Bài toán 1.2 : Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c a b c a b c               Giải. Áp dụng BĐT ( I ) ta có : 1 1 4 2 3 2 2 4 2 2 a b a b c a b c a b c           Tương tự, ta có : 1 1 2 3 2 2 b c a b c a b c        và 1 1 2 3 2 2 c a a b c a b c        Cộng ba BĐT trên ta có đpcm.  Bài toán 1.3 : Cho, , 0. x y z  Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 x y z x y z x y z x y z                  Giải. Áp dụng BĐT ( I ’ ) ta có : 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) 4 16 x y z x y x z x y x z x y z                          Tương tự ta có : 1 1 1 2 1 2 16 x y z x y z            và 1 1 1 1 2 2 16 x y z x y z            Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 6 Cộng những BĐT này ta được : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. x y z    Bài toán 1.4 : Cho a, b dương và 1. a b   Chứng minh : 2 2 1 1 1 3 a b a b     Giải. Ta có 2 21 1 1 1 1 1 ( 2 ) 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 a bVT a b a a b b a b a b                        Mặt khác, theo BĐT ( I ’ ) ta có : 1 1 4 4 1 1 2 3 a b a b        Do đó, 4 11 3 3 VT      Đẳng thức xảy ra 1 2 a b    ( đpcm ).  Ví dụ 3 : Cho, , 0. a b c  Chứng minh rằng : 1 1 1 ( ) 9. a b c a b c            Giải. Áp dụng BĐT cho ba số dương ta có : 3 3 3 3 3 1 1 1 1 ( ) 3. 3 91 1 1 13 a b c abc a b c abc a b c abc a b c abc                         Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. a b c   Nhận xét : BĐT trên còn được viết lại dưới những dạng sau : 1 1 1 9 ( II ) a b c a b c      hoặc 1 1 1 1 1 ( II ‘ ) 9 a b c a b c           . Từ những BĐT ( I ) và ( II ) ta hoàn toàn có thể tổng quát thành BĐT sau : “ Cho n số thực dương 1 2, , … ,. na a a Ta có 2 1 2 1 2 1 1 1 ( III ) n n n a a a a a a             . Đẳng thức xảy ra 1 2. na a a        ” Bất đẳng thức ( III ) được sử dụng nhiều trong những bài toán chứng tỏ BĐT. Sau đây là 1 số ít ứng dụng của nó.  Bài toán 1.5 : Cho ba số thực dương, ,. a b c Chứng minh rằng : 3 2 a b c b c c a a b       1 1 1 1 4 4 4 2 2 2 16 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z                                    Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 7 Chú thích : BĐT này có tên gọi là BĐT Nesbit cho ba số dương. Có nhiều cách để chứng tỏ BĐT này, sau đây là một số ít cách Cm có sử dụng BĐT Côsi. Cách 1 : Biến đổi vế trái của BĐT cần chứng tỏ như sau :   1 1 1 3 1 1 1 ( ) 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 3 2 a b cVT b c c a a b a b c b c c a a b a b b c c a b c c a a b                                                              Do đó vận dụng BĐT ( II ) cho ba số, , a b b c c a    ta có 1 39 3 2 2 VT     Đẳng thức xảy ra. a b b c c a a b c         BĐT được chứng tỏ. Cách 2 : Đặt, , X b c Y c a Z a b      . Lúc đó ta có : o 1 ( ) 2 a b c X Y Z      o ; ; 2 2 2 Y Z X Z X Y X Y Za b c          Do đó 1 3 2 X Y Z X Z YVT Y X X Z Y Z                               . Mà theo BĐT Côsi ta có 2, , 0. x y x y y x     Suy ra 1 3 ( 2 2 2 3 ) 2 2 VT      ( đpcm ).  Bài toán 1.6 : Cho, , 0 a b c  và 1. a b c    Chứng minh rằng : 3 1 1 1 4 a b c a b c        Giải. Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 1 1 1 1 1 a b cVT a b c a b c                          Áp dụng BĐT ( II ) ta có : 1 1 1 9 9 1 1 1 3 4 a b c a b c            Do đó 9 33 4 4 VT     Đẳng thức xảy ra khi 1 3 a b c     Nhận xét : Bài toán trên là một trường hợp đặc biệt quan trọng của bài toán tổng quát sau : “ Cho n số thực dương 1 2, , …, na a a và 1 1 n i i a   . Khi đó, ta có : 1 2 1 21 1 1 1 n n a a a n a a a n            ” Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 8 BĐT này được chứng tỏ theo cách của bài toán trên tích hợp với việc sử dụng BĐT ( III ).  Bài toán 1.7 : Cho ba số dương a, b, c sao cho 2 2 2 3 a b c   . Chứng minh rằng : 1 1 1 3 1 1 1 2 ab bc ca       Giải. Ta có 2 2 2 3.ab bc ca a b c       Áp dụng BĐT ( II ), ta có : 2 2 2 1 1 1 9 9 9 3 1 1 1 3 3 3 3 2 ab bc ca ab bc ca a b c                 Bất đửng thức được chứng tỏ.  Bài toán 1.8 : Cho x, y, z là ba số dương và 1 x y z   . Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82 x y z x y z       Giải. Trước hết ta có 2 2 1 1 1 ( ) VT x y z x y z             ( Hd : Sử dụng pp véctơ ) Do đó 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 81 ( ) 80 ( ) 1 1 118 ( ) 80 ( ) 162 80 82 VT x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z                                             Suy ra 82VT . Đẳng thức xảy ra khi 1 3 x y z      Bài toán 1.9 : Cho, , 0 a b c  và 1. a b c    Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 1 30. a b c ab bc ca       Giải. Áp dụng BĐT ( II ), ta có : 1 1 1 9. ab bc ca ab bc ca      Suy ra 2 2 2 2 2 2 1 9 1 1 1 7 VT a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca                   Mặt khác, ta có : 21 1 7 ( ) 21 3 3 ab bc ca a b c ab bc ca           Tiếp tục vận dụng BĐT ( II ), ta có : Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 2 ( ) 1 1 1 9 9 ( ) a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca a b c                            Do đó 9 21 30VT   . Đẳng thức xảy ra 1 3 a b c      II. Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi trong chứng tỏ BĐT. 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng những BĐT có điều kiện kèm theo.  Bài toán 2.1 : Cho a, là những số dương sao cho 1. a b   Chứng minh những bất đẳng thức sau : a ) 2 2 1 2 a b  , b ) 4 4 1 8 a b  , c ) 8 8 1 128 a b   Giải. Các BĐT này hoàn toàn có thể chứng tỏ như sau : a ) Áp dụng BĐT ( 2 ), ta có : 2 2 2 ( ) 1 2 2 a ba b     b ) Áp dụng BĐT ( 2 ) hai lần liên tục, ta có : 22 2 2 2 4 4 ( ) ( ) 12 2 2 8 a b a ba b             c ) Áp dụng BĐT ở b ), ta có :   2 24 4 8 8 1 18 2 2 128 a b a b            Nhận xét :  Các BĐT là những trường hợp riêng của BĐT tổng quát sau : “ Cho a và b là những số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 2 n n na b   , với mọi * n   ” BĐT này được chứng tỏ bằng chiêu thức qui nạp theo n.  Nếu thay giả thiết 1 a b   bằng giả thiết a b   , ta có những BĐT sau : a ’ ) 2 2 2 2 a b    b ’ ) 4 4 4 8 a b    c ’ ) 8 8 8 128 a b    Và, ta cũng có BĐT tổng quát sau : 2 2 2 2 12 n n n na b      Một sự hạn chế của chiêu thức này là chỉ chứng tỏ được cho trường hợp số mũ của a và b là số chẵn. Bây giờ, cho a và b là những số dương thỏa 1 a b  , ta hãy xét những BĐT sau : a ) 3 3 1 4 a b   b ) 5 5 1 16 a b   c ) 9 9 1 256 a b   Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 10 Ta nhận thấy rằng đây là những bất đẳng thức đối xứng, nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. a b  Do đó nếu 1 a b   thì chắc như đinh đẳng thức xảy ra khi 1 2 a b  . Từ đó giúp ta hình thành một cách chứng tỏ như sau : a ) Áp dụng BĐT Côsi, ta có : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 13. 2 2 4 1 3 14 ( ) 6. 2 4 21 1 13. 2 2 4 1 12 2 4 a a a b a b b b a b                                                                  Đẳng thức xảy ra 1 2 a b     b ) Áp dụng BĐT Côsi, ta có : 5 5 5 5 4 5 5 4 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 15. 2 2 2 2 2 1 18. 5 ( ) 2 21 1 1 1 15. 2 2 2 2 2 1 1 18. 10. 2 2 2 2 a a a b a b b b a b a b                                                                                                                         1 16 Đẳng thức xảy ra 1 2 a b   . c ) Áp dụng BĐT Côsi, ta có : 99 8 9 9 8 8 9 9 99 8 9 8 9 9 9 9 9 9 9 1 1 19. 2 2 2 1 116. 9 ( ) 2 21 1 19. 2 2 2 1 1 1 116. 18. 2 2 2 2 256 ht ht a a a b a b b b a b a b                                                                                                                     Đẳng thức xảy ra 1 2 a b     Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 11 Tổng quát : Ta có bài toán sau : “ Cho a và b là hai số thực dương và a b   . Khi đó ta có * 1 1 ( ). Hay ,. 2 2 n n n n n n n n a ba b a b n            Đẳng thức xảy ra 2 a b     ” Chứng minh. 1 1 ( 1 ) 1 ( 1 ). 2 2 2 2 ( 1 ). ( ) 2 2. 2 2 2 2 ( 1 ). 2. 2 2 nn n n n n n ht n n nn n n n ht n n n n n a na a b n n a b b nb a b n n a                                                                                                                              12 2 2 n n n nb             Bây giờ ta thử tăng thêm một biến ở vế trái. Khi đó với, , 0 ;. a b c a b c      Ta hãy xét cá BĐT sau : a ) 2 2 2 a b c A    b ) 3 3 3 a b c B    c ) n n na b c N    Với kĩ thuật tương tự như như trên ta trọn vẹn hoàn toàn có thể chỉ ra được 2 3 1 3 9 3 n n A B N                  Từ những trường hợp riêng trên, ta thử tổng quát thành một bài toán lớn : Bài toán : Cho k số thực dương 1 2, , …, ka a a thỏa 1 2. ka a a         Chứng minh rằng : 1 2 1 n n n n k na a a k        . Hay 1 2 1 2 nn n n k na a a a a a k k                    với mọi *. n   Đẳng thức xảy ra khi nào ? Chứng minh. Áp dụng BĐT Côsi, ta có : Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 12 1 1 1 ( 1 ) 1 2 2 ( 1 ) 1 ( 1 ). .. n n n n n ht n n n n n ht n n n n k k n ht a na k k k a na k k k a na k k k                                                                                                                                          1 1 1 1 2 1 1 1 ( 1 ). . ( 1 ). n nk k n i i i i n n n nk k n n n n n i i k n i i a k n n a k k a k n kn a a a a k k k k k                                                                  Hay * 1 2 1 2 ,. n nn n n k ka a a a a a n k k k                               ( IV ) Đẳng thức xảy ra 1 2 ka a a k        . BĐT ( IV ) được sử dụng rất nhiều trong chứng tỏ những BĐT. 2. Kĩ thuật tách-ghép Côsi.  Bài toán 2.2 : Cho, , 0. a b c  Chứng minh rằng : 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a c         Giải. Áp dụng BĐT Côsi, ta có : 2 2 2. 4 4 a b c a b c a b c b c         Tương tự, ta có : 2 2 và. 4 4 b c a c a bb c c a a b         Cộng những BĐT trên ta được : 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c b c c a a c a b c a b c b c c a a c                     Đẳng thức xảy ra. a b c    Nhận xét :  Trong bài toán trên, tại sao tất cả chúng ta lại ghép 2 ? 4 a b c b c    Mục đích của việc ghép này là làm mất những biến ở mẫu vì VP của BĐT là một biểu thức Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 13 không chứa biến ở mẫu. Nhưng tại sao lại ghép 2 a b c  với 4 b c  chứ không phải là hay 2 b cb c  , điều này xuất phát từ điều kiện kèm theo để BĐT xảy ra đó là. a b c    Nếu 1 abc  thì 3 a b c    nên BĐT trở thành 2 2 2 3 2 a b c b c c a a c        Phương pháp trên được sử dụng rất nhiều trong chứng tỏ BĐT.  Bài toán 2.3 : Cho, , 0 và 1. a b c abc   Chứng minh rằng 3 3 3 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4 a b c a b b c c a          Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có : 3 3 3 1 1 1 1 33 ( 1 ) ( 1 ) 8 8 ( 1 ) ( 1 ) 8 8 4 a a b a a b a a b a b             Tương tự ta có : 3 1 1 3 ( 1 ) ( 1 ) 8 8 4 b b c b b c        và 3 1 1 3 ( 1 ) ( 1 ) 8 8 4 c c a c c a        Cộng ba BĐT ta được : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4 4 2 ( ) 3 2.3 3 3 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4 4 4 a b c a b c a b c a b b c c a a b c a b c abc a b b c c a                                Đẳng thức xảy ra. a b c     Bài toán 2.4 : Cho, , 0. a b c  Chứng minh rằng : 4 4 4 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b a b c         Giải. Áp dụng BĐT Côsi ta cho bốn số dương ta có : 4 4 4 2 2 4 2 ( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4 a b b c a a b b c a a b c a b c a             Tương tự, ta có : 4 4 4 2 2 4 4 4 2 2 4 2 ; ( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4 4 2. ( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4 b c c a b b c c a b b c a b c a b c a a b c c a a b c c a b c a b c                         Cộng những BĐT trên ta được : 2 ( ) 2 2 a b c a b cVT a b c a b c VT              Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 14 4 4 4 2 2 2H ay ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b a b c        . Đẳng thức xảy ra. a b c     Bài toán 2.5 : Cho, , 0 x y z  và 1 xyz . Chứng minh rằng : 3 3 3 x y z x y z      Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực không âm, ta có : 3 331 1 3. 3 x x x    . Tương tự ta có : 3 3 3 3331 1 3. 3 và 1 1 3. 3 y y y z z z         Cộng những BĐT này ta được : 3 3 3 6 3 ( ) x y z x y z       Mặt khác : 33 3 2 ( ) 6 x y z xyz x y z         Do đó 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 3 ( ) 6 2 ( ). x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z                       Đẳng thức xảy ra 1. x y z     Nhận xét :  Xuất phát từ 33 x x  nên ta vận dụng BĐT Côsi cho ba số có dạng 3 x a a  . Do đẳng thức xảy ra khi 1 x y z    nên 1. a   Tổng quát, ta có bài toán sau : “ Cho k số thực 1 2, , …, ka a a không âm và có tích bằng 1. Chứng minh rằng : 1 2 1 2 ,. m m m n n n k ka a a a a a m n                ” Giải. Với mỗi 1, i k . Ta vận dụng BĐT Côsi cho m số, gồm n số mia và ( ) m n  số 1, ta có : ( ) ( ) 1 1. m m m mn nmi i i i i m nn na m n a a m a m a                           . Cho i chạy từ 1 đến k rồi lấy tổng hai vế những BĐT đó, ta được : 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m n n n n n n k k kn a a a k m n n a a a m n a a a                        Mà 1 2 1 2 1 2. … ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n nk k k ka a a k a a a k m n a a a m n k                   Do đó 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) m m m n n nk k m m m n n n k k n a a a n a a a a a a a a a                            Đẳng thức xảy ra 1 2 1.ka a a         BĐT được chứng tỏ.  Bài toán 2.6 : Cho a, b và c là ba số dương sao cho 1 abc . Chứng minh rằng : Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 15 1 1 1 27 1 1 1 8 a b c a b c                            Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có : 1 1 1 1 34 1 3 3 3 1 2 4 4 2 a a a a a aa                 . Tương tự ta có : 1 3 1 3 và 1 2 1 2 b b c c b c      . Nhân những BĐT này vế theo vế, ta được : 1 1 1 27 27 1 1 1 8 8 a b c abc a b c                             Đẳng thức xảy ra 1. a b c     BĐT được chứng tỏ. III. Ứng dụng của BĐT Côsi trong bài toán Max-Min.  Bài toán 3.1 : Cho ba số dương x, y, z thỏa 1. x y z    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 1 1A x y z x y z       Giải. Theo BĐT Côsi ta có : 1 1 1 1 11 1 9 8 1 1 1 8 9 x y z x y z x y z x y z                           Và 1 2 1 2 1 2, , 9 3 9 3 9 3 x y z x y z        Từ đó ta có : 1 1 1 8 1 1 1 2 2 2 8 10 9 9 9 9 3 3 3 A x y z x y z x y z                                       Đẳng thức xảy ra 1 3 x y z     Vậy min 10A  đạt được khi 1 3 x y z      Bài toán 3.2 : Cho ba số dương x, y, z thỏa 1.xyz  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 3 3 3 3 3 31 1 1 x y y z z xP xy yz zx          Giải. Áp dụng BĐT Cối cho ba số dương ta có : 3 3 3 3 3 33 1 31 3 3 x yx y x y xy xy xy        . Tương tự, ta có : 3 3 3 31 3 1 3, y z z x yz zxyz zx       Chuyeân ñeà “ Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng ” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 16 Cộng những BĐT trên ta được : 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3. x y y z z xP xy yz zx xy yz zx xy yz zx xyz                  Đẳng thức xảy ra 1. x y z     Vậy min 3 3P  đạt được khi 1. x y z     Bài toán 3.3 : Cho ba số, , x y z thỏa 0. x y z    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 3 4 3 4 3 4 x y zA       Giải. Ta có 84 43 4 1 1 1 4 4 4 3 4 4 4 2 4 x x x x x x           Tương tự ta có : 8 83 4 2 4, 3 4 2 4 y y z
File đính kèm :

  • pdfBDT Cauchy va ung dung.pdf
5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments