
Hình 1. Tích có hướng
Định nghĩa tích có hướng của hai vector.
Tích có hướng của hai vector $\vec u$ và $\vec v$ trong không gian, ký hiệu là $\left[ {\vec u,\vec v} \right]$ hoặc $\vec u \wedge \vec v,$ là vector $\vec w$ thoả $3$ điều kiện
Bạn đang đọc: Tích có hướng và ứng dụng
-
USD \ vec w USD có phương vuông góc với cả USD \ vec u USD và USD \ vec v USD .
-
USD \ left | { \ vec w } \ right | = \ left | { \ vec u } \ right | \ cdot \ left | { \ vec v } \ right | \ cdot \ sin \ alpha, USD với USD \ alpha USD là góc hợp bởi USD \ vec u USD và USD \ vec v USD .
-
bộ ba vector USD \ left ( { \ vec u, \ vec v, \ vec w } \ right ) USD tạo thành một bộ ba thuận. – xem Hình 1 .
Tính chất 1 . $$\vec u\parallel \vec v \Leftrightarrow \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \vec 0.$$
Công thức toạ độ của tích có hướng.
Toạ động của vector tích có hướng của hai vector $\vec u = \left( {{u_1};{u_2};{u_3}} \right)$ và $\vec v = \left( {{v_1};{v_2};{v_3}} \right)$ là
$$\left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_2}}&{{u_3}}\\
{{v_2}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|; – \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_3}}\\
{{v_1}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|} \right),$$
trong đó định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}} \right| = ad – bc.$
Ví dụ 1.
Tích có hướng của hai vector $\vec a = \left( {2; – 1;3} \right)$ và $\vec b = \left( {1;2;4} \right)$ là
$$\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&3\\
2&4
\end{array}} \right|; – \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3\\
1&4
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ – 1}\\
1&2
\end{array}} \right|} \right) = \left( { – 10; – 5;5} \right).$$
Ví dụ 2.
Dùng tích có hướng để kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm $A\left( {1;3;1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( {0;0;1} \right).$
Giải. Ta có USD \ overrightarrow { AB } = \ left ( { – 1 ; – 2 ; 1 } \ right ) USD, USD \ overrightarrow { AC } = \ left ( { – 1 ; – 3 ; 0 } \ right ). USD Suy ra USD USD \ left [ { \ overrightarrow { AB }, \ overrightarrow { AC } } \ right ] = \ left ( { 3 ; – 1 ; 1 } \ right ) \ ne \ overrightarrow 0. USD USD Theo đặc thù 1 thì hai vector USD \ overrightarrow { AB }, \ overrightarrow { AC } USD không cùng phương. Nghĩa là USD A $, USD B USD, USD C USD không thẳng hàng .
Tích hỗn tạp của 3 vector.
Tích hỗn tạp của 3 vector $\vec u$, $\vec v$ và $\vec w$ là tích vô hướng của một vector bất kì với vector tích có hướng của hai vector còn lại: $\left[ {\vec u,\vec v} \right] \cdot \vec w$, $\left[ {\vec v,\vec u} \right] \cdot \vec w$, $\left[ {\vec w,\vec v} \right] \cdot \vec u$,… Có tất cả $A_3^2$ bộ như vậy.
Tính chất 2 . Ba vector $\vec u$, $\vec v$ và $\vec w$ đồng phẳng khi tích hỗn tạp của chúng bằng $0$.
Ví dụ 3.
Dùng tích hỗn tạp đễ kiểm tra tính đồng phẳng của 3 vector sau $\vec a = \left( {2; – 1;3} \right)$, $\vec b = \left( {1;2;4} \right)$ và $\vec c = \left( {1;-2;0} \right)$.
Giaỉ. Ta có $\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&3\\
2&4
\end{array}} \right|; – \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3\\
1&4
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ – 1}\\
1&2
\end{array}} \right|} \right) = \left( { – 10; – 5;5} \right).$
Suy ra $\left[ {\vec a,\vec b} \right] \cdot \vec c = – 10 \cdot 1 + \left( { – 5} \right)\left( { – 2} \right) + 5 \cdot 0 = 0.$
Theo tính chất 2 thì ba vector $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng.
Hình 2. Hình bình hành.
Ứng dụng tính diện tích quy hoạnh hình bình hành của tích có hướng .
Diện tích hình bình hành $ABCD$ được tính theo công thức $${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|$$
Hình 3. Khối hộp
Ứng dụng tính thể tích khối hộp và khối chóp của tích có hướng .
Thể tích khối hộp USD ABCD.A ‘ B’C ‘ D ‘ USD được tính bởi công thức USD USD { V_ { ABCD.A ‘ B’C ‘ D ‘ } } = \ left | { \ left [ { \ overrightarrow { AB }, \ overrightarrow { AD } } \ right ] \ cdot \ overrightarrow { AA ‘ } } \ right | USD USD
Từ đây suy ra thể tích khối chóp USD A ‘. ABD USD là USD USD { V_ { A ‘. ABD } } = \ frac { 1 } { 6 } \ left | { \ left [ { \ overrightarrow { AB }, \ overrightarrow { AD } } \ right ] \ cdot \ overrightarrow { AA ‘ } } \ right | USD USD
Hình 4. Ví dụ 3
Ví dụ 4 .
Trong không gian $Oxyz$ cho bốn điểm
USD A \ left ( { 1 ; 2 ; 1 } \ right ), B \ left ( { 2 ; – 1 ; 3 } \ right ), C \ left ( { 5 ; 2 ; – 3 } \ right ), D \ left ( { 4 ; 5 ; – 6 } \ right ). USD
a. Tính thể tích của hình hộp dựng trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$.
b. Tính thể tích tứ diện $ABCD$.
c. Tính diện tích của tam giác $ABC$.
d. Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện.
Giải. a. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; – 3;3} \right),\;\;\overrightarrow {AC} = \left( { 4;0; – 4} \right),\;\;\overrightarrow {AD} = \left( {3;3; – 7} \right).$ Suy ra
$$\begin{array}{c}
\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 3}&3\\
0&4
\end{array}} \right|; – \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3\\
4&{ – 4}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ – 3}\\
{ – 4}&0
\end{array}} \right|} \right) = \left( { – 12; 16; – 12} \right).\\
\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} = – 12 \cdot 3 + 3 \cdot 16 + \left( { – 7} \right) \cdot \left( { – 12} \right) = 96 \ne 0.
\end{array}$$
Vì $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} \ne 0$ nên theo tính chất 2 ta suy ra các vector $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ không đồng phẳng. Nghĩa là bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng, và do đó tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện.
b. Diện tích của tam giác $ABC$ là $${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { – 12} \right)}^2} + {{16}^2} + {{\left( { – 12} \right)}^2}} = \sqrt {34} .$$
c. Thể tích của tứ diện $ABCD$ là $${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = \frac{{96}}{6} = 16.$$
d. Thể tích của hình hộp dựng trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$ là $$V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = 96.$$
Xem thêm: Viber
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi
( nhiều bài tập hơn khi ĐK học tại Trung tâm Cùng học toán )
Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay