Ma trận chuyển vị – Wikipedia tiếng Việt

AT của ma trận A có thể có được bằng cách đảo các phần tử của nó theo đường chéo chính. Lặp lại bước trên đối với ma trận chuyển vị thì các phần tử sẽ được trả về vị trí ban đầu của ma trận gốc.Ma trận chuyển vịcủa ma trậncó thể có được bằng cách hòn đảo những thành phần của nó theo đường chéo chính. Lặp lại bước trên so với ma trận chuyển vị thì những thành phần sẽ được trả về vị trí khởi đầu của ma trận gốc .

Trong đại số tuyến tính, ma trận chuyển vị (tiếng Anh: transpose) là một ma trận mà ở đó các hàng được thay thế bằng các cột, và ngược lại. Để có được ma trận chuyển vị, chúng ta có thể sử dụng toán tử lật ma trận theo đường chéo chính của nó. Ma trận chuyển vị của ma trận A được ký hiệu là AT.[1][2]

Ma trận chuyển vị được ra mắt vào năm 1858 bởi nhà toán học người Anh Arthur Cayley. [ 3 ]

Chuyển vị của ma trận[sửa|sửa mã nguồn]

Chuyển vị của ma trận A, ký hiệu AT,[1][4] ⊤A, A⊤,

A

{\displaystyle A^{\intercal }}

{\displaystyle A^{\intercal }},[5][6] A′,[7] Atr, tA hoặc At, có thể được xây dựng bằng các phương pháp sau đây:

  1. Phản xạ

    A

    trên đường chéo chính của nó (chạy từ trên cùng bên trái sang dưới cùng bên phải) để có

    AT

    ;

  2. Viết các hàng của

    A

    thành cột của

    AT

    ;

  3. Viết các cột của

    A

    thành hàng của

    AT

    .

Về mặt hình thức, phần tử của hàng thứ i, cột thứ j của ma trận AT là phần tử của hàng thứ j, cột thứ i của ma trận A:

[ A T ] i j = [ A ] j i. { \ displaystyle \ left [ \ mathbf { A } ^ { \ operatorname { T } } \ right ] _ { ij } = \ left [ \ mathbf { A } \ right ] _ { ji }. }{\displaystyle \left[\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.}

Nếu A là ma trận m × n thì AT là ma trận n × m.

Trong trường hợp là ma trận vuông, AT biểu thị lũy thừa thứ T của ma trận A. Để tránh sự nhầm lẫn có thể xảy ra, nhiều tác giả sử dụng ký hiệu lũy thừa T bên trái, khi đó ký hiệu của chuyển vị là TA. Một lợi thế của ký hiệu này là không cần dấu ngoặc đơn khi liên quan đến số mũ: khi (TA)n = T(An), ký hiệu TAn không gây nhầm lẫn.

Trong bài viết này, tránh nhầm lẫn này bằng cách không khi nào sử dụng ký hiệu T dưới dạng tên biến .

Định nghĩa ma trận tương quan đến chuyển vị[sửa|sửa mã nguồn]

Ma trận vuông có chuyển vị bằng chính nó được gọi là ma trận đối xứng; nghĩa là, A đối xứng nếu

A T = A. { \ displaystyle \ mathbf { A } ^ { \ operatorname { T } } = \ mathbf { A }. }{\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .}

Ma trận vuông có chuyển vị bằng phần trừ của nó được gọi là ma trận phản đối xứng; nghĩa là, A phản đối xứng nếu

A T = − A. { \ displaystyle \ mathbf { A } ^ { \ operatorname { T } } = – \ mathbf { A }. }{\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-\mathbf {A} .}

Ma trận vuông phức có chuyển vị bằng ma trận với mỗi phần tử được thay thế bằng liên hợp phức của nó (được biểu thị ở đây bằng dấu gạch ngang) được gọi là ma trận Hermitian (tương đương với ma trận bằng chuyển vị liên hợp); nghĩa là, A là một Hermitian nếu

A T = A ¯. { \ displaystyle \ mathbf { A } ^ { \ operatorname { T } } = { \ overline { \ mathbf { A } } }. }{\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} }}.}

Ma trận vuông phức có chuyển vị bằng phủ định của liên hợp phức của nó được gọi là ma trận phản Hermitian; nghĩa là, A là phản Hermitian nếu

A T = − A ¯. { \ displaystyle \ mathbf { A } ^ { \ operatorname { T } } = – { \ overline { \ mathbf { A } } }. }{\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-{\overline {\mathbf {A} }}.}

Ma trận vuông có chuyển vị bằng nghịch đảo của nó được gọi là ma trận trực giao; nghĩa là, A trực giao nếu

A T = A − 1. { \ displaystyle \ mathbf { A } ^ { \ operatorname { T } } = \ mathbf { A } ^ { – 1 }. }{\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{-1}.}

Một ma trận phức vuông có chuyển vị bằng nghịch đảo liên hợp của nó được gọi là ma trận unita; nghĩa là, A đơn nhất (unita) nếu

A T = A − 1 ¯. { \ displaystyle \ mathbf { A } ^ { \ operatorname { T } } = { \ overline { \ mathbf { A } ^ { – 1 } } }. }{\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{-1}}}.}
  • [ 1 2 ] T = [ 1 2 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 1 và 2 \ end { bmatrix } } ^ { \ operatorname { T } } = \, { \ begin { bmatrix } 1 \ \ 2 \ end { bmatrix } } }{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}
  • [ 1 2 3 4 ] T = [ 1 3 2 4 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 1 và 2 \ \ 3 và 4 \ end { bmatrix } } ^ { \ operatorname { T } } = { \ begin { bmatrix } 1 và 3 \ \ 2 và 4 \ end { bmatrix } } }{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}

Cho AB là 2 ma trận và c là một đại lượng vô hướng.

Nếu A là một ma trận m × nAT là chuyển vị của nó thì kết quả của phép nhân ma trận với hai ma trận này cho ra hai ma trận vuông: A AT là ma trận m × mAT A là ma trận n × n. Hơn nữa, các tích này đều là ma trận đối xứng. Thật vậy, tích ma trận A AT có phần tử là tích trong của một hàng A với một cột AT. Nhưng các cột của AT là các hàng của A, vì vậy phần tử tương ứng với tích trong của hai hàng của A. Nếu pi j là phần tử của tích, nó được lấy từ các hàng i và j của A. Phần tử pj i cũng được lấy từ các hàng này, do đó pi j = pj i, và tích của ma trận (pi j) đối xứng. Tương tự, tích AT A là một ma trận đối xứng.

Một chứng minh nhanh về tính đối xứng của A AT cho kết quả từ thực tế rằng nó là chuyển vị của chính nó:

( A A T ) T = ( A T ) T A T = A A T. { \ displaystyle \ left ( \ mathbf { A } \ mathbf { A } ^ { \ operatorname { T } } \ right ) ^ { \ operatorname { T } } = \ left ( \ mathbf { A } ^ { \ operatorname { T } } \ right ) ^ { \ operatorname { T } } \ mathbf { A } ^ { \ operatorname { T } } = \ mathbf { A } \ mathbf { A } ^ { \ operatorname { T } }. }{\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.}[8]

Thực hiện chuyển vị ma trận trên máy tính[sửa|sửa mã nguồn]

Hình minh họa thứ tự chính của hàng và cộtTrên máy tính, người ta thường hoàn toàn có thể tránh chuyển vị một ma trận trong bộ nhớ bằng cách chỉ cần truy vấn cùng một tài liệu theo một thứ tự khác nhau. Ví dụ : thư viện ứng dụng cho đại số tuyến tính, ví dụ điển hình như BLAS, thường cung ứng những tùy chọn để chỉ định rằng 1 số ít ma trận nhất định sẽ được diễn giải theo thứ tự hoán vị để tránh sự cấp thiết của việc chuyển dời tài liệu .Tuy nhiên, vẫn có 1 số ít trường hợp thiết yếu hoặc mong ước sắp xếp lại một cách vật lý một ma trận trong bộ nhớ theo thứ tự đã hoán vị của nó. Ví dụ, với một ma trận được tàng trữ trong hàng-thứ tự chính, những hàng của ma trận liền nhau trong bộ nhớ và những cột không liền nhau. Nếu những thao tác lặp lại cần được triển khai trên những cột, ví dụ như trong thuật toán đổi khác Fourier nhanh thì việc chuyển ma trận trong bộ nhớ ( để làm cho những cột liền nhau ) hoàn toàn có thể cải tổ hiệu suất bằng cách tăng vị trí tham chiếu .

Lý tưởng nhất, ta có thể hy vọng chuyển đổi một ma trận với bộ nhớ bổ sung tối thiểu. Điều này dẫn đến vấn đề chuyển đổi một ma trận tại chỗ n × m, với bộ nhớ bổ sung O(1) hoặc tối đa bộ nhớ ít hơn nhiều mn. Cho n ≠ m, điều này liên quan đến một hoán vị phức tạp của các phần tử dữ liệu mà không phải là tầm thường để triển khai tại chỗ. Do đó, chuyển vị ma trận tại chỗ hiệu quả đã là chủ đề của nhiều ấn phẩm nghiên cứu trong khoa học máy tính, bắt đầu từ cuối những năm 1950 và một số thuật toán đã được phát triển.

Chuyển vị của ánh xạ tuyến tính và dạng song tuyến tính[sửa|sửa mã nguồn]

Nhớ lại rằng những ma trận hoàn toàn có thể được đặt tương ứng 1-1 với toán tử tuyến tính. Chuyển vị của một toán tử tuyến tính hoàn toàn có thể được xác lập mà không cần xem xét phải màn biểu diễn ma trận. Điều này dẫn đến một định nghĩa tổng quát hơn về phép chuyển vị hoàn toàn có thể được vận dụng cho những toán tử tuyến tính không hề được màn biểu diễn bằng ma trận ( ví dụ tương quan đến nhiều khoảng trống vectơ chiều vô hạn ) .

Chuyển vị của ánh xạ tuyến tính[sửa|sửa mã nguồn]

Đặt X# biểu thị không gian đối ngẫu đại số (algebraic dual space) của một mô-đun-R- X.
Đặt X và Y là các mô-đun-R.
Nếu u : XY là ánh xạ tuyến tính thì phần phụ đại số (algebraic adjoint) hoặc đối ngẫu (dual) của nó, là ánh xạ #u : Y# → X# được xác định bởi ffu.
Các hàm kết quả u#(f) được gọi là pullback của f qua u.
Quan hệ sau đây đặc trưng cho phần phụ đại số của u[10]

u#(f), x⟩ = ⟨f, u(x)⟩

cho mọi

fY

xX

trong đó ⟨•, •⟩ là một hệ đối ngẫu (dual system) (tức là được xác định bởi ⟨z, h⟩ := h(z)).
Định nghĩa này cũng áp dụng không thay đổi đối với mô-đun bên trái và không gian vectơ.[11]

Định nghĩa của phép chuyển vị hoàn toàn có thể được coi là độc lập với bất kể dạng song tuyến nào trên những mô-đun, không giống như phần phụ ( bên dưới ) .

Không gian đối ngẫu liên tục của không gian vectơ tôpô (topological vector space) (TVS) X được ký hiệu bởi X‘.
Nếu X và Y là các không gian vectơ tôpô thì là ánh xạ tuyến tính u : XY là một liên tục yếu khi và chỉ khi u#(Y‘) ⊆ X‘, trong trường hợp đó ta đặt tu : Y‘ → X‘ biểu thị hạn chế của u# tới Y‘.
Ánh xạ tu được gọi là chuyển vị của u.

Nếu ma trận A biểu thị một ánh xạ tuyến tính đối với cơ sở của V và W thì ma trận AT biểu thị sự chuyển vị của ánh xạ tuyến tính đó đối với cơ sở đối ngẫu (dual base).

Chuyển vị của một dạng song tuyến tính[sửa|sửa mã nguồn]

Mọi ánh xạ tuyến tính tới không gian đối ngẫu u : XX# định nghĩa một dạng song tuyến B : X × XF, với mối quan hệ B(x, y) = u(x)(y).
Bằng cách xác định sự chuyển vị của dạng song tuyến này là dạng song tuyến tB được xác định bởi chuyển vị tu : X## → X# tức là tB(y, x) = tu(Ψ(y))(x), ta thấy rằng B(x, y) = tB(y, x).
Tại đây, Ψ là phép đồng cấu tự nhiên XX## vào đôi liên hiệp.

Đừng nhầm lẫn với Phần phụ Hermitian

Nếu không gian vectơ X và Y có lần lượt là dạng song tuyến tính không suy biến BXBY, một khái niệm được gọi là phần phụ, có liên quan chặt chẽ với chuyển vị, có thể được định nghĩa:

Nếu u : XY là một ánh xạ tuyến tính giữa không gian vectơ X và Y, ta xác định g là một phận phụ của u nếu g : YX thỏa mãn

B X ( x, g ( y ) ) = B Y ( u ( x ), y ) { \ displaystyle B_ { X } { \ big ( } x, g ( y ) { \ big ) } = B_ { Y } { \ big ( } u ( x ), y { \ big ) } }{\displaystyle B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}}

xX

yY

.

Các dạng song tuyến này xác định đẳng cấu giữa X và X#, và giữa YY#, dẫn đến sự đẳng cấu giữa chuyển vị và phần phụ của u.
Ma trận của phần phụ của một ánh xạ là ma trận chuyển vị chỉ khi cơ sở là trực chuẩn đối với dạng song tuyến.
Trong bối cảnh này, nhiều tác giả sử dụng thuật ngữ chuyển vị để chỉ phần phụ như được định nghĩa ở đây.

Phần phụ cho phép ta xem xét liệu g : YX bằng u −1 : YX.
Đặc biệt, điều này cho phép nhóm trực chuẩn trên không gian vectơ X có dạng bậc hai được xác định mà không cần tham chiếu đến ma trận (cũng như các thành phần của nó) dưới dạng tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính XX mà phần phụ bằng nghịch đảo.

Trên một khoảng trống vectơ phức tạp, người ta thường thao tác với dạng bán song tuyến tính ( tuyến tính phối hợp trong một đối số ) thay vì những dạng song tuyến tính. Phần phụ Hermitian của ánh xạ giữa những khoảng trống như vậy được xác lập tương tự như và ma trận của phần phụ Hermitian được cho bởi ma trận chuyển vị liên hiệp nếu những cơ sở là trực chuẩn .

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

  • Gilbert Strang (Spring 2010) Linear Algebra from MIT Open Courseware

Rate this post
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments