Phương pháp phần tử hữu hạn – Wikipedia tiếng Việt

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số gần đúng để giải các bài toán được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng trên miền xác định có hình dạng và điều kiện biên bất kỳ mà nghiệm chính xác không thể tìm được bằng phương pháp giải tích.

Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa miền xác lập của bài toán, bằng cách chia nó thành nhiều miền con ( phần tử ). Các phần tử này được link với nhau tại những điểm nút chung. Trong khoanh vùng phạm vi của mỗi phần tử Nghiệm được chọn là một hàm số nào đó được xác lập trải qua những giá trị chưa biết tại những điểm nút của phần tử gọi là hàm giao động thoả mãn điều kiện kèm theo cân đối của phần tử. Tập tổng thể những phần tử có chú ý quan tâm đến điều kiện kèm theo liên tục của sự biến dạng và chuyển vị tại những điểm nút link giữa những phần tử. Kết quả đẫn đến một hệ phương trình đại số tuyến tính mà ẩn số chính là những giá trị của hàm xê dịch tại những điểm nút. Giải hệ phương trình này sẽ tìm được những giá trị của hàm xê dịch tại những điểm nút của mỗi phần tử, nhờ đó hàm giao động trọn vẹn được xác lập trên mỗi một phần tử .Về mặt toán học, phương pháp phần tử hữu hạn ( PPPTHH ) được sử dụng để giải gần đúng bài toán phương trình vi phân từng phần ( PTVPTP ) và phương trình tích phân, ví dụ như phương trình truyền nhiệt. Lời giải gần đúng được đưa ra dựa trên việc vô hiệu phương trình vi phân một cách trọn vẹn ( những yếu tố về trạng thái không thay đổi ), hoặc chuyển PTVPTP sang một phương trình vi phân thường tương tự mà sau đó được giải bằng cách sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, vân vân .

PPPTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định V của nó mà chỉ trong những miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định của hàm.Trong PPPTHH miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi là phần tử. Các miền này liên kết với nhau tại các điểm định trước trên biên của phần tử được gọi là nút. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán.

Trong việc giải phương trình vi phân thường, thử thách tiên phong là tạo ra một phương trình xê dịch với phương trình cần được nghiên cứu và điều tra, nhưng đó là không thay đổi số học ( numerically stable ), nghĩa là những lỗi trong việc nhập tài liệu và đo lường và thống kê trung gian không chồng chất và làm cho hiệu quả xuất ra xuất ra trở nên không có ý nghĩa. Có rất nhiều cách để thao tác này, toàn bộ đều có những ưu điểm và điểm yếu kém. PPPTHH là sự lựa chọn tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên những miền phức tạp ( giống như những chiếc xe và những đường ống dẫn dầu ) hoặc khi những nhu yếu về độ đúng mực biến hóa trong toàn miền. Ví dụ, trong việc mô phỏng thời tiết trên Trái Đất, việc dự báo đúng mực thời tiết trên đất liền quan trọng hơn là dự báo thời tiết cho vùng biển rộng, điều này hoàn toàn có thể triển khai được bằng việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn .
Phương pháp Phần tử hữu hạn thường được dùng trong những bài toán Cơ học ( cơ học cấu trúc, cơ học môi trường tự nhiên liên tục ) để xác lập trường ứng suất và biến dạng của vật thể .Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn cũng được dùng trong vật lý học để giải những phương trình sóng, như trong vật lý plasma, những bài toán về truyền nhiệt, động lực học chất lỏng, trường điện từ .
Phương pháp phần tử hữu hạn được bắt nguồn từ những nhu yếu giải những bài toán phức tạp về kim chỉ nan đàn hồi, nghiên cứu và phân tích cấu trúc trong kiến thiết xây dựng và kỹ thuật hàng không. Nó được khởi đầu tăng trưởng bởi Alexander Hrennikoff ( 1941 ) và Richard Courant ( 1942 ). Mặc dù hướng tiếp cận của những người đi tiên phong là khác nhau nhưng họ đều có một quan điểm chung, đó là chia những miền liên tục thành những miền con rời rạc. Hrennikoff rời rạc những miền liên tục bằng cách sử dụng lưới tương tự như, trong khi Courant chia những miền liên tục thành những miền có hình tam giác cho cách giải thứ hai của phương trình vi phân từng phần elliptic, Open từ những bài toán về xoắn của phần tử thanh hình tròn trụ. Sự góp phần của Courant là tăng trưởng, lôi cuốn 1 số ít người nhanh gọn đưa ra hiệu quả cho PPVPTP elliptic được tăng trưởng bởi Rayleigh, Ritz, và Galerkin. Sự tăng trưởng chính thức của PPPTHH được mở màn vào nửa sau những năm 1950 trong việc nghiên cứu và phân tích cấu trúc khung máy bay và khu công trình kiến thiết xây dựng, và đã thu được nhiều hiệu quả ở Berkeley ( xem Early Finite Element Research at Berkeley ) trong những năm 1960 trong ngành thiết kế xây dựng. Phương pháp này được cung ứng nền tảng toán học ngặt nghèo vào năm 1973 với việc xuất bản cuốn Strang và tổng kết trong An Analysis of The Finite element Method và kể từ đó PPPTHH được tổng quát hóa thành một ngành của toán ứng dụng, một quy mô số học cho những mạng lưới hệ thống tự nhiên, được ứng dụng thoáng rộng trong kĩ thuật, ví dụ như điện từ học và động lực học chất lỏng .Sự tăng trưởng của PPPTHH trong cơ học cấu trúc đặt cơ sở cho nguyên tắc nguồn năng lượng, ví dụ như : nguyên tắc công khả dĩ, PPPTHH cung ứng một cơ sở tổng quát mang tính trực quan theo quy luật tự nhiên, đó là một nhu yếu lớn so với những kỹ sư cấu trúc .

Bài toán minh họa[sửa|sửa mã nguồn]

Chúng ta sẽ minh họa việc sử dụng PPPTHH từ hai ví dụ mà phương pháp chung hoàn toàn có thể là ngoại suy. Chúng ta xem như người đọc đã quen thuộc với đo lường và thống kê và đại số tuyến tính. Chúng ta sẽ sử dụng bài toán một chiều, tại đây, hàm f được xác lập bởi u và u một hàm ẩn của x, u ’ ’ là đạo hàm cấp 2 của u theo x

P1 

:

{

u

=
f

 in 

(
0
,
1
)
,

u
(
0
)
=
u
(
1
)
=
0
,

{\displaystyle {\mbox{P1 }}:{\begin{cases}u”=f{\mbox{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)=0,\end{cases}}}

{\displaystyle {\mbox{P1 }}:{\begin{cases}u''=f{\mbox{ in }}(0,1),\\u(0)=u(1)=0,\end{cases}}}

Ví dụ cho bài toán hai chiều là bài toán Dirichlet

P2 

:

{

u

x
x

+

u

y
y

=
f

 in 

Ω
,

u
=
0

 on 


Ω
,

{\displaystyle {\mbox{P2 }}:{\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=f&{\mbox{ in }}\Omega ,\\u=0&{\mbox{ on }}\partial \Omega ,\end{cases}}}

{\displaystyle {\mbox{P2 }}:{\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=f&{\mbox{ in }}\Omega ,\\u=0&{\mbox{ on }}\partial \Omega ,\end{cases}}}

Ở đây, miền Ω là một miền đơn liên mở trong mặt phẳng (x,y), có biên ∂Ω rất “đẹp” (ví dụ: một đa tạp trơn hoặc một đa giác),

u

x
x

{\displaystyle u_{xx}}

{\displaystyle u_{xx}}

u

y
y

{\displaystyle u_{yy}}

{\displaystyle u_{yy}} là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x và y.

Ở ví dụ P1, hoàn toàn có thể giải trực tiếp bằng cách lấy nguyên hàm. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ triển khai được trong khoảng trống một chiều và không hề giải được trong trường hợp khoảng trống có hơn hai chiều hoặc trong bài toán u + u ’ ’ = f. Chính vì nguyên do này mà tất cả chúng ta sẽ tăng trưởng tăng trưởng PPPTHH cho trường hợp P1 và phác họa tổng quát của PPPTHH cho trường hợp P2 .Lời giải sẽ gồm có hai bước, nó phản ánh hai bước hầu hết phải triển khai để giải một bài toán biên bằng PPPTHH. Ở bước tiên phong, tất cả chúng ta sẽ trình diễn lại bài toán biên trong dạng gần đúng của nó hoặc dạng biến phân. Rất it hoặc không có máy tính được dùng để triển khai bước này, việc này được làm bằng tay ở trên giấy. Bước thứ hai là rời rạc hóa, dạng gần đúng được rời rạc trong một khoảng trống hữu hạn chiều. Sau bước thứ hai này, tất cả chúng ta sẽ có biểu thức đơn cử cho hàng loạt bài toán nhưng giải thuật của bài toán trong khoảng trống hữu hạn chiều tuyến tính chỉ là lời giải gần đúng của bài toán biên. Bài toán trong khoảng trống hữu hạn chiều này sau đó được giải bằng máy tính .

So sánh PPPTHH với phương pháp sai phân hữu hạn ( PPSPHH )[sửa|sửa mã nguồn]

PPSPHH là một phương pháp khác để giải phương trình vi phân từng phần. Sự khác nhau giữa PPPTHH và PPSPHH là :

  • PPSPHH xấp xỉ bài toán phương trình vi phân; còn PPPTHH thì xấp xỉ lời giải của bài toán này
  • Điểm đặc trưng nhất của PPPTHH là nó có khả năng áp dụng cho những bài toán hình học và những bài toán biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc. Trong khi đó PPSPHH về căn bản chỉ áp dụng được trong dạng hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản, việc vận dụng kiến thức hình học trong PPPTHH là đơn giản về lý thuyết.
  • Điểm đặc trưng của phương pháp sai phân hữu hạn là có thể dễ dàng thực hiện được.
  • Trong một vài trường hợp, PPSPHH có thể xem như là một tập con của PPPTHH xấp xỉ. Việc lựa chọn hàm cơ sở là hàm không đổi từng phần hoặc là hàm delta Dirac. Trong cả hai phương pháp xấp xỉ, việc xấp xỉ được tiến hành trên toàn miền, nhưng miền đó không cần liên tục. Như một sự lựa chọn, nó có thể xác định một hàm trên một miền rời rạc, với kết quả là toán tử vi phân liên tục không sinh ra chiều dài hơn, tuy nhiên việc xấp xỉ này không phải là PPPTHH.
  • Có những lập luận để lưu ý đến cơ sở toán học của việc xấp xỉ phần tử hữu hạn trở lên đúng đắn hơn, ví dụ, bởi vì trong PPSPHH đặc điểm của việc xấp xỉ những điểm lưới còn hạn chế.
  • Kết quả của việc xấp xỉ bằng PPPTHH thường chính xác hơn PPSPHH, nhưng điều này còn phụ thuộc vào nhiều vấn đề khác và một số trường hợp đã cho kết quả trái ngược.

Nói chung, PPPTHH là một phương pháp thích hợp để nghiên cứu và phân tích những bài toán về cấu trúc ( giải những bài toán về biến dạng và ứng suất của vật thể dạng khối hoặc động lực học cấu trúc ), trong khi đó phương pháp tính trong động lực học chất lỏng có khuynh hướng sử dụng PPSPHH hoặc những phương pháp khác ( như phương pháp khối lượng hữu hạn ). Những bài toán của động lực học chất lỏng thường nhu yếu phải rời rạc hóa bài toán thành một số lượng lớn những ” ô vuông ” hoặc những điểm lưới ( hàng triệu hoặc hơn ), vì thế mà nó yên cầu cách giải phải đơn thuần hơn để xê dịch những ” ô vuông “. Điều này đặc biệt quan trọng đúng cho những bài toán về dòng chảy ngoài, giống như dòng không khí bao quanh xe hơi hoặc máy bay, hoặc việc mô phỏng thời tiết ở một vùng to lớn. Có rất nhiều bộ ứng dụng về phương pháp phần tử hữu hạn, 1 số ít không lấy phí và một số ít được bán .

  • Wikipedia tiếng Anh
  • Chu Quốc Thắng, Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, 1997.

Các link ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Các phần mềm mã nguồn mở cho Phần tử hữu hạn bao gồm CAST3M, Z88, SLFFEA, YADE, FEniCS, deal.II, getFEM, libMesh, freeFEM, Elmer and Code-Aster.

Xem thêm: Viber

Các ứng dụng thương mại cho Phương pháp phần tử hữu hạn gồm có ABAQUS, ANSYS, LS-DYNA, Nastran, Marc, and COMSOL Multiphysics, SAP2000, MIDAS, STAAP PRO, ETABS

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments