Ứng dụng tích phân xác định

Ngày đăng : 17/04/2019, 00 : 41

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ –––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––– TIỂU LUẬN KHOA HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 – TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ –––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––– TIỂU LUẬN KHOA HỌC ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Giảng viên hướng dẫn: Th.S Nguyễn Vũ Thụ Nhân Nhóm sinh viên thực hiện: Ngơ Thị Bích Phương 42.01.102.096 Nguyễn Khánh Huy 42.01.102.147 Hà Thanh Sang 42.01.102.141 Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 – TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH MỤC LỤC ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 1.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.3 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN 1.3.1 Nguyên hàm số hàm 1.3.2 Các phương pháp tính tích phân 1.3.3 Tiểu kết ĐƠI NÉT VỀ SỰ RA ĐỜI VÀ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN 10 2.1 LỊCH SỬ TÍCH PHÂN 10 2.2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 11 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 12 3.1 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 12 3.1.1 Sơ đồ tổng quát sử dụng tích phân 12 3.1.2 Diện tích hình phẳng 13 3.1.3 Độ dài cung 18 3.2 ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 20 3.2.1 Bất đẳng thức tích phân: 20 3.2.2 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức 20 3.3 TIỂU KẾT 21 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH GIỚI THIỆU HỆ THỐNG BÀI TẬP VẬT LÝ ĐƯỢC NÂNG CAO BẰNG PHÉP TỐN VI – TÍCH PHÂN 22 4.1 THỰC TRẠNG SỬ DỤNG TỐN HỌC TRONG CÁC MƠN KHOA HỌC TỰ NHIÊN HIỆN NAY 22 4.2 GIỚI THIỆU VÀ PHÂN TÍCH CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG PHÉP VI – TÍCH PHÂN 22 4.2.1 Cơ học 22 4.2.2 Nhiệt học 27 4.2.3 Tiểu kết 31 KẾT LUẬN 32 BẢNG PHÂN CHIA CÔNG VIỆC 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 1.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.1 Nguyên hàm  Hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a, b) F’(x) = f(x) ∀x ∈ (a, b)  Cho F(x) G(x) hai nguyên hàm hàm số f(x) (a, b) tồn số C cho F(x) = G(x) + C Vậy nguyên hàm sai khác số 1.1.1.2 Tích phân bất định  Tập hợp nguyên hàm f(x), ghi ∫ f(x)dx gọi tích phân bất định hàm f(x) Nếu F(x) nguyên hàm f(x) ta có ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = F(x) + C (C = const) 1.1.2 Tính chất 1) [∫ f(x)dx]’ = f(x) 2) ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx 3) ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx (với k ∈ R) 1.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.2.1 Định nghĩa  Cho hàm số f(x) xác định [a, b] chia [a, b] thành điểm sau: a = xo < x1 < x2 < … < xn = b, ta chọn số ɛi ∈ [xi–1, xi] – với i = 1, 2,…, n Xét tổng tích phân hàm số f(x) (tổng Riemann) định bởi: Sn = ∑ni=1(xi – xi–1).f(ɛi) = (x1 – x0).f(ɛ1) + (x2 – x1).f(ɛ2) + … + (xn– xn–1).f(ɛn) Nếu max |xi − xi–1 | → 0, ta có Sn → α ta nói f(x) hàm số khả tích α tích phân 1≤i≤n b hàm số f(x) [a, b], ghi ∫a f(x)dx = α  Mọi hàm số liên tục đoạn [a, b] khả tích [a, b]  Định nghĩa tích phân không dễ dàng đa số học sinh nên ta dùng cơng thức Newton – Leibnitz thay cho định nghĩa: 𝒃 ∫𝒂 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = F(b) – F(a) ≡ [𝑭(𝒙)]|𝒃𝒂 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.2.2 Tính chất a 1) ∫a f(x)dx = b a 2) ∫a f(x)dx = – ∫b f(x)dx b 3) Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] ∫a f(x)dx ≥ b b 4) Nếu f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] ∫a f(x)dx ≥ ∫a g(x)dx b b Từ ta suy |∫a f(x)dx| ≤ ∫a |f(x)|dx b c b 5) ∫a f(x)dx = ∫a f(x)dx + ∫c f(x)dx (a ≤ c ≤ b) 1.3 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN 1.3.1 Nguyên hàm số hàm Hàm sơ cấp 1.3.1.1 xa + 1) ∫ x a dx = a+1 ax 5) ∫ ax dx = +C ln a + C (a ≠–1) 6) ∫ cos x dx = sin x+ C 7) ∫ sin x dx = – cos x+ C 2) ∫ dx = ln|x| + C x 3) ∫ √x x dx = 2√x + C 8) ∫(1 + tan2 x) dx = ∫ dx = tan x + C cos x x 4) ∫ e dx = e + C Hàm lượng giác ngược 1.3.1.1 1) ∫ 2) ∫ dx x2 + a2 dx x2 + a2 dx 3) ∫ √ 4) ∫ √ 1.3.1.2 9) ∫(1 + cot x) dx = ∫ dx = –cot x + C sin x x x a a x a x a a x a x a a = arctan( ) + C với arctan ( ) ∈ ( −π π, ) = arccot( ) + C với arccot ( ) ∈ (0, π) a2 − x2 dx a2 − x2 = arcsin( ) + C với arcsin ( ) ∈ [ x x a a −π π, ] = − arccos( ) + C với arccos ( ) ∈ [0, π] Các hàm đặc biệt thường gặp dx 1) ∫ √a = ln|x + √a + x | + C +x 2) ∫ dx a2 − x2 = 2a ln| a+x 3) ∫ √a2 − x dx = 4) ∫ √x ± a2 dx = 5) ∫ 6) ∫ xdx (x2 + a2 ) ⁄2 dx (x2 + a2 ) ⁄2 = = |+C a−x 2 x [x√a2 − x + a2 acrsin( )] + C a [x√x ± a2 + a ln |x + √x ± a2 |]+ C a2 √x2 + a2 x a2 √x2 + a2 +C +C TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.3.2 Các phương pháp tính tích phân  Như học chương trình phổ thơng, để xác định biểu thức tích phân ta thường dùng hai phương pháp: phương pháp đổi biến phương pháp tích phân phần Sử dụng nhuần nhuyễn hai phương pháp trên, kết hợp thủ thuật toán học đồng hệ số, nhân lượng liên hiệp, biến đổi lượng giác… ta dễ dàng giải tích phân Hơn hết, với tốn tích phân xác định, dựa vào hai cận tích phân ta suy đốn hướng giải tốn  Thật vậy, ta xem xét ví dụ sau: 𝟏 VD1: I = ∫𝟎𝟐 Ta có I = ∫0 √𝒆𝒙 √𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙 √ex 𝒅𝒙 ex dx = ∫0 −x √ex + e ex dx = ∫0 −x √ex √ex + e √e2x +1 dx Đặt t = ex => dt = exdx đổi cận biến số: x t = ex e Vậy I = ∫1 1 √t2 +1 e e dt = ln|t + √t + | |1 = ln e + √e2 +1 +√2 √𝟑 𝟐 √𝟐 𝟐 VD2: I = ∫ 𝒙𝟐 √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 −π π Đặt cost = x (t ∈ [ x t = arcsin(x) π π, ]) => costdt = dx đổi cận biến số: 2 √2 √3 2 π π Vậy I = ∫ sin t √1 − sin2 t cos t dt π π 4 = = π π =∫ sin2 t |cost| cos t dt π ∫ sin2 2tdt (vì t ∈ [0, ] nên cost > => |cost| = cost) π π ∫ (1 − cos4t)dt = (t + sin4t π π )| = 𝜋 96 + √3 64 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 𝝅𝟐 VD3: I = ∫𝟎 𝒔𝒊𝒏√𝒙 𝒅𝒙 Đặt t = √x => dt = x 1 dx = dx => dx = 2tdt đổi cận biến số: √x 2t π2 π 0 t = √x π => I = 2∫0 t sint dt Đặt u = t => du = dt dv = sin t dt Chọn v = − cos t π Vậy I = 2[(t cos t)|π0 – ∫0 (− cos t).dt] = 2π + (sin t)|π0 = 2π 𝟕 VD4: I = ∫𝟑𝟐 𝟏 (𝟒𝒙𝟐 −𝟏𝟐𝒙+𝟗)(𝟒𝒙𝟐 −𝟏𝟐𝒙+𝟓) Ta có I = ∫32 𝒅𝒙 (4×2 −12x+9)(4×2 −12x+5) dx= ∫32 (2x− 3)2 (2x− 1)(2x− 5) dx Đặt t = 2x – => dt = 2dx đổi cận biến số: x t = 2x – 3 => I = ∫3 4 t2 (t + 2)(t − 2) dt = ∫3 1 t2 (t2 −4) A B dt= ∫3 ( + (t2 ) dt t −4) Ta đồng hệ số sau: t2 (t2 −4) = A(t2 −4)+𝐵t2 t2 = (A+B)t2 − 4𝐴 1 t2 2−t => A = – B = 1 −1 1 Vậy I = ∫3 ( − 2) dt = ( ln | | + )| = ( ln − ) = ln − t −4 t 2+t t 12 32 96 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 𝝅 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒙−𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝝅 √𝟏+𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒙 𝟒 VD5: I = ∫ π Ta có: I = ∫π2 sin x−cos x √1+sin 2x 𝒅𝒙 π dx = ∫π2 sin x−cos x π sin x−cos x dx = ∫π2 |sin √(sin x+cos x) 4 π π π 4 x+cos x| dx Mà sin x + cos x = √2 sin (x + ) với ≤ x ≤ (giả thiết) π sin (x + ) > 0; cos (x + ) < |sin (x + )| > |cos (x + )| π 3π 4 ≤x+ ≤ π π π π 4 4 Do |sin x + cos x| = sin x + cos x với π π 3π 4 ≤x+ ≤ Ta lại có: (cos x − sin x)dx = d(sin x + cos x) π π Vậy I= ∫ − 1.3.3 d(sin x+cos x) sin x+cos x π = −ln|sin x + cos x|| π2 = −[ln − ln √2]= ln Tiểu kết  Từ ta thấy ngồi áp dụng phép biến đổi lượng giác bản, việc nhận biết công thức vi phân lượng giác “ẩn” kĩ quan trọng Nếu ta nhận chúng việc giải tốn trở nên đơn giản nhiều  Như số dạng thường gặp sau: 1) (Acosx ∓ Bsinx)dx = d(Asinx ± Bcosx + C) 2) (A ∓ B)sin2xdx = d(Asin2 x ± Bcos2 x + C) 3) −sin4xdx = d(sin4 x + cos4 x + C) ––––––––––––– ––––––––––––– TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ĐƠI NÉT VỀ SỰ RA ĐỜI VÀ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN 2.1 LỊCH SỬ TÍCH PHÂN Tích phân đời từ có q trình phát triển sao? Việc tính diện tích hình phẳng tính thể tích vật thể khơng gian, mà hình dạng chúng khơng thể áp dụng cơng thức mơn hình học sơ cấp từ lâu đặt Từ thời cổ đại, nhà Toán học, Vật Lý học lỗi lạc Archimède sử dụng cơng cụ sơ đẳng tốn học để tính diện tích số hình phẳng giới hạn đường cong hình cầu, hình nón Ơng ví người đặt viên gạch cho phép tốn tích phân Mãi đến kỉ 17, việc phát triển cách có hệ thống phương pháp tính diện tích thể tích nói thực nhà toán học Cavalieri, Torricelli, Fermat, Pascal nhiều nhà toán học khác Năm 1659, Barrow thiết lập liên hệ phép tính diện tích phép tìm tiếp tuyến đường cong có liên quan Khơng lâu sau Issac Newton Gottfried Leibniz trừu tượng hóa mối liên hệ thành liên kết phép tính vi phân phép tính tích phân, hai hình khối quan trọng giải tích Newton Leibnitz, với học trò hai ơng sử dụng mối liên hệ phép tính vi phân với phép tính tích phân để mở rộng phương pháp lấy tích phân, phương pháp tính tích phân biết đến trình độ phần lớn trình bày cơng trình Euler Sự đóng góp hai nhà tốn học Tchébicheff Ostrogradski kết thúc q trình phát triển phép tính Hay ta liên hệ với quy luật chuyển hóa “lượng – chất” phép biện chứng vật Triết học Marx – Lenin Từ hai vấn đề sau đây: (1)Khi chia đơi bò chất khơng thay đổi, tiếp tục chia đơi vậy, tiếp tục chia nhỏ chất bò có ban đầu? (2)Một hạt cát không gọi sa mạc, ta thêm vào hạt cát không thành sa mạc, tiếp tục thêm tạo thành sa mạc Vậy nên ta thấy tương quan đặc biệt 10 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.2 ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.2.1 Bất đẳng thức tích phân:  Ta đánh giá bất đẳng thức theo hàm số cận tích phân VD11: Chứng minh rằng: 𝜋 16 𝜋 < ∫0 5+3𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 < 𝜋 10  liên tục 0;   3cos x  2   Ta có  cos x  x  0;    cos3 x  x  0;   2  2 1     , x  0;   3cos x  2 Xét f  x        dx  (đpcm)   dx    dx   16  3cos x 10 3.2.2 2 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức VD12: Chứng minh rằng: ln(1 + a) > 2𝑎 1+𝑎, ∀a > + Trong hệ tọa độ Oxy, xét đồ thị hàm số  C  : y  lấy x   a  1; a  x Gọi điểm A, B, C, D A(1, 0); B(1 + a, 0); C(xo, 0) D(xo, 1 Ta có: y ‘   y ”  x Suy ra: y    2 x    0, x  x3 x   hàm lõm x SABGH= ln(1 + a) + Ta có: CD = √(𝑥𝑜 − 𝑥𝑜 )2 + ( 𝑥𝑜 xo ) y x  Hai đường thẳng x = 1, x = + a cắt tiếp tuyến (d) 1 D(xo, ) hai điểm F, E cắt đồ thị  C  : y  𝑥𝑜 x hai điểm H, G (như hình) Khi đó: 1+a ∫1 (x) dx = (6) − 0) = H ● F● O A● D ● C● G ● E ● ● B x (d) Hình 𝑥𝑜 Mà x   a  CD   1 a 1 a Vậy SABEF =AB AF+BE 2a =AB.CD  a  1 a 1 a (7) 20 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Từ (6), (7) với SABGH > SABEF ta kết luận được: ln 1  a   3.3 2a, a  (đpcm) 1 a TIỂU KẾT Trong Tốn học nói chung hay giải tích nói riêng, phép vi – tích phân cơng cụ đắc lực giúp chất Tốn học khẳng định rõ vai trò phát triển Khoa học Nhóm tác giả cố gắng truyền đạt dễ hiểu mặt mạnh ứng dụng vi – tích phân lĩnh vực khoa học mà nhóm quan tâm (Hình học, Đại số, Vật Lý) Qua đó, có góc nhìn tổng quan tích cực tích phân Trong Vật lý, thành thạo cơng cụ vi – tích phân giúp toán trở nên “chất” hơn, độc đáo mặt hình thức lẫn nội dung Và vấn đề nhóm đưa phần tiếp theo, nhóm tác giả giới thiệu nhận xét loạt tốn có sử dụng hai phép tốn chuyên đề Vật Lý đại cương (Cơ học, Nhiệt học, Điện – Từ học, Quang hình học) ––––––––––––– ––––––––––––– 21 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH GIỚI THIỆU HỆ THỐNG BÀI TẬP VẬT LÝ ĐƯỢC NÂNG CAO BẰNG PHÉP TỐN VI – TÍCH PHÂN 4.1 THỰC TRẠNG SỬ DỤNG TỐN HỌC TRONG CÁC MƠN KHOA HỌC TỰ NHIÊN HIỆN NAY Ta phải thừa nhận Tốn học cơng cụ thực cần thiết cho q trình học tập, cơng tác nghiên cứu chun sâu mơn Khoa học Tự nhiên (Vật Lý, Hóa học, Sinh học) Kì thi chọn Học sinh Giỏi (HSG) Quốc gia cầu nối giúp nước ta chọn đội tuyển ưu tú để tham dự kì thi HSG khu vực Châu Á Thái Bình Dương (APhO, AChO), Quốc tế (IPhO, IBO, IChO) Những học sinh đạt giải phần lực lượng nhà khoa học trẻ, tiếp nối tương lai Các phương pháp giải tốn nói chung, hay cụ thể phép tính vi – tích phân giúp mức độ đề nâng cao, đáp ứng yêu cầu chọn lọc đội tuyển thi tiếp vòng sau Dù đề thi giữ tinh túy môn Song năm gần đây, vấn đề “Tốn học hóa” đề thi Đại học môn Khoa học Tự nhiên ngày quan tâm, thầy cô ngành lên án gay gắt Vì ba mơn học nói dùng phương án thi trắc nghiệm khách quan nên việc lạm dụng Toán học đề thi ngày tăng cao Việc nâng cao mức độ khó câu hỏi cách đưa phương pháp, thủ thuật giải Tốn làm cho mơn dần nét đẹp riêng nó, chịu ảnh hưởng nhiều mơn Vật Lý Hơn hết điểm thi khơng phản ánh hồn tồn lực thật thí sinh dự thi; phổ điểm rơi vào mức trung bình cao – từ làm việc tuyển sinh trường Đại học khó khăn Nhóm tác giả xin giới thiệu phân tích đề thi kì chọn HSG mơn Vật Lý ngồi nước nhằm làm rõ luận điểm mà nhóm nêu Với vai trò người giáo viên Vật Lý tương lai, phải hiểu rõ mục tiêu hai kì thi khác nhau, nên hướng đào sâu Tốn học cần có tiết chế, cân cho phù hợp với mục đích kì thi nhằm giữ lại tinh túy mà mơn học hướng tới 4.2 GIỚI THIỆU VÀ PHÂN TÍCH CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG PHÉP VI – TÍCH PHÂN 4.2.1 Cơ học Bài tốn 1: Như nhóm tác giả giới thiệu trên, toán đặt vào năm 1960 liên hệ khối lượng vận tốc tàu vũ trụ để đưa theo quĩ đạo mong muốn, tiếp cận giải sau: Đề bài: Một tên lửa gia tốc nhờ động phản lực hoạt động với mức tiêu thụ nhiên liệu giữ không đổi μ (kg/s), khí có vận tốc tên lửa u giữ không đổi Biết ban đầu khối lượng tên lửa – bao gồm vỏ tàu nhiên liệu bên mo; ta bỏ qua tác dụng trọng lực sức cản khơng khí Biết ban đầu tên lửa có vận tốc vo 22 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài giải nhận xét: Xét chuyển động hệ (tên lửa – khối nhiên liệu) sau thời gian t kể từ lúc bắt đầu phóng, vận tốc tàu v khối lượng tàu lại m = mo – μt (1) Lấy vi phân (1) ta dm = – μdt + Sau khoảng dt nhỏ, vận tốc tên lửa v + dv khối lượng m + dm với dm đại lượng âm (hình 5) ⃗⃗⃗ pi – ⃗⃗⃗ pf = dp ⃗ (i f đại lượng trước sau khoảng dt) ⃗⃗⃗ (–dm)] = dp mv ⃗⃗ – [(m + dm)(v ⃗⃗ + dv ⃗⃗ ) + V ⃗ ⃗⃗⃗ 𝑣 m a) Tại t dm ⃗⃗⃗ 𝑣 + 𝑑𝑣 ⃗⃗⃗ m+dm ⃗⃗⃗ 𝑢 b) Tại t + dt Hình ⃗⃗⃗ vận tốc khối nhiên liệu đất thời điểm t + dt, áp dụng công thức cộng Với V ⃗⃗⃗ vận tốc ta có: V = ⃗⃗⃗u + (v ⃗⃗ + dv ⃗⃗ ) Ta chọn chiều dương chiều chuyển động tàu, chiếu lên chiều dương ta được: V = – u + (v + dv) mv – [(m + dm)(v + dv) + (v + dv – u).(–dm)] = dp (2) Vì ta bỏ qua trọng lực sức cản khơng khí tác dụng lên tên lửa, nên động lượng hệ bảo toàn nên: Fext = dp dt = ngoại lực tổng hợp tác dụng lên hệ (3) Khai triển biểu thức (2) kết hợp với (3), sau biến đổi đơn giản ta được: m Vậy dv dt +u dm dt =0 v (4) m dm ∫v dv = −u ∫m ( m ) v − vo = −u ln( o o v = vo+ u.𝒍𝒏 ( m mo 𝒎𝒐 𝒎𝒐 – 𝝁𝒕 ) = −u ln( mo − μt mo ) (5) ) + Nhưng cách xét điều kiện tuyệt đối lí tưởng, từ (4) ta dễ dàng suy Fext = dp dt =m mg + Fc = m dv dt dv dt +u +u dm dt dm dt Nhận thấy biểu thức tích phân phức tạp nhiều lần ta xét cụ đến tác dụng trọng lực lực cản khơng khí vào tàu Ngồi ra, lực cản khơng khí biến đổi liên ⃗⃗⃗⃗𝒄 = −𝒌𝒗 ⃗⃗⃗ (k tục, phụ thuộc vào mật độ tầng khí quyển, vận tốc tàu theo hàm như: 𝑭 ⃗⃗⃗ (𝜂 = const, vận tốc tàu tương đối lớn) Vì = const, vận tốc tàu nhỏ) hay ⃗⃗⃗⃗ 𝑭𝒄 = −𝜼𝒗𝒗 nhóm giới thiệu kết cuối số trường hợp trên: – Khi tàu đến tầng nhiệt tầng ngồi khí Fc ≪ mg nên: 23 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH v = vo+ u.𝒍𝒏 ( 𝒎𝒐 𝒎𝒐 – 𝝁𝒕 ) − 𝒈𝒕 – Kết (5) sử dụng tàu khỏi hồn tồn trọng trường Trái Đất sử dụng động phản lực để đổi chiều chuyển động, quay Trái Đất  Và hai phương trình tiếng chuyển động hệ có khối lượng thay đổi, thiết lập I.V.Meserki (1859 – 1935) – nhà Vật Lý học người Liên Xơ Bài tốn 2: (Trích đề chọn đội dự tuyển HSG Quốc gia TPHCM năm học 2016 – 2017) Đề bài: Một cột thẳng đứng có bán kính R cố định mặt phẳng nhẵn nằm ngang hình Một vật nhỏ nối với cột nhờ sợi mảnh khơng dãn có chiều dài L Ban đầu, vật nằm yên mặt ngang dây căng Tức thì, vật cấp vận tốc vo theo phương vuông góc với sợi bắt đầu chuyển động xung quanh cột sợi quấn dần vào cột Bỏ qua ma sát, tính thời gian để sợi bị vào cột 𝑣0 ⃗⃗⃗⃗ ● R ● Hình L Bài giải nhận xét:  Vì vòng nhỏ chịu tác dụng lực, hợp lực: ⃗ + ⃗N ⃗ = (vì vòng ln nằm mặt sàn ngang, nhẵn) P ⃗ lực có phương hướng vào tâm T Nên độ lớn vận tộc vòng bảo tồn v(t) = vo = const + Xét chuyển động vòng khoảng dt nhỏ, sợi có chiều dài x bị vào trụ đoạn dx hình Ta có sin(dα) ≈ dα = tan(dβ) ≈ dβ = dl x dx = vo dt x 𝑣0 ⃗⃗⃗⃗ R Vì dây ln tiếp tuyến với trụ vo vng góc với dây nên: dα = dβ dx R = R vo dt x xdx = Rvo.dt ∫0 xdx = ∫0 Rvo dt L ●𝑑𝛽 𝑑𝑙 𝑑𝛼 𝑑𝑥 Hình t Vậy thời gian để sợi bị vào cột t = ● x 𝑳𝟐 𝟐𝑹𝒗𝟎 24 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài tốn 3: (Trích đề thi HSG Quốc gia năm học 2007 – 2008) Đề bài: Một khối trụ đặc có bán kính R, chiều dài h, khối lượng m lăn không trượt mặt sàn nhẵn nằm ngang va vào tường thẳng đứng cố định (trục khối trụ song song với mặt sàn tường) Biết hệ số ma sát khối trụ tường μ; vận tốc trục khối trụ trước lúc va chạm vo; sau va chạm thành phần vận tốc theo phương ngang trục giảm nửa độ lớn; 𝑣𝑜 ⃗⃗⃗ moment quán tính trục khối trụ Io = 𝑚𝑅2 (hình 8) Bỏ qua tác dụng trọng lực lúc va chạm bỏ qua ma sát lăn Hình a) Biết mật độ khối lượng ρ điểm khối trụ phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm đến trục theo quy luật ρ = A(1 + 𝑟2 ) 𝑚 𝑅2 𝑅2 ℎ Tìm hệ số A b) Tính động khối trụ góc phương chuyển động với phương nằm ngang sau va chạm 1 Áp dụng số với μ = μ = Bài giải nhận xét: 𝑦  Phân tích lực đặt lên trụ chọn hệ trục tọa độ hình + Ban đầu trước lúc va chạm, cầu lăn không trượt nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐹 𝑚𝑠 vo = Rωo (1) Từ hình 9, ta phân tích trình va chạm, phản 𝑣𝑥 ⃗⃗⃗ lực đàn hồi N tác động làm cho thay đổi động lượng cầu phương Ox, áp dụng định lí biến thiên động lượng ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗x − ⃗⃗⃗ 𝑂 ⃗N ⃗ ∆t = m ∆v ⃗⃗⃗x = m(v′ vx ) N ∆t = m(v ′ x + vx ) = mvo (2) 𝑣𝑦 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣′𝑥 𝑥 Hình Ta chứng minh tương tự với ảnh hưởng lực ma sát làm thay đổi động lượng phương Oy tạo moment xung lực làm khối trụ bị quay sau cú va chạm, được: Fms ∆t = m.vy –FmsR ∆t = I(ω’ – ωo) = mR2 (ω’ – ωo) Fms ∆t = m.vy Fms ∆t = mR(ωo – ω’) (3) (4)  Với cách phân tích tượng Vật Lý tốn ta phần suy luận hướng đề tác giả: a) – đánh giá lực Toán học thí sinh dự thi; b) – tượng Cơ 25 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH học tuần túy Hơn hết ta thấy a) không yêu cầu tiên b), từ giúp thí sinh dự thi linh động trình tự giải, phân bổ thời gian hợp lý cho lại đề + Vì khối trụ có quy luật phân bố mật độ thể khối ρ nên ta chia nhỏ thành vơ số trụ mỏng có dạng vành khăn với bán kính r, r + dr chiều dài h Ta có: dS = π[(r + dr)2– r2] = π(dr2 + 2r.dr) ≈ 2πr.dr dm = ρdV = ρ.h.dS = 2ρπhr.dr với ρ = A(1 + dm = 2Aπr(1 + r2 R2 ) m R2 r2 R2 m ) R2 h (giả thiết) dr Mà moment quán tính trụ rỗng trục dI = dm.r2 r2 dI = 2Aπr3(1 + I Io = ∫0 o dI = 2Aπ mR2 = mR2Aπ A= ) m R2 R2 dr R m r (1 + ∫0 R r2 m r4 R R ) dr = 2Aπ ( + r6 R 6R )| = mR2Aπ 6 12 25π + Ta giả sử trình va chạm trụ với tường, chuyển động trụ gồm hai giai đoạn: ban đầu trụ lăn có trượt sau lăn khơng trượt xảy Khi đó: vy = Rω’ (5) Kết hợp (3), (4) (5) ta 2 7 vy = vo Fms ∆t= mvo (6) Để trường hợp xảy Fms ≤ μoN Fms ∆t ≤ μN ∆t (7) Kết hợp (2), (6) (7) ta ≤ μo μo ≥ 21 ≈ 0,190 + Với μ = > μo Vậy trụ chuyển động giả định 1 2 vy 2 𝑅 Wđ = Wtịnh tiến + Wquay = m(v ′ x + vy ) + Io ω′2 = m(v ′ x + vy ) + Io ( ) Động sau va chạm trụ Wđ = tanθ = vy v′x = 71 vo vo = 𝟓𝟏 𝟐𝟖𝟎 𝒎𝒗𝒐 𝟐 𝟒 ⃗⃗⃗⃗⃗𝒙 ; ⃗⃗⃗ Góc hợp (𝒗′ 𝒗′) = θ = arctan 𝟕 + Với μ = < μo hình trụ ln lăn có trượt suốt trình va chạm Do vậy: Fms = μN Fms ∆t = μN ∆t (8) Từ (1), (2), (3), (8) ta giải vy = ω' = vo 16 17 vo 32 𝑅 26 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1 Wđ = Wtịnh tiến + Wquay = m(v ′ x + vy ) + Io ω′2 2 Động sau va chạm trụ Wđ = tanθ = vy v′x = 16 vo vo = 𝟏𝟎𝟏𝟗 𝟓𝟏𝟐𝟎 𝒎𝒗𝒐 𝟐 𝟑 ⃗⃗⃗⃗⃗𝒙 ; ⃗⃗⃗ Góc hợp (𝒗′ 𝒗′) = θ = arctan 𝟖 Bài tập bổ sung: 1) Một vật hình cầu bán kính R có mật độ khối lượng phân bố theo khoảng cách r đến tâm r theo qui luật ρ = (1 + ) 3m R 7πR3 với m số dương Tìm khối lượng m moment qn tính (Gợi ý: Chia hình cầu thành mặt cầu mỏng giải tương tự toán 3) (mo = m Io = 𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟓 𝒎𝑹𝟐 ) 2) Một hạt mang điện q bay vào môi trường với vận tốc ban đầu ⃗⃗⃗ 𝑣𝑜 Biết lực cản môi trường tác dụng lên hạt tỉ lệ với vận tốc nó, hạt đoạn a = 10 cm dừng lại ⃗⃗⃗ vng góc với ⃗⃗⃗ Nếu ta tạo môi trường từ trường có cảm ứng từ 𝐵 𝑣𝑜 hạt chuyển động cong dừng lại điểm cách điểm xuất phát đoạn b = cm Hỏi độ lớn cảm ứng từ ⃗⃗⃗ 𝐵 giảm nửa dừng lại cách điểm ban đầu đoạn c bao nhiêu? Ta bỏ qua tác dụng trọng lực (Gợi ý: Dùng công thức lực cản giới thiệu toán kiến thức lực từ Lorentz để giải) ( 𝟏 𝒄𝟐 = 𝟏 𝒂𝟐 𝟏 𝟏 𝟒 𝒃𝟐 + ( − 𝟏 𝒂𝟐 ) => 𝒄 = 𝟖, 𝟑𝟐𝟏 𝒄𝒎) 3) Một hạt khối lượng m, ban đầu chuyển động từ lúc t = tác dụng lực F = Fosin(ωt + φ), Fo ω số Xác định quãng đường theo thời gian t (Gợi ý: Áp dụng 𝑡 tích phân s = ∫0 |𝑣|𝑑𝑡) (𝒔 = 𝑭𝒐 𝒎𝝎𝟐 [𝝎𝒕 − 𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕 + 𝝋)]) 4) Theo thuyết H.Hetz (1882) cầu va chạm đàn hổi lực tương tác chúng tỉ 𝟑 lệ thuận với độ biến dạng chúng theo lũy thừa 3⁄2 tức F = k𝒙 ⁄𝟐 Xét va chạm trực diện hai cầu có bán kính số đàn hồi k, khối lượng khác tương ứng m m⁄3 Các vận tốc ban đầu vo – vo, xác định độ biến dạng cực đại xmax hai cầu Bỏ qua ma sát hai cầu mặt sàn (Gợi ý: Trong lúc va chạm, thời điểm hai 𝟐 𝟓𝒎 𝟓 cầu có vận tốc độ biến dạng chúng cực đại) (xmax = ( 𝟖 𝒌 𝟒 ) ( 𝒗𝒐 ) 𝟓 4.2.2 Nhiệt học Ở phân mơn nhiệt học, khiến thức Tốn dùng chuyên đề tương đối nâng cao chuyên sâu, dạng tốn đặc trưng sử dụng tích phân xác định để tính cơng q trình khối khí thực Vì cơng khối khí trị tuyệt đối diện tích hình phẳng đường đồ thị q trình tạo tọa độ OpV Ta xét toán sau: Bài toán 1: 27 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Đề bài: Một khối khơng khí xem khí lí tưởng thực chu trình ABCA biểu diễn giản đồ hình 10 BC CA trình đẳng tích đẳng áp, AB q trình có áp suất p thể tích V liên hệ với theo biểu thức p = αV2 Biết tỉ số nhiệt độ tuyệt đối lớn với nhiệt độ tuyệt đối bé η p B p2 A p1 C V a) Tính cơng mà khối khí thực theo Vo, η α O V1 = Vo V2 Hình 10 b) Tính hiệu suất chu trình theo η Bài giải nhận xét:  Ta dễ dàng nhận thấy cơng mà khối khí thực chu trình A = SABCA, diện tích p = αV ; p = p1 hình phẳng giới hạn { Khi đó: đường thẳng V = Vo ; V = V2 V V A = SABCA = ∫V 2|αV − p1 |dV = ∫V 2(αV − p1 )dV o =( αV3 o − Vp1 )| V2 Vo = αV2 3 − αVo 3 − p1 (V2 − Vo ) (1) + Chu trình cho gồm trình: (AB): áp suất thể tích khí liên hệ với qua biểu thức p = αV2 Mà theo phương trình Clapeyron Mendeleev: α pV = nRT => T = V3 (với n số mol khối khí) (2) (3) nR Từ A  B, thể tích khối khí tăng nên nhiệt độ tăng TB > TA, khí nhận nhiệt => QAB > p (BC): khí biến đổi đẳng tích, áp dụng định luật Charles = const T Từ B  C, áp suất khí giảm nên khí bị làm lạnh TC < TB, khí tỏa nhiệt => QBC < V (CA): khí nén đẳng áp, áp dụng định luật Gay Lussac = const T => TC > TA trình khí tỏa nhiệt => QCA < Vậy ta kết luận TB = Tmax TA = Tmin => V2 + Kết hợp (2), (3) (4) ta được: {Vo Tmax Tmin Thay (5) vào (1) ta được: αV2 − αVo 3 TB TA = η (giả thiết) (4) T = √ B = 3√η T (5) A p1 = αVo = 𝛼 − p1 (V2 − Vo ) = Vo3(η – 1) – αVo2(Vo 3√η – Vo ) 𝛼 = Vo3[(η – 1) – 3( 3√η – 1)] 𝜶 Vậy cơng khối khí thực chu trình AABCA = Vo3(𝜼 – 𝟑√𝜼 + 2) 𝟑  Từ lý luận trên, ta thấy có q trình (AB) khí nhận nhiệt, nên hiệu suất chu trình là: 28 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH A H = ∑ ABCA = AABCA Qnhận QAB Theo nguyên lý thứ nhiệt động lực học ta lại có: Q AB = AAB + ∆UAB V = ∫V αV dV + nCV∆TAB o = αV2 3 − αVo 3 + nCV(TB – TA) (6) + Vì khơng khí (chứa khoảng 20% O2 80% N2) xem khí lí tưởng nên khối khí 2 lưỡng nguyên tử có CV = R CP = R (7) 𝛼 17𝛼 Thay (3), (5) vào (6) ta Q AB = Vo3(η – 1) + n R[ = Từ ta dễ dàng suy H = α V3 nR − α V 3] nR 𝑜 Vo3(η – 1) 𝛼 V (η – 3√η + 2) 𝑜 17𝛼 V (η – 1) 𝑜 Vậy hiệu suất chu trình H = 𝟐𝜼 – 𝟔 𝟑√𝜼 + 𝟒 𝟏𝟕(𝜼 – 𝟏) Ngồi tốn tính cơng chu trình có ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng trên, tốn truyền nhiệt, đối lưu hay nội ma sát lớp khí kết hợp sử dụng hai phương pháp tổng tích phân sơ đồ vi phân để giải Ta xem xét toán sau: Bài tốn 2: Đề bài: Khí lí tưởng có khối lượng mol 𝜇, áp suất p, hai nằm ngang có khối lượng bao nhiêu? Biết thể tích hai V, nhiệt độ khí tăng tuyến tính từ T1 đến T2 Bài giải nhận xét:  Ta gọi khoảng cách hai d, nhiệt độ khối khí thay đổi tuyến tính theo khoảng x cách hình 11 nên: d T2 T(x) = a + bx x + 𝑑𝑥 Tại x = 0, T(0) = a = T1 Tại x = d, T(d) = T1 + bd = T2 => b = T(x) = T1 + T2 − T1 d x T2 − T1 x d O T1 Hình 11 + Xét lớp khí cách gốc tọa độ khoảng x, khối có bề dày dx nhỏ cho nhiệt độ khơng thay đổi T, khối lượng dm Áp dụng phương trình Clapeyron Mendeleev ta được: pdV = dm μ RT (p áp suất khối khí nằm hai bản) 29 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH pSdx = pS dm μ dx d =R μ T −T d d( T1 + d x) ∫ T2 − T1 ( T1 + T2 − T1.x) pSd d pSd T − T1 pSd T − T1 x) (S diện tích bản) dm T −T ( T1 + x) d T2 − T1 R( T1 + ln | T1 + T2 − T d T2 R T1 μ R m = ∫0 dm μ d R x|| = μ m ln ( ) = m Vậy khối lượng khối khí m = 𝝁𝒑𝑽 𝑻 𝑹(𝑻𝟐 − 𝑻𝟏 𝒍𝒏 ( 𝟐) ) 𝑻𝟏 Bài tập bổ sung: 1) Một bình hình trụ ngang chứa đầy khí lí tưởng ban đầu có áp suất po nhiệt độ To Khoảng cách hai đáy bình d Ta thay đổi nhiệt độ đáy lên thành T0 + ∆T (∆T ≪ T0 ) nhiệt độ đáy giữ nguyên T0 Biết nhiệt độ khí biến đổi tuyến tính theo khoảng cách tới đáy bình a) Tính áp suất p khối khí (Gợi ý: Hướng giải giống toán 2) (p = po(1 + b) Tình độ dời khối tâm lượng khí bình (Gợi ý: xG = Cho biết công thức : ln(1 + x) = x − x2 + x3 − x4 ∫ 𝑟𝑖 𝑑𝑚𝑖 ) ∑ 𝑚𝑖 (∆𝒅G = 𝒅 ∆𝑻 𝟐𝑻𝒐 )) ∆𝑻 𝟏𝟐 𝑻𝒐 ) + ⋯ ( x < 1) 2) Một lượng n mol khí lý tưởng đơn nguyên tử thực chu trình p LMNL có thơng số trạng thái biểu diễn giản đồ hình 12 LM NL q trình đẳng tích đẳng M 3po áp; MN q trình có áp suất p biến tiên tuyến tính theo thể tích V a) Tính nhiệt độ cực đại mà khí đạt trình L po N (Gợi ý: Trong q trình MN, nhiệt độ khí tăng đến cực đại sau giảm dần hàm bậc hai theo thể tích ) (Tmax = 𝟏𝟐𝟏 𝒑𝒐 𝑽𝒐 𝟐𝟒 𝒏𝑹 V = V O Vo 𝟏𝟏 𝟒 4Vo Hình 12 Vo) b) Tính hiệu suất chu trình (Gợi ý: Trong q trình MN, khí nhận nhiệt từ M  K sau khí tỏa nhiệt từ K  N, hàm bậc hai theo thể tích) (H = 𝟑 𝟑+ 𝟓𝟎𝟕 𝟔𝟒 = 𝟎, 𝟐𝟕𝟓) 30 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 4.2.3 Tiểu kết Các toán phần Cơ học hay Nhiệt học số tốn có sử dụng cơng cụ tích phân Động đốt bốn (chu trình Diesel, Otto…), định luận khúc xạ Snel – Descartes, tượng ảo ảnh hay công thức xác định điện trường Ostrogaski – Gauss cảm ứng từ Biot – Savart toán mà phần giải nhờ cơng cụ Như mục đích ban đầu, xuyên suốt tiểu luận nhóm đưa ra, ví dụ ứng dụng tích phân Vật Lý phần khẳng định tính hữu dụng cơng cụ vi – tích phân Và hết, tích phân khơng ứng dụng Vật Lý mà Sinh học, Hóa Học hay chí mơn học khối ngành Kinh tế ––––––––––––– ––––––––––––– 31 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH KẾT LUẬN Nội dung tiểu luận “Ứng dụng tích phân” bao gồm phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định số ứng dụng tích phân xác định, tiểu luận đạt số kết quan trọng: + Tiểu luận phân dạng trình bày phương pháp tính diện tích hình phẳng, độ dài cung ứng dụng hình học tích phân Từ ứng dụng tích phân vào toán thực tế giải số tốn phổ thơng chứng minh bất đẳng thức + Nhằm nâng cao nhận thức người đọc việc sử dụng Tốn học vào mơn Khoa học Tự nhiên; nhóm giới thiệu hướng sử dụng phép tốn vi – tích phân vào tốn HSG phổ thơng mơn Vật Lý cách tổng quát đa dạng Qua phân tích trên, có nhìn tổng quan tích cực tích phân, ứng dụng vơ gần gũi, gắn liền với thực tiễn Nhưng dù lĩnh vực hai phương pháp tổng tích phân sơ đồ vi phân hai hướng để dễ dàng tiếp cận sử dụng vào toán thực tế Chủ yếu tốn có thay đổi theo quy luật đại lượng, Vật Lý, tích phân giải pháp tối ưu Ngày nay, phép tốn vi – tích phân đòi hỏi người học, người nghiên cứu phải hiểu sâu sắc chất để từ đưa ứng dụng thực tế hơn, không dừng lại thứ mà nhóm nêu Trong q trình thực hiện, nhóm cố gắng hạn chế sai sót khơng tránh khỏi sơ suất, nên tiểu luận chưa hoàn chỉnh sâu sắc Nhóm sinh viên thực mong nhận thêm đóng góp ý kiến từ người đọc Cuối cùng, nhóm xin gửi lời cám ơn chân thành đến hỗ trợ thầy Nguyễn Vụ Thụ Nhân suốt q trình nhóm thực tiểu luận ––––––––––––– ––––––––––––– 32 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẢNG PHÂN CHIA CÔNG VIỆC Phân chia cụ thể Công việc chung ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN ĐƠI NÉT VỀ SỰ RA ĐỜI VÀ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN Thiết kế Word: Ngơ Thị Bích Phương Thiết kế hình ảnh: Nguyễn Khánh Huy Biên tập thiết kế: Hà Thanh Sang Biên soạn: + 1.1; 1.2: Khánh Huy + 1.3: Bích Phương Biên tập: Thanh Sang Biên soạn: Thanh Sang Biên tập: Bích Phương Cơng việc chương ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH GIỚI THIỆU HỆ THỐNG BÀI TẬP VẬT LÝ ĐƯỢC NÂNG CAO BẰNG PHÉP TỐN VI – TÍCH PHÂN Biên soạn biên tập: + 3.1.1; 3.1.2: Bích Phương + 3.1.3; 3.2: Khánh Huy Biên soạn biên tập: Thanh Sang 33 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt (1) Đỗ Công Khanh (chủ biên) (2013), Tốn Cao cấp Giải tích hàm biến; Lý thuyết chuỗi, NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (2) Nguyễn Cam (1998), Giải tốn Tích phân, NXB Trẻ (3) Luận văn Thạc sĩ Ngơ Thị Sinh (2015), Tích phân – Ứng dụng, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Hà Nội (4) Đào Văn Phúc; Phạm Viết Trinh (1990), Cơ học, NXB Giáo dục (5) Vũ Thanh Khiết; Vũ Đình Túy (2010), Các đề thi Học sinh Giỏi Vật Lý 2001 – 2010, NXB Giáo dục Việt Nam (6) Bộ sách Bồi dưỡng Học sinh Giỏi Vật Lý THPT (2010), NXB Giáo dục Việt Nam: + Tô Giang, Cơ học + Phạm Quý Tư, Nhiệt học Vật lý phân tử (7) Phạm Vũ Kim Hoàng (2015), Tài liệu bồi dưỡng học sinh tham dự kì thi HSG Quốc gia, trường Phổ Thơng Năng Khiếu (8) Đoàn Hồng Hà (2007), Tài liệu dành cho học sinh chuyên Lý – Đạo hàm; Tích phân, trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tiếng Anh (1) David Halliday; Robert Resnick; Jearl Walker (2002), Fundamentals of Physics, 10th edition – Wiley India (2) I.E.Irodov (1980), Problems in General Physics, Mir Publishers – Moscow –––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––– 34 ... LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3.1.1 Sơ đồ tổng quát sử dụng tích phân 3.1.1.1 Phương pháp thứ – tổng tích phân. .. 18 3.2 ỨNG DỤNG ĐẠI SỐ CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 20 3.2.1 Bất đẳng thức tích phân: 20 3.2.2 Ứng dụng tích phân chứng minh bất đẳng thức 20 3.3 TIỂU KẾT 21 TIỂU LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH GIỚI... LUẬN: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH phép tính vi – tích phân, mối quan hệ biện chứng lượng chất tách rời! 2.2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ứng dụng tích phân vào phát triển lịch sử khoa học gì? Trước đời tích

Xem thêm: Top 7 ứng dụng tải video trên Youtube cho điện thoại Android

– Xem thêm –

Xem thêm: Ứng dụng tích phân xác định, Ứng dụng tích phân xác định

Xem thêm: TOP ứng dụng Office tốt nhất cho Android

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments