Cho một hàm $f:[0, 1]\to \mathbb R.$

Để kiến thiết xây dựng tích phân Riemann ta chia ra những bước như sau :

Bước 1: (phân tách) chia miền lấy tích phân $[0, 1]$ thành các đoạn nhỏ, ta được phân hoạch

$P=\{0=x_0<x_1<\dots<x_n=1\},$

Bạn đang đọc: Dấu hiệu hàm khả tích Riemann

Bước 2 : ( giải quyết và xử lý trên đoạn nhỏ ) đặt

$\Delta x_i=x_{i+1}-x_i, m_i=\inf_{x\in[x_i, x_{i+1}]}f(x), M_i=\sup_{x\in[x_i, x_{i+1}]}f(x),$

$i=0, 1, \dots, n-1,$

Bước 3 : ( tổng hợp ) lập tổng dưới, tổng trên

$L_f(P)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}m_i\Delta x_i, U_f(P)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}M_i\Delta x_i,$

Bước 4 : ( giải quyết và xử lý những tổng ) nếu có những số lượng giới hạn

$I_{*}=\lim_{d(P)\to 0}L_f(P), I^*=\lim_{d(P)\to 0}U_f(P)$

trong đó $d(P)=\max_{0\le i\le n-1}\Delta x_i$ được gọi là đường kính của phân hoạch $P,$

và $I_{*}=I^*$

ta nói hàm số $f$ khả tích Riemann trên đoạn và tích phân Riemann của trên đoạn $[0, 1],$ được ký hiệu $\int_0^1 f(x)dx,$ bằng $I^*.$

Tích phân Riemann của một hàm xác định trên hình hộp $[0, 1]^n\subset\mathbb R^n$ cũng được xây dựng tương tự như trên, chỉ khác việc chia hình hộp thành các hình hộp con.

Có thể thấy rằng nếu đơn thuần dùng định nghĩa như trên để xem một hàm có khả tích hay không là không dễ, và khi khả tích rồi thì tích phân của nó bằng bao nhiêu cũng chẳng thuận tiện gì. Người ta khởi đầu tìm những tín hiệu đơn thuần để kiểm tra và giám sát như sau .

Đầu tiên có thể thấy nếu hàm khả tích Riemann thì nó phải bị chặn!

Như vậy ta chỉ chăm sóc đến hàm bị chặn trên miền bị chặn ( hình hộp ) !
Hàm không bị chặn thì không khả tích Riemann. Hàm không bị chặn hay miền không bị chặn sẽ tương quan đến tích phân suy rộng, cái ta chưa chăm sóc ở đây .
Để đi tiếp ta cần tìm hiểu và khám phá về phân hoạch và một vài tích chất của tổng trên và tổng dưới .

Thứ nhất, thế nào là phân hoạch mịn hơn? Phân hoạch $P$ được gọi là mịn hơn phân hoạch $Q$ nếu tập các điểm chia của nhiều hơn $Q.$ Cách nói khác khi có phân hoạch rồi ta có các đoạn nhỏ, ta lại tiếp tục chia tiếp các đoạn nhỏ này ra ta thu được phân hoạch mịn hơn $P.$

Ví dụ $Q=\{0, \dfrac{1}{2}, 1\}$ và $P=\{0, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{2}, 1\}.$

Cần quan tâm số điểm chia nhiều hơn không có nghĩa là mịn hơn .

Ví dụ và $P=\{0, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3}, 1\}.$

Phân hoạch thô nhất là phân hoạch mà ta giữ nguyên miền lấy tích phân :

$P_0=\{0, 1\}.$

Mọi phân hoạch đều mịn hơn $P_0.$

Thứ hai, từ đặc thù
+ ) sup của tập mẹ thì lớn hơn của tập con ,
+ ) inf của tập mẹ thì nhỏ hơn của tập con ,
nếu mịn hơn ta có những bất đẳng thức sau

$m=\inf_{x\in[0, 1]}f(x)=L_f(P_0)\le L_f(Q)\le L_f(P)\le$

$\le U_f(P)\le U_f(Q)\le U_f(P_0)=\sup_{x\in[0,1]}f(x)=M.$

Thứ ba, với hai phân hoạch bất kỳ $P, Q$ ta có

$L_f(P)\le U_f(Q).$

Từ định nghĩa, sử dụng nguyên tắc Cantor về dãy những tập lồng nhau và thắt lại, ta hoàn toàn có thể thấy rằng hàm bị chặn sẽ khả tích Riemann khi và chỉ khi

$\lim_{d(P)\to 0} (U_f(P)-L_f(P))=0$

hay theo ngôn ngữ $\delta-\epsilon$

$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0″ class=”latex” src=”https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cforall+%5Cepsilon%3E0%2C+%5Cexists+%5Cdelta%3E0&bg=ffffff&fg=444444&s=0&c=20201002″/> ta có</p><p>nếu <img data-lazyloaded=$ thì $U_f(P)-L_f(P)<\epsilon.$

Một hàm bị chặn không khả tích Riemann nếu ta chỉ ra được một số dương $\epsilon_0$ cố định và một dãy các phân hoạch $\{P_k\}$ sao cho

$\lim_{k\to\infty}d(P_k)=0$ và $U_f(P_k)-L_f(P_k)\ge \epsilon_0.$

Từ đây ta có thể thấy hàm Dirichlet

Xem thêm: Thực chất keo 502 dán đồ sứ được hay không?

$f(x)=0$ khi $x\in\mathbb Q\cap [0, 1]$ và $f(x)=1$ trong trường hợp còn lại

không khả tích Riemann .
Ta cũng hoàn toàn có thể chứng tỏ được một hàm liên tục, bị chặn thì khả tích Riemann. Hàm đơn điệu, bị chặn cũng khả tích Riemann .
Tuy nhiên nếu dùng tiêu chuẩn trên để kiểm tra nó có khả tích lại không nhẹ nhàng vì phải kiểm tra với phân hoạch khá bất kể chỉ có một khống chế về đường kính đủ nhỏ. Đặc biệt là khi ta muốn biết tác dụng của tích phân .
Ta lại xem tiếp đặc thù của tổng trên và tổng dưới .

Tổng dưới bị chặn trên bởi $I_*$ và

$I_*=\sup_{P}L_f(P)$

còn

tổng trên bị chặn dưới bởi $I^*$ và

$I^*=\inf_{P}U_f(P).$

Như vậy nếu hàm bị chặn, điều kiện kèm theo cần và đủ để hàm khả tích là

có một dãy các phân hoạch sao cho

$\lim_{k\to\infty}(U_f(P_k)-L_f(P_k))=0$

hay theo ngôn từ

$\forall k\in\mathbb N, \exists P_k$ sao cho

$U_f(P_k)-L_f(P_k)<\dfrac{1}{k}.$

Chẳng hạn để kiểm tra hàm liên tục bị chặn là khả tích ta chỉ cần xét dãy phân hoạch đặc biệt quan trọng sau

$P_k=\{0, \dfrac{1}{k}, \dots, \dfrac{k-1}{k}, 1\}.$

Ở ví dụ này $d(P_k)=\dfrac{1}{k}$ tiến về $0$ khi $k$ tiến ra vô cùng.

Thực chất ta không cần như vậy .
Chẳng hạn ta kiểm tra tính khả tích của hàm gián đoạn sau

khi $0\le x<\dfrac{1}{2}$ và khi $\dfrac{1}{2}\le x\le 1$

bằng dãy phân hoạch sau

$P_k=\{0, \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3k}, \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3k}, 1\}.$

Hơn nữa nếu ta biết có một số $I$ sao cho

$L_f(P_k)\le I\le U_f(P_k), \forall k=1, 2, \dots$

thì tích phân $\int_0^1 f(x)dx=I.$

Ví dụ trong trường hợp hàm gián đoạn ở trên ta chọn $I=\dfrac{1}{2}.$

So sánh ví dụ này với ví dụ hàm Dirichlet, tập điểm gián đoạn của ví dụ này chỉ có một điểm, tập điểm gián đoạn của hàm liên tục là rỗng, tập điểm gián đoạn của hàm đơn điệu là tối đa đếm được, còn của hàm Dirichlet là cả đoạn $[0, 1].$ Như vậy, “lực lượng” của tập điểm gián đoạn cho thấy hàm có khả tích Riemann hay không.

Tiêu chuẩn Lebesgue về hàm khả tích Riemann :

Hàm khả tích Riemann khi và chỉ khi tập các điểm gián đoạn có độ đo $0.$

Trong đó, tập $A$ được gọi là có độ đo nếu với mọi số dương $\epsilon$ ta đều có thể chọn được một phủ gồm nhiều nhất đếm được các đoạn con đóng của tập sao cho tổng độ dài của chúng không vượt quá $\epsilon.$

Chẳng hạn hàm gián đoạn ở trên có tập điểm gián đoạn $A=\{\dfrac{1}{2}\}$ là tập có độ đo còn hàm Dirichlet có tập các điểm gián đoạn $A=[0, 1]$ là tập có độ đo khác