ĐƯỜNG đối TRUNG võ THỊ NGỌC ÁNH

ĐƯỜNG đối TRUNG võ THỊ NGỌC ÁNH

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1 MB, 27 trang )

KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ CỦA ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG
VỚI MỘT SỐ KHÁI NIỆM HÌNH HỌC PHẲNG
Võ Thị Ngọc Ánh, THPT chuyên Nguyễn Tất Thành, Kon Tum.
Đường đối trung là một khái niệm quan trọng trong hình học phẳng, nó
có mối liên hệ chặt chẽ với các khái niệm hình học phẳng khác như: đường
đối song, hàng điểm điều hòa, tứ giác điều hòa, cực và đối cực, … Bài viết
này nhằm khai thác các mối liên hệ đó thông qua việc nghiên cứu mối liên
hệ giữa các yếu tố trên hình vẽ của các khái niệm trên. Về khía cạnh nào đó,
đường đối trung là “chiếc cầu nối” quan trọng để tìm tòi lời giải cho một số
bài toán hình học phẳng cũng như xây dựng các bài toán mới.

1

1

Định nghĩa đường đối trung (symmedian line)

Định nghĩa 1. Trong tam giác ABC, đường thẳng AE đối xứng với đường
trung tuyến AM qua đường phân giác trong AD gọi là đường đối trung (symmedian line) của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A.

Nhận xét:
i) AE là đường đối trung của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A thì EAD =
M AD, BAE = M AC, BAM = EAC .
ii) Đường đối trung AE là đường đẳng giác với đường trung tuyến AM trong
góc BAC.
iii) Trong tam giác ABC vuông tại A đường cao AH chính là đường đối trung
của tam giác xuất phát từ đỉnh A.

2

2

Liên hệ giữa đường đối trung với một số khái niệm
hình học phẳng- Các dấu hiệu xuất hiện đường đối
trung

Trong mục này, các kết quả được trình bày dưới dạng định lí hoặc bài
toán. Đây là các tính chất đẹp của đường đối trung, có thể là các bổ đề “tốt”
để đưa đến lời giải cho các bài toán cũng như là các ý tưởng “tốt” để xây
dựng các bài toán mới.

2.1

2.1.1

Liên hệ giữa đường đối trung với độ dài các cạnh
của tam giác- Một số dấu hiệu cơ bản của đường
đối trung
Dấu hiệu 1

Định lí 1. Cho tam giác ABC, E là một điểm thuộc cạnh BC. AE là đường
EB
AB 2
.
đối trung của tam giác ABC khi và chỉ khi
=−
AC 2
EC
Chứng minh:

* Giả sử AE là đường đối trung của tam giác ABC, ta có

EB
SBAE
=
=−
SEAC
EC

2SM AC
AB sinBAE
AB sinMAC
AB AC.M C
AB 2

.
=−
.
=−
.
=−
AC sinEAC
AC sinMAB
AC 2SM AB
AC 2
AB.M B
EB
AB 2
. Vẽ AE là đường đối
* Giả sử E là điểm thuộc cạnh BC và

=−
AC 2
EC
AB 2
EB
trung, E thuộc đường thẳng BC. Ta có hệ thức
=−
suy ra E ≡ E
AC 2
EC
hay AE là đường đối trung.
Nhận xét:
i) Đường đối trung chia trong cạnh đối diện thành những phần tỉ lệ với bình
EB
AB 2
phương các cạnh kề tức là
=−
.
EC
AC 2
ii) Ba đường đối trung của tam giác đồng quy tại một điểm (do định lí Ceva),
điểm này gọi là điểm Lemoine của tam giác. Như vậy, điểm Lemoine L là
điểm đẳng giác với trọng tâm G của tam giác ABC .

3

2.1.2

Dấu hiệu 2

Định lí 2. Đường đối trung xuất phát từ một đỉnh của tam giác (trừ điểm
đó) là quỹ tích của những điểm có tỉ số khoảng cách đến hai cạnh kề của tam
giác tỉ lệ thuận với độ dài của các cạnh.
Chứng minh

Xét tam giác ABC.
AB
d(K; AB))
=
, gọi E là giao điểm của AK và
d(K; AC)
AC
d(E; AB)) d(K; AB)) AB
BC, ta có
=
=
.
d(E; AC)
d(K; AC)
AC
SABE
AB 2
EB
AB 2
Suy ra
=
,
từ
đó

=
hay AE là đường đối trung của tam
SACE
AC 2
EC
AC 2
giác.
* Ngược lại, giả sử AE là đường đối trung, dễ dàng chứng minh được điểm
d(K ; AB)) AB
K thuộc AE (K không trùng với A) có tính chất
=
d(K ; AC)
AC
* Gọi K là điểm sao cho

4

2.2

Liên hệ giữa đường đối trung và đường đối song
(antiparallel line)

Định nghĩa 2. Cho tam giác ABC. Một cát tuyến cắt hai đường thẳng AB,
AC theo thứ tự tại D và E. Nếu ADE = ACB thì ta có đoạn thẳng DE đối
song với BC.

Nhận xét:
i) Nếu tứ giác CBDE nội tiếp được thì DE đối song với BC.
ii) Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp một tam giác tại một đỉnh đối song

với cạnh đối diện.
iii) Trong tam giác trực tâm HKL của tam giác ABC thì HKL có các cạnh
đối song với các cạnh tương ứng của tam giác.
Bài toán 1.
Cho tam giác ABC. Trên đường thẳng AB lấy một điểm D và trên đường
thẳng AC lấy điểm E sao cho DE là đường đối song của BC, N là điểm
thuộc đoạn DE. Lúc đó AN là đường đối trung của tam giác ABC khi và chỉ
khi N là trung điểm của DE.
Chứng minh

Ta có ∆ADE ∼ ∆ACB.
5

* Giả sử N là trung điểm của DE. mà M là trung điểm của DE, BC nên
∆ADN ∼ ∆ACM suy ra DAN = CAM hay AN là đường đối trung của
tam giác ABC.
* Giả sử AN là đường đối trung của tam giác ABC suy ra DAN = CAM ,
lúc đó ∆ADN ∼ ∆ACM mà M là trung điểm của BC nên N là trung điểm
của DE
Nhận xét: Đường đối trung của tam giác ABC xuất phát từ A chính là
tập hợp các trung điểm của các đường đối song với cạnh BC.
Bài toán 2.
Trong tam giác ABC, E thuộc cạnh BC sao cho AE là đường đối trung, L là
điểm Lemoine của tam giác. Lúc đó:
a) Các đường đối song EJ, EI ứng với các cạnh AB, AC có độ dài bằng nhau.
b) Ba đường đối song M N, KI, P Q đi qua điểm L có độ dài bằng nhau và
nhận L làm trung điểm. Từ đó suy ra 6 điểm M, N, K, I, P, Q cùng nằm trên
một đường tròn có tâm là L (Đường tròn này gọi là đường tròn Lemoine
thứ nhất hay đường tròn Cosin hay đường tròn Tucker ).

Chứng minh

a)Từ giả thiết đường đối song ta có ∆EJB ∼ ∆ACB, ∆EIC ∼ ∆ABC suy
EI
EB AC 2
ra
=
.
.
EJ
EC AB 2
EB
AB 2
Mà AE là đường đối trung nên
=
từ đó suy ra EI = EJ.
EC
AC 2
b) Gọi ba đường đối song đi qua L là M N, P Q, KI (như hình vẽ).
Ta có LN I = LIN = BAC nên ∆LIN cân tại L, do đó LN = LI.
Tương tự ta có LP = LK, LM = LQ.
Mặt khác, theo bài toán 1, L là trung điểm của các đoạn thẳng M N, P Q,
KI nên LM = LN = LP = LQ = LK = LI suy ra M N = P Q = KI và 6
6

điểm M, N, P, Q, K, I cùng thuộc một đường tròn có tâm L

2.3

Liên hệ giữa đường đối trung xuất phát từ một
đỉnh tam giác và đường thẳng song song (parallel
line) với cạnh đối diện

Bài toán 3. (BMO 2009) Cho M N là đường song song với cạnh BC của
tam giác ABC với M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC. Các đường thẳng
BN và CM cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác BM P và
CN P cắt nhau tại hai điểm P và Q. Lúc đó đường thẳng AQ là đường đối
trung xuất phát từ A của tam giác ABC.

Chứng minh
Ta có BQM = BP M = CP N = CQN, M BQ = CP Q = CN Q. Suy ra
d(Q; AB)
d(Q; BM )
BM
AB
=
=
=
nên theo dấu hiệu 2, suy ra AQ là
d(Q; AC)
d(Q; CN )
CN
AC
đường đối trung
Nhận xét:Trong tài liệu [2] khai thác rất nhiều bài toán vận dụng từ mối
liên hệ trên.
Bài toán 4. (Đường tròn Lemoine thứ hai)
Ba đường thẳng đi qua điểm Lemoine L và song song với các cạnh của tam
giác ABC xác định trên ba cạnh 6 điểm cùng thuộc một đường tròn. Đường

tròn này gọi là đường tròn Lemoine thứ hai. Tâm của đường tròn chính là
trung điểm của LO (với O là tâm ngoại tiếp của tam giác ABC).

7

Chứng minh

Gọi D, D, E, E, F, F lần lượt là các giao điểm của các đường thẳng đi
qua điểm Lemoine và song song với các cạnh của tam giác với các cạnh
BC, CA, AB.
Ta có AF LE là hình bình hành nên AL đi qua trung điểm của F E, mà AL
là đường đối trung của tam giác ABC nên F E là đường đối song ứng với BC
của ∆ABC .
Suy ra F E cũng là đường đối song ứng với F E của ∆AF E. Do đó E, E, F, F
cùng thuộc đường tròn, ta gọi là đường tròn (Ω1 ).
Chứng minh tương tự, ta được E, E, D, D cùng thuộc đường tròn (Ω2 ) và
F, F, D, D cùng thuộc đường tròn (Ω3 ).
Giả sử (Ω1 ), (Ω2 ), (Ω3 ) đôi một phân biệt thì ba trục đẳng phương AB, BC, CA
đồng quy hoặc song song (điều này mâu thuẫn) suy ra D, D, E, E, F, F cùng
thuộc một đường tròn, ta gọi là (Ω).
Vì EF đối song với BC nên EF ⊥AO (với O là tâm đường tròn ngoại tiếp
của ∆ABC). Gọi S là trung điểm của LO thì IS AO nên S thuộc đường
trung trực của E F. Tương tự, S cũng thuộc đường trung trực của ED, DF
hay S là tâm của (Ω)

8

2.4

Liên hệ giữa đường đối trung với cực (pole) của
cạnh tam giác ứng với đường tròn ngoại tiếp của
tam giác

Bài toán 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), E là điểm thuộc
cạnh BC. Lúc đó AE là đường đối trung khi và chỉ khi AE đi qua cực của BC
ứng với đường tròn (O) (tức là, đường đối trung xuất phát từ A đi qua giao
điểm của hai tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) ).
Chứng minh
Giả sử D là cực của BC ứng với (O). Ta cần chứng minh AD là đường đối

trung của tam giác ABC.
Cách 1:
Ta có:
SABD
AB.BD.sinABD
AB.sinABD
AB 2
EB
=
=
=
=
.
2
EC
SACD
AC
AC.CD.sinACD

AC.sinACD
Nên theo dấu hiệu 1, AE là đường đối trung của tam giác.
Cách 2: Gọi M, N là giao điểm của AB, AC với đường tròn Ω tâm D bán
kính DB.
BOC BDC
Ta có M BN = BAN + AN B =
+
= 900 nên M N là đường kính
2
2
của đường tròn, nên D là trung điểm của M N mà BC đối song với M N nên
theo bài toán 1, AD là đường đối trung của tam giác ABC
9

Nhận xét: Nếu D, E, F là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh
BC, CA, AB của tam giác ABC (DEF còn được gọi là tam giác Gergonne
của tam giác ABC) thì DA, EB, F C là các đường đối trung của tam giác
DEF. Tức là điểm Gergonne của tam giác ABC chính là điểm Lemoine của
tam giác Gergonne.

2.5

Liên hệ giữa đường đối trung với hàng điểm điều
hòa (Harmonic division)

Bài toán 6.Cho tam giác ABC nội tiếp (O), điểm E thuộc cạnh BC, BC
giao với tiếp tuyến tại A của (O) tại F. Lúc đó, AE là đường đối trung xuất
phát từ A của tam giác ABC khi và chỉ khi (BCFE)=-1. Tiếp tuyến AF còn
gọi là đường đối trung ngoài của tam giác ABC.

Chứng minh

FB
AB
F B2
AB 2
F B2
Ta có ∆AFB ∼ ∆CF A nên
=

=

=
FA
AC
F A2
AC 2
F B.F C
10

AB 2
FB
AB 2

=
.
AC 2
FC
AC 2

(Để ý, vì F A là tiếp tuyến nên F A2 = F B.F C).
Suy ra
EB
AB 2
FB
EB
AE là đường đối trung ⇔
=

=
⇔ (BCF E) = −1
EC
AC 2
FC
EC
Bài toán 7.Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đường đối trung xuất phát từ A
cắt cạnh BC tại E, AE cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại J và cắt đường tròn
(O) tại I (I khác A) thì (AIEJ)=-1.
Chứng minh

Theo bài toán 5, AE là đường đối trung và AE cắt tiếp tuyến tại B của
(O) tại J nên J cũng là giao điểm của hai tiếp tuyến của (O) tại B và C.
Gọi H là hình chiếu của O lên AJ, nên H là trung điểm của AI.
Đặt K là giao điểm của OJ và BC. Ta có, tứ giác OHEK nội tiếp (vì
OHE = OKE = 900 ).
Suy ra ta có JK.JO = JE.JH (phương tích của điểm J đối với đường tròn
ngoại tiếp OHEK)
Mặt khác xét trong tam giác OBJ vuông tại B có BK là đường cao thì
JK.JO = JB 2 .
Hơn nữa JB 2 = JI.JA (phương tích của điểm J đối với đường tròn (O)). Từ

đó suy ra JE.JH = JI.JA nên theo hệ thức Macloranh suy ra (AIEJ) = −1

11

2.6

Liên hệ giữa đường đối trung với tứ giác điều hòa
(harmonic quadrilateral)

Bài toán 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), X là điểm thuộc
cung BC không chứa A. Lúc đó AX là đường đối trung của tam giác ABC
khi và chỉ khi tứ giác ABXC điều hòa.
Chứng minh

AB sinAXB AB sinC AB 2
.
.
=
=
AC sinAXC
AC sinB
AC 2
Gọi T là giao điểm của AX với BC. Ta có
TB
AB 2
TB
AB sinAXB
XB sinAXB
AX là đường đối trung ⇔

=

=
.

.
=
TC
AC 2
TC
AC sinAXC
XC sinAXC
AB sinAXB
XB
AB
.

=
⇔ABXC là tứ giác điều hòa.
AC sinAXC
XC
AC
Cách 2: ABXC là tứ giác điều hòa ⇔ AX đi qua giao điểm hai tiếp tuyến
tại B và C của (ABC) ⇔ AX là đường đối trung (theo bài toán 5 )
Cách 1: Ta có

2.7

Liên hệ giữa đường đối trung và đường tròn Apollonius (Apollonius Circle)

Định nghĩa 3. Cho tam giác ABC không cân, nếu các phân giác trong và
phân giác ngoài góc A cắt cạnh BC tại E và F thì đường tròn đường kính EF
12

gọi là đường tròn A- Apollonius. Tương tự ta có các đường tròn B- Apollonius,
C- Apollonius.

Nhận xét: Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, xét cực và đối cực
đối với (O)
i) Gọi A∗ là giao điểm của tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) và BC, khi

đó A∗ là tâm của đường tròn A – Apollonius. Tương tự, ta có các điểm B ∗ ,
C ∗. Để ý rằng ở đây AA∗, BB ∗, CC ∗ chính là các đường đối trung ngoài của
tam giác ABC.
13

ii) Gọi A, B, C lần lượt là cực của các cạnh BC, CA, AB thì A∗, B ∗, C ∗
chính là cực của các đường đối trung AA, BB, CC .
iii) Vì AA, BB, CC đồng quy nên A∗, B ∗, C ∗ thẳng hàng, và đường thẳng
này còn gọi là trục Lemoine. Do đó trục Lemoine chính là đối cực của điểm
Lemoine. Trục Lemoine vuông góc với trục Brocard OL (trục Brocard là
đường thẳng O và điểm Lemoine L).
Bài toán 9. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), T là điểm thuộc cạnh BC. Lúc
đó AT là đường đối trung khi và chỉ khi AT là trục đẳng phương của đường
tròn (O) và đường tròn A- Apolonius.
Chứng minh: Gọi D là giao điểm thứ hai của đường tròn A−Apollonius

và đường tròn (O), tức AD là trục đẳng phương của hai đường tròn. Gọi M

là trung điểm của EF .
BAC
BAC
Ta có M AB +
= M AE =
+ ACB ⇒ M AB = ACB hay M A là
2
2
tiếp tuyến của (O) tại A.
Hơn nữa M A = M D, OA = OD nên M D đối xứng với M A qua OM, do đó
M D cũng là tiếp tuyến của (O) tại D.
Mà M thuộc BC nên tứ giác ABDC là tứ giác điều hòa, theo bài toán 7 ,
AD là đường đối trung của tam giác ABC

14

3

Bài tập vận dụng

Trong phần bài tập vận dụng là một số bài toán khai thác thêm một số
mô hình xuất hiện đường đối trung, tính chất của đường đối trung và một
số bài toán từ các cuộc thi học sinh giỏi được tiếp cận lời giải theo hướng
vận dụng các mối liên hệ giữa đường đối trung với các yếu tố trong hình học
phẳng nêu ở phần trên. Qua đó, ta có thể thấy được ý tưởng xây dựng các
bài toán từ các mối liên hệ giữa đường đối trung với các yếu tố hình học đã
phân tích ở trên. Ngoài ra, ta nhận thấy rằng lời giải sử dụng đường đối trung
cũng như các bổ đề nêu trên là lời giải khá ngắn gọn.
* Một số bài toán chứng minh đường đối trung

Bài 1. Cho tam giác ABC và ACM N, ABP Q là các hình vuông dựng ra
phía ngoài của tam giác. Gọi S là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
AN Q. Chứng minh rằng AS là đường đối trung của tam giác ABC.
Lời giải:

Ta có S nằm trên đường trung trực của các đoạn thẳng AQ và AN, suy ra
AQ AB
AN
AC
d(S; AB) =
=
; d(S; AC) =
=
.
2
2
2
2
d(S; AB) AB
Từ đó suy ra
=
hay AS là đường đối trung của tam giác ABC.
d(S; AC)
AC
Bài 2. (Russia 2009-Grade 9) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn
(O) có AD (D ∈ BC) là đường phân giác trong, đường thẳng AD cắt đường
tròn (O) tại điểm E khác điểm A. Đường tròn đường kính DE cắt (O) tại
điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng AF là đường đối trung của tam giác
ABC.
15

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC. K là điểm đối xứng với E qua O. Ta có E, M, K
thẳng hàng. Vì DF E = KF E = 900 nên K, D, F thẳng hàng. Do AKEF và
AKM D là các tứ giác nội tiếp nên EAF = EKF = M KD = M AD. Do
đó AF đối xứng với AM qua phân giác trong AD của góc BAC. Hay AF là
đường đối trung.
Bài 3. Cho tam giác ABC. A, B, C lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
∆A B C là tam giác trực tâm (tức A, B, C lần lượt là chân các đường
cao kẻ từ A, B, C). Chứng minh rằng các đường thẳng A, C và A B giao
nhau tại điểm F nằm trên đường đối trung kẻ từ A của tam giác ABC.
Nhận xét Các điểm A, B, C, A, B, C làm xuất hiện đường tròn Ơle
của tam giác ABC.
Lời giải:

16

Dễ chứng minh các đường cao của tam giác ABC là các đường phân giác của
tam giác A B C suy ra
B A C = BA C = F A C (1)
Để ý rằng 6 điểm A, B, C, A”, B”, C cùng thuộc đường tròn Euler của tam
giác ABC, suy ra
B A C = F B C (2)
Từ (1) và (2) suy ra F A C = F B C hay tứ giác AB CF nội tiếp, ta được
CF B = CA B (3) .
AC
nên ∆B A C cân tại B, do đó CA B = BAC (4).

BA =BC=
2
Từ (3) và (4) suy ra CF B = BAC mà CB F = CAB nên ∆CF B ∼ ∆BCA.
Suy ra
d(F ; AB) d(C; F B ) BB
AB
=
=
=
.
d(F ; AC)
d(F ; AC)
CC
AC
Từ đó theo dấu hiệu 2, ta được AF là đường đối trung.
* Về liên hệ giữa đường đối trung và đường đối song, đường song song với
cạnh
Bài 4. Cho tam giác ABC, AE là đường đối trung (E thuộc cạnh BC), K
là điểm bất kỳ thuộc đoạn AE. Qua K kẻ các đường d1, d2 lần lượt đối song
với AB và AC. d1 cắt CA, CB lần lượt tại M, N. d2 cắt BA, BC lần lượt tại
P, Q. Chứng minh rằng M N = P Q.
Lời giải:

Qua K kẻ B C BC, ta có AK là đường đối trung của tam giác AB C nên
theo bài toán 2, ta được KM = KN. Mặt khác ta có M N C = BAC = P QB
nên tam giác KN Q cân tại K, suy ra KN = KQ. Vậy M N = P Q.

17

Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), AE là đường đối trung (E thuộc
cạnh BC), K là điểm bất kỳ thuộc đoạn AE. Qua K kẻ các đường d1, d2 lần
lượt song song với AB và AC. d1 cắt AC, CB tại I. d2 cắt AB tại J. Chứng
minh rằng IJ⊥AO.
Lời giải:

Từ giả thiết ta suy ra AJKI là hình bình hành, do đó AE đi qua trung điểm
của IJ, theo bài toán 1 ta được IJ là đường đối song của BC trong tam giác
ABC.
Do đó IJ song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) hay IJ⊥AO.
* Về liên hệ giữa đường đối trung và cực của cạnh
Bài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và có K là điểm Lemoine.
AK, BK, CK cắt lại (O) tương ứng ở D, E, F. Chứng minh rằng K cũng là
điểm Lemoine của tam giác DEF .
Lời giải:
* Nếu tam giác ABC đều thì dễ suy ra kết quả.
* Nếu tam giác ABC vuông hoặc cân thì ý tưởng giải sau vẫn thực hiện được
bằng cách chọn đỉnh thích hợp. Cụ thể là giả sử tam giác đó vuông hoặc cân
ởC.
Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau ở P. Tiếp tuyến của (O) tại E và F
cắt nhau ở Q. Vì AK là đường đối trung của tam giác ABC nên A, K, D, T
thẳng hàng.
Gọi J là giao điểm của EF và BC thì ta có S, D, K thẳng hàng vì cùng thuộc
đường đối cực của J đối với (O), do đó DA là đường đối trung của tam giác
DEF .
Tương tự ta cũng chứng minh được EB là đường đối trung của tam giác DEF .
18

Bài 7. (St. Petersburg 1997 ) Cho hai đường tròn (O1 ), (O2 ) cắt nhau

tại hai điểm phân biệt A, B. Các tiếp tuyến của (O1 ) tại A và B cắt nhau tại
T. M là một điểm tùy ý của (O1) khác A, B và nằm ngoài đường tròn (O2 ).
Các đường thẳng M A, M B cắt đường tròn (O2 ) tại E, F. Chứng minh rằng
đường thẳng M T đi qua trung điểm của E, F .
Lời giải:

Ta có T là đối cực của AB đối với (O1 ) nên M T là đường đối trung của tam
giác M AB.
Mặt khác tứ giác ABF E nội tiếp nên EF đối song với AB trong tam giác
M AB.
Vậy, M T đi qua trung điểm của EF .
19

Bài 8. (Polan 2000) Cho tam giác ABC cân tại C. P là điểm nằm trong
tam giác sao cho P AB = P BC. Gọi M trung điểm AB. Chứng minh CP B +
AP M = 1800 .
Lời giải:

Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác P AB
Từ giả thiết ta có CB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O).
Suy ra P C là đường đối trung của tam giác P AB, do đó CP đối xứng P M
qua phân giác góc AP B.
Kéo dài CP cắt AB tại F, khi đó BP M = AP F
Mà BP M + AP C = AP F + AP C = 1800
Suy ra CP B + AP M = 3600 − (BP M + AP C) = 1800 .
Bài 9. (Chọn đội tuyển PTNK 2010) Cho đường tròn (O) và điểm A
cố định trên (O), điểm B, C (khác điểm A) thay đổi trên (O) BC song song
với đường thẳng d cố định. Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại
K. Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của AM với (O). Chứng

minh đường thẳng KN luôn đi qua một điểm cố định khi BC thay đổi.
Lời giải:
Gọi D, P lần lượt là giao điểm của KN, AK và (O). Vì BC có phương không
20

đổi nên KM là đường thẳng cố định. Theo giả thiết, ta thấy AK là đường
đối trung, suy ra BAP = N AC. Từ đó suy ra P, N đối xứng nhau qua đường
thẳng KM cố định. Khi đó dễ dàng suy ra D đối xứng với A qua đường thẳng
KM nên D cố định.
Bài 10. (Shortlist 2003) Cho ba điểm phân biệt A, B, C theo thứ tự nằm
trên một đường thẳng. Gọi (ω) là đường tròn luôn đi qua A, C ( AC không
là đường kính ). P là giao điểm của tiếp tuyến của (C) tại A và C. Giả sử
(ω)cắt đoạn P B tại Q. Chứng minh rằng đường phân giác góc AQC đi qua
một điểm cố định khi (ω) thay đổi.
Lời giải:

Gọi I giao điểm của đường phân giác góc AQC và đường thẳng AC, ta chứng
21

minh I cố định khi (ω) thay đổi. Ta có QB đi qua cực P của AC nên QB là
đường đối trung của tam giác QAC.
AQ2
IA
AQ
BA
AI 2
BA
=


=
suy ra
=
hay I cố định.
Do đó
BC
CQ2
IC
QC
BC
CI 2
Bài 11. (Việt Nam TST 2001) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cắt
nhau tại hai điểm A, B. Gọi P T là một tiếp tuyến chung của hai đường tròn
đó (P, T là tiếp điểm). Các tiếp tuyến tại P, T của đường tròn ngoại tiếp tam
giác AP T cắt nhau tại S. Gọi H là điểm đối xứng của B qua P T. Chứng
minh A, S, H thẳng hàng.
Lời giải:

Từ giả thiết ta có AS là đường đối trung của tam giác AP T .
Xét góc định hướng giữa hai đường thẳng theo modπ, ta có
(P A; P T ) ≡ (AB; P B), (T P ; T A) ≡ (T B; AB) (do tính chất tiếp tuyến).
Mà trong tam giác P AT ta có, (P A; P T ) + (T P ; T A) + (AP ; AT ) ≡ 0 nên
(AB; P B) + (T B; AB) + (AT ; AP ) ≡ 0(modπ) ⇒ (BT ; BP ) ≡ (AP ; AT )
Do đó (HP ; HT ) ≡ (AP ; AT ) nên tứ giác AP HT nội tiếp được.
Suy ra (AT ; AH) ≡ (P T ; P H) ≡ (P T ; P B) ≡ (AB; AP ), suy ra AH đối
xứng với AB qua phân giác của góc P AT, mà AB đi qua trung điểm của
P T (do tính chất của phương tích) nên AH cũng là đường đối trung của tam
giác AP T .
Vậy A, H, S thẳng hàng.

Bài 12. (USA 2008) Cho tam giác ABC nhọn và không phải là tam giác
cân nội tiếp đường tròn (O), đường trung trực của AB, AC cắt trung tuyến
AM tại D và E. F là giao điểm của BD và CE. Gọi N, P lần lượt là trung
điểm của AB, AC. Chứng minh rằng bốn điểm N, F, O, P cùng thuộc một
22

đường tròn.
Lời giải :

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ∆ABF và tam giác ∆ACF ta có
sinAFB
sinAFB
AB
=
=
(1)
AF
sinABF sinBAD

AC
sinAFC sinAFC
=
=
(2)
AF
sinACF sinEAC
Mặt khác vì D, E thuộc trung tuyến AM nên
sinDAB AC
=

(3)
sinEAC AB
Từ (1), (2) và (3) suy ra sinAFB = sinAFC hay AF B = AF C, do đó BF K =
KF C.
Từ đó BF C = F DE + F ED = 2BAD + 2EAC = 2BAC = BOC nên tứ
giác BF OC nội tiếp đường tròn (Ω)
Gọi K là giao điểm khác F của AF và (Ω). Mà BF K = KF C suy ra K là
23

điểm chính giữa cung BC của đường tròn (Ω) hay KO là đường kính của
đường tròn (Ω) suy ra OF ⊥F K. Do đó OF ⊥AF .
Suy ra rằng bốn điểm N, F, O, P cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
Nhận xét: Trong chứng minh trên, K là điểm chính giữa cung BC của
đường tròn (Ω) hay KB⊥BO, KC⊥CO. Suy ra KB, KC là tiếp tuyến của
(O) và so đó AK là đường đối trung của tam giác ABC.
* Về liên hệ giữa đường đối trung và hàng điểm điều hòa, tứ giác điều hòa
Bài 13.(TST Romania, 2006) Cho ABCD là tứ giác lồi, gọi O là giao
điểm của AC và BD. Chứng minh rằng nếu BO là đường đối trung của tam
giác ABC và DO là đường đối trung của tam giác ADC thì AO là đường đối
trung của tam giác ABD.
Lời giải :

Gọi T1 là giao điểm của tiếp tuyến d1 tại D của đường tròn (ADC) và AC,
vì DO là đường đối trung của tam giác ADC nên .
Gọi T2 là giao điểm của tiếp tuyến d2 tại B của đường tròn (ABC) và AC,
vì BO là đường đối trung của tam giác ABC nên .
Gọi T là giao điểm của d1 và d2, suy ra .
Do đó DO là đối cực của T ứng với đường tròn (ADC), BO là đối cực của T
ứng với đường tròn (ABC). Suy ra hai đường tròn (ADC) và (ABC) trùng

nhau, hay tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (Ω), và T là cực của BD ứng
với đường tròn (Ω) nên AT là đường đối trung của tam giác ABD.
Vậy, AO là đường đối trung của tam giác ABD.

24

* Về liên hệ giữa đường đối trung và đường tròn Apollonius
Bài 14.(ARMO 2010) Cho tam giác ABC, O là tâm đường tròn ngoại
tiếp, AO ∩ BC = D. H1 ; H2 lần lượt là trực tâm của các tam giác ABD và
ACD, S là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác H1 H2 D. Chứng minh
rằng AS là đường đối trung của tam giác ABC.
Lời giải :

Xét hai tam giác ∆ABC và ∆DH1 H2 là hai tam giác có các cạnh tương ứng
vuông góc, suy ra ∆ABC ∼ ∆DH1 H2 .
Mặt khác ADH1 = ACB nên ADH1 = DH2 H1 hay AS là tiếp tuyến của
đường tròn, mà A, H1, H2 thẳng hàng nên S là giao của tiếp tuyến tại A của
(DH1 H2 ) và H1 H2 .
Kẻ tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại E khi đó E là tâm đường tròn AApollonius của tam giác ABC.
Từ đó suy ra EO⊥AS, do đó AS là trục đẳng phương của (O) và đường
tròn A- Apollonius của tam giác ABC.
Theo bài toán 9, thì AS là đường đối trung của tam giác ABC.
Bài 15.(USA TST 2005) Cho tam giác nhọn ABC không phải là tam
giác cân, nội tiếp đường tròn (O). P là điểm nằm trong tam giác sao cho
P AB = P BA và P AC = P CB. Lấy điểm Q trên đường thẳng BC sao cho
QA = QP. Chứng minh rằng AQP = 2OQB .
Lời giải :
Gọi (O1 ), (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác P AC, P AB.
Từ giả thiết P AB = P BA và P AC = P CB suy ra BC là tiếp tuyến chung

của hai đường tròn (O1 ), (O2 ) với B, C là các tiếp điểm.
Mà AP là trục đẳng phương của (O1 ) và (O2 ) nên AP đi qua trung điểm M
của BC, do đó. Ta có ∆QAC ∼ ∆QBA nên QA là tiếp tuyến của (O) tại
25

Liên hệ giữa đường đối trung với một số ít khái niệmhình học phẳng – Các tín hiệu Open đường đốitrungTrong mục này, những hiệu quả được trình diễn dưới dạng định lí hoặc bàitoán. Đây là những đặc thù đẹp của đường đối trung, hoàn toàn có thể là những bổ đề ” tốt ” để đưa đến lời giải cho những bài toán cũng như là những ý tưởng sáng tạo ” tốt ” để xâydựng những bài toán mới. 2.12.1. 1L iên hệ giữa đường đối trung với độ dài những cạnhcủa tam giác – Một số tín hiệu cơ bản của đườngđối trungDấu hiệu 1 Định lí 1. Cho tam giác ABC, E là một điểm thuộc cạnh BC. AE là đườngEBAB 2 đối trung của tam giác ABC khi và chỉ khi = − AC 2ECC hứng minh : * Giả sử AE là đường đối trung của tam giác ABC, ta cóEBSBAE = − SEACEC2SM ACAB sinBAEAB sinMACAB AC.M CAB 2 = − = − = − AC sinEACAC sinMABAC 2SM ABAC 2AB. M BEBAB 2. Vẽ AE là đường đối * Giả sử E là điểm thuộc cạnh BC và = − AC 2ECAB 2EB trung, E thuộc đường thẳng BC. Ta có hệ thức = − suy ra E ≡ EAC 2EC hay AE là đường đối trung. Nhận xét : i ) Đường đối trung chia trong cạnh đối lập thành những phần tỉ lệ với bìnhEBAB 2 phương những cạnh kề tức là = − ECAC 2 ii ) Ba đường đối trung của tam giác đồng quy tại một điểm ( do định lí Ceva ), điểm này gọi là điểm Lemoine của tam giác. Như vậy, điểm Lemoine L làđiểm đẳng giác với trọng tâm G của tam giác ABC. 2.1.2 Dấu hiệu 2 Định lí 2. Đường đối trung xuất phát từ một đỉnh của tam giác ( trừ điểmđó ) là quỹ tích của những điểm có tỉ số khoảng cách đến hai cạnh kề của tamgiác tỉ lệ thuận với độ dài của những cạnh. Chứng minhXét tam giác ABC.ABd ( K ; AB ) ), gọi E là giao điểm của AK vàd ( K ; AC ) ACd ( E ; AB ) ) d ( K ; AB ) ) ABBC, ta cód ( E ; AC ) d ( K ; AC ) ACSABEAB 2EBAB 2S uy ratừđóhay AE là đường đối trung của tamSACEAC 2ECAC 2 giác. * trái lại, giả sử AE là đường đối trung, thuận tiện chứng tỏ được điểmd ( K ; AB ) ) ABK thuộc AE ( K không trùng với A ) có tính chấtd ( K ; AC ) AC * Gọi K là điểm sao cho2. 2L iên hệ giữa đường đối trung và đường đối song ( antiparallel line ) Định nghĩa 2. Cho tam giác ABC. Một cát tuyến cắt hai đường thẳng AB, AC theo thứ tự tại D và E. Nếu ADE = Ngân Hàng Á Châu thì ta có đoạn thẳng DE đốisong với BC.Nhận xét : i ) Nếu tứ giác CBDE nội tiếp được thì DE đối song với BC.ii ) Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp một tam giác tại một đỉnh đối songvới cạnh đối lập. iii ) Trong tam giác trực tâm HKL của tam giác ABC thì HKL có những cạnhđối tuy nhiên với những cạnh tương ứng của tam giác. Bài toán 1. Cho tam giác ABC. Trên đường thẳng AB lấy một điểm D và trên đườngthẳng AC lấy điểm E sao cho DE là đường đối song của BC, N là điểmthuộc đoạn DE. Lúc đó AN là đường đối trung của tam giác ABC khi và chỉkhi N là trung điểm của DE.Chứng minhTa có ∆ ADE ∼ ∆ ACB. * Giả sử N là trung điểm của DE. mà M là trung điểm của DE, BC nên ∆ ADN ∼ ∆ ACM suy ra DAN = CAM hay AN là đường đối trung củatam giác ABC. * Giả sử AN là đường đối trung của tam giác ABC suy ra DAN = CAM, lúc đó ∆ ADN ∼ ∆ ACM mà M là trung điểm của BC nên N là trung điểmcủa DENhận xét : Đường đối trung của tam giác ABC xuất phát từ A chính làtập hợp những trung điểm của những đường đối song với cạnh BC.Bài toán 2. Trong tam giác ABC, E thuộc cạnh BC sao cho AE là đường đối trung, L làđiểm Lemoine của tam giác. Lúc đó : a ) Các đường đối song EJ, EI ứng với những cạnh AB, AC có độ dài bằng nhau. b ) Ba đường đối song M N, KI, P Q đi qua điểm L có độ dài bằng nhau vànhận L làm trung điểm. Từ đó suy ra 6 điểm M, N, K, I, P., Q. cùng nằm trênmột đường tròn có tâm là L ( Đường tròn này gọi là đường tròn Lemoinethứ nhất hay đường tròn Cosin hay đường tròn Tucker ). Chứng minha ) Từ giả thiết đường đối song ta có ∆ EJB ∼ ∆ Ngân Hàng Á Châu, ∆ EIC ∼ ∆ ABC suyEIEB AC 2 raEJEC AB 2EBAB 2M à AE là đường đối trung nêntừ đó suy ra EI = EJ.ECAC 2 b ) Gọi ba đường đối song đi qua L là M N, P Q, KI ( như hình vẽ ). Ta có LN I = LIN = BAC nên ∆ LIN cân tại L, do đó LN = LI.Tương tự ta có LP = LK, LM = LQ.Mặt khác, theo bài toán 1, L là trung điểm của những đoạn thẳng M N, P Q, KI nên LM = LN = LP = LQ = LK = LI suy ra M N = P Q = KI và 6 điểm M, N, P., Q., K, I cùng thuộc một đường tròn có tâm L2. 3L iên hệ giữa đường đối trung xuất phát từ mộtđỉnh tam giác và đường thẳng song song ( parallelline ) với cạnh đối diệnBài toán 3. ( BMO 2009 ) Cho M N là đường song song với cạnh BC củatam giác ABC với M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC. Các đường thẳngBN và CM cắt nhau tại P.. Đường tròn ngoại tiếp những tam giác BM P vàCN P. cắt nhau tại hai điểm P. và Q. Lúc đó đường thẳng AQ là đường đốitrung xuất phát từ A của tam giác ABC.Chứng minhTa có BQM = BP M = CP N = CQN, M BQ = CP Q = CN Q. Suy rad ( Q. ; AB ) d ( Q. ; BM ) BMABnên theo tín hiệu 2, suy ra AQ làd ( Q. ; AC ) d ( Q. ; CN ) CNACđường đối trungNhận xét : Trong tài liệu [ 2 ] khai thác rất nhiều bài toán vận dụng từ mốiliên hệ trên. Bài toán 4. ( Đường tròn Lemoine thứ hai ) Ba đường thẳng đi qua điểm Lemoine L và song song với những cạnh của tamgiác ABC xác lập trên ba cạnh 6 điểm cùng thuộc một đường tròn. Đườngtròn này gọi là đường tròn Lemoine thứ hai. Tâm của đường tròn chính làtrung điểm của LO ( với O là tâm ngoại tiếp của tam giác ABC ). Chứng minhGọi D, D, E, E, F, F lần lượt là những giao điểm của những đường thẳng điqua điểm Lemoine và song song với những cạnh của tam giác với những cạnhBC, CA, AB.Ta có AF LE là hình bình hành nên AL đi qua trung điểm của F E, mà ALlà đường đối trung của tam giác ABC nên F E là đường đối song ứng với BCcủa ∆ ABC. Suy ra F E cũng là đường đối song ứng với F E của ∆ AF E. Do đó E, E, F, Fcùng thuộc đường tròn, ta gọi là đường tròn ( Ω1 ). Chứng minh tựa như, ta được E, E, D, D cùng thuộc đường tròn ( Ω2 ) vàF, F, D, D cùng thuộc đường tròn ( Ω3 ). Giả sử ( Ω1 ), ( Ω2 ), ( Ω3 ) đôi một phân biệt thì ba trục đẳng phương AB, BC, CAđồng quy hoặc song song ( điều này xích míc ) suy ra D, D, E, E, F, F cùngthuộc một đường tròn, ta gọi là ( Ω ). Vì EF đối song với BC nên EF ⊥ AO ( với O là tâm đường tròn ngoại tiếpcủa ∆ ABC ). Gọi S là trung điểm của LO thì IS AO nên S thuộc đườngtrung trực của E F. Tương tự, S cũng thuộc đường trung trực của ED, DFhay S là tâm của ( Ω ) 2.4 Liên hệ giữa đường đối trung với cực ( pole ) củacạnh tam giác ứng với đường tròn ngoại tiếp củatam giácBài toán 5. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ), E là điểm thuộccạnh BC. Lúc đó AE là đường đối trung khi và chỉ khi AE đi qua cực của BCứng với đường tròn ( O ) ( tức là, đường đối trung xuất phát từ A đi qua giaođiểm của hai tiếp tuyến tại B, C của đường tròn ( O ) ). Chứng minhGiả sử D là cực của BC ứng với ( O ). Ta cần chứng tỏ AD là đường đốitrung của tam giác ABC.Cách 1 : Ta có : SABDAB.BD.sinABDAB.sinABDAB 2EBECSACDACAC. CD.sinACDAC.sinACDNên theo tín hiệu 1, AE là đường đối trung của tam giác. Cách 2 : Gọi M, N là giao điểm của AB, AC với đường tròn Ω tâm D bánkính DB.BOC BDCTa có M BN = BAN + AN B = = 900 nên M N là đường kínhcủa đường tròn, nên D là trung điểm của M N mà BC đối song với M N nêntheo bài toán 1, AD là đường đối trung của tam giác ABCNhận xét : Nếu D, E, F là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với những cạnhBC, CA, AB của tam giác ABC ( DEF còn được gọi là tam giác Gergonnecủa tam giác ABC ) thì DA, EB, F C là những đường đối trung của tam giácDEF. Tức là điểm Gergonne của tam giác ABC chính là điểm Lemoine củatam giác Gergonne. 2.5 Liên hệ giữa đường đối trung với hàng điểm điềuhòa ( Harmonic division ) Bài toán 6. Cho tam giác ABC nội tiếp ( O ), điểm E thuộc cạnh BC, BCgiao với tiếp tuyến tại A của ( O ) tại F. Lúc đó, AE là đường đối trung xuấtphát từ A của tam giác ABC khi và chỉ khi ( BCFE ) = – 1. Tiếp tuyến AF còngọi là đường đối trung ngoài của tam giác ABC.Chứng minhFBABF B2AB 2F B2Ta có ∆ AFB ∼ ∆ CF A nênFAACF A2AC 2F B.F C10AB 2FBAB 2AC 2FCAC 2 ( Để ý, vì F A là tiếp tuyến nên F A2 = F B.F C ). Suy raEBAB 2FBEBAE là đường đối trung ⇔ ⇔ ( BCF E ) = − 1ECAC 2FCECB ài toán 7. Cho tam giác ABC nội tiếp ( O ), đường đối trung xuất phát từ Acắt cạnh BC tại E, AE cắt tiếp tuyến tại B của ( O ) tại J và cắt đường tròn ( O ) tại I ( I khác A ) thì ( AIEJ ) = – 1. Chứng minhTheo bài toán 5, AE là đường đối trung và AE cắt tiếp tuyến tại B của ( O ) tại J nên J cũng là giao điểm của hai tiếp tuyến của ( O ) tại B và C.Gọi H là hình chiếu của O lên AJ, nên H là trung điểm của AI.Đặt K là giao điểm của OJ và BC. Ta có, tứ giác OHEK nội tiếp ( vìOHE = OKE = 900 ). Suy ra ta có JK.JO = JE.JH ( phương tích của điểm J so với đường trònngoại tiếp OHEK ) Mặt khác xét trong tam giác OBJ vuông tại B có BK là đường cao thìJK. JO = JB 2. Hơn nữa JB 2 = JI.JA ( phương tích của điểm J so với đường tròn ( O ) ). Từđó suy ra JE.JH = JI.JA nên theo hệ thức Macloranh suy ra ( AIEJ ) = − 1112.6 Liên hệ giữa đường đối trung với tứ giác điều hòa ( harmonic quadrilateral ) Bài toán 8. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ), X là điểm thuộccung BC không chứa A. Lúc đó AX là đường đối trung của tam giác ABCkhi và chỉ khi tứ giác ABXC điều hòa. Chứng minhAB sinAXB AB sinC AB 2AC sinAXCAC sinBAC 2G ọi T là giao điểm của AX với BC. Ta cóTBAB 2TBAB sinAXBXB sinAXBAX là đường đối trung ⇔ TCAC 2TCAC sinAXCXC sinAXCAB sinAXBXBAB ⇔ ABXC là tứ giác điều hòa. AC sinAXCXCACCách 2 : ABXC là tứ giác điều hòa ⇔ AX đi qua giao điểm hai tiếp tuyếntại B và C của ( ABC ) ⇔ AX là đường đối trung ( theo bài toán 5 ) Cách 1 : Ta có2. 7L iên hệ giữa đường đối trung và đường tròn Apollonius ( Apollonius Circle ) Định nghĩa 3. Cho tam giác ABC không cân, nếu những phân giác trong vàphân giác ngoài góc A cắt cạnh BC tại E và F thì đường tròn đường kính EF12gọi là đường tròn A – Apollonius. Tương tự ta có những đường tròn B – Apollonius, C – Apollonius. Nhận xét : Gọi ( O ) là đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC, xét cực và đối cựcđối với ( O ) i ) Gọi A ∗ là giao điểm của tiếp tuyến tại A của đường tròn ( O ) và BC, khiđó A ∗ là tâm của đường tròn A – Apollonius. Tương tự, ta có những điểm B ∗, C ∗. Để ý rằng ở đây AA ∗, BB ∗, CC ∗ chính là những đường đối trung ngoài củatam giác ABC. 13 ii ) Gọi A, B, C lần lượt là cực của những cạnh BC, CA, AB thì A ∗, B ∗, C ∗ chính là cực của những đường đối trung AA, BB, CC. iii ) Vì AA, BB, CC đồng quy nên A ∗, B ∗, C ∗ thẳng hàng, và đường thẳngnày còn gọi là trục Lemoine. Do đó trục Lemoine chính là đối cực của điểmLemoine. Trục Lemoine vuông góc với trục Brocard OL ( trục Brocard làđường thẳng O và điểm Lemoine L ). Bài toán 9. Cho tam giác ABC nội tiếp ( O ), T là điểm thuộc cạnh BC. Lúcđó AT là đường đối trung khi và chỉ khi AT là trục đẳng phương của đườngtròn ( O ) và đường tròn A – Apolonius. Chứng minh : Gọi D là giao điểm thứ hai của đường tròn A − Apolloniusvà đường tròn ( O ), tức AD là trục đẳng phương của hai đường tròn. Gọi Mlà trung điểm của EF. BACBACTa có M AB + = M AE = + Ngân Hàng Á Châu ⇒ M AB = ACB hay M A làtiếp tuyến của ( O ) tại A.Hơn nữa M A = M D, OA = OD nên M D đối xứng với M A qua OM, do đóM D cũng là tiếp tuyến của ( O ) tại D.Mà M thuộc BC nên tứ giác ABDC là tứ giác điều hòa, theo bài toán 7, AD là đường đối trung của tam giác ABC14Bài tập vận dụngTrong phần bài tập vận dụng là một số ít bài toán khai thác thêm một sốmô hình Open đường đối trung, đặc thù của đường đối trung và mộtsố bài toán từ những cuộc thi học viên giỏi được tiếp cận giải thuật theo hướngvận dụng những mối liên hệ giữa đường đối trung với những yếu tố trong hình họcphẳng nêu ở phần trên. Qua đó, ta hoàn toàn có thể thấy được sáng tạo độc đáo kiến thiết xây dựng cácbài toán từ những mối liên hệ giữa đường đối trung với những yếu tố hình học đãphân tích ở trên. Ngoài ra, ta nhận thấy rằng giải thuật sử dụng đường đối trungcũng như những bổ đề nêu trên là giải thuật khá ngắn gọn. * Một số bài toán chứng tỏ đường đối trungBài 1. Cho tam giác ABC và ACM N, ABP Q là những hình vuông vắn dựng raphía ngoài của tam giác. Gọi S là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giácAN Q. Chứng minh rằng AS là đường đối trung của tam giác ABC.Lời giải : Ta có S nằm trên đường trung trực của những đoạn thẳng AQ và AN, suy raAQ ABANACd ( S ; AB ) = ; d ( S ; AC ) = d ( S ; AB ) ABTừ đó suy rahay AS là đường đối trung của tam giác ABC.d ( S ; AC ) ACBài 2. ( Russia 2009 – Grade 9 ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) có AD ( D ∈ BC ) là đường phân giác trong, đường thẳng AD cắt đườngtròn ( O ) tại điểm E khác điểm A. Đường tròn đường kính DE cắt ( O ) tạiđiểm thứ hai là F. Chứng minh rằng AF là đường đối trung của tam giácABC. 15L ời giải : Gọi M là trung điểm của BC. K là điểm đối xứng với E qua O. Ta có E, M, Kthẳng hàng. Vì DF E = KF E = 900 nên K, D, F thẳng hàng. Do AKEF vàAKM D là những tứ giác nội tiếp nên EAF = EKF = M KD = M AD. Dođó AF đối xứng với AM qua phân giác trong AD của góc BAC. Hay AF làđường đối trung. Bài 3. Cho tam giác ABC. A, B, C lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. ∆ A B C là tam giác trực tâm ( tức A, B, C lần lượt là chân những đườngcao kẻ từ A, B, C ). Chứng minh rằng những đường thẳng A, C và A B giaonhau tại điểm F nằm trên đường đối trung kẻ từ A của tam giác ABC.Nhận xét Các điểm A, B, C, A, B, C làm Open đường tròn Ơlecủa tam giác ABC.Lời giải : 16D ễ chứng tỏ những đường cao của tam giác ABC là những đường phân giác củatam giác A B C suy raB A C = BA C = F A C ( 1 ) Để ý rằng 6 điểm A, B, C, A ”, B ”, C cùng thuộc đường tròn Euler của tamgiác ABC, suy raB A C = F B C ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra F A C = F B C hay tứ giác A  B CF nội tiếp, ta đượcCF B = CA B ( 3 ). ACnên ∆ B A C cân tại B, do đó CA B = BAC ( 4 ). BA = BC = Từ ( 3 ) và ( 4 ) suy ra CF B = BAC mà CB F = CAB nên ∆ CF B ∼ ∆ BCA.Suy rad ( F ; AB ) d ( C ; F B ) BBABd ( F ; AC ) d ( F ; AC ) CCACTừ đó theo tín hiệu 2, ta được AF là đường đối trung. * Về liên hệ giữa đường đối trung và đường đối song, đường song song vớicạnhBài 4. Cho tam giác ABC, AE là đường đối trung ( E thuộc cạnh BC ), Klà điểm bất kể thuộc đoạn AE. Qua K kẻ những đường d1, d2 lần lượt đối songvới AB và AC. d1 cắt CA, CB lần lượt tại M, N. d2 cắt BA, BC lần lượt tạiP, Q. Chứng minh rằng M N = P Q.Lời giải : Qua K kẻ B C BC, ta có AK là đường đối trung của tam giác AB C nêntheo bài toán 2, ta được KM = KN. Mặt khác ta có M N C = BAC = P QBnên tam giác KN Q cân tại K, suy ra KN = KQ. Vậy M N = P Q. 17B ài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp ( O ), AE là đường đối trung ( E thuộccạnh BC ), K là điểm bất kể thuộc đoạn AE. Qua K kẻ những đường d1, d2 lầnlượt song song với AB và AC. d1 cắt AC, CB tại I. d2 cắt AB tại J. Chứngminh rằng IJ ⊥ AO.Lời giải : Từ giả thiết ta suy ra AJKI là hình bình hành, do đó AE đi qua trung điểmcủa IJ, theo bài toán 1 ta được IJ là đường đối song của BC trong tam giácABC. Do đó IJ song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn ( O ) hay IJ ⊥ AO. * Về liên hệ giữa đường đối trung và cực của cạnhBài 6. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) và có K là điểm Lemoine. AK, BK, CK cắt lại ( O ) tương ứng ở D, E, F. Chứng minh rằng K cũng làđiểm Lemoine của tam giác DEF. Lời giải : * Nếu tam giác ABC đều thì dễ suy ra tác dụng. * Nếu tam giác ABC vuông hoặc cân thì ý tưởng sáng tạo giải sau vẫn triển khai đượcbằng cách chọn đỉnh thích hợp. Cụ thể là giả sử tam giác đó vuông hoặc cânởC. Tiếp tuyến của ( O ) tại B và C cắt nhau ở P.. Tiếp tuyến của ( O ) tại E và Fcắt nhau ở Q.. Vì AK là đường đối trung của tam giác ABC nên A, K, D, Tthẳng hàng. Gọi J là giao điểm của EF và BC thì ta có S, D, K thẳng hàng vì cùng thuộcđường đối cực của J so với ( O ), do đó DA là đường đối trung của tam giácDEF. Tương tự ta cũng chứng tỏ được EB là đường đối trung của tam giác DEF. 18B ài 7. ( St. Petersburg 1997 ) Cho hai đường tròn ( O1 ), ( O2 ) cắt nhautại hai điểm phân biệt A, B. Các tiếp tuyến của ( O1 ) tại A và B cắt nhau tạiT. M là một điểm tùy ý của ( O1 ) khác A, B và nằm ngoài đường tròn ( O2 ). Các đường thẳng M A, M B cắt đường tròn ( O2 ) tại E, F. Chứng minh rằngđường thẳng M T đi qua trung điểm của E, F. Lời giải : Ta có T là đối cực của AB so với ( O1 ) nên M T là đường đối trung của tamgiác M AB.Mặt khác tứ giác ABF E nội tiếp nên EF đối song với AB trong tam giácM AB.Vậy, M T đi qua trung điểm của EF. 19B ài 8. ( Polan 2000 ) Cho tam giác ABC cân tại C. P là điểm nằm trongtam giác sao cho P AB = P BC. Gọi M trung điểm AB. Chứng minh CP B + AP M = 1800. Lời giải : Vẽ đường tròn ( O ) ngoại tiếp tam giác P ABTừ giả thiết ta có CB và AC là những tiếp tuyến của đường tròn ( O ). Suy ra P C là đường đối trung của tam giác P AB, do đó CP đối xứng P Mqua phân giác góc AP B.Kéo dài CP cắt AB tại F, khi đó BP M = AP FMà BP M + AP C = AP F + AP C = 1800S uy ra CP B + AP M = 3600 − ( BP M + AP C ) = 1800. Bài 9. ( Chọn đội tuyển PTNK 2010 ) Cho đường tròn ( O ) và điểm Acố định trên ( O ), điểm B, C ( khác điểm A ) đổi khác trên ( O ) BC tuy nhiên songvới đường thẳng d cố định và thắt chặt. Các tiếp tuyến của ( O ) tại B và C cắt nhau tạiK. Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của AM với ( O ). Chứngminh đường thẳng KN luôn đi qua một điểm cố định và thắt chặt khi BC đổi khác. Lời giải : Gọi D, P. lần lượt là giao điểm của KN, AK và ( O ). Vì BC có phương không20đổi nên KM là đường thẳng cố định và thắt chặt. Theo giả thiết, ta thấy AK là đườngđối trung, suy ra BAP = N AC. Từ đó suy ra P., N đối xứng nhau qua đườngthẳng KM cố định và thắt chặt. Khi đó thuận tiện suy ra D đối xứng với A qua đường thẳngKM nên D cố định và thắt chặt. Bài 10. ( Shortlist 2003 ) Cho ba điểm phân biệt A, B, C theo thứ tự nằmtrên một đường thẳng. Gọi ( ω ) là đường tròn luôn đi qua A, C ( AC khônglà đường kính ). P là giao điểm của tiếp tuyến của ( C ) tại A và C. Giả sử ( ω ) cắt đoạn P B tại Q. Chứng minh rằng đường phân giác góc AQC đi quamột điểm cố định và thắt chặt khi ( ω ) biến hóa. Lời giải : Gọi I giao điểm của đường phân giác góc AQC và đường thẳng AC, ta chứng21minh I cố định và thắt chặt khi ( ω ) biến hóa. Ta có QB đi qua cực P. của AC nên QB làđường đối trung của tam giác QAC.AQ 2IAAQBAAI 2BA màsuy rahay I cố định và thắt chặt. Do đóBCCQ2ICQCBCCI 2B ài 11. ( Nước Ta TST 2001 ) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cắtnhau tại hai điểm A, B. Gọi P T là một tiếp tuyến chung của hai đường trònđó ( P., T là tiếp điểm ). Các tiếp tuyến tại P., T của đường tròn ngoại tiếp tamgiác AP T cắt nhau tại S. Gọi H là điểm đối xứng của B qua P T. Chứngminh A, S, H thẳng hàng. Lời giải : Từ giả thiết ta có AS là đường đối trung của tam giác AP T. Xét góc khuynh hướng giữa hai đường thẳng theo modπ, ta có ( P A ; P T ) ≡ ( AB ; P B ), ( T P ; T A ) ≡ ( T B ; AB ) ( do đặc thù tiếp tuyến ). Mà trong tam giác P AT ta có, ( P A ; P T ) + ( T P ; T A ) + ( AP ; AT ) ≡ 0 nên ( AB ; P B ) + ( T B ; AB ) + ( AT ; AP ) ≡ 0 ( modπ ) ⇒ ( BT ; BP ) ≡ ( AP ; AT ) Do đó ( HP ; HT ) ≡ ( AP ; AT ) nên tứ giác AP HT nội tiếp được. Suy ra ( AT ; AH ) ≡ ( P T ; P H ) ≡ ( P T ; P B ) ≡ ( AB ; AP ), suy ra AH đốixứng với AB qua phân giác của góc P AT, mà AB đi qua trung điểm củaP T ( do đặc thù của phương tích ) nên AH cũng là đường đối trung của tamgiác AP T. Vậy A, H, S thẳng hàng. Bài 12. ( USA 2008 ) Cho tam giác ABC nhọn và không phải là tam giáccân nội tiếp đường tròn ( O ), đường trung trực của AB, AC cắt trung tuyếnAM tại D và E. F là giao điểm của BD và CE. Gọi N, P. lần lượt là trungđiểm của AB, AC. Chứng minh rằng bốn điểm N, F, O, P. cùng thuộc một22đường tròn. Lời giải : Áp dụng định lí Sin trong tam giác ∆ ABF và tam giác ∆ ACF ta cósinAFBsinAFBAB ( 1 ) AFsinABF sinBADvàACsinAFC sinAFC ( 2 ) AFsinACF sinEACMặt khác vì D, E thuộc trung tuyến AM nênsinDAB AC ( 3 ) sinEAC ABTừ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ) suy ra sinAFB = sinAFC hay AF B = AF C, do đó BF K = KF C.Từ đó BF C = F DE + F ED = 2BAD + 2EAC = 2BAC = BOC nên tứgiác BF OC nội tiếp đường tròn ( Ω ) Gọi K là giao điểm khác F của AF và ( Ω ). Mà BF K = KF C suy ra K là23điểm chính giữa cung BC của đường tròn ( Ω ) hay KO là đường kính củađường tròn ( Ω ) suy ra OF ⊥ F K. Do đó OF ⊥ AF. Suy ra rằng bốn điểm N, F, O, P. cùng thuộc đường tròn đường kính AO.Nhận xét : Trong chứng tỏ trên, K là điểm chính giữa cung BC củađường tròn ( Ω ) hay KB ⊥ BO, KC ⊥ CO. Suy ra KB, KC là tiếp tuyến của ( O ) và so đó AK là đường đối trung của tam giác ABC. * Về liên hệ giữa đường đối trung và hàng điểm điều hòa, tứ giác điều hòaBài 13. ( TST Romania, 2006 ) Cho ABCD là tứ giác lồi, gọi O là giaođiểm của AC và BD. Chứng minh rằng nếu BO là đường đối trung của tamgiác ABC và DO là đường đối trung của tam giác ADC thì AO là đường đốitrung của tam giác ABD.Lời giải : Gọi T1 là giao điểm của tiếp tuyến d1 tại D của đường tròn ( ADC ) và AC, vì DO là đường đối trung của tam giác ADC nên. Gọi T2 là giao điểm của tiếp tuyến d2 tại B của đường tròn ( ABC ) và AC, vì BO là đường đối trung của tam giác ABC nên. Gọi T là giao điểm của d1 và d2, suy ra. Do đó DO là đối cực của T ứng với đường tròn ( ADC ), BO là đối cực của Tứng với đường tròn ( ABC ). Suy ra hai đường tròn ( ADC ) và ( ABC ) trùngnhau, hay tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( Ω ), và T là cực của BD ứngvới đường tròn ( Ω ) nên AT là đường đối trung của tam giác ABD.Vậy, AO là đường đối trung của tam giác ABD. 24 * Về liên hệ giữa đường đối trung và đường tròn ApolloniusBài 14. ( ARMO 2010 ) Cho tam giác ABC, O là tâm đường tròn ngoạitiếp, AO ∩ BC = D. H1 ; H2 lần lượt là trực tâm của những tam giác ABD vàACD, S là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác H1 H2 D. Chứng minhrằng AS là đường đối trung của tam giác ABC.Lời giải : Xét hai tam giác ∆ ABC và ∆ DH1 H2 là hai tam giác có những cạnh tương ứngvuông góc, suy ra ∆ ABC ∼ ∆ DH1 H2. Mặt khác ADH1 = Ngân Hàng Á Châu nên ADH1 = DH2 H1 hay AS là tiếp tuyến củađường tròn, mà A, H1, H2 thẳng hàng nên S là giao của tiếp tuyến tại A của ( DH1 H2 ) và H1 H2. Kẻ tiếp tuyến của ( O ) tại A cắt BC tại E khi đó E là tâm đường tròn AApollonius của tam giác ABC.Từ đó suy ra EO ⊥ AS, do đó AS là trục đẳng phương của ( O ) và đườngtròn A – Apollonius của tam giác ABC.Theo bài toán 9, thì AS là đường đối trung của tam giác ABC.Bài 15. ( USA TST 2005 ) Cho tam giác nhọn ABC không phải là tamgiác cân, nội tiếp đường tròn ( O ). P là điểm nằm trong tam giác sao choP AB = P BA và P AC = P CB. Lấy điểm Q. trên đường thẳng BC sao choQA = QP. Chứng minh rằng AQP = 2OQB. Lời giải : Gọi ( O1 ), ( O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp những tam giác P AC, P AB.Từ giả thiết P AB = P BA và P AC = P CB suy ra BC là tiếp tuyến chungcủa hai đường tròn ( O1 ), ( O2 ) với B, C là những tiếp điểm. Mà AP là trục đẳng phương của ( O1 ) và ( O2 ) nên AP đi qua trung điểm Mcủa BC, do đó. Ta có ∆ QAC ∼ ∆ QBA nên QA là tiếp tuyến của ( O ) tại25

Rate this post
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments