Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận

Bài viết này vted giới thiệu đến quý bạn đọc một ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận:

Cho hai ma trận $A,B$ với $A$ là ma trận không suy biến. Tìm các ma trận $X,Y$ sao cho $AX=B$ và $YA=B.$

Do $A$ là ma trận không suy biến nên tồn tại ${{A}^{-1}},$ do đó

$AX=B\Leftrightarrow {{A}^{-1}}AX={{A}^{-1}}B\Leftrightarrow EX={{A}^{-1}}B\Leftrightarrow X={{A}^{-1}}B.$

USD YA = B \ Leftrightarrow YA { { A } ^ { – 1 } } = B { { A } ^ { – 1 } } \ Leftrightarrow YE = B { { A } ^ { – 1 } } \ Leftrightarrow Y = B { { A } ^ { – 1 } }. USD

Với $A,B$ là hai ma trận không suy biến ta có:

USD AXB = C \ Leftrightarrow { { A } ^ { – 1 } } AXB = { { A } ^ { – 1 } } C \ Leftrightarrow EXB = { { A } ^ { – 1 } } C \ Leftrightarrow XB = { { A } ^ { – 1 } } C \ Leftrightarrow X = { { A } ^ { – 1 } } C { { B } ^ { – 1 } }. USD

Câu 1. Giải phương trình ma trận $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{ – 4}&2\\ 1&3&2\\ 3&5&{ – 1} \end{array}} \right)X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 6}\\ { – 7}&2\\ 1&3 \end{array}} \right).$

Giải. Có $X = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{ – 4}&2\\ 1&3&2\\ 3&5&{ – 1} \end{array}} \right)^{ – 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 6}\\ { – 7}&2\\ 1&3 \end{array}} \right) = \frac{1}{{127}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {13}&{ – 6}&{14}\\ { – 7}&{13}&{12}\\ 4&{47}&{ – 25} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 6}\\ { – 7}&2\\ 1&3 \end{array}} \right) = \frac{1}{{127}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {95}&{ – 48}\\ { – 100}&{104}\\ { – 342}&{ – 5} \end{array}} \right).$

Câu 2. Giải phương trình ma trận $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}\\ 3&2&{ – 4}\\ 2&{ – 1}&0 \end{array}} \right)X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 5}\\ 2&0\\ 1&9 \end{array}} \right).$

Giải. Ta có: $X = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}\\ 3&2&{ – 4}\\ 2&{ – 1}&0 \end{array}} \right)^{ – 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 5}\\ 2&0\\ 1&9 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 4}&3&{ – 2}\\ { – 8}&6&{ – 5}\\ { – 7}&5&{ – 4} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 5}\\ 2&0\\ 1&9 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 8}&2\\ { – 17}&{ – 5}\\ { – 15}&{ – 1} \end{array}} \right).$

Câu 3. Giải phương trình ma trận $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}\\ 3&2&{ – 4}\\ 2&{ – 1}&0 \end{array}} \right)X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 3}&0\\ {10}&2&7\\ {10}&7&8 \end{array}} \right).$

Giải. Ta có: $X = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}\\ 3&2&{ – 4}\\ 2&{ – 1}&0 \end{array}} \right)^{ – 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 3}&0\\ {10}&2&7\\ {10}&7&8 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 4}&3&{ – 2}\\ { – 8}&6&{ – 5}\\ { – 7}&5&{ – 4} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 3}&0\\ {10}&2&7\\ {10}&7&8 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&4&5\\ 2&1&2\\ 3&3&3 \end{array}} \right).$

Câu 10. Giải phương trình ma trận $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 3}&1\\ 4&{ – 5}&2\\ 5&{ – 7}&3 \end{array}} \right)X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9&7&6\\ 1&1&2\\ 1&{ – 1}&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{12}&{ – 2}\\ {18}&{30}&9\\ {23}&{41}&{11} \end{array}} \right).$

Giải.Ta có:

USD \ begin { array } { l } X \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 9 và 7 và 6 \ \ 1 và 1 và 2 \ \ 1 và { – 1 } và 1 \ end { array } } \ right ) = { \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và { – 3 } và 1 \ \ 4 và { – 5 } và 2 \ \ 5 và { – 7 } và 3 \ end { array } } \ right ) ^ { – 1 } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và { 12 } và { – 2 } \ \ { 18 } và { 30 } và 9 \ \ { 23 } và { 41 } và { 11 } \ end { array } } \ right ) \ \ \ Leftrightarrow X = { \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và { – 3 } và 1 \ \ 4 và { – 5 } và 2 \ \ 5 và { – 7 } và 3 \ end { array } } \ right ) ^ { – 1 } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và { 12 } và { – 2 } \ \ { 18 } và { 30 } và 9 \ \ { 23 } và { 41 } và { 11 } \ end { array } } \ right ) { \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 9 và 7 và 6 \ \ 1 và 1 và 2 \ \ 1 và { – 1 } và 1 \ end { array } } \ right ) ^ { – 1 } } = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và 1 \ \ 1 và 2 và 3 \ \ 2 và 3 và 1 \ end { array } } \ right ). \ end { array } USD

Câu 11. Cho hai ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ { – 1}&2 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&0\\ 1&1 \end{array}} \right).$ Tìm ma trận $X$ thoả mãn $({{A}^{2}}+5E)X={B}'(3A-{{A}^{2}}).$

Giải. Với $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ { – 1}&2 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&0\\ 1&1 \end{array}} \right).$

Ta có :
USD \ begin { array } { l } { A ^ 2 } + 5E = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 3 \ \ { – 1 } và 2 \ end { array } } \ right ) \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 3 \ \ { – 1 } và 2 \ end { array } } \ right ) + \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 5 và 0 \ \ 0 và 5 \ end { array } } \ right ) = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và { 24 } \ \ { – 8 } và { 11 } \ end { array } } \ right ) \ \ 3A – { A ^ 2 } = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và 9 \ \ { – 3 } và 6 \ end { array } } \ right ) – \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 3 \ \ { – 1 } và 2 \ end { array } } \ right ) \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 3 \ \ { – 1 } và 2 \ end { array } } \ right ) = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và 0 \ \ { – 4 } và 2 \ end { array } } \ right ) ; B ‘ = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 1 } và 1 \ \ 0 và 1 \ end { array } } \ right ) \ \ B ‘ ( 3A – { A ^ 2 } ) = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 1 } và 1 \ \ 0 và 1 \ end { array } } \ right ) \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và 0 \ \ { – 4 } và 2 \ end { array } } \ right ) = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 6 } và 2 \ \ { – 4 } và 2 \ end { array } } \ right ). \ end { array } USD
Vậy USD \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và { 24 } \ \ { – 8 } và { 11 } \ end { array } } \ right ) X = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 6 } và 2 \ \ { – 4 } và 2 \ end { array } } \ right ) \ Leftrightarrow X = { \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và { 24 } \ \ { – 8 } và { 11 } \ end { array } } \ right ) ^ { – 1 } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 6 } và 2 \ \ { – 4 } và 2 \ end { array } } \ right ) = \ frac { 1 } { { 225 } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { 30 } và { – 26 } \ \ { – 60 } và { 22 } \ end { array } } \ right ). USD

Câu 12. Cho các ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&2&1\\ 2&3&4\\ 3&1&{ – 1} \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&2\\ 3&4\\ 0&3 \end{array}} \right),C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{12}&{10}\\ 6&{16}&7 \end{array}} \right).$ Tìm ma trận $X$ thoả mãn $AX+B={C}’.$

Câu 13. Cho $A,B$ là các ma trận vuông cùng cấp không suy biến. Chứng minh rằng tồn tại ma trận khôngsuy biến $P$ sao cho $A=PB.$

Giải. Ta có $PB=A\Leftrightarrow PB{{B}^{-1}}=A{{B}^{-1}}\Leftrightarrow P=A{{B}^{-1}}$ rõ ràng $\det (P)=\det (A{{B}^{-1}})=\det (A)\det ({{B}^{-1}})\ne 0.$

Ta có điều phải chứng tỏ .

Câu 14. Tìm ma trận $X$ thoả mãn $X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}&1\\ 1&2&1\\ { – 2}&3&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&0&{ – 2}\\ 1&2&2\\ 1&2&0 \end{array}} \right).$

Giải. Ta có

USD X = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và 1 \ \ 1 và 0 và { – 2 } \ \ 1 và 2 và 2 \ \ 1 và 2 và 0 \ end { array } } \ right ) { \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và { – 1 } và 1 \ \ 1 và 2 và 1 \ \ { – 2 } và 3 và 1 \ end { array } } \ right ) ^ { – 1 } } = \ frac { 1 } { 9 } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và 1 \ \ 1 và 0 và { – 2 } \ \ 1 và 2 và 2 \ \ 1 và 2 và 0 \ end { array } } \ right ) \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 1 } và 4 và { – 3 } \ \ { – 3 } và 3 và 0 \ \ 7 và { – 1 } và 3 \ end { array } } \ right ) = \ frac { 1 } { 9 } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và 6 và 0 \ \ { – 15 } và 6 và { – 9 } \ \ 7 và 8 và 3 \ \ { – 7 } và { 10 } và { – 3 } \ end { array } } \ right ). USD

Câu 21. Tìm ma trận $X$ thoả mãn $X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 3}&4&6 \\ 0&1&1 \\ 2&{ – 3}&{ – 4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}&2 \\ 0&1&2 \end{array}} \right).$

Câu 21. Có $X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}&2 \\ 0&1&2 \end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 3}&4&6 \\ 0&1&1 \\ 2&{ – 3}&{ – 4} \end{array}} \right)^{ – 1}} \Leftrightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}&2 \\ 0&1&2 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2 \\ { – 2}&0&{ – 3} \\ 2&1&3 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&4&{11} \\ 2&2&3 \end{array}} \right).$

Câu 25. Cho hai ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&7 \\ 2&1&2 \\ { – 3}&3&8 \end{array}} \right);B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&3 \\ 0&2&1 \\ 2&0&2 \end{array}} \right).$

a ) Tìm ma trận nghịch đảo USD { { A } ^ { – 1 } }. USD
b ) Tìm những ma trận USD X, Y $ thoả mãn USD \ left \ { \ begin { gathered } A \ left ( { X + Y } \ right ) = B \ hfill \ \ \ left ( { X – Y } \ right ) A = B \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. USD
Có USD { A ^ { – 1 } } = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 2 } và 3 và 1 \ \ { 22 } và { – 29 } và { – 12 } \ \ { – 9 } và { 12 } và 5 \ end { array } } \ right ). USD
Do đó \ [ \ begin { gathered } \ left \ { \ begin { gathered } A \ left ( { X + Y } \ right ) = B \ hfill \ \ \ left ( { X – Y } \ right ) A = B \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } X + Y = { A ^ { – 1 } } B \ hfill \ \ X – Y = B { A ^ { – 1 } } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } X = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { { A ^ { – 1 } } B + B { A ^ { – 1 } } } \ right ) = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 11 } và { 17 } và 4 \ \ { 55 } và { – 82 } và { – 6 } \ \ { – 30 } và { 45 } và 7 \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ Y = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { { A ^ { – 1 } } B – B { A ^ { – 1 } } } \ right ) = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 7 và { – 9 } và { – 6 } \ \ { – 15 } và { 10 } và { 32 } \ \ { 14 } và { – 15 } và { – 17 } \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. \ hfill \ \. \ hfill \ \ \ end { gathered } \ ]

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

– ĐH Kinh Tế Quốc Dân
– ĐH Ngoại Thương
– ĐH TM
– Học viện Tài Chính
– Học viện ngân hàng nhà nước

– ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

và những trường ĐH, ngành kinh tế tài chính của những trường ĐH khác trên khắp cả nước …

Rate this post
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments