CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM  TÍCH PHÂN

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM  TÍCH PHÂN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1011.66 KB, 53 trang )

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM − TÍCH PHÂN
Giáo viên: VŨ THỊ KIM TÍNH
Trường: THPT Bến Tre
(Tổng số tiết dạy: 42 tiết = 14 buổi)
Mở đầu:
Tích phân là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán 12, thường xuyên xuất hiện
trong các đề thi tốt nghiệp THPT, tuyển sinh Đại học, cao đẳng và nay là kì thi THPT Quốc
Gia.
Với mục đích cung cấp cho học sinh lớp 12 các phương pháp tính tích phân và một số ứng
dụng của phép tính tích phân trong toán học và trong thực tế, góp phần phát huy tính tích
cực, sáng tạo của học sinh trong học tập.
Chuyên đề này đã:
+ Hệ thống ngắn gọn các kiến thức về vi phân, nguyên hàm và tích phân.
+ Đưa ra các phương pháp tính tích phân: Tích phân đổi biến số, từng phần, tích phân của
hàm số hữu tỷ, vô tỷ, tích phân hàm lượng giác, hàm siêu việt …
+ Giới thiệu các ứng dụng của tích phân trong toán học và thực tế: Tính diện tích, thể tích.
+ Cung cấp các bài tập phong phú về số lượng, đa dạng về các dạng toán tích phân.
+ Hệ thống các bài tập tự luyện giúp học sinh tự luyện tập, củng cố kỹ năng giải toán.
Chủ đề 1: NGUYÊN HÀM
Số tiết dạy: 12 tiết (4 buổi)
A. Mục tiêu bài dạy:
1. Kiến thức:
+ Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số.
+ Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
2. Kỹ năng:
+ Tìm được nguyên hàm của một số hàm số dựa vào bảng nguyên hàm và cách tính nguyên
hàm từng phần.
B. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Vi phân:
1. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và có đạo hàm tại x∈(a; b). Cho số

gia ∆x tại x sao cho x + ∆x∈(a; b). Ta gọi tích f ’(x).∆x hoặc y’(x).∆x là vi phân của hàm số
y = f(x) tại x ứng với số gia ∆x. Ký hiệu: dy hoặc df(x).
Vậy: dy = y’∆x hoặc df(x) = f ’(x).∆x
Ta có: hàm số y = x thì: dy = dx = x’.∆x = ∆x. Vậy dy = y’.dx hoặc df(x) = f ’(x)dx
2.Các hệ thức thường dùng:
dx = d(x + C)
kdx = d(kx + C)
xdx =

1 2
dx
2

x n dx =

1−

1
d ( x n+1 + C )
n +1

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG

(

e kx dx =

cosx.dx = d(sin x + C)

sinx.dx = − d(cos x + C)

dx
2

cos x

dx

= d (tan x + C )

sin 2 x

1
d e kx + C
k

)

dx
= d (ln | x | +C )
x

= d (cot x + C )

II. Nguyên hàm:
1. Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng ( a; b )
nếu: ∀x∈(a; b) ta có: F’(x) = f(x).
Nếu thay khoảng ( a; b ) bằng đoạn [ a; b ] thì ta phải có thêm điều kiện:

F ‘ ( a + ) = f (a ); F ‘ (b − ) = f (b) .
2. Định lí: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) ta có:
+ ∀C = const, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó.
+ Ngược lại mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) đều có thể viết dưới dạng:
F(x) + C, C = const.
Kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) là

∫ f ( x)dx đọc là họ nguyên hàm của

hàm số f ( x ) .
Vậy

∫ f ( x)dx = F ( x) + C

Trong đó F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) và C là hằng số tùy ý.
Ta có

∫ f ( x)dx = F ( x) + C ⇔ F ( x) = f ( x) và:

+) Dấu

được gọi là dấu tích phân.

+) Biểu thức f ( x )dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và đó là vi phân của mọi nguyên
hàm của f ( x ) .
3. Các tính chất:

1/.

( ∫ f ( x)dx )

‘ = f ( x)

2/. ∫ af ( x)dx = a ∫ f ( x)dx
3/. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ f ( x)dx
4/.

∫ f (t )dt = F (t ) + C

∫ f (u( x)).u ‘( x)dx = F (u( x)) + C

4.Bảng các nguyên hàm cơ bản:

2−

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của những hàm số hợp

∫ dx = x + C

∫ du = u + C

xα +1
∫ x dx = α + 1 + C ( α ≠ 1)

uα +1
∫ u du = α + 1 + C ( α ≠ 1)

α

α

dx
= ln x + C ( x ≠ 0 )
x

∫ e dx = e
x

x

du
= ln u + C ( u ≠ 0 )
u

∫ e du = e

+C

u

u

+C

ax
∫ a dx = ln a + C ( 0 < a ≠ 1) au
∫ a du = ln a + C ( 0 < a ≠ 1) ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin udu = − cos u + C x 1 ∫ cos 2
x

1

∫ sin

2

x

u

1

dx = tan x + C

∫ cos

dx = − cot x + C

∫ sin

2

u

1
2

u

du = tan u + C
du = − cot u + C

Chú ý: Để làm tốt phần tích phân học sinh phải vận dụng tốt các công thức nguyên hàm
sau:
α +1
 α
xα +1
1 ( ax + b )
α
+ C ; ∫ ( ax + b ) = .
+C
 ∫ x dx =
uα +1

α
+
1
a
α
+
1
α
+ C ( α ≠ −1) ⇒ 
1) ∫ u du =
α +1
1
 du = u + C ; du = − 1 + C ; du = −
+C

2
α




u
u
u
( α − 1) uα −1

 dx
 ∫ x = ln x + C
du
2) ∫ = ln u + C ( u ≠ 0 ) → 
u
 dx = 1 ln ax + b + C
 ∫ ax + b a
 x
ax
a
dx
=
+ C ; ∫ eu du = eu + C
u


a

u

ln a
+ C ( 0 < a ≠ 1) ⇒ 
3) ∫ a du =
ln a
 e x du = e x + C ; e ax +b du = 1 e ax +b + C

 ∫
a
 sinx dx = − cosx + C
∫
4) ∫ sin udu = − cos u + C ⇒ 
1
 ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C
a

3−

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
 cosx dx = sinx + C
∫
cos
udu
=
sin
u
+

C

5) ∫

1
 ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C
a

1

dx = − cotx + C
2


1
 sin x
6) ∫ 2 du = − cot u + C ⇒ 
1
1
sin u
∫ 2
dx = − cot ( ax + b ) + C
a
 sin ( ax + b )
1

dx = tanx + C
2

1
 cos x
7) ∫ 2 du = tan u + C ⇒ 
1
1
cos u
∫
dx = tan ( ax + b ) + C
2
a
 cos ( ax + b )

8)

du
1  1
1 
1
u−a
=

du
=
ln

÷
2
∫ u − a 2a ∫  u − a u + a  2a u + a + C
2

5. Sự tồn tại của nguyên hàm:
Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên [ a; b ] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
C. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:
SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

I. Phương pháp chung: Đưa về nguyên hàm cơ bản:
1) Kiến thức sử dụng:
+) Các tính chất của nguyên hàm.
+) Bảng các nguyên hàm.

4−

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
+) Các phép biến đổi đại số.

∫ f ( x)dx

2) Phương pháp: Tính

Ta biến đổi, phân tích, tách hàm số f ( x ) ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Biến đổi hàm số f ( x ) = α1 f1 ( x) + α 2 f 2 ( x ) + … + α n f n ( x). Với f i ( x) có nguyên
hàm trong bảng công thức và α i là các hằng số.
Bước 2: Tính

∫ f ( x)dx = ∫ α

f ( x)dx + ∫ α 2 f 2 ( x )dx + … + ∫ α n f n ( x)dx

1 1

3) Ví dụ về phép biến đổi đại số.

(

+ Với f ( x ) = x 3 − 2

)

2

thì viết lại f ( x ) = x 6 − 4 x 3 + 4

2
x2 − 4 x + 5
thì viết lại f ( x ) = x − 3 +
x −1
x −1
1
1
1

+ Với f ( x ) = 2
thì viết lại f ( x ) =
x − 5x + 6
x −3 x−2
1
1
+ Với f ( x ) =

thì viết lại f ( x ) =
3 + 2x − 2x + 1
2x + 1 + 3 + 2x
2
+ Với f ( x ) =

(

(

+ Với f ( x ) = 2 x − 3x

)

2

)

thì viết lại f ( x ) = 4 x − 2.6 x + 9 x

4) Bài tập.
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau (Sử dụng bảng nguyên hàm):
Tính nguyên hàm

Đáp án
5×2
− x+C
2

I1 = ∫ ( 5 x − 1) dx

I1 = ∫ ( 5 x − 1) dx =

1

I 2 = ∫  x 2 − 3 x + ÷dx
x

1
1

I 2 = ∫  x 2 − 3 x + ÷dx = ∫ x 2dx − ∫ 3 xdx + ∫ dx
x
x

1
1
= x3 − 3. x 2 + ln x + C
3
2

I3 = ∫

(

)

x + 3 x dx
x>0

I3 = ∫

(

1
4
3
 1
2
3
x + x dx = ∫  x 2 + x 3 ÷dx = x 2 + x 3 + C

÷
3
4


3

)

1 

I4 = ∫  e x +
÷dx
cos 2 x 

1 


I4 = ∫  e x +
dx = e x + tan x + C
2 ÷
cos x 

 1

I5 = ∫
− 1÷dx
2
 cos x 

 1

I5 = ∫
− 1÷dx = tan x − x + C
2
 cos x 

(

)

I 6 = ∫ e x − 1 dx

(

)

I 6 = ∫ e x − 1 dx = e x − x + C

5−

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
I 7 = ∫ ( 1 − sin x ) dx

I 7 = ∫ ( 1 − sin x ) dx = x + cos x + C

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau (Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản):

I1 = ∫ ( 2 x + 3) dx = ∫ ( 4 x 2 + 12 x + 9 ) dx

2

2

I1 = ∫ ( 2 x + 3) dx

=

I2 = ∫

(

)

x −1

4 3
x + 6×2 + 9x + C
3

2

x

I2 = ∫

dx

(

)

x −1

2

dx = ∫

x − 2 x +1
dx
x

x
1

1

= ∫ 1 − 4
+ ÷dx = x − 4 x + ln x + C
2 x x

(2 x5 + 3x) 2
I3 = ∫
dx
x4
e− x 
I 4 = ∫ e 1 +
dx
 cos 2 x ÷
÷


x

 4 x10 + 12 x 6 + 9 x 2 
dx
=
dx
÷
∫ 
4
÷
x4
x



9 
4
9

= ∫  4 x 6 + 12 x 2 + 2 ÷dx = x 7 − + 4 x3 + C
7
x
x 

I3 = ∫

(2 x5 + 3 x) 2

1 

I4 = ∫  e x +
dx = e x + tan x + C
2 ÷
cos x 

I 5 = ∫ sin 2 x.cos 3 xdx

1
I 5 = ∫ (− sin x + sin 5 x)dx = cos x − sin 5 x + C
5

I 6 = ∫ tan 2 xdx

 1

I6 = ∫
− 1÷dx = tan x − x + C
2
 cos x 

I 7 = ∫ sin 2

x
dx
2

I7 = ∫

1 − cos x
1
1
dx = x − sin x + C
2
2
2

Bài tập tự luyện:
Tính nguyên hàm
I1 = ∫
I2 = ∫

( x 2 − 1) 2

x2

(

Đáp án

dx

)

x + 3 x + 4 x dx

ĐS: I1 =

x3
1
− 2x − + C
3
x

ĐS: I 2 =

2 3 33 4 44 5
x +
x +
x +C
3
4
5

( x > 0)
I3 = ∫

3 x3 − x 2 2 + 5 x − 3
x3

dx

ĐS: I 3 = 3x − 2 ln x −

6−

5
3
+ 2 +C
x 2x

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
I4 = ∫

( x − 1) 2
dx
x

ĐS: I 4 = x − 4 x + ln x + C

2 

 1
I5 = ∫ 
− 3 ÷dx
x
 x

(

ĐS: I 5 = 2 x − 33 x 2 + C

)

(

I 6 = ∫ e x 1 − e − x dx

)

I 6 = ∫ e x − 1 dx = e x − x + C
2

x
x

I 7 = ∫  sin − cos ÷ dx
2
2

I 7 = ∫ ( 1 − sin x ) dx = x + cos x + C

I8 = ∫ cot 2 xdx

I8 = ∫ cot 2 xdx = − cot x − x + C

Bài 3. Tính các nguyên hàm sau ( Đổi vi phân):
Tính nguyên hàm

Đáp án
1
1
( 2 x + 3) 3 d ( 2 x + 3 ) = ( 2 x + 3) 4 + C

2
8

I1 = ∫ ( 2 x + 3) dx

I1 =

I 2 = ∫ cos 4 x.s inxdx

1
I 2 = − ∫ cos 4 x d ( cos x ) = − cos5 x + C
5

3

I3 = ∫
I4 = ∫

2e x

I3 = ∫

dx

x

e +1

( 2 ln x + 1) 2 dx
x

I4 =

2
x

e +1

(

)

(

)

d e x + 1 = 2 ln e x + 1 + C

1
1
( 2 ln x + 1) 2 d ( 2 ln x + 1) = ( 2 ln x + 1) 3 + C

2
6

Bài tập tự luyện:
I1 = ∫ ( x + 3)

2015

I1 = ∫ ( x + 3)

dx

I4 = ∫

ex
x

(e + 1)

2

I3 = ∫

dx

1 + ln x
dx
x

tan x
3

cos x

1
x

(e + 1)

2

2016

d (e x + 1) = −

I 4 = ∫ 1 + ln x d (1 + ln x) =

I 5 = ∫ tan xdx
I6 = ∫

( x + 3) 2016 + C

d ( x + 3) =

1

I 2 = ∫ sin 4 x d ( sin x ) = sin 5 x + C
5

I 2 = ∫ sin 4 x.cosxdx
I3 = ∫

2015

1
x

(e + 1)

3
2

+C

( 1 + ln x ) 3 + C

I 5 = ∫ tan xdx = −ln cosx + C
I6 = ∫

dx

tan x
3

cos x

Bài 4. Tính các nguyên hàm sau( Tổng hợp):
Tính nguyên hàm

dx = − ∫

Đáp án
7−

d ( cos x)
4

cos x

=

1
3cos3 x

+C

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
I1 = ∫

( 4x

+ 4x + 3

2x +1

) dx

dx
x+9 − x

I2 = ∫
I3 = ∫

2

I2 = ∫

dx

I3 =

2

x − 4x + 3

I4 = ∫ x ( 1 − x )

2 

2
I1 = ∫  2 x + 1 +
÷dx = x + x + ln 2 x + 1 + C
2x +1 

2015

dx

dx
x+9 + x
12
=∫
dx = 
9
93
x+9 − x

( x + 9) 3 +

2 3
x ÷+ C
3

1  1
1  1 x −3

+C

÷ = ln

2  x − 3 x −1  2 x −1

I4 = ∫ ( 1 − x )

2002

dx − ∫ ( 1 − x )

2003

dx = −

( 1 − x ) 2003 + ( 1 − x ) 2004 + C
2003

2004

Bài tập tự luyện:
I1 = ∫

dx
x + 2 + x −3

I2 = ∫

dx

I3 = ∫

1+ e

1

5∫

I2 = ∫

x

2x − 5x + 3
2015

(

)

x + 2 + x − 3 dx =

dx
1+ e

x

=∫

1+ ex − ex
1+ e

x

2 
15 

( x + 2 ) 3 + ( x − 3) 3  + C

dx = x − ln 1 + e x + C

2 
x−2
 1
I3 = ∫ 

+C
÷dx = ln
2x − 3
 x − 2 2x − 3 

dx
2

I4 = ∫ x ( 1 − x )

I1 =

dx

I 4 = ∫ ( x − 1 + 1) ( 1 − x )

2015

2017
2016

1− x)
1− x)
(
(
dx =

+C

2017

2016

II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
A. Phương pháp đổi biến dạng 1.
1. Định lí:
a. Nếu

∫ f ( x)dx = F ( x ) + C và u = ϕ( x) là hàm số có đạo hàm thì ∫ f (u )du = F (u ) + C

b. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) cùng với đạo hàm của nó ϕ’ (t) là
những hàm số liên tục, ta sẽ được

∫ f ( x) = ∫ f ϕ ( t ) .ϕ ( t ) dt

2. Phương pháp thực hiện:
Để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1 tìm nguyên hàm của hàm số f(x) chúng ta thực
hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là hàm số mà ta chọ cho thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân dx = ϕ’ (t) dt .

Bước 3: Biểu thị f ( x ) dx theo t và dt. Giả sử f ( x ) dx = g (t )dt
Bước 4: Khi đó

∫ f ( x ) dx = ∫ g (t )dt

8−

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
3. Lưu ý: Các dấu hiệu để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 1.
Dấu hiệu
Dấu hiệu 1:

a2 − x2

Dấu hiệu 2: x 2 − a 2

Dấu hiệu 3: a 2 + x 2

Cách chọn
π
π

 x = a sin t khi − 2 ≤ t ≤ 2

 x = a cos t khi 0 ≤ t ≤ π

a
 π π

 x = sin t khi t ∈  − 2 ; 2  \ { 0}




a
π
khi t ∈ [ 0; π] \  
x =
cos t
2

π
π

 x = a tan t khi − 2 < t < 2

 x = a cot t khi 0 < t < π 4. Bài tập: Tính các nguyên hàm sau:
I1 = ∫ 1 − x 2 dx

(Dấu hiệu 1)

I2 = ∫

1 1

⇒ I1 = ∫ cos 2 t =  t + sin 2t ÷+ C
2 2

dx

(1− x )

2 3

(Dấu hiệu 1)
I3 = ∫

 π π

Đặt x = sin t ⇒ dx = cos t.dt, t ∈  − ; 
 2 2

dx

( 1+ x )

2 3

(Dấu hiệu 3)

 π π


dt
x
⇒ I2 = ∫

= tan t + C =
+C
2
cos t
1 − x2

Đặt x = sin t ⇒ dx = cos t.dt, t ∈  − ; ÷
2 2

 π π

Đặt x = tan t, t ∈  − ; ÷⇒ dx =
2 2

dx
2

x + 2x + 3

cos 2 t

dt

I 3 = ∫ cos tdt = sin t + C = tan t. cos 2 t + C
= tan t.

I4 = ∫

1

I4 = ∫

(Dấu hiệu 3)

I4 = ∫

1
1 + tan 2 t

+C =

dx

( x + 1)

2

+ 2

2

x
1 + x2

+C

 π π
; ÷

 2 2

, đặt x + 1 = 2 tan t, t ∈  −

1
cos t
1  cos t
cos t 
dt = ∫
= − ∫

÷dt
2
cost
1 − sin t
2  −1 + sin t 1 + sin t 

1 sin t − 1
= − ln
+C
2 sin t + 1

9−

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
I5 = ∫

dx

1 + x2

(Dấu hiệu 3)

I6 = ∫

HD: Đặt x = tan t

ĐS: I 5 = dt =t + C
Đặt x =

dx
x x2 − 1

(Dấu hiệu 2)

1
cos t
⇒ t = − 2 dt
sin t
sin t

⇒ I 6 = − ∫ dt = −t + C

5. Bài tập tự luyện:
I1 = ∫

HD: Đặt x = 2sin t

ĐS: I1 = 2t + C

dx
4− x

2

(Dấu hiệu 1)
I 2 = ∫ x 2 1 − x 2 dx

1
8

HD: Đặt x = tan t

dx

( 1+ x )

2 3

1
1
1
( t + sin 2t ) +  t + sin 4t ÷+ C
4
8 4

ĐS: I 3 =

(Dấu hiệu 3)
I 4 = ∫ x3 1 + x 2 dx

(Dấu hiệu 3)
I5 = ∫


1
4

ĐS: I 2 =  t − sin 4t ÷+ C

(Dấu hiệu 1)

I3 = ∫

HD: Đặt x = sin t

dx
2

x + x +1

HD: Đặt x = tan t

tan 3 t
1 − cos 2 t

I4 = ∫
dt = − ∫
d ( cost )
cos3 t
cos 6 t
ĐS:
1
1
=

+C
5cos5 t 3cos3 t
I5 = ∫

dx
2

x + x +1

(Dấu hiệu 3)
ĐS: I 5 =

=∫

dx

1
3
2
tan t

1  3 HD: Đặt x + =

x
+
+
2
2

÷
2 4

2 3
t +C
3

B. Phương pháp đổi biến dạng 2:
1. Định lí:
Nếu

∫ f ( u ) du = F (u) + C và u = u( x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

∫ f ( u ( x ) ) u ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C

10 −

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
2. Phương pháp thực hiện:
Để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2 tìm nguyên hàm của hàm số f(x) chúng ta thực
hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chọn t = ϕ(x), trong đó ϕ(x) là hàm số mà ta chọ cho thích hợp, rồi xác định
x = ψ (t) (nếu có thể).
Bước 2: Xác định vi phân dt = ϕ’ (x) dx .
Bước 3: Biểu thị f ( x ) dx theo t và dt. Giả sử f ( x ) dx = f ( ϕ ( x ) ) .ϕ’ ( x ) dx = g (t )dt

∫ f ( x ) dx = ∫ g (t )dt

Bước 4: Khi đó

3. Lưu ý: Các dấu hiệu để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2.
Dấu hiệu của hàm
Gợi ý đặt ẩn phụ
Đặt t = ax + b

Hàm f ( ax + b )

(

Hàm f x
Hàm f

n +1

) .x

Đặt t = x n+1

n

( x ) .21x
(

Hàm f x, ϕ( x)
Hàm f ( ln x ) .

Đặt t = x

)

Đặt t = ϕ( x)
Đặt t = ln x

1
x

( )

Đặt t = e x

x
x
Hàm f e .e

Hàm f ( cos x ) .sin x hoặc hàm số lẻ với sin x

Đặt t = cos x

Hàm f ( sin x ) .cos x hoặc hàm số lẻ với cos x

Đặt t = sin x

1
.
cos 2 x
1
Hàm f ( cot x ). 2 .
sin x

Đặt t = tan x

Hàm f ( tan x ) .

Đặt t = cot x

4. Bài tập:
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
Tính nguyên hàm
I1 = ∫

1
dx ,
x−2

Gợi ý
Cách 1: Đổi vi phân.
Cách 2: Đặt t = x − 2

11 −

Đáp án
I1 = ∫

1
dx = ln x − 2 + C
x−2

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
I2 = ∫
I3 = ∫

1
2

dx ,

3

dx ,

( x − 2)
1
( x − 2)

Cách 1: Đổi vi phân.
Cách 2: Đặt t = x − 2
Cách 1: Đổi vi phân.
Cách 2: Đặt t = x − 3

I2 = −
I3 =

1
+C
x−2
−1

2 ( x − 2)

2

+C

với a, α − cos t
Cách 1: Đổi vi phân.
Cách 2: Đặt

2x + 1

I4 = ∫

dx
x + x+3
2

I 4 = ln x 2 + x + 3 + C

t = x2 + x + 3
I 5 = ∫ ( 2 x + 1)

2015

Cách 2: Đặt t = 2 x + 1 ⇒ dt = 2dx

Cách 1: Đổi vi phân.
Cách 2: Đặt t = 2 x + 1

dx

I 5 = ∫ ( 2 x + 1)

2015

dx =

1 2015
t
dt
2∫

( 2 x + 1)
t 2016
=
+C =

4032
4032

2016

(

I 6 = ∫ x 2 − 3x
3

Đặt t = 2 − 3 x 2

) dx

2 8

I6

2 − 3x 2 )
(
=
180

Bài tập tự luyện: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
Tính nguyên hàm
Đáp án

I1 = ∫ ( 2 x + 2 ) dx
5

I2 = ∫

I1 = ∫ ( 2 x + 2 )

dx

dx

(

)

I 3 = ∫ 2 x 2 + 1 .xdx =

7

x
2

x +5

I4 = ∫

dx

(

)

3

ex
x

e +1

1 + cos x

I9 = ∫

cos xdx
1 + sin x

2

)

7

(

)

8
1
2×2 + 1 + C
32

(

x

)

1
dx = ln x 2 + 5 + C
2
x +5
2

(

1 2
x +x+4
4

(

I 7 = ∫ sin 2 x.cos xdx
sin 2 x

(

)

4

+C

)

I 6 = ln e x + 1 + C

dx

I8 = ∫

I5 =

( 3 − 2x )

+C

1
=
+C
4
8 ( 3 − 2x)

( 3 − 2x)

5

6

12

I2 = ∫

I 5 = ∫ ( 2 x + 1) x 2 + x + 4 dx

I6 = ∫

( 2x + 2)
dx =

5

I 3 = ∫ 2 x 2 + 1 .xdx
I4 = ∫

5

dx

1
I 7 = sin 3 x + C
3
sin 2 x

(

I8 = ∫

1 + cos x

I9 = ∫

cos xdx
= ln 1 + sin x + C
1 + sin x

2

)

dx = − ln 1 + cos 2 x + C

12 −

10

+C

2 − 3x 2 )
(

81

9

+C

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG

(

)

3

I10 = ∫ ( 2 x + 1) x 2 + x + 4 dx
I11 = ∫

cos 2 x
sin 8 x

I10 =

(

1 2
x +x+4
4

)

4

+C

Đặt t = cot x

dx

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
Tính nguyên hàm
Gợi ý

I1 = ∫

Đáp án

Đặt t = x − 1

x
dx ,
1+ x −1

( t + 1) .2t.dt = 2
2

I1 = ∫

1+ t

∫  t

2

−t + 2−

2 
÷dt
1+ t 

 t3 t 2


= 2  − + 2t − 2 ln 1 + t ÷+ C
3 2
÷


 x −1 3

(
) x −1
= 2

+ 2 x − 1 − 2 ln x ÷+ C

÷
3
2
÷


I2 = ∫

Đặt

tan x
dx ,
sin 2 x

t = tan x ⇒ t 2 = tan x
1

⇒ 2tdt =
dx
cos 2 x

Cách 1: Đổi vi phân.
Cách 2: Đặt

I3 = ∫ x x 2 + 1

I 2 = ∫ dt = t + C = tan x + C

I 3 = ∫ t 2 dt =

t = x2 + 1
I4 = ∫

I5 = ∫

Đặt t = 1 + x

dx

(

x. 1 + x

)

2

x3
dx
1− x

2dt

I4 = ∫

Đặt
t = 1− x ⇒ x = 1− t

2

t

t
+C =
3

Đặt t = cos x

I2 = ∫

2

cos x

(

dx

1 + tan x

2
7

(

I8 = ∫

+C

)

I7 = ∫

)

3

(

I6 =

ln x
dx
x 1 + ln x

)

3

I 5 = ∫ −2 + 4t 2 − 6t 4 + 2t 6 dt
4
3

(

cos x

)

1− x
7

2
3

Bài tập tự luyện: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau.
I1 = ∫

(

x2 + 1

2
2

= − +C = −
+C
t
1+ x

2

= −2 1 − x +
I 6 = ∫ sin 3 x. cos xdx

3

dx
1+ ex
e x − e− x
e x + e− x

13 −

dx

(

)

3

6

5

(

cos x

1− x

)

3

+C

)

5

+

2
7

(

1− x

)

7

+C

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
e tan x

I 3 = ∫ sin 3 x cos xdx

I9 = ∫

I 4 = ∫ x5 3 1 − 2x 2 dx

(

I10 = ∫

dx
x ln x

( x + 1)dx

I11 = ∫

( x + 1)dx

I5 = ∫
I6 = ∫

)

2

x

x(1 + x.e )
e− x
1 + e− x

cos 2 x

dx

x (1 + x.e x )

dx

III. PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN :
1. Định lý:
Nếu u(x), v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K thì:

∫ u( x)v ‘( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x)u ‘( x)dx
2. Phương pháp thực hiện:
Để tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần ta
thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Biến đổi

∫ f ( x ) dx = ∫ f1 ( x ). f 2 ( x ) dx ( nếu cần).

u = f1 ( x )

du
⇒
dv = f 2 ( x ) dx v

Bước 2: Đặt 

Bước 3: Khi đó:

∫ f ( x ) dx = u.v − ∫ vdu .

3. Trường hợp sử dụng:
+) f ( x ) có chứa hàm số lôgarit.
+) f ( x ) có dạng tích của hai loại hàm số khác nhau.
+) f ( x ) có chứa tham số nguyên tự nhiên n ( ít gặp ).
4. Chú ý: Khi sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm chúng
ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau đây:
+) Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
+) Ta thường đặt v ‘ ( x ) là các hàm số lượng giác; hàm số mũ cơ số e; hàm đa thức.
+) Thứ tự ưu tiên chọn u như sau:

14 −

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
Số 1: Hàm lôgarit.
Số 2: Hàm lũy thừa.
Số 3: Hàm lượng giác.
Số 4: Hàm số mũ.

+) nguyên hàm vdu được xác định dễ dàng hơn so với

∫ f ( x)dx .

5.Bài tập: Tích các nguyên hàm sau:
Tính nguyên hàm
I1 = ∫ x .sinx dx

(

)

Gợi ý

Đáp án

u = x
Đặt 
dv = sin xdx

Đs: I1 = − x.cos x + sin x + C

I 2 = ∫ x 2 + 5 .sinx dx

u = x 2 + 5
Đặt 
dv = sin xdx

Đs:

I 3 = ∫ x .sin 2 x dx

u = x
Đặt 
dv = sin 2 xdx

Đs: I 3 = − x.cos 2 x + sin 2 x + C

I 4 = ∫ x .e x dx

u = x
Đặt 
x
dv = e dx

Đs: I 4 = x.e x − e x + C

u = ln x
dv = dx

I 5 = ∫ ln xdx

(

)

)

1
2

1
4

Đs: I 5 = x.ln x − x + C

Đặt 

I 6 = ∫ ln x 2 − 1 dx

(

I 2 = − x 2 + 5 .cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C

u = ln ( x 2 − 1)
Đặt 
dv = dx

(

)

2
Đs: I 6 = x.ln x − 1 − 2 x − ln

1
4

x
4

x −1
+C
x +1

1
8

I 7 = ∫ x.sin 2 x.dx

u = x
Đặt 
2
dv = sin xdx

Đs: I 7 = x 2 + sin 2 x + cos 2 x + C

I8 = ∫ e x .cos 2 xdx

u = cos 2 x
Đặt 
x
dv = e dx

Đs: I8 =

1
( cos 2 x + 2sin 2 x ) e x + C

5

I 9 = ∫ x 2 ln 2 x.dx

u = ln 2 x
Đặt 
2
dv = x dx

Đs: I 9 =

x3
x3
ln 2 x − + C
3
9

I10 = ∫ x.tan 2 xdx

u = x
Đặt 
2
dv = tan xdx

Đs: I10 = x ( tan x − x ) + ln cos x +

15 −

x2
+C
2

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
Đặt

I11 = ∫ cos x.ln(1 + cos x).dx

Đs: I11 = sin x.ln 1 + cos x + x − sin x + C

u = ln ( 1 + cos x )

dv = cos xdx


x

I12 = ∫ sin x.ln(tan x).dx

u = ln ( tan x )
Đặt 
dv = sin xdx

Đs: I12 = − cosx .ln ( tan x ) + ln  tan ÷+ C
2

I13 = ∫

ln(sin x)

u = ln ( sin x )

Đặt 
1
dx
dv =
sin 2 x

Đs: I13 = − cot x.ln ( sin x ) − cot x − x + C

I14 = ∫

ln x

u = ln x

1
Đặt 
dv =
dx
2

( x − 1)

Đs: I14 =

sin 2 x

( x + 1)

2

dx

dx

x
ln x − ln( x + 1) + C
x +1

6. Bài tập tự luyện: Tích các nguyên hàm sau:
ĐS: I1 = x.sin x − cos x + C

I1 = ∫ x .cosx dx

(

)

I 2 = ∫ x 2 + 2 x + 3 .cosx dx

u = x 2 + 2 x + 3
Đặt 
dv = cos xdx

(

)

2
Đs: I 2 = x + 2 x + 3 sin x + ( 2 x + 2 ) cos x − 2sin x + C

I 3 = ∫ x .cos 2 x dx

2

I 4 = ∫ x 3 .e x dx

u = x
1
1
Đs: I 3 = x sin 2 x + cos 2 x + C
2
4
dv = cos 2 xdx

Đặt 

Đặt t = x 2 đưa I 4 về dạng I 4 =
Đs: I 4 =

I 5 = ∫ x .ln xdx
I 6 = ∫ x .2 x dx

(

1
t .et dt
2∫

)

2
1 2 x2
x e − ex + C
2

1
2

Đs: I 5 = x 2 ln x −

u = x

Đặt 

x
dv = 2 dx

x2
+C
4

Đs: I 6 =

16 −

x.2 x
1
− 2 .2 x + C
ln 2 ln x

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
I7 = ∫

xdx

u = x

Đs: 
Đs: I 7 = − x.cot x + ln sin x + C
1
dv
=
dx

sin 2 x

sin 2 x

I8 = ∫ x.ln 2 x.dx

I9 = ∫

xe x
( x + 1) 2

dx

u = ln 2 x
x2
1
1
Đặt 
Đs: I8 = ln 2 x − x 2 ln x + x 2 + C
2
2
4
dv = xdx

Cách 1: Đặt t =

ex
x +1

 ex
ex 
dx
=



∫ ( x + 1)2
∫  x + 1 ( x + 1)2 ÷÷dx .


xe x

Cách 2:
Đặt u =

1
; dv = e x dx
x +1

x
Cách 3: Đặt u = x.e ; dv =

I10 = ∫

I11 = ∫

1 + sin x x
.e dx
1 + cos x
x 2e x
( x + 2) 2

dx

1

x
dx. Đs: I = e + C
9
( x + 1)
x +1
2

1 + sin x

u =
HD: Đặt  1 + cos x
 dv = e x

. Đs: I10

 u = x 2e x

HD: Đặt 
dx
 dv =
( x + 2) 2

. Đs: I11 =

e x .sin x
=

+C
1 + cos x

x−2 x
e +C
x+2

Chủ đề 2. TÍCH PHÂN
( Số tiết dạy: 21 tiết = 7 buổi)
A. Mục tiêu bài dạy:
1. Kiến thức:
+ Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niutơn – Laipnit.
+ Biết các tính chất của tích phân.
2. Kỹ năng:
+ Tìm được tích phân của một số hàm số bằng định nghĩa hoặc phương pháp tính tích phân
từng phần.

17 −

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
B. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số liên tục trên một khoảng [ a; b ]. Giả sử F(x) là một
nguyên hàm của f(x) trên [ a; b ]. Hiệu số: F(b) − F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của
b

hàm số f(x). Ký hiệu: ∫ f ( x)dx
a

b
Ta còn dùng kí hiệu F ( x) a để chỉ hiệu số F (a ) − F (b)
b

Vậy

b

∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a)
a

Chú ý:
b

− Tích phân

∫ f ( x)dx chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào các ký hiệu của biến
a

b

số tích phân. Tức là:

b

b

∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du
a

a

=…

a

b

− Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân

∫ f ( x)dx là diện tích
a

của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a
và x = b.
2. Các tính chất của tích phân:
a

1/.

∫ f ( x)dx = 0

2/.

a

b

b

3/. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x )dx
a
c

5/.


a

4/.

a

b

c

a

b

b

a

a

b

∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx

b

b

b

a

a

a

∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
b

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

6/. Nếu f(x) ≥ 0 trên đoạn [a; b] ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ 0
a

b

b

a

a

7/. Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] ⇒ ∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x )dx
C. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:

I. Biến đổi về tổng hiệu các tích phân cơ bản:

18 −

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
Phương pháp:
+ Sử dụng các tính chất của tích phân, ác phép biến đổi đại số.
b

+ Sử dụng công thức:

b

∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a) .
a

Bài tập : Tính các tích phân sau:
2

2

I1 = ∫ ( x − 2 x + 3)dx
2

1

2

I 2 = ∫ (3x − 4) dx
2

1

 x3

7
I1 =  − x 2 + 3 x ÷ =
 3
÷

1 3
2

(

I 2 = ∫ (9 x 2 − 24 x + 16)dx = 3 x3 − 12 x 2 + 16 x
1

3

1
I 3 = ∫ ( x + ) 2 dx
x
1

)

2

1

=1

3

 x3
1
1
22
I 3 = ∫ ( x + 2 + 2 )dx =  + 2 x − ÷ =
x
x 1 3
 3
1
3

2

2

I 4 = ∫ ( x 2 x + 1)dx
0

2

2

5
2

16
2 7

I 4 = ∫ ( x + 1)dx = 
x + x÷ =
2+2
7
0 7
0

3

I 5 = ∫ x 2 − 4 x + 3 dx
1

1

I6 = ∫
0

I7 =

x2 + x + 1
dx
x +1

π
4

π
4

0

I8 =

5

∫ ( cos

2

x

− 4sin x + cos x)dx

−x

)dx

−2

I9 = ∫
0

2

1

 x2

1 
1

I6 = ∫  x +
dx
=
 + ln ( x + 1) ÷ = + ln 2
÷
x −1 
 2
0 2
0
1

I 7 = ( 5 tan x + 4 cos x + sin x )

π
4
π

4

0

∫ (x − e

π
2

3

 x3

38
I 5 = − ∫ ( x − 4 x + 3) dx =  − + 2 x 2 + 3x ÷ =
 3
1 3
1
3

1 + cos 2 x
dx
2

 x2

I 8 =  + e − x ÷ = −1 − e 2
 2
÷

 −2
π
2

I 9 = ∫ cos xdx

π
= sin x 02

=1

0

Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:
ĐS: I1 = −12

2

I1 = ∫ ( x3 − 3x 2 + 1)dx
−2

19 −

= 2

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
2

ĐS: I 2 =

I 2 = ∫ ( x x − x )dx

8

2 −2
5

0

16

I3 = ∫
0

I4 =

16

1
dx
x+9 − x

x+9 + x
dx
9

HD: I 3 = ∫
0

π
2

∫ cos 5x.sin 3xdx

I4 =

−π
4

π
2

1
(sin 4 x − sin x) dx
2 −∫π

ĐS:

4

π

1
1
2
 1
4
=  − cos 4 x + cos x ÷ = − +
2
4 4
 8
 −π
4

π
4

ĐS: I 5 = 1 −

I 5 = ∫ tan 2 xdx

π
4

0

π
2

ĐS: I 6 = 1 −

π

I 6 = ∫ sin x.cos  x − ÷dx
4

0
2

2
4

II. Phương pháp đổi biến dạng 1:
1. Phương pháp:

b

Giả sử cần tính

∫ f ( x).dx, với giả thiết hàm số
a

f ( x) liên tục trên [ a; b ], ta thực hiện theo

các bước:
Bước 1: Chọn x = ϕ (t ), Trong đó ϕ (t ) là hàm số được lựa chọn thích hợp.
Bước 2: Lấy vi phân dx = ϕ ‘ (t )dt, giả sử ϕ ‘ (t ) liên tục.
Bước 3: tính các cận α và β tương ứng theo a, b với a = ϕ ( α ) và b = ϕ ( β ) thì:
b

β

β

a

α

α

∫ f ( x).dx = ∫ f [ ϕ(t )] ϕ ‘(t )dt = ∫ g (t )dt

(Ở đó g (t ) = f [ ϕ(t ) ] ϕ ‘(t ) )

2. Chú ý: Nếu tích phân có dạng:

+ Dạng 1 :

∫ f ( x,

2

a −x

2

π
π

x = a sin t khi − ≤ t ≤

2
2
đặt

 x = a cos t khi 0 ≤ t ≤ π

) dx

20 −

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG

+ Dạng 2 :

∫ f ( x,

(

)


a
 π π
 x = sin t khi t ∈  − 2 ; 2  \ { 0}


đặt 

a
π
khi t ∈ [ 0; π] \  
x =
cos t
2

) dx

π
π

x = a tan t khi − < t < 
2
2
đặt

 x = a cot t khi 0 < t < π x 2 − a 2 dx + Dạng 3 : ∫ f x, x + a
2

2

Bài tập: Tính các tích phân:
1

 π π

Đặt x = sint, t∈  − ;  ⇒ dx = costdt. Với x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
 2 2

I1 = ∫ 1 − x dx
2

0

π
2

(Dạng 1)

π
2

π
2

0

0

Vậy I = cos 2 tdt = 1 + cos 2t dt = π

1
2

I2 = ∫
0

1
1 − x2

dx

(Dạng 1)

2

4

 π π
;
⇒ dx = cos tdt
 2 2 

Đặt x = sin t, t ∈  −

Với x = 0 ⇒ t = 0; x =
π
6

1
π
⇒t =
2
6

π

Vậy I = dt = t 6 = π
2
0

6

0

1

I3 = ∫

HD: Đặt x = tan t

dx

0 1+

x2

ĐS: I 3 =

π
4

(Dạng 3)
1

I4 =

2
2

1 − x2

x2

dx

(Dạng 1)
2

I 5 = ∫ x 2 4 − x 2 dx
0

 π π
;
⇒ dx = cos tdt
 2 2 

HD: Đặt x = sin t, t ∈  −
Đs: I 4 = 1 −

π
4

 π π
;
⇒ dx = 2cos tdt
 2 2 

HD: Đặt x = 2sin t, t ∈  −

21 −

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
(Dạng 1)

Đs: I 5 =

2

I6 =

2
3

dx

HD: Đặt x =

2

x x −1

(Dạng 2)
3

I7 =

∫x

Đs: I 6 =

−2

π
12

1
 π π
; ÷⇒ dx =
dt
cos 2 t
 2 2

Đs: I 7 = 1

(Dạng 3)
I8 =

1
cos t
 π π
, t ∈  − ;  ⇒ dx = − 2 dt
sin t
sin t
 2 2

HD: Đặt x = tan t, t ∈  −

1 + x 2 dx

0

2

2 2
3

2
 π π
; ÷⇒ dx =
dt
cos 2 t
 2 2

x 2 dx

HD: Đặt x = 2 tan t, t ∈  −

2

x +4

(Dạng 3)

Đs: I 7 =

π 1

4 2

III. Phương pháp đổi biến dạng 2:
b

1. Phương pháp: Giả sử tích phân có dạng:


a

b

f ( x )dx = ∫ g (v( x)).v ‘( x ).dx
a

Đặt t = v(x) ⇒ dt = v’(x)dx ⇒ f(x)dx = g(v(x)).v’(x).dx = g(t)dt
b

Vậy


a

β

f ( x)dx = ∫ g (t ).dt, với α = v(a); β = v(b).
α

2. Các dấu hiệu để sử dụng phương pháp đổi biến dạng 2.
Dấu hiệu của hàm

Gợi ý đặt ẩn phụ

Hàm f ( ax + b )

Đặt t = ax + b

(

)

Đặt t = x n+1

( x ) .21x

Đặt t = x

n +1
.x n
Hàm f x

Hàm f

(

Hàm f x, ϕ( x)
Hàm f ( ln x ) .

)

Đặt t = ϕ( x)
Đặt t = ln x

1
x

22 −

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG

( )

Đặt t = e x

x
x
Hàm f e .e

Hàm f ( cos x ) .sin x hoặc hàm số lẻ với sin x

Đặt t = cos x

Hàm f ( sin x ) .cos x hoặc hàm số lẻ với cos x

Đặt t = sin x

1
.
cos 2 x
1
Hàm f ( cot x ). 2 .
sin x

Đặt t = tan x

Hàm f ( tan x ) .

Đặt t = cot x

3. Bài tập: Tích các tích phân sau:
1

I1 = ∫ x ( 1 − x ) dx
19

0

Đặt t = 1 − x ⇒ dt = − dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0
1

19

1

I2 = ∫
0

1

I3 = ∫
0

1

 t 20 t 21 
1
⇒ I1 = − ∫ ( 1 − t ) t dt = ∫ ( t − t ) dt =  − ÷ =
 20 21  0 420
1
0
0

2 x3
x2 + 1

dx

xdx
dx
2x + 1

19

20

3
2

HD: Đặt t = x2 + 1. Đs: I 2 = − ln 2

Đặt t = 2 x + 1 ⇒ t 2 = 2 x + 1 ⇒ 2tdt = 2dx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 3

⇒ I3 =

3

 t3 t 
t −1
1
dt =  − ÷ =
2
3
 6 2 1

3 2


1

1

Đặt t = 1 − x 2 ⇒ t 2 = 1 − x 2 ⇒ 2tdt = −2 xdx

0

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 0

I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx

1

1

t3
1
⇒ I 4 = ∫ t dt =
=
30 3
0
2

1

I 5 = ∫ x3 1 + x 2 dx
0

Đặt t = 1 + x 2 ⇒ t 2 = 1 + x 2 ⇒ 2tdt = 2 xdx
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2

23 −

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
2

 t4 t2 
1
⇒ I 5 = ∫ (t − 1).tdt =  − ÷ =
4
 4 2 1
1
2

2

2

x +1
I6 = ∫ 3
dx
3x + 2
0

e2

dx

∫ x ln x

I7 =

e

Đặt t = 3 3 x + 2 ⇒ t 3 = 3 x + 2 ⇒ 3t 2 dt = 3dx

(

)

1
37 − 4 2
15
1
Đặt t = ln x ⇒ dt = dx
x
ĐS: I 6 =

Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = e 2 ⇒ t = 2
2

dt
2
= ln t 1 = ln 2
t
1

I7 = ∫
ln 2

I8 =

Đặt t = e x + 1 ⇒ dt = e x dx

e x dx
(e x + 1) 2

0

3

2

1
1
I8 = ∫ 2 = − =
t1 6
2t
π
4

I9 = ∫
0

π
4

dx

I9 = ∫

4

cos x

0

π
2

2 cos xdx
3 + 2sin x
0

I10 = ∫

7

I11 =


0

x3
3

dt

1 + x2

dx

dx
4

cos x

I12 = ∫ 4sin 3 xdx
0

=∫
0

π
4

1
2

cos x

(tan 2 x + 1)dx = ∫ (tan 2 x + 1)d (tan x) =
0

5

dt
5
5

= ln t 3 = ln
t
3
3

I10 = ∫

HD: Đặt t = 3 1 + x 2 ⇒ t3 = 1 + x2 ⇒ x2 = t3 − 1 và 3t2dt =
141
20
π
2

π
2

0

0

HD: I = 4sin 3 xdx = 4(1 − cos 2 x) sin xdx
12

Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau:
π
2

I1 = ∫

π
4

4
3

Đặt t = e x + 1 ⇒ dt = e x dx

2xdx. Đs:
π
2

π
4

HD:
dx
sin 4 x

24 −

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
π
2

(

I1 = ∫ 1 + cot 2 x
π
4

3

I2 =

∫x

5

2

1 + x dx

0

2

0

I4 =

−2

x2 + 1

x x2 + 1

4

I5 =

dx

dx

7

x x2 + 9

π
2

I 6 = ∫ cos3 xdx
0

e

1 + ln x
dx
x

I7 = ∫
1

8

3

π
4

I9 = ∫
0

x x2 + 1

cos x

848
105

52
9

1
2

ĐS: I 4 = − ln 2
HD: Đặt t = 9 + x 2
ĐS: I 5 =

1 7
ln
6 4
π
2

(

)

HD: I = 1 − sin 2 x d ( sin x ) = 2
6

0

3

HD: Đặt t = 1 + ln x

4 2 2

3
3

1 3
ln HD: Đặt t = 1 + x 2
2 2
1 3
ĐS: I 8 = ln
2 2

ĐS: I 8 =

π
4

3

2

)

HD: Đặt t = 1 + x 2

dx

sin x

π
4

HD: Đặt t = 1 + x 2

ĐS: I 7 =

I8 =

(

dx

HD: I =  1 −
9
∫
0

(

)

2
dx = ∫  1 + cot 2 x + cot 2 x 1 + cot 2 x  dx = −


3

HD: Đặt t = 1 + x 3
ĐS: I 3 =

2

2

HD: Đặt t = 1 + x 2
ĐS: I 2 =

I 3 = ∫ x 2 1 + x3 dx

)

π
2

3 2

÷d ( cos x ) = 2 − 2
cos x 
1

2

25 −

gia ∆ x tại x sao cho x + ∆ x ∈ ( a ; b ). Ta gọi tích f ’ ( x ). ∆ x hoặc y ’ ( x ). ∆ x là vi phân của hàm sốy = f ( x ) tại x ứng với số gia ∆ x. Ký hiệu : dy hoặc df ( x ). Vậy : dy = y ’ ∆ x hoặc df ( x ) = f ’ ( x ). ∆ xTa có : hàm số y = x thì : dy = dx = x ’. ∆ x = ∆ x. Vậy dy = y ’. dx hoặc df ( x ) = f ’ ( x ) dx2. Các hệ thức thường dùng : dx = d ( x + C ) kdx = d ( kx + C ) xdx = 1 2 dxx n dx = 1 − d ( x n + 1 + C ) n + 1CHUY ÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNGe kx dx = cosx.dx = d ( sin x + C ) sinx.dx = − d ( cos x + C ) dxcos xdx = d ( tan x + C ) sin 2 xd e kx + Cdx = d ( ln | x | + C ) = d ( cot x + C ) II. Nguyên hàm : 1. Định nghĩa : Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng chừng ( a ; b ) nếu : ∀ x ∈ ( a ; b ) ta có : F ’ ( x ) = f ( x ). Nếu thay khoảng chừng ( a ; b ) bằng đoạn [ a ; b ] thì ta phải có thêm điều kiện kèm theo : F ‘ ( a + ) = f ( a ) ; F ‘ ( b − ) = f ( b ). 2. Định lí : Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng chừng ( a ; b ) ta có : + ∀ C = const, F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên khoảng chừng đó. + trái lại mọi nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên ( a ; b ) đều hoàn toàn có thể viết dưới dạng : F ( x ) + C, C = const. Kí hiệu họ toàn bộ những nguyên hàm của hàm số f ( x ) là ∫ f ( x ) dx đọc là họ nguyên hàm củahàm số f ( x ). Vậy ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + CTrong đó F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) và C là hằng số tùy ý. Ta có ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ F ( x ) = f ( x ) và : + ) Dấuđược gọi là dấu tích phân. + ) Biểu thức f ( x ) dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và đó là vi phân của mọi nguyênhàm của f ( x ). 3. Các đặc thù : 1 /. ( ∫ f ( x ) dx ) ‘ = f ( x ) 2 /. ∫ af ( x ) dx = a ∫ f ( x ) dx3 /. ∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ f ( x ) dx4 /. ∫ f ( t ) dt = F ( t ) + C ∫ f ( u ( x ) ). u ‘ ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C4. Bảng những nguyên hàm cơ bản : 2 − CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNGNguyên hàm của những hàm số sơ cấpNguyên hàm của những hàm số hợp ∫ dx = x + C ∫ du = u + Cxα + 1 ∫ x dx = α + 1 + C ( α ≠ 1 ) uα + 1 ∫ u du = α + 1 + C ( α ≠ 1 ) dx = ln x + C ( x ≠ 0 ) ∫ e dx = edu = ln u + C ( u ≠ 0 ) ∫ e du = e + C + Cax ∫ a dx = ln a + C ( 0 < a ≠ 1 ) au ∫ a du = ln a + C ( 0 < a ≠ 1 ) ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos ∫ sindx = tan x + C ∫ cosdx = − cot x + C ∫ sindu = tan u + Cdu = − cot u + CChú ý : Để làm tốt phần tích phân học viên phải vận dụng tốt những công thức nguyên hàmsau : α + 1  αxα + 11 ( ax + b ) + C ; ∫ ( ax + b ) =. + C  ∫ x dx = uα + 1 + C ( α ≠ − 1 ) ⇒  1 ) ∫ u du = α + 1  du = u + C ; du = − 1 + C ; du = − + C   ( α − 1 ) uα − 1  dx   ∫ x = ln x + Cdu2 ) ∫ = ln u + C ( u ≠ 0 ) →   dx = 1 ln ax + b + C   ∫ ax + b a  xaxdx + C ; ∫ eu du = eu + Cln a + C ( 0 < a ≠ 1 ) ⇒  3 ) ∫ a du = ln a  e x du = e x + C ; e ax + b du = 1 e ax + b + C   ∫  sinx dx = − cosx + C  ∫ 4 ) ∫ sin udu = − cos u + C ⇒   ∫ sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C3 − CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG  cosx dx = sinx + C  ∫ cosudusin5 ) ∫  ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + Cdx = − cotx + C  sin x6 ) ∫ 2 du = − cot u + C ⇒  sin u  ∫ 2 dx = − cot ( ax + b ) + C   sin ( ax + b ) dx = tanx + C  cos x7 ) ∫ 2 du = tan u + C ⇒  cos u  ∫ dx = tan ( ax + b ) + C   cos ( ax + b ) 8 ) du1  11  u − aduln ∫ u − a 2 a ∫  u − a u + a  2 a u + a + C5. Sự sống sót của nguyên hàm : Định lí : Mọi hàm số f ( x ) liên tục trên [ a ; b ] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. C. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM : SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂNI. Phương pháp chung : Đưa về nguyên hàm cơ bản : 1 ) Kiến thức sử dụng : + ) Các đặc thù của nguyên hàm. + ) Bảng những nguyên hàm. 4 − CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG + ) Các phép biến hóa đại số. ∫ f ( x ) dx2 ) Phương pháp : TínhTa biến hóa, nghiên cứu và phân tích, tách hàm số f ( x ) ta triển khai theo những bước sau : Bước 1 : Biến đổi hàm số f ( x ) = α1 f1 ( x ) + α 2 f 2 ( x ) + ... + α n f n ( x ). Với f i ( x ) có nguyênhàm trong bảng công thức và α i là những hằng số. Bước 2 : Tính ∫ f ( x ) dx = ∫ αf ( x ) dx + ∫ α 2 f 2 ( x ) dx + ... + ∫ α n f n ( x ) dx1 13 ) Ví dụ về phép đổi khác đại số. + Với f ( x ) = x 3 − 2 thì viết lại f ( x ) = x 6 − 4 x 3 + 4x2 − 4 x + 5 thì viết lại f ( x ) = x − 3 + x − 1 x − 1 + Với f ( x ) = 2 thì viết lại f ( x ) = x − 5 x + 6 x − 3 x − 2 + Với f ( x ) = thì viết lại f ( x ) = 3 + 2 x − 2 x + 12 x + 1 + 3 + 2 x + Với f ( x ) = + Với f ( x ) = 2 x − 3 xthì viết lại f ( x ) = 4 x − 2.6 x + 9 x4 ) Bài tập. Bài 1. Tính những nguyên hàm sau ( Sử dụng bảng nguyên hàm ) : Tính nguyên hàmĐáp án5x2 − x + CI1 = ∫ ( 5 x − 1 ) dxI1 = ∫ ( 5 x − 1 ) dx = 1  I 2 = ∫  x 2 − 3 x + ÷ dxx  1  I 2 = ∫  x 2 − 3 x + ÷ dx = ∫ x 2 dx − ∫ 3 xdx + ∫ dxx  = x3 − 3. x 2 + ln x + CI3 = ∫ x + 3 x dxx > 0I3 = ∫ 1   1 x + x dx = ∫  x 2 + x 3 ÷ dx = x 2 + x 3 + C1  I4 = ∫  e x + ÷ dxcos 2 x  1  I4 = ∫  e x + dx = e x + tan x + C2 ÷ cos x   1I5 = ∫  − 1 ÷ dx  cos x   1I5 = ∫  − 1 ÷ dx = tan x − x + C  cos x  I 6 = ∫ e x − 1 dxI 6 = ∫ e x − 1 dx = e x − x + C5 − CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNGI 7 = ∫ ( 1 − sin x ) dxI 7 = ∫ ( 1 − sin x ) dx = x + cos x + CBài 2. Tính những nguyên hàm sau ( Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản ) : I1 = ∫ ( 2 x + 3 ) dx = ∫ ( 4 x 2 + 12 x + 9 ) dxI1 = ∫ ( 2 x + 3 ) dxI2 = ∫ x − 14 3 x + 6×2 + 9 x + CI2 = ∫ dxx − 1 dx = ∫ x − 2 x + 1 dx1  = ∫  1 − 4 + ÷ dx = x − 4 x + ln x + C2 x x  ( 2 x5 + 3 x ) 2I3 = ∫ dxx4e − x  I 4 = ∫ e  1 + dx  cos 2 x ÷ x   4 x10 + 12 x 6 + 9 x 2  dxdx ∫   x49  = ∫  4 x 6 + 12 x 2 + 2 ÷ dx = x 7 − + 4 x3 + Cx  I3 = ∫ ( 2 x5 + 3 x ) 21  I4 = ∫  e x + dx = e x + tan x + C2 ÷ cos x  I 5 = ∫ sin 2 x.cos 3 xdxI 5 = ∫ ( − sin x + sin 5 x ) dx = cos x − sin 5 x + CI 6 = ∫ tan 2 xdx  1I6 = ∫  − 1 ÷ dx = tan x − x + C  cos x  I 7 = ∫ sin 2 dxI7 = ∫ 1 − cos xdx = x − sin x + CBài tập tự luyện : Tính nguyên hàmI1 = ∫ I2 = ∫ ( x 2 − 1 ) 2×2 Đáp ándxx + 3 x + 4 x dxĐS : I1 = x3 − 2 x − + CĐS : I 2 = 2 3 33 4 44 5 x + x + x + C ( x > 0 ) I3 = ∫ 3 x3 − x 2 2 + 5 x − 3×3 dxĐS : I 3 = 3 x − 2 ln x − 6 − + 2 + Cx 2 xCHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNGI4 = ∫ ( x − 1 ) 2 dxĐS : I 4 = x − 4 x + ln x + C2   1I5 = ∫  − 3 ÷ dxx   xĐS : I 5 = 2 x − 33 x 2 + CI 6 = ∫ e x 1 − e − x dxI 6 = ∫ e x − 1 dx = e x − x + Cx  I 7 = ∫  sin − cos ÷ dx2  I 7 = ∫ ( 1 − sin x ) dx = x + cos x + CI8 = ∫ cot 2 xdxI8 = ∫ cot 2 xdx = − cot x − x + CBài 3. Tính những nguyên hàm sau ( Đổi vi phân ) : Tính nguyên hàmĐáp án ( 2 x + 3 ) 3 d ( 2 x + 3 ) = ( 2 x + 3 ) 4 + CI1 = ∫ ( 2 x + 3 ) dxI1 = I 2 = ∫ cos 4 x. s inxdxI 2 = − ∫ cos 4 x d ( cos x ) = − cos5 x + CI3 = ∫ I4 = ∫ 2 e xI3 = ∫ dxe + 1 ( 2 ln x + 1 ) 2 dxI4 = e + 1 d e x + 1 = 2 ln e x + 1 + C ( 2 ln x + 1 ) 2 d ( 2 ln x + 1 ) = ( 2 ln x + 1 ) 3 + CBài tập tự luyện : I1 = ∫ ( x + 3 ) 2015I1 = ∫ ( x + 3 ) dxI4 = ∫ ex ( e + 1 ) I3 = ∫ dx1 + ln xdxtan xcos x ( e + 1 ) năm nay d ( e x + 1 ) = − I 4 = ∫ 1 + ln x d ( 1 + ln x ) = I 5 = ∫ tan xdxI6 = ∫ ( x + 3 ) năm nay + Cd ( x + 3 ) = I 2 = ∫ sin 4 x d ( sin x ) = sin 5 x + CI 2 = ∫ sin 4 x. cosxdxI3 = ∫ năm ngoái ( e + 1 ) + C ( 1 + ln x ) 3 + CI 5 = ∫ tan xdx = − ln cosx + CI6 = ∫ dxtan xcos xBài 4. Tính những nguyên hàm sau ( Tổng hợp ) : Tính nguyên hàmdx = − ∫ Đáp án7 − d ( cos x ) cos x3cos3 x + CCHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNGI1 = ∫ ( 4 x + 4 x + 32 x + 1 ) dxdxx + 9 − xI2 = ∫ I3 = ∫ I2 = ∫ dxI3 = x − 4 x + 3I4 = ∫ x ( 1 − x ) 2  I1 = ∫  2 x + 1 + ÷ dx = x + x + ln 2 x + 1 + C2x + 1  năm ngoái dxdxx + 9 + x1  2 = ∫ dx =  9  3 x + 9 − x ( x + 9 ) 3 + 2 3  x ÷ + C1  11  1 x − 3 + C ÷ = ln2  x − 3 x − 1  2 x − 1I4 = ∫ ( 1 − x ) 2002 dx − ∫ ( 1 − x ) 2003 dx = − ( 1 − x ) 2003 + ( 1 − x ) 2004 + C20032004Bài tập tự luyện : I1 = ∫ dxx + 2 + x − 3I2 = ∫ dxI3 = ∫ 1 + e5 ∫ I2 = ∫ 2 x − 5 x + 32015 x + 2 + x − 3 dx = dx1 + e = ∫ 1 + ex − ex1 + e2  15   ( x + 2 ) 3 + ( x − 3 ) 3   + Cdx = x − ln 1 + e x + C2  x − 2  1I3 = ∫  + C ÷ dx = ln2x − 3  x − 2 2 x − 3  dxI4 = ∫ x ( 1 − x ) I1 = dxI 4 = ∫ ( x − 1 + 1 ) ( 1 − x ) 2015201720161 − x ) 1 − x ) dx = + C20172016II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : A. Phương pháp đổi biến dạng 1.1. Định lí : a. Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C và u = ϕ ( x ) là hàm số có đạo hàm thì ∫ f ( u ) du = F ( u ) + Cb. Nếu hàm số f ( x ) liên tục thì khi đặt x = ϕ ( t ) trong đó ϕ ( t ) cùng với đạo hàm của nó ϕ ‘ ( t ) lànhững hàm số liên tục, ta sẽ được ∫ f ( x ) = ∫ f   ϕ ( t )  . ϕ ( t ) dt2. Phương pháp triển khai : Để sử dụng giải pháp đổi biến dạng 1 tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) tất cả chúng ta thựchiện theo những bước sau : Bước 1 : Đặt x = ϕ ( t ), trong đó ϕ ( t ) là hàm số mà ta chọ cho thích hợp. Bước 2 : Lấy vi phân dx = ϕ ‘ ( t ) dt. Bước 3 : Biểu thị f ( x ) dx theo t và dt. Giả sử f ( x ) dx = g ( t ) dtBước 4 : Khi đó ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( t ) dt8 − CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG3. Lưu ý : Các tín hiệu để sử dụng giải pháp đổi biến dạng 1. Dấu hiệuDấu hiệu 1 : a2 − x2Dấu hiệu 2 : x 2 − a 2D ấu hiệu 3 : a 2 + x 2C ách chọn  x = a sin t khi − 2 ≤ t ≤ 2  x = a cos t khi 0 ≤ t ≤ π  π π   x = sin t khi t ∈  − 2 ; 2  \ { 0 }  π  khi t ∈ [ 0 ; π ] \    x = cos t  2   x = a tan t khi − 2 < t < 2  x = a cot t khi 0 < t < π4. Bài tập : Tính những nguyên hàm sau : I1 = ∫ 1 − x 2 dx ( Dấu hiệu 1 ) I2 = ∫ 1  1 ⇒ I1 = ∫ cos 2 t =  t + sin 2 t ÷ + C2  2 dx ( 1 − x ) 2 3 ( Dấu hiệu 1 ) I3 = ∫  π π  Đặt x = sin t ⇒ dx = cos t.dt, t ∈  − ;   2 2  dx ( 1 + x ) 2 3 ( Dấu hiệu 3 )  π π  dt ⇒ I2 = ∫ = tan t + C = + Ccos t1 − x2Đặt x = sin t ⇒ dx = cos t.dt, t ∈  − ; ÷ 2 2  π π  Đặt x = tan t, t ∈  − ; ÷ ⇒ dx = 2 2 dxx + 2 x + 3 cos 2 tdtI 3 = ∫ cos tdt = sin t + C = tan t. cos 2 t + C = tan t. I4 = ∫ I4 = ∫ ( Dấu hiệu 3 ) I4 = ∫ 1 + tan 2 t + C = dx ( x + 1 ) + 21 + x2 + C  π π  ; ÷  2 2 , đặt x + 1 = 2 tan t, t ∈  − cos t1  cos tcos t  dt = ∫ = − ∫  ÷ dtcost1 − sin t2  − 1 + sin t 1 + sin t  1 sin t − 1 = − ln + C2 sin t + 19 − CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNGI5 = ∫ dx1 + x2 ( Dấu hiệu 3 ) I6 = ∫ HD : Đặt x = tan tĐS : I 5 = dt = t + CĐặt x = dxx x2 − 1 ( Dấu hiệu 2 ) cos t ⇒ t = − 2 dtsin tsin t ⇒ I 6 = − ∫ dt = − t + C5. Bài tập tự luyện : I1 = ∫ HD : Đặt x = 2 sin tĐS : I1 = 2 t + Cdx4 − x ( Dấu hiệu 1 ) I 2 = ∫ x 2 1 − x 2 dx1  8  HD : Đặt x = tan tdx ( 1 + x ) 2 3 ( t + sin 2 t ) +   t + sin 4 t  ÷ + C8  4 ĐS : I 3 = ( Dấu hiệu 3 ) I 4 = ∫ x3 1 + x 2 dx ( Dấu hiệu 3 ) I5 = ∫ ĐS : I 2 =  t − sin 4 t ÷ + C ( Dấu hiệu 1 ) I3 = ∫ HD : Đặt x = sin tdxx + x + 1HD : Đặt x = tan ttan 3 t1 − cos 2 tI4 = ∫ dt = − ∫ d ( cost ) cos3 tcos 6 tĐS : + C5cos5 t 3 cos3 tI5 = ∫ dxx + x + 1 ( Dấu hiệu 3 ) ĐS : I 5 = = ∫ dxtan t1  3 HD : Đặt x + = 2  42 3 t + CB. Phương pháp đổi biến dạng 2 : 1. Định lí : Nếu ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C và u = u ( x ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì : ∫ f ( u ( x ) ) u ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C10 − CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG2. Phương pháp triển khai : Để sử dụng giải pháp đổi biến dạng 2 tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) tất cả chúng ta thựchiện theo những bước sau : Bước 1 : Chọn t = ϕ ( x ), trong đó ϕ ( x ) là hàm số mà ta chọ cho thích hợp, rồi xác địnhx = ψ ( t ) ( nếu hoàn toàn có thể ). Bước 2 : Xác định vi phân dt = ϕ ' ( x ) dx. Bước 3 : Biểu thị f ( x ) dx theo t và dt. Giả sử f ( x ) dx = f ( ϕ ( x ) ). ϕ ' ( x ) dx = g ( t ) dt ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( t ) dtBước 4 : Khi đó3. Lưu ý : Các tín hiệu để sử dụng chiêu thức đổi biến dạng 2. Dấu hiệu của hàmGợi ý đặt ẩn phụĐặt t = ax + bHàm f ( ax + b ) Hàm f xHàm fn + 1 ). xĐặt t = x n + 1 ( x ). 21 xHàm f x, ϕ ( x ) Hàm f ( ln x ). Đặt t = xĐặt t = ϕ ( x ) Đặt t = ln x ( ) Đặt t = e xHàm f e. eHàm f ( cos x ). sin x hoặc hàm số lẻ với sin xĐặt t = cos xHàm f ( sin x ). cos x hoặc hàm số lẻ với cos xĐặt t = sin xcos 2 xHàm f ( cot x ). 2. sin xĐặt t = tan xHàm f ( tan x ). Đặt t = cot x4. Bài tập : Bài 1. Tìm nguyên hàm của những hàm số sau. Tính nguyên hàmI1 = ∫ dx, x − 2G ợi ýCách 1 : Đổi vi phân. Cách 2 : Đặt t = x − 211 − Đáp ánI1 = ∫ dx = ln x − 2 + Cx − 2CHUY ÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNGI2 = ∫ I3 = ∫ dx, dx, ( x − 2 ) ( x − 2 ) Cách 1 : Đổi vi phân. Cách 2 : Đặt t = x − 2C ách 1 : Đổi vi phân. Cách 2 : Đặt t = x − 3I2 = − I3 = + Cx − 2 − 12 ( x − 2 ) + Cvới a, α − cos tCách 1 : Đổi vi phân. Cách 2 : Đặt2x + 1I4 = ∫ dxx + x + 3I 4 = ln x 2 + x + 3 + Ct = x2 + x + 3I 5 = ∫ ( 2 x + 1 ) 2015C ách 2 : Đặt t = 2 x + 1 ⇒ dt = 2 dxCách 1 : Đổi vi phân. Cách 2 : Đặt t = 2 x + 1 dxI 5 = ∫ ( 2 x + 1 ) năm ngoái dx = 1 năm ngoái dt2 ∫ ( 2 x + 1 ) t năm nay + C = 403240322016I 6 = ∫ x 2 − 3 xĐặt t = 2 − 3 x 2 ) dx2 8I62 − 3 x 2 ) 180B ài tập tự luyện : Tìm nguyên hàm của những hàm số sau. Tính nguyên hàmĐáp ánI1 = ∫ ( 2 x + 2 ) dxI2 = ∫ I1 = ∫ ( 2 x + 2 ) dxdxI 3 = ∫ 2 x 2 + 1. xdx = x + 5I4 = ∫ dxexe + 11 + cos xI9 = ∫ cos xdx1 + sin x2x2 + 1 + C32dx = ln x 2 + 5 + Cx + 51 2 x + x + 4I 7 = ∫ sin 2 x.cos xdxsin 2 x + CI 6 = ln e x + 1 + CdxI8 = ∫ I5 = ( 3 − 2 x ) + C + C8 ( 3 − 2 x ) ( 3 − 2 x ) 12I2 = ∫ I 5 = ∫ ( 2 x + 1 ) x 2 + x + 4 dxI6 = ∫ ( 2 x + 2 ) dx = I 3 = ∫ 2 x 2 + 1. xdxI4 = ∫ dxI 7 = sin 3 x + Csin 2 xI8 = ∫ 1 + cos xI9 = ∫ cos xdx = ln 1 + sin x + C1 + sin xdx = − ln 1 + cos 2 x + C12 − 10 + C2 − 3 x 2 ) 81 + CCHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNGI10 = ∫ ( 2 x + 1 ) x 2 + x + 4 dxI11 = ∫ cos 2 xsin 8 xI10 = 1 2 x + x + 4 + CĐặt t = cot xdxBài 2. Tìm nguyên hàm của những hàm số sau. Tính nguyên hàmGợi ýI1 = ∫ Đáp ánĐặt t = x − 1 dx, 1 + x − 1 ( t + 1 ). 2t.dt = 2I1 = ∫ 1 + t ∫   t − t + 2 − 2  ÷ dt1 + t   t3 t 2 = 2  − + 2 t − 2 ln 1 + t ÷ + C  3 2  x − 1 3 ) x − 1 = 2  + 2 x − 1 − 2 ln x ÷ + C   I2 = ∫ Đặttan xdx, sin 2 xt = tan x ⇒ t 2 = tan x ⇒ 2 tdt = dxcos 2 xCách 1 : Đổi vi phân. Cách 2 : ĐặtI3 = ∫ x x 2 + 1I 2 = ∫ dt = t + C = tan x + CI 3 = ∫ t 2 dt = t = x2 + 1I4 = ∫ I5 = ∫ Đặt t = 1 + xdxx. 1 + xx3dx1 − x2dtI4 = ∫ Đặtt = 1 − x ⇒ x = 1 − t + C = Đặt t = cos xI2 = ∫ cos xdx1 + tan xI8 = ∫ + CI7 = ∫ I6 = ln xdxx 1 + ln xI 5 = ∫ − 2 + 4 t 2 − 6 t 4 + 2 t 6 dtcos x1 − xBài tập tự luyện : Tìm nguyên hàm của những hàm số sau. I1 = ∫ x2 + 1 = − + C = − + C1 + x = − 2 1 − x + I 6 = ∫ sin 3 x. cos xdxdx1 + exe x − e − xe x + e − x13 − dxcos x1 − x + C1 − x + CCHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNGe tan xI 3 = ∫ sin 3 x cos xdxI9 = ∫ I 4 = ∫ x5 3 1 − 2 x 2 dxI10 = ∫ dxx ln x ( x + 1 ) dxI11 = ∫ ( x + 1 ) dxI5 = ∫ I6 = ∫ x ( 1 + x. e ) e − x1 + e − xcos 2 xdxx ( 1 + x. e x ) dxIII. PHƯƠNG PHÁP LẤY NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN : 1. Định lý : Nếu u ( x ), v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng chừng K thì : ∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ). v ( x ) − ∫ v ( x ) u ' ( x ) dx2. Phương pháp triển khai : Để tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) bằng chiêu thức lấy nguyên hàm từng phần tathực hiện theo những bước sau : Bước 1 : Biến đổi ∫ f ( x ) dx = ∫ f1 ( x ). f 2 ( x ) dx ( nếu cần ).   u = f1 ( x )  du ⇒    dv = f 2 ( x ) dx  vBước 2 : Đặt  Bước 3 : Khi đó : ∫ f ( x ) dx = u. v − ∫ vdu. 3. Trường hợp sử dụng : + ) f ( x ) có chứa hàm số lôgarit. + ) f ( x ) có dạng tích của hai loại hàm số khác nhau. + ) f ( x ) có chứa tham số nguyên tự nhiên n ( ít gặp ). 4. Chú ý : Khi sử dụng giải pháp lấy nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm chúngta cần tuân thủ những nguyên tắc sau đây : + ) Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác lập một cách thuận tiện. + ) Ta thường đặt v ' ( x ) là những hàm số lượng giác ; hàm số mũ cơ số e ; hàm đa thức. + ) Thứ tự ưu tiên chọn u như sau : 14 − CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNGSố 1 : Hàm lôgarit. Số 2 : Hàm lũy thừa. Số 3 : Hàm lượng giác. Số 4 : Hàm số mũ. + ) nguyên hàm vdu được xác lập thuận tiện hơn so với ∫ f ( x ) dx. 5. Bài tập : Tích những nguyên hàm sau : Tính nguyên hàmI1 = ∫ x. sinx dxGợi ýĐáp án  u = xĐặt   dv = sin xdxĐs : I1 = − x.cos x + sin x + CI 2 = ∫ x 2 + 5. sinx dx  u = x 2 + 5 Đặt   dv = sin xdxĐs : I 3 = ∫ x. sin 2 x dx  u = xĐặt   dv = sin 2 xdxĐs : I 3 = − x.cos 2 x + sin 2 x + CI 4 = ∫ x. e x dx  u = xĐặt   dv = e dxĐs : I 4 = x. e x − e x + C  u = ln x  dv = dxI 5 = ∫ ln xdxĐs : I 5 = x.ln x − x + CĐặt  I 6 = ∫ ln x 2 − 1 dxI 2 = − x 2 + 5. cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C   u = ln ( x 2 − 1 ) Đặt    dv = dxĐs : I 6 = x.ln x − 1 − 2 x − lnx − 1 + Cx + 1I 7 = ∫ x.sin 2 x.dx  u = xĐặt   dv = sin xdxĐs : I 7 = x 2 + sin 2 x + cos 2 x + CI8 = ∫ e x. cos 2 xdx  u = cos 2 xĐặt   dv = e dxĐs : I8 = ( cos 2 x + 2 sin 2 x ) e x + CI 9 = ∫ x 2 ln 2 x.dx  u = ln 2 xĐặt   dv = x dxĐs : I 9 = x3x3ln 2 x − + CI10 = ∫ x.tan 2 xdx  u = xĐặt   dv = tan xdxĐs : I10 = x ( tan x − x ) + ln cos x + 15 − x2 + CCHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNGĐặtI11 = ∫ cos x.ln ( 1 + cos x ). dxĐs : I11 = sin x.ln 1 + cos x + x − sin x + C  u = ln ( 1 + cos x )  dv = cos xdxx  I12 = ∫ sin x.ln ( tan x ). dx  u = ln ( tan x ) Đặt   dv = sin xdxĐs : I12 = − cosx. ln ( tan x ) + ln  tan ÷ + CI13 = ∫ ln ( sin x )  u = ln ( sin x ) Đặt  dx  dv = sin 2 xĐs : I13 = − cot x.ln ( sin x ) − cot x − x + CI14 = ∫ ln x  u = ln xĐặt  dv = dx ( x − 1 ) Đs : I14 = sin 2 x ( x + 1 ) dxdxln x − ln ( x + 1 ) + Cx + 16. Bài tập tự luyện : Tích những nguyên hàm sau : ĐS : I1 = x.sin x − cos x + CI1 = ∫ x. cosx dxI 2 = ∫ x 2 + 2 x + 3. cosx dx  u = x 2 + 2 x + 3 Đặt   dv = cos xdxĐs : I 2 = x + 2 x + 3 sin x + ( 2 x + 2 ) cos x − 2 sin x + CI 3 = ∫ x. cos 2 x dxI 4 = ∫ x 3. e x dx  u = xĐs : I 3 = x sin 2 x + cos 2 x + C  dv = cos 2 xdxĐặt  Đặt t = x 2 đưa I 4 về dạng I 4 = Đs : I 4 = I 5 = ∫ x. ln xdxI 6 = ∫ x. 2 x dxt. et dt2 ∫ 1 2 x2x e − ex + CĐs : I 5 = x 2 ln x −  u = xĐặt   dv = 2 dxx2 + CĐs : I 6 = 16 − x. 2 x − 2. 2 x + Cln 2 ln xCHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNGI7 = ∫ xdx  u = xĐs :  Đs : I 7 = − x.cot x + ln sin x + Cdvdx   sin 2 xsin 2 xI8 = ∫ x.ln 2 x. dxI9 = ∫ xe x ( x + 1 ) 2 dx  u = ln 2 xx2Đặt  Đs : I8 = ln 2 x − x 2 ln x + x 2 + C  dv = xdxCách 1 : Đặt t = exx + 1  exex  dx ∫ ( x + 1 ) 2 ∫  x + 1 ( x + 1 ) 2 ÷ ÷ dx. xe xCách 2 : Đặt u = ; dv = e x dxx + 1C ách 3 : Đặt u = x. e ; dv = I10 = ∫ I11 = ∫ 1 + sin x x. e dx1 + cos xx 2 e x ( x + 2 ) 2 dxdx. Đs : I = e + C ( x + 1 ) x + 11 + sin x  u = HD : Đặt  1 + cos x  dv = e x. Đs : I10  u = x 2 e xHD : Đặt  dx  dv = ( x + 2 ) 2. Đs : I11 = e x. sin x + C1 + cos xx − 2 xe + Cx + 2C hủ đề 2. TÍCH PHÂN ( Số tiết dạy : 21 tiết = 7 buổi ) A. Mục tiêu bài dạy : 1. Kiến thức : + Biết định nghĩa tích phân của hàm số liên tục bằng công thức Niutơn – Laipnit. + Biết những đặc thù của tích phân. 2. Kỹ năng : + Tìm được tích phân của một số ít hàm số bằng định nghĩa hoặc giải pháp tính tích phântừng phần. 17 − CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNGB. KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1. Định nghĩa : Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên một khoảng chừng [ a ; b ]. Giả sử F ( x ) là mộtnguyên hàm của f ( x ) trên [ a ; b ]. Hiệu số : F ( b ) − F ( a ) được gọi là tích phân từ a đến b củahàm số f ( x ). Ký hiệu : ∫ f ( x ) dxTa còn dùng kí hiệu F ( x ) a để chỉ hiệu số F ( a ) − F ( b ) Vậy ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ) Chú ý : − Tích phân ∫ f ( x ) dx chỉ phụ thuộc vào vào f, a, b mà không phụ thuộc vào vào những ký hiệu của biếnsố tích phân. Tức là : ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( u ) du = ... − Nếu hàm số f ( x ) liên tục và không âm trên đoạn [ a ; b ] thì tích phân ∫ f ( x ) dx là diện tíchcủa hình thang cong số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ), trục Ox và hai đường thẳng x = avà x = b. 2. Các đặc thù của tích phân : 1 /. ∫ f ( x ) dx = 02 /. 3 /. ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx5 /. 4 /. ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx ∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dxf ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx6 /. Nếu f ( x ) ≥ 0 trên đoạn [ a ; b ] ⇒ ∫ f ( x ) dx ≥ 07 /. Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) trên [ a ; b ] ⇒ ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dxC. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN : I. Biến đổi về tổng hiệu những tích phân cơ bản : 18 − CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNGPhương pháp : + Sử dụng những đặc thù của tích phân, ác phép đổi khác đại số. + Sử dụng công thức : ∫ f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a ). Bài tập : Tính những tích phân sau : I1 = ∫ ( x − 2 x + 3 ) dxI 2 = ∫ ( 3 x − 4 ) dx  x3I1 =  − x 2 + 3 x ÷ =  3  1 3I 2 = ∫ ( 9 x 2 − 24 x + 16 ) dx = 3 x3 − 12 x 2 + 16 xI 3 = ∫ ( x + ) 2 dx = 1  x31  22I 3 = ∫ ( x + 2 + 2 ) dx =  + 2 x − ÷ = x  1 3  3I 4 = ∫ ( x 2 x + 1 ) dx16  2 7I 4 = ∫ ( x + 1 ) dx =  x + x ÷ = 2 + 2  7  0 7I 5 = ∫ x 2 − 4 x + 3 dxI6 = ∫ I7 = x2 + x + 1 dxx + 1I8 = ∫ ( cos − 4 sin x + cos x ) dx − x ) dx − 2I9 = ∫  x21  I6 = ∫  x + dx  + ln ( x + 1 ) ÷ = + ln 2 x − 1   2  0 20  I 7 = ( 5 tan x + 4 cos x + sin x ) ∫ ( x − e  x338I 5 = − ∫ ( x − 4 x + 3 ) dx =  − + 2 x 2 + 3 x ÷ =  3  1 31 + cos 2 xdx  x2I 8 =  + e − x ÷ = − 1 − e 2  2  − 2I 9 = ∫ cos xdx = sin x 02 = 1B ài tập tự luyện : Tính những tích phân sau : ĐS : I1 = − 12I1 = ∫ ( x3 − 3 x 2 + 1 ) dx − 219 − = 2CHUY ÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNGĐS : I 2 = I 2 = ∫ ( x x − x ) dx2 − 216I3 = ∫ I4 = 16 dxx + 9 − xx + 9 + xdxHD : I 3 = ∫ ∫ cos 5x.sin 3 xdxI4 = − π ( sin 4 x − sin x ) dx2 − ∫ πĐS :  1  4 =  − cos 4 x + cos x ÷ = − + 4 4  8  − πĐS : I 5 = 1 − I 5 = ∫ tan 2 xdxĐS : I 6 = 1 − π  I 6 = ∫ sin x.cos  x − ÷ dx4  II. Phương pháp đổi biến dạng 1 : 1. Phương pháp : Giả sử cần tính ∫ f ( x ). dx, với giả thiết hàm sốf ( x ) liên tục trên [ a ; b ], ta triển khai theocác bước : Bước 1 : Chọn x = ϕ ( t ), Trong đó ϕ ( t ) là hàm số được lựa chọn thích hợp. Bước 2 : Lấy vi phân dx = ϕ ' ( t ) dt, giả sử ϕ ' ( t ) liên tục. Bước 3 : tính những cận α và β tương ứng theo a, b với a = ϕ ( α ) và b = ϕ ( β ) thì : ∫ f ( x ). dx = ∫ f [ ϕ ( t ) ] ϕ ' ( t ) dt = ∫ g ( t ) dt ( Ở đó g ( t ) = f [ ϕ ( t ) ] ϕ ' ( t ) ) 2. Chú ý : Nếu tích phân có dạng : + Dạng 1 : ∫ f ( x, a − xx = a sin t khi − ≤ t ≤ đặt  x = a cos t khi 0 ≤ t ≤ π ) dx20 − CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG + Dạng 2 : ∫ f ( x,  π π   x = sin t khi t ∈  − 2 ; 2  \ { 0 } đặt   π  khi t ∈ [ 0 ; π ] \    x = cos t  2  ) dxx = a tan t khi − < t

Rate this post
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments