Luận văn Thạc sĩ: Tam thức bậc hai và một số ứng dụng

MỤC LỤC
CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI …… 5
1.1. Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai ……………………………. 5
1.1.1. Nghiệm của phương trình bậc hai ………………………………………. 5
1.1.2. Định lý Vi – ét ………………………………………………………………… 7
1.2. Bài toán dấu của tam thức bậc hai …………………………………………….. 8
1.2.1. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai ………………………….. 8
1.2.2. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai …………………………… 10
1.3. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số và biện luận
phương trình bậc hai ……………………………………………………………………. 11
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC
BẬC HAI VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA THAM SỐ …………………………………………………………………………. 15
2.1. Hệ phương trình hỗn hợp và phương trình chứa dấu
giá trị tuyệt đối. …………………………………………………………………………… 15
2.1.1. Hệ phương trình hỗn hợp …………………………………………………. 15
2.1.2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối …………………………….. 16
2.2. Dấu của tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biện luận
bất phương trình ………………………………………………………………………….. 18
2.3. Phương trình vô tỷ và phương trình bậc cao……………………………… 23
2.3.1. Phương trình vô tỷ…………………………………………………………… 23
2.3.2. Phương trình bậc cao………………………………………………………. 26
2.4. Phương trình mũ và phương trình lôgarit …………………………………. 31
2.4.1. Phương trình mũ …………………………………………………………….. 31
2.4.2. Phương trình lôgarit ……………………………………………………….. 33
2.5. Một số phương trình lượng giác………………………………………………. 35
1

2.6. Một số sai lầm của học sinh khi sử dụng định lý đảo về dấu của tam
thức bậc hai ………………………………………………………………………………… 37
CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM
THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC KHẢO SÁT HÀM SỐ PHỤ THUỘC
THAM SỐ …………………………………………………………………………………….. 39
3.1. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số ………………………….. 39
3.2. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên một miền……………….. 40
3.2.1. Hàm số bậc 3: ………………………………………………………………… 41
3.2.2 Hàm phân thức:……………………………………………………………….. 43
3.3. Cực trị và dạng đồ thị của hàm số ……………………………………………. 44
3.4. Xác định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất thỏa mãn điều kiện cho trước …………………………………………………. 46
3.5. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng…….. 48
3.6. Giao điểm của đường thẳng với hàm số bậc bốn và với các nhánh
của hypebol ………………………………………………………………………………… 52
3.6.1. Giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm bậc 4……………….. 52
3.6.2. Giao điểm của đường thẳng với nhánh của hypebol ……………. 53
CHƯƠNG IV: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM
THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ
BÀI TOÁN HÌNH HỌC ………………………………………………………………… 55
4.1. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc chứng
minh bất đẳng thức. ……………………………………………………………………… 55
4.2. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc giải
các bài toán hình học. …………………………………………………………………… 57
KẾT LUẬN …………………………………………………………………………………… 59
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… Error! Bookmark not
defined.

2

Thang Long University Libraty

MỞ ĐẦU
Trong chương trình môn toán ở trường phổ thông trung học có một
chương trong sách đại số lớp 10 viết về tam thức bậc hai. Các kết quả của
nó đã được đề cập và ứng dụng nhiều liên quan đến giải và biện luận
phương trình, bất phương trình, khảo sát hàm số…. Là một giáo viên đang
giảng dạy môn toán ở trường phổ thông, tôi muốn đi sâu tìm hiểu và nghiên
cứu kỹ vấn đề này để công việc giảng dạy môn toán nói chung và giảng dạy
môn đại số nói riêng của bản thân tôi được tốt hơn. Xuất phát từ lý do trên
trong luận văn này tôi chọn đề tài “ Tam thức bậc hai và một số ứng
dụng”.
Nội dung luận văn gồm các phần sau:
Chương I. Một số dạng toán về tam thức bậc hai. Trong chương
này, tôi hệ thống hóa lại một cách ngắn gọn về các dạng toán như các
phương pháp giải phương trình bậc hai, so sánh nghiệm của tam thức bậc
hai với các số đã cho.
Chương II. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai vào
việc giải phương trình, bất phương trình. Trong chương này chúng tôi
nêu lên một số ứng dụng trực tiếp định lý đảo của tam thức bậc hai và các
bài toán áp dụng gián tiếp định lý trên. Đó là giải hệ phương trình hỗn hợp
và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải phương trình vô tỷ và
phương trình bậc cao, giải phương trình mũ và phương trình lôgarit, giải
một số phương trình lượng giác, dấu của tam thức bậc hai trên một miền và
bài toán giải biện luận bất phương trình, một số sai lầm của học sinh khi sử
dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai .
Chương III. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai
vào việc khảo sát hàm số. Tôi sử dụng định lý đảo của tam thức bậc hai
vào một số bài toán về khảo sát hàm số và đồ thị như: hàm số đồng biến,
hàm số nghịch biến trên một miền, cực trị và dạng đồ thị của hàm số, xác
định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa mãn
điều kiện cho trước,…

3

Chương IV. Ứng dụng định lý đảo về tam thức bậc hai vào việc
chứng minh bất đẳng thức và bài toán hình học. Trong chương này tôi
trình bày về những ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong
việc chứng minh bất đẳng thức và một số bài toán hình học.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long với
sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Bùi Huy Hiền. Cuối cùng tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của Thầy.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các Thầy, Cô thuộc khoa Toán – Tin, Phòng sau
đại học trường đại học Thăng Long đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tôi
hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do kinh nghiệm và thời gian có hạn,
nên bản luận văn này không thể tránh khỏi thiếu sót, tôi mong sự đóng góp
ý kiến của các Thầy Cô và độc giả.
Hải Phòng, ngày 8 tháng 7 năm 2015
Người thực hiện

Ngô Kim Trang

4

Thang Long University Libraty

CHƯƠNG I
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI
1.1. Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai
1.1.1. Nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 
f( x)  x 2 

và a  0).

b
c
x
a
a
2

b 
b2 c

x

 
2a  4a 2 a

b  b 2  4ac

x
.
 
2a 
4a 2

2

Đặt  = b 2 – 4ac, ta có:
* Nếu  < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
* Nếu  = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x  

b
.
2a

* Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, 2 

b 
.
2a

Để ý thấy rằng nếu ac < 0 thì   0 khi đó tam thức bậc hai luôn
có hai nghiệm phân biệt.
b ‘   ‘
Nếu b là số chẵn, b = 2b thì x1,2 
với
a

 ‘  b ‘ 2  ac,   4 ’ .

Ví dụ 1.1. Giải và biện luận theo tham số m phương trình sau
(m-1)x 2 – 2(m-3)x + m – 1 = 0

(1.1)

Lời giải.
a) Nếu m = 1 thì (1.1) trở thành phương trình bậc nhất 4x = 0 có
nghiệm là x = 0.
b) Nếu m  1  0  m  1  ta có phương trình bậc hai với

’  (m  3)2  (m  1)2   4(m  2) .
Nếu ’  0  4(m  2) 0 m >2 : Phương trình (1.1) vô nghiệm.
5

MỤC LỤC
CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI …… 5
1.1. Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai ……………………………. 5
1.1.1. Nghiệm của phương trình bậc hai ………………………………………. 5
1.1.2. Định lý Vi – ét ………………………………………………………………… 7
1.2. Bài toán dấu của tam thức bậc hai …………………………………………….. 8
1.2.1. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai ………………………….. 8
1.2.2. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai …………………………… 10
1.3. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số và biện luận
phương trình bậc hai ……………………………………………………………………. 11
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC
BẬC HAI VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHỨA THAM SỐ …………………………………………………………………………. 15
2.1. Hệ phương trình hỗn hợp và phương trình chứa dấu
giá trị tuyệt đối. …………………………………………………………………………… 15
2.1.1. Hệ phương trình hỗn hợp …………………………………………………. 15
2.1.2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối …………………………….. 16
2.2. Dấu của tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biện luận
bất phương trình ………………………………………………………………………….. 18
2.3. Phương trình vô tỷ và phương trình bậc cao……………………………… 23
2.3.1. Phương trình vô tỷ…………………………………………………………… 23
2.3.2. Phương trình bậc cao………………………………………………………. 26
2.4. Phương trình mũ và phương trình lôgarit …………………………………. 31
2.4.1. Phương trình mũ …………………………………………………………….. 31
2.4.2. Phương trình lôgarit ……………………………………………………….. 33
2.5. Một số phương trình lượng giác………………………………………………. 35
1

2.6. Một số sai lầm của học sinh khi sử dụng định lý đảo về dấu của tam
thức bậc hai ………………………………………………………………………………… 37
CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM
THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC KHẢO SÁT HÀM SỐ PHỤ THUỘC
THAM SỐ …………………………………………………………………………………….. 39
3.1. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số ………………………….. 39
3.2. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên một miền……………….. 40
3.2.1. Hàm số bậc 3: ………………………………………………………………… 41
3.2.2 Hàm phân thức:……………………………………………………………….. 43
3.3. Cực trị và dạng đồ thị của hàm số ……………………………………………. 44
3.4. Xác định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất thỏa mãn điều kiện cho trước …………………………………………………. 46
3.5. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng…….. 48
3.6. Giao điểm của đường thẳng với hàm số bậc bốn và với các nhánh
của hypebol ………………………………………………………………………………… 52
3.6.1. Giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm bậc 4……………….. 52
3.6.2. Giao điểm của đường thẳng với nhánh của hypebol ……………. 53
CHƯƠNG IV: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM
THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ
BÀI TOÁN HÌNH HỌC ………………………………………………………………… 55
4.1. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc chứng
minh bất đẳng thức. ……………………………………………………………………… 55
4.2. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc giải
các bài toán hình học. …………………………………………………………………… 57
KẾT LUẬN …………………………………………………………………………………… 59
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… Error! Bookmark not
defined.

2

Thang Long University Libraty

MỞ ĐẦU
Trong chương trình môn toán ở trường phổ thông trung học có một
chương trong sách đại số lớp 10 viết về tam thức bậc hai. Các kết quả của
nó đã được đề cập và ứng dụng nhiều liên quan đến giải và biện luận
phương trình, bất phương trình, khảo sát hàm số…. Là một giáo viên đang
giảng dạy môn toán ở trường phổ thông, tôi muốn đi sâu tìm hiểu và nghiên
cứu kỹ vấn đề này để công việc giảng dạy môn toán nói chung và giảng dạy
môn đại số nói riêng của bản thân tôi được tốt hơn. Xuất phát từ lý do trên
trong luận văn này tôi chọn đề tài “ Tam thức bậc hai và một số ứng
dụng”.
Nội dung luận văn gồm các phần sau:
Chương I. Một số dạng toán về tam thức bậc hai. Trong chương
này, tôi hệ thống hóa lại một cách ngắn gọn về các dạng toán như các
phương pháp giải phương trình bậc hai, so sánh nghiệm của tam thức bậc
hai với các số đã cho.
Chương II. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai vào
việc giải phương trình, bất phương trình. Trong chương này chúng tôi
nêu lên một số ứng dụng trực tiếp định lý đảo của tam thức bậc hai và các
bài toán áp dụng gián tiếp định lý trên. Đó là giải hệ phương trình hỗn hợp
và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải phương trình vô tỷ và
phương trình bậc cao, giải phương trình mũ và phương trình lôgarit, giải
một số phương trình lượng giác, dấu của tam thức bậc hai trên một miền và
bài toán giải biện luận bất phương trình, một số sai lầm của học sinh khi sử
dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai .
Chương III. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai
vào việc khảo sát hàm số. Tôi sử dụng định lý đảo của tam thức bậc hai
vào một số bài toán về khảo sát hàm số và đồ thị như: hàm số đồng biến,
hàm số nghịch biến trên một miền, cực trị và dạng đồ thị của hàm số, xác
định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa mãn
điều kiện cho trước,…

3

Chương IV. Ứng dụng định lý đảo về tam thức bậc hai vào việc
chứng minh bất đẳng thức và bài toán hình học. Trong chương này tôi
trình bày về những ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong
việc chứng minh bất đẳng thức và một số bài toán hình học.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long với
sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Bùi Huy Hiền. Cuối cùng tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của Thầy.
Đồng thời, tôi xin cảm ơn các Thầy, Cô thuộc khoa Toán – Tin, Phòng sau
đại học trường đại học Thăng Long đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tôi
hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do kinh nghiệm và thời gian có hạn,
nên bản luận văn này không thể tránh khỏi thiếu sót, tôi mong sự đóng góp
ý kiến của các Thầy Cô và độc giả.
Hải Phòng, ngày 8 tháng 7 năm 2015
Người thực hiện

Ngô Kim Trang

4

Thang Long University Libraty

CHƯƠNG I
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI
1.1. Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai
1.1.1. Nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a, b, c 
f( x)  x 2 

và a  0).

b
c
x
a
a
2

b 
b2 c

x

 
2a  4a 2 a

b  b 2  4ac

x
.
 
2a 
4a 2

2

Đặt  = b 2 – 4ac, ta có:
* Nếu  < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
* Nếu  = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép x  

b
.
2a

* Nếu   0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, 2 

b 
.
2a

Để ý thấy rằng nếu ac < 0 thì   0 khi đó tam thức bậc hai luôn
có hai nghiệm phân biệt.
b ‘   ‘
Nếu b là số chẵn, b = 2b thì x1,2 
với
a

 ‘  b ‘ 2  ac,   4 ’ .

Ví dụ 1.1. Giải và biện luận theo tham số m phương trình sau
(m-1)x 2 – 2(m-3)x + m – 1 = 0

(1.1)

Lời giải.
a) Nếu m = 1 thì (1.1) trở thành phương trình bậc nhất 4x = 0 có
nghiệm là x = 0.
b) Nếu m  1  0  m  1  ta có phương trình bậc hai với

’  (m  3)2  (m  1)2   4(m  2) .
Nếu ’  0  4(m  2) 0 m >2 : Phương trình (1.1) vô nghiệm.
5

Xem thêm: Viber

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments