Mục lục nội dung

Bài viết này vted giới thiệu đến quý bạn đọc một ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận:

Cho hai ma trận $A,B$ với $A$ là ma trận không suy biến. Tìm các ma trận $X,Y$ sao cho $AX=B$ và $YA=B.$

Do $A$ là ma trận không suy biến nên tồn tại ${{A}^{-1}},$ do đó

$AX=B\Leftrightarrow {{A}^{-1}}AX={{A}^{-1}}B\Leftrightarrow EX={{A}^{-1}}B\Leftrightarrow X={{A}^{-1}}B.$

Bạn đang đọc: Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận

USD YA = B \ Leftrightarrow YA { { A } ^ { – 1 } } = B { { A } ^ { – 1 } } \ Leftrightarrow YE = B { { A } ^ { – 1 } } \ Leftrightarrow Y = B { { A } ^ { – 1 } }. USD

Với $A,B$ là hai ma trận không suy biến ta có:

USD AXB = C \ Leftrightarrow { { A } ^ { – 1 } } AXB = { { A } ^ { – 1 } } C \ Leftrightarrow EXB = { { A } ^ { – 1 } } C \ Leftrightarrow XB = { { A } ^ { – 1 } } C \ Leftrightarrow X = { { A } ^ { – 1 } } C { { B } ^ { – 1 } }. USD

Câu 1. Giải phương trình ma trận $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{ – 4}&2\\ 1&3&2\\ 3&5&{ – 1} \end{array}} \right)X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 6}\\ { – 7}&2\\ 1&3 \end{array}} \right).$

Giải. Có $X = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&{ – 4}&2\\ 1&3&2\\ 3&5&{ – 1} \end{array}} \right)^{ – 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 6}\\ { – 7}&2\\ 1&3 \end{array}} \right) = \frac{1}{{127}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {13}&{ – 6}&{14}\\ { – 7}&{13}&{12}\\ 4&{47}&{ – 25} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 6}\\ { – 7}&2\\ 1&3 \end{array}} \right) = \frac{1}{{127}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {95}&{ – 48}\\ { – 100}&{104}\\ { – 342}&{ – 5} \end{array}} \right).$

Câu 2. Giải phương trình ma trận $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}\\ 3&2&{ – 4}\\ 2&{ – 1}&0 \end{array}} \right)X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 5}\\ 2&0\\ 1&9 \end{array}} \right).$

Giải. Ta có: $X = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}\\ 3&2&{ – 4}\\ 2&{ – 1}&0 \end{array}} \right)^{ – 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 5}\\ 2&0\\ 1&9 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 4}&3&{ – 2}\\ { – 8}&6&{ – 5}\\ { – 7}&5&{ – 4} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ – 5}\\ 2&0\\ 1&9 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 8}&2\\ { – 17}&{ – 5}\\ { – 15}&{ – 1} \end{array}} \right).$

Câu 3. Giải phương trình ma trận $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}\\ 3&2&{ – 4}\\ 2&{ – 1}&0 \end{array}} \right)X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 3}&0\\ {10}&2&7\\ {10}&7&8 \end{array}} \right).$

Giải. Ta có: $X = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ – 3}\\ 3&2&{ – 4}\\ 2&{ – 1}&0 \end{array}} \right)^{ – 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 3}&0\\ {10}&2&7\\ {10}&7&8 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 4}&3&{ – 2}\\ { – 8}&6&{ – 5}\\ { – 7}&5&{ – 4} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 3}&0\\ {10}&2&7\\ {10}&7&8 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6&4&5\\ 2&1&2\\ 3&3&3 \end{array}} \right).$

Câu 10. Giải phương trình ma trận $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ – 3}&1\\ 4&{ – 5}&2\\ 5&{ – 7}&3 \end{array}} \right)X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9&7&6\\ 1&1&2\\ 1&{ – 1}&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{12}&{ – 2}\\ {18}&{30}&9\\ {23}&{41}&{11} \end{array}} \right).$

Giải.Ta có:

USD \ begin { array } { l } X \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 9 và 7 và 6 \ \ 1 và 1 và 2 \ \ 1 và { – 1 } và 1 \ end { array } } \ right ) = { \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và { – 3 } và 1 \ \ 4 và { – 5 } và 2 \ \ 5 và { – 7 } và 3 \ end { array } } \ right ) ^ { – 1 } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và { 12 } và { – 2 } \ \ { 18 } và { 30 } và 9 \ \ { 23 } và { 41 } và { 11 } \ end { array } } \ right ) \ \ \ Leftrightarrow X = { \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và { – 3 } và 1 \ \ 4 và { – 5 } và 2 \ \ 5 và { – 7 } và 3 \ end { array } } \ right ) ^ { – 1 } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và { 12 } và { – 2 } \ \ { 18 } và { 30 } và 9 \ \ { 23 } và { 41 } và { 11 } \ end { array } } \ right ) { \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 9 và 7 và 6 \ \ 1 và 1 và 2 \ \ 1 và { – 1 } và 1 \ end { array } } \ right ) ^ { – 1 } } = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và 1 \ \ 1 và 2 và 3 \ \ 2 và 3 và 1 \ end { array } } \ right ). \ end { array } USD

Câu 11. Cho hai ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ { – 1}&2 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&0\\ 1&1 \end{array}} \right).$ Tìm ma trận $X$ thoả mãn $({{A}^{2}}+5E)X={B}'(3A-{{A}^{2}}).$

Giải. Với $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ { – 1}&2 \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&0\\ 1&1 \end{array}} \right).$

Ta có :
USD \ begin { array } { l } { A ^ 2 } + 5E = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 3 \ \ { – 1 } và 2 \ end { array } } \ right ) \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 3 \ \ { – 1 } và 2 \ end { array } } \ right ) + \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 5 và 0 \ \ 0 và 5 \ end { array } } \ right ) = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và { 24 } \ \ { – 8 } và { 11 } \ end { array } } \ right ) \ \ 3A – { A ^ 2 } = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và 9 \ \ { – 3 } và 6 \ end { array } } \ right ) – \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 3 \ \ { – 1 } và 2 \ end { array } } \ right ) \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 3 \ \ { – 1 } và 2 \ end { array } } \ right ) = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và 0 \ \ { – 4 } và 2 \ end { array } } \ right ) ; B ‘ = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 1 } và 1 \ \ 0 và 1 \ end { array } } \ right ) \ \ B ‘ ( 3A – { A ^ 2 } ) = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 1 } và 1 \ \ 0 và 1 \ end { array } } \ right ) \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 2 và 0 \ \ { – 4 } và 2 \ end { array } } \ right ) = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 6 } và 2 \ \ { – 4 } và 2 \ end { array } } \ right ). \ end { array } USD
Vậy USD \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và { 24 } \ \ { – 8 } và { 11 } \ end { array } } \ right ) X = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 6 } và 2 \ \ { – 4 } và 2 \ end { array } } \ right ) \ Leftrightarrow X = { \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và { 24 } \ \ { – 8 } và { 11 } \ end { array } } \ right ) ^ { – 1 } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 6 } và 2 \ \ { – 4 } và 2 \ end { array } } \ right ) = \ frac { 1 } { { 225 } } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { 30 } và { – 26 } \ \ { – 60 } và { 22 } \ end { array } } \ right ). USD

Câu 12. Cho các ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&2&1\\ 2&3&4\\ 3&1&{ – 1} \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&2\\ 3&4\\ 0&3 \end{array}} \right),C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{12}&{10}\\ 6&{16}&7 \end{array}} \right).$ Tìm ma trận $X$ thoả mãn $AX+B={C}’.$

Câu 13. Cho $A,B$ là các ma trận vuông cùng cấp không suy biến. Chứng minh rằng tồn tại ma trận khôngsuy biến $P$ sao cho $A=PB.$

Xem thêm: Tiểu luận Lịch sử nghệ thuật

Giải. Ta có $PB=A\Leftrightarrow PB{{B}^{-1}}=A{{B}^{-1}}\Leftrightarrow P=A{{B}^{-1}}$ rõ ràng $\det (P)=\det (A{{B}^{-1}})=\det (A)\det ({{B}^{-1}})\ne 0.$

Ta có điều phải chứng tỏ .

Câu 14. Tìm ma trận $X$ thoả mãn $X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}&1\\ 1&2&1\\ { – 2}&3&1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&0&{ – 2}\\ 1&2&2\\ 1&2&0 \end{array}} \right).$

Giải. Ta có

USD X = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và 1 \ \ 1 và 0 và { – 2 } \ \ 1 và 2 và 2 \ \ 1 và 2 và 0 \ end { array } } \ right ) { \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và { – 1 } và 1 \ \ 1 và 2 và 1 \ \ { – 2 } và 3 và 1 \ end { array } } \ right ) ^ { – 1 } } = \ frac { 1 } { 9 } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 1 và 1 và 1 \ \ 1 và 0 và { – 2 } \ \ 1 và 2 và 2 \ \ 1 và 2 và 0 \ end { array } } \ right ) \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 1 } và 4 và { – 3 } \ \ { – 3 } và 3 và 0 \ \ 7 và { – 1 } và 3 \ end { array } } \ right ) = \ frac { 1 } { 9 } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 3 và 6 và 0 \ \ { – 15 } và 6 và { – 9 } \ \ 7 và 8 và 3 \ \ { – 7 } và { 10 } và { – 3 } \ end { array } } \ right ). USD

Câu 21. Tìm ma trận $X$ thoả mãn $X\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 3}&4&6 \\ 0&1&1 \\ 2&{ – 3}&{ – 4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}&2 \\ 0&1&2 \end{array}} \right).$

Câu 21. Có $X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}&2 \\ 0&1&2 \end{array}} \right){\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { – 3}&4&6 \\ 0&1&1 \\ 2&{ – 3}&{ – 4} \end{array}} \right)^{ – 1}} \Leftrightarrow X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1}&2 \\ 0&1&2 \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&2 \\ { – 2}&0&{ – 3} \\ 2&1&3 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7&4&{11} \\ 2&2&3 \end{array}} \right).$

Câu 25. Cho hai ma trận $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&7 \\ 2&1&2 \\ { – 3}&3&8 \end{array}} \right);B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&3 \\ 0&2&1 \\ 2&0&2 \end{array}} \right).$

a ) Tìm ma trận nghịch đảo USD { { A } ^ { – 1 } }. USD
b ) Tìm những ma trận USD X, Y $ thoả mãn USD \ left \ { \ begin { gathered } A \ left ( { X + Y } \ right ) = B \ hfill \ \ \ left ( { X – Y } \ right ) A = B \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. USD
Có USD { A ^ { – 1 } } = \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 2 } và 3 và 1 \ \ { 22 } và { – 29 } và { – 12 } \ \ { – 9 } và { 12 } và 5 \ end { array } } \ right ). USD
Do đó \ [ \ begin { gathered } \ left \ { \ begin { gathered } A \ left ( { X + Y } \ right ) = B \ hfill \ \ \ left ( { X – Y } \ right ) A = B \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } X + Y = { A ^ { – 1 } } B \ hfill \ \ X – Y = B { A ^ { – 1 } } \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { gathered } X = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { { A ^ { – 1 } } B + B { A ^ { – 1 } } } \ right ) = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { – 11 } và { 17 } và 4 \ \ { 55 } và { – 82 } và { – 6 } \ \ { – 30 } và { 45 } và 7 \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ Y = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { { A ^ { – 1 } } B – B { A ^ { – 1 } } } \ right ) = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { \ begin { array } { * { 20 } { c } } 7 và { – 9 } và { – 6 } \ \ { – 15 } và { 10 } và { 32 } \ \ { 14 } và { – 15 } và { – 17 } \ end { array } } \ right ) \ hfill \ \ \ end { gathered } \ right .. \ hfill \ \. \ hfill \ \ \ end { gathered } \ ]