Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ————————————————————————————-

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản không thiếu của tài liệu tại đây ( 220.32 KB, 52 trang )

ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC

Chương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bản.

1.1. Dạng giải tích và dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

1.2. Định lý Banach – Steinhauss.

Chương 2. Tôpô yếu và các không gian đặc biệt.

2.1. Tôpô yếu và tôpô yếu*.

2.2. Các không gian đặc biệt: phản xạ, khả ly, lồi đều.

Chương 3. Không gian Hilbert.

3.1. Định nghĩa, tính chất cơ bản. Hình chiếu xuống tập lồi đóng.

3.2. Định lý Stampacchia và Lax-Milgram.

2

Chương 4. Các không gian Lp.

4.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản.

4.2. Tính phản xạ, khả ly của Lp. Đối ngẫu của Lp.

4.3. Tiêu chuẩn compact mạnh trong Lp.

Chương 5. Toán tử compact. Phân tích phổ của toán tử tự

liên hợp compact.

5.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản.

5.2. Định lý Riesz – Fredholm.

5.3. Phân tích phổ của toán tử compact.

5.4. Phân tích phổ của toán tử tự liên hợp.

3

Đánh giá, kiểm tra.

Thi giữa học kỳ: hình thức viết (20%)

Seminar trên lớp (30%)

Thi cuối kỳ: hình thức vấn đáp (50%)

4

Tài liệu tham khảo

1. Haim Brezis. Giải tích hàm: lý thuyết và ứng dụng. Nguyễn Thành

Long và Nguyễn Hội Nghĩa dịch, NXB ĐHQG tp. HCM, 2002.

2. Hoàng Tụy. Giải tích hiện đại, tập 1,2,3. NXB Giáo dục, 1978.

3. Nguyễn Xuân Liêm. Giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997.

4. Nguyễn Xuân Liêm. Bài tập giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997.

5. Dương Minh Đức. Giải tích hàm. NXB ĐHQG tpHCM, 2000.

6. Walter Rudin. Functional analyse. MC Graw – Hill Book

company, 2000.

7. N.I. Vilenkin. Functional analysis. Netherlands, 1972.

5

Nội dung

————————————————————————————————————————–

0.1 – Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.

0.2 – Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

0.3 – Định lý Banach-Steinhauss.

6

1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.

——————————————————————————————————————-

Định nghĩa

Hàm thực ϕ trên không gian tuyến tính X được gọi là hàm

dưới tuyến tính (sơ chuẩn), nếu

1. (∀x1, x2 ∈ X ) ϕ ( x1 + x2 ) ≤ ϕ ( x1 ) + ϕ ( x2 )

2. (∀x ∈ X, α ≥ 0) ϕ (α x) = αϕ ( x)

Định nghĩa

Ánh xạ tuyến tính f từ không gian tuyến tính X vào tập số

thực R được gọi là phiếm hàm tuyến tính.

7

1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.

——————————————————————————————————————-

Định nghĩa

Cho S là tập hợp, trong đó giữa một số cặp phần tử a, b của

nó có xác định một quan hệ < sao cho: 1. a < a (phản xạ) 2. a < b và b < c suy ra a < c (bắc cầu) 3. a < b và b < a suy ra a = b (phản xứng) Khi đó quan hệ < được gọi là quan hệ thứ tự trên tập S và S được gọi là sắp một phần theo thứ tự đó. 8 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. ——————————————————————————————————————- Định nghĩa Cho S là tập hợp được sắp một phần theo thứ tự
hợp con P được gọi là sắp toàn phần (sắp tuyến tính) nếu

(∀a, b ∈ P) a < b ∨ b < a Định nghĩa Một phần tử a ∈ S được gọi là cận trên của tập hợp P nếu (∀b ∈ P) b < a Một phần tử m ∈ S được gọi là phần tử tối đại của S nếu (∀a ∈ S, m < a ) m = a 9 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. ——————————————————————————————————————- Bổ đề Zorn Nếu S là tập được sắp một phần và mọi tập con được sắp tuyến tính của S đều có cận trên, thì S phải có một phần tử tối đại. 10 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. ——————————————————————————————————————- Định lý Hahn-Banach Cho X là không gian tuyến tính thực, M – không gian con của X. f là một phiếm hàm tuyến tính trên M. Nếu tồn tại một hàm dưới tuyến tính ϕ : X → R, sao cho ∀x ∈ M : f ( x) ≤ ϕ ( x) thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F : X → R, sao cho 1. (∀x ∈ M ) F ( x) = f ( x ) 2. (∀x ∈ X ) F ( x) ≤ ϕ ( x) 11 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. ——————————————————————————————————————- Các bước chứng minh Trong tập hợp G tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con của X ta đặt một quan hệ < như sau: ( g1, g 2 ∈ G ) g1 < g 2 ⇔ 1. Dg1 ⊂ Dg2 2. (∀x ∈ Dg1 ) g1 ( x) = g 2 ( x) 3. (∀x ∈ Dg2 ) g 2 ( x) ≤ ϕ ( x) S = {g ∈ G | g < f } Kiểm tra S là tập được sắp một phần. 12

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments