Tổng hợp Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

Hệ thức Viet và ứng dụng là một trong những chuyên đề cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán 9 và thi tuyển sinh vào lớp 10. Vậy cụ thể hệ thức Viet là gì? Những ứng dụng của hệ thức Viet ? Cách giải hệ thức Viet như nào?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.COM.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

Hệ thức Viet là gì?

Hệ thức Viet do nhà Toán học François Viète tìm ra, nói lên mối quan hệ giữa các nghiệm với các hệ số của đa thức. Trong chương mình phổ thông thì hệ thức Viet đối với phương trình bậc hai thường được sử dụng hơn cả. Hệ thức Viet được phát biểu như sau:

Bạn đang xem : hệ thức viet
Cho phương trình bậc ( 2 : ) ( ax ^ 2 + bx + c ) có hai nghiệm ( x_1 ; x_2 ). Khi đó :
( left { begin { matrix } x_1 + x_2 = – frac { b } { a } x_1. x_2 = frac { c } { a } end { matrix } right. )

Cách giải hệ thức Viet

Trong những bài toán ứng dụng hệ thức Viet, tất cả chúng ta cần đổi khác những đại lượng nhu yếu của bài toán về dạng ( left { begin { matrix } S = x_1 + x_2 P. = x_1. x_2 end { matrix } right. ) để hoàn toàn có thể vận dụng được hệ thức Viet. Sau đây là một số ít đổi khác cơ bản :

  • ( x_1^2+x_2^2=S^2-2P )
  • ((x_1-x_2)^2= S^2-4P)
  • (x_1^2-x_2^2=S.sqrt{S^2-4P})
  • (x_1^3+x_2^3=S(S^2-3P))
  • (frac{1}{x_1}+frac{1}{x_2}= frac{S}{P})

Ứng dụng hệ thức Viet

Nhẩm nghiệm của phương trình

hệ thức viet qua dạng toán nhẩm nghiệm Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

một số ứng dụng của hệ thức viet Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

Lập phương trình bậc hai

lập phương trình bậc hai từ hệ thức viet Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

dạng hai hệ thức viet và ứng dụng Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình

các dạng và cách giải định lý viet Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

luyện tập về định lý viet Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

những dạng toán điển hình về định lý viet Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Bài toán: Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng ( S ) và tích của chúng bằng ( P )

Theo định lý Viet thì hai số cần tìm là nghiệm của phương trình bậc ( 2 ) :
( x ^ 2 – Sx + P. )

***Chú ý: Điều kiện để tồn tại hai số đó là ( S^2-4P geq 0 )

Ví dụ:

Tìm hai số biết rằng chúng có tổng bằng ( 27 ) và có tích bằng ( 180 )

Cách giải:

Theo định lý Viet thì hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình
( x ^ 2-27 x + 180 = 0 )
( Leftrightarrow ( x-15 ) ( x-12 ) = 0 )
( Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x = 15 x = 12 end { array } right. )
Vậy hai số cần tìm là ( 15 ; 12 )

Tính giá trị của các biểu thức nghiệm

Chúng ta sử dụng những biến hóa nêu trên để quy biểu thức về dạng ( S, P. ) rồi từ đó tính giá trị của biểu thức

bài tập hệ thức viet Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

Ví dụ 3:

Cho phương trình ( x ^ 2 – ( m + 2 ) x + ( m + 3 ) ^ 2 ) có hai nghiệm phân biệt ( x_1 ; x_2 )
Chứng minh rằng với mọi giá trị của ( m ) thỏa mãn nhu cầu phương trình đã cho có nghiệm thì giá trị của biểu thức
( A = frac { x_1 } { x_2 + 1 } + frac { x_2 } { x_1 + 1 } ) luôn không đổi

Cách giải:

Áp dụng hệ thức Viet ta có :
( left { begin { matrix } S = x_1 + x_2 = m + 2 P. = x_1. x_2 = ( m + 3 ) ^ 2 end { matrix } right. )
Mặt khác
( A = frac { x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_1 + x_2 } { x_1. x_2 + x_1 + x_2 + 1 } = frac { S ^ 2 + S-2P } { S + P. + 1 } )
Thay vào ta được
( A = frac { ( m + 2 ) ^ 2 + m + 2-2 ( m + 3 ) ^ 2 } { ( m + 3 ) ^ 2 + m + 2 + 1 } )
Xem thêm : Tổng hợp Hàm Weekday : Cách chuyển ngày sang thứ trong Excel
( = – frac { m ^ 2 + 7 m + 12 } { m ^ 2 + 7 m + 12 } = – 1 )
Vậy ( A = – 1 )

Tìm giá trị tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

Bài toán: Cho phương trình bậc hai : ( ax^2+bx+c ) với ( a,b,c ) là các hệ số chưa tham số ( m ). Tìm ( m ) để phương trình đã cho có hai nghiệm ( x_1;x_2 ) thỏa mãn hệ thức ( K )

Các bước giải:

  • Bước 1: Tìm điều kiện của ( m ) để phương trình có hai nghiệm
  • Bước 2: Biến đổi ( K ) về dạng ( S, P ) với (left{begin{matrix} S=x_1+x_2P=x_1.x_2 end{matrix}right.)
  • Bước 3: Áp dụng hệ thức Viet để biến đổi ( K ) về phương trình ẩn ( m ) rồi giải ra tìm ( m )

Ví dụ:

Cho phương trình : ( x ^ 2 – ( 2 m + 1 ) x + m ^ 2 + 2 = 0 ). Tìm ( m ) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ( x_1 ; x_2 ) thỏa mãn nhu cầu
( 3 x_1x_2 – 5 ( x_1 + x_2 ) + 7 = 0 )

Cách giải:

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì
( Delta = ( 2 m + 1 ) ^ 2-4 ( m ^ 2 + 2 ) > 0 )
( Leftrightarrow 4 m – 7 > 0 Leftrightarrow m > frac { 7 } { 4 } hspace { 1 cm } ( 1 ) )
Áp dụng đinh lý Viet ta có
( left { begin { matrix } x_1 + x_2 = 2 m + 1 x_1. x_2 = m ^ 2 + 2 end { matrix } right. )
Thay vào ta được :
( 3 x_1x_2 – 5 ( x_1 + x_2 ) + 7 = 0 Leftrightarrow 3 ( m ^ 2 + 2 ) – 5 ( 2 m + 1 ) + 7 = 0 )
( Leftrightarrow 3 m ^ 2-10 m + 8 = 0 )
( Leftrightarrow ( 3 m – 4 ) ( m-2 ) = 0 Leftrightarrow left [ begin { array } { l } m = 2 m = frac { 4 } { 3 } end { array } right. )
Kết hợp với ( ( 1 ) ) ta được ( m = 2 )

Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai ( ax^2+bx+c ) có hai nghiệm phân biệt ( x_1;x_2 ). Theo định lý Viet có :

( left { begin { matrix } S = x_1 + x_2 = – frac { b } { a } P = x_1x_2 = frac { c } { a } end { matrix } right. )
Khi đó :

  • ( x_1; x_2 ) cùng dương (Leftrightarrow left{begin{matrix} S=-frac{b}{a}>0 P=frac{c}{a}>0 end{matrix}right.)
  • ( x_1; x_2 ) cùng âm (Leftrightarrow left{begin{matrix} S=-frac{b}{a}<0 P=frac{c}{a}>0 end{matrix}right.)
  • ( x_1; x_2 ) trái dấu (Leftrightarrow P=x_1.x_2<0)

cách giải hệ thức viet và ứng dụng Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

Ví dụ:

Tìm ( m ) để phương trình ( ( m-1 ) x ^ 2 + 2 x + m = 0 ) có tối thiểu một nghiệm không âm

Cách giải:

Xét ( m = 1 ) phương trình đã cho trở thành
( 2 x + 1 = 0L eftrightarrow x = – frac { 1 } { 2 } ) ( loại )
Xét ( m neq 1 ). Để phương trình có nghiệm thì
( Delta ’ = 1 – m ( m-1 ) geq 0 )
( Leftrightarrow m ^ 2 – m-1 leq 0 )
( Leftrightarrow m in [ frac { 1 – sqrt { 5 } } { 2 } ; frac { 1 + sqrt { 5 } } { 2 } ] hspace { 1 cm } ( 1 ) )
Theo định lý Viet thì :
( left { begin { matrix } x_1 + x_2 = – frac { 2 } { m-1 } x_1x_2 = frac { m } { m-1 } end { matrix } right. )
Để phương trình có tối thiểu một nghiệm không âm thì
( left [ begin { array } { l } x_1x_2 leq 0 left { begin { matrix } x_1x_2 > 0 x_1 + x_2 leq 0 end { matrix } right.end { array } right. )
( Leftrightarrow left [ begin { array } { l } – frac { 2 } { m-1 } leq 0 left { begin { matrix } – frac { 2 } { m-1 } > 0 frac { m } { m-1 } leq 0 end { matrix } right.end { array } right. )
( Leftrightarrow left [ begin { array } { l } m-1 > 0 left { begin { matrix } m-1 < 0 m in [ 0 ; 1 ) end { matrix } right.end { array } right. ) ( Leftrightarrow left [ begin { array } { l } m geq 1 m in [ 0 ; 1 ) end { array } right. ) Xem thêm : buổi tối nên ăn gì để tăng cân | Bán Máy Nước Nóng ( Leftrightarrow mgeq 0 | mneq 1 ) Kết hợp với ( ( 1 ) ) thì ta có ( m in [ 0 ; frac { 1 + sqrt { 5 } } { 2 } ] )

xác định các dấu phương trình bậc hai từ định lý viet Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức chứa nghiệm

tìm giá trị từ định lý viet Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

tìm hiểu bài tập của định lý viet Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

tìm hiểu bài tập của định lý viet Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

Hệ thức Viet và ứng dụng nâng cao

Tìm cực trị của biểu thức chứa nghiệm

Cách làm : Ta quy biểu thức chứa nghiệm về biểu thức theo tham số bằng cách sử dụng định lý Viet rồi từ đó tìm ( min, max ) của biểu thức chứa tham số đó

Ví dụ:

Cho phương trình ( x ^ 2 + ( m + 1 ) x + m = 0 ). Tìm ( m ) để phương trình đã cho có hai nghiệm ( x_1 ; x_2 ) sao cho biểu thức ( A = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 ) đạt giá trị nhỏ nhất

Cách giải:

Để phương trình đã cho có hai nghiệm thì
( Delta = ( m + 1 ) ^ 2-4 m geq 0 )
( Leftrightarrow ( m-1 ) ^ 2 geq 0 ). Điều này luôn đúng với mọi ( m in mathbb { R } )
Áp dụng định lý Viet ta có
( left { begin { matrix } x_1 + x_2 = – ( m + 1 ) x_1x_2 = m end { matrix } right. )
Thay vào ta có :
( A = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 = ( x_1 + x_2 ) ^ 2-2 x_1x_2 )
( = ( m + 1 ) ^ 2-2 m = m ^ 2 + 1 geq 1 )
Vậy ( A_ { min } = 1 Leftrightarrow m = 0 )

Bước nhảy Viet – Vieta Jumping

Đây là chiêu thức để giải những bài toán số học trong những kỳ thi HSG Quốc gia, quốc tế. Ý tưởng của chiêu thức là với những phương trình nghiệm nguyên bậc hai ( 2 ) ẩn ( a, b ) thì ta coi [ / latex ] a [ / latex ] là một nghiệm theo phương trình ẩn [ / latex ] b [ / latex ]. Áp dụng đinh lý Viet thì phương trình còn một nghiệm ( a_1 ) khác. Như vậy phương trình lại có một cặp nghiệm ( ( a_1 ; b ) ). Cứ lặp lại những bước như trên thì ta sẽ lại tạo ra một cặp nghiệm mới ( ( a_1 ; b_1 ) ; ( a_2 ; b_2 ) ). Vì từ ( ( a ; b ) rightarrow ( a_1 ; b_1 ) ) như vậy nên ta gọi chiêu thức này là “ bước nhảy Viet “

Ví dụ:

Chứng minh rằng nếu ( a, b ) là những số nguyên dương sao cho ( k = frac { a ^ 2 + b ^ 2 } { ab-1 } ) là một số nguyên thì ( k = 5 )

Cách giải:

Trong tổng thể những cặp số ( ( a, b ) ) thỏa mãn nhu cầu ( k ) là một số nguyên, ta chọn ra cặp ( ( a, b ) ) sao cho ( a + b ) là nhỏ nhất .
Xét phương trình : ( k = frac { x ^ 2 + b ^ 2 } { xb-1 } Leftrightarrow x ^ 2 – kbx + b ^ 2 + k = 0 ; ; ; ; ; ; ( * ) )
Rõ ràng, phương trình ( ( * ) ) nhận một nghiệm là ( a, ) gọi nghiệm còn lại là ( x_0 ). Theo định lý Viet, ta có :
( begin { cases } x_0 + a = bkx_0. a = b ^ 2 + kend { cases } )
Rõ ràng, ( x_0inmathbb { Z ^ + } )

  • Nếu trong hai số ( a;b ) có một số bằng ( 1 ) giả sử ( b=1 ), thế thì: ( k=frac{a^2+1}{a-1}=a+1+frac{2}{a-1}inmathbb{Z} )

( Rightarrow ( a-1 ) ; | ; 2 Rightarrow left [ begin { array } { l } a-1 = 1 a – 1 = 2 end { array } right. )
( Leftrightarrow left [ begin { array } { l } a = 2 a = 3 end { array } right. )
( Rightarrow k = 5 )

  • Nếu (min (a, b)>1), thì do: (b^2-kb^2+b^2+k>0 Leftrightarrow k(1-b^2)+2b^2>0)

Vì ( b > 1 Rightarrow b ^ 2-1 > 0R ightarrow b geq 2 ), lúc này ta có :

(k
Mặt khác, ta lại có :

(frac{1}{k}=frac{ab-1}{a^2+b^2}le frac{ab-1}{2ab}=frac{1}{2}-frac{1}{ab}=frac{1}{2}Leftrightarrow k>2;;;;;;;;;;(2))

Từ ( ( 1 ) ( 2 ) ) suy ra điều xích míc .
Vậy ta có ( k = 5 ) là giá trị duy nhất thỏa mãn nhu cầu bài toán

Bài viết trên đây của banmaynuocnong.com đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập về chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng cũng như các phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng. Chúc bạn luôn học tốt!

Rate this post
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments