Ứng dụng của vectơ trong giải toán hình học, đại số, giải tích

Vectơ được ứng dụng để giải các bài toán hình học (chứng minh đồng quy, thẳng hàng, vuông góc, tính góc…) và đại số, giải tích (chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, tìm cực trị…)

Dưới đây là ứng dụng của vectơ vào giải toán hình học, đại số, giải tích. Bài viết san sẻ, giải pháp và ví dụ minh họa cụ thể dễ hiểu để những em học viên nắm được kiến thức và kỹ năng .

1. ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG

1.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Muốn chứng tỏ ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta đi chứng tỏ : USD \ overrightarrow { AB } = k \ overrightarrow { AC } USD với k ∈ R .

Để nhận được (1), ta lựa chọn một trong hai hướng:

– Hướng 1 : Sử dụng những quy tắc biến hóa vectơ đã biết .– Hướng 2 : Xác định vectơ USD \ overrightarrow { AB } USD và USD \ overrightarrow { AC } USD trải qua những tổng hợp trung gian .

* Chú ý: Cho ba điểm A, B, C. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là:

USD \ overrightarrow { MC } = \ alpha \ overrightarrow { MA } + ( 1 – \ alpha ) \ overrightarrow { MB } USDVới điểm tùy ý M và số thực α bất kỳ .Đặc biệt khi 0 ≤ α ≤ 1 thì C thuộc đoạn AB

1.2 BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số $ \frac{A\text{E}}{AC}=\frac{2}{3}$. Chứng minh ba điểm D, E, I  thẳng hàng.

GiảiTa có :USD \ overrightarrow { DI } = \ overrightarrow { DC } + \ overrightarrow { CI } USD⇒ USD \ overrightarrow { DI } = \ overrightarrow { DC } + \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { CB } USDUSD \ overrightarrow { DE } = \ overrightarrow { DC } + \ overrightarrow { CE } USDTheo giả thiết, ta suy ra :USD \ overrightarrow { CE } = \ frac { 1 } { 3 } ( \ overrightarrow { C \ text { D } } + \ overrightarrow { DA } ) USD⇒ USD \ overrightarrow { CE } = \ frac { 1 } { 3 } ( \ overrightarrow { C \ text { D } } + \ overrightarrow { DA } ) = \ frac { 1 } { 3 } ( \ overrightarrow { C \ text { D } } + \ overrightarrow { CB } ) USDTừ đây ta có :USD \ overrightarrow { DE } = \ overrightarrow { DC } + \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { C \ text { D } } + \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { CB } USD⇒ USD \ overrightarrow { DE } = \ frac { 2 } { 3 } \ overrightarrow { DC } + \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { CB } USD⇒ USD \ overrightarrow { DE } = \ frac { 2 } { 3 } ( \ overrightarrow { DC } + \ frac { 1 } { 2 } \ overrightarrow { CB } ) USDTừ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : USD \ overrightarrow { DE } = \ frac { 2 } { 3 } \ overrightarrow { DI } USDVậy ba điểm D, E, I thẳng hàng .

Ví dụ 2: Cho ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của ABC. CMR O, G, H thẳng hàng.

GiảiTa có :USD \ overrightarrow { OG } = \ frac { 1 } { 2 } ( \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OC } ) USD ( 1 )Gọi E là trung điểm BC và là điểm đối xứng với A qua O, ta được :USD \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } bh / / C { { A } _ { 1 } } \ \ CH / / B { { A } _ { 1 } } \ end { array } \ right. USDUSD \ displaystyle \ Rightarrow { { A } _ { 1 } } BHC USD là hình bình hànhUSD \ displaystyle \ Rightarrow { { A } _ { 1 } } USD, E, H thẳng hàng ⇒ USD \ displaystyle \ overrightarrow { AH } = 2 \ overrightarrow { OE } USDTa có : USD \ overrightarrow { OH } = \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { AH } = \ overrightarrow { OA } + 2 \ overrightarrow { OE } = \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OC } USD ( 2 )Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra :USD \ overrightarrow { OG } = \ frac { 1 } { 3 } \ overrightarrow { OH } \ Leftrightarrow O, G, H $ thẳng hàng .

Ví dụ 3: Cho ba dây cung song song $ A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ của đường tròn (O). Chứng   minh rằng trực tâm của ba tam giác $ AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}}$  nằm trên một đường thẳng.

GiảiGọi USD { { H } _ { 1 } }, { { H } _ { 2 } }, { { H } _ { 3 } } USD lần lượt là trực tâm của những tam giác USD AB { { C } _ { 1 } }, BC { { A } _ { 1 } }, CA { { B } _ { 1 } } USDTa có :USD \ begin { array } { l } \ overrightarrow { O { { H } _ { 1 } } } = \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { O { { C } _ { 1 } } } \ \ \ overrightarrow { O { { H } _ { 2 } } } = \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OC } + \ overrightarrow { O { { A } _ { 1 } } } \ \ \ overrightarrow { O { { H } _ { 3 } } } = \ overrightarrow { OC } + \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { O { { B } _ { 1 } } } \ end { array } USDSuy ra :USD \ overrightarrow { { { H } _ { 1 } } { { H } _ { 2 } } } = \ overrightarrow { O { { H } _ { 2 } } } – \ overrightarrow { O { { H } _ { 1 } } } USD= USD \ overrightarrow { OC } – \ overrightarrow { O { { C } _ { 1 } } } + \ overrightarrow { O { { A } _ { 1 } } } – \ overrightarrow { OA } USD= USD \ overrightarrow { { { C } _ { 1 } } C } + \ overrightarrow { A { { A } _ { 1 } } } USDUSD \ overrightarrow { { { H } _ { 1 } } { { H } _ { 3 } } } = \ overrightarrow { O { { H } _ { 3 } } } – \ overrightarrow { O { { H } _ { 1 } } } USD= USD \ overrightarrow { OC } – \ overrightarrow { O { { C } _ { 1 } } } + \ overrightarrow { O { { B } _ { 1 } } } – \ overrightarrow { OB } USD= USD \ overrightarrow { { { C } _ { 1 } } C } + \ overrightarrow { B { { B } _ { 1 } } } USDVì những dây cung USD A { { A } _ { 1 } }, B { { B } _ { 1 } }, C { { C } _ { 1 } } USD song song với nhauNên ba vectơ USD \ overrightarrow { A { { A } _ { 1 } } }, \ overrightarrow { B { { B } _ { 1 } } }, \ overrightarrow { C { { C } _ { 1 } } } USD có cùng phương .Do đó hai vectơ USD \ overrightarrow { { { H } _ { 1 } } { { H } _ { 2 } } } USD và USD \ overrightarrow { { { H } _ { 1 } } { { H } _ { 3 } } } USD cùng phương hay ba điểm USD { { H } _ { 1 } }, { { H } _ { 2 } }, { { H } _ { 3 } } USD thẳng hàng .

1.3- BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Cho ΔABC. Đường tròn nội tiếp ΔABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm P. thuộc EF sao cho M, N, P. thẳng hàng .2. Cho ΔABC với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Các đường thẳng USD { { \ Delta } _ { 1 } }, { { \ Delta } _ { 2 } }, { { \ Delta } _ { 3 } } USD đôi một song song nhau lần lượt qua những điểm A, B, C và có giao điểm thứ hai với đường tròn ( O ) theo thứ tự là USD { { A } _ { 1 } }, { { B } _ { 1 } }, { { C } _ { 1 } } USD. Chứng minh trực tâm của ba tam giác USD AB { { C } _ { 1 } }, BC { { A } _ { 1 } }, CA { { B } _ { 1 } } USD thẳng hàng .3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng và K là trung điểm của EF .4. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC.Gọi P, Q. là trung điểm MN và BC. CMR : A, P., Q. thẳng hàng .5. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC .Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng .a. Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hàng .b. Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P. thuộc BC sao cho A, K, P. thẳng hàng .c. Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK = USD \ displaystyle \ frac { 1 } { 3 } USD AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng

2. ỨNG DỤNG CỦA VETƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN VUÔNG GÓC, TÍNH GÓC

2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Để chứng tỏ hai đường thẳng vuông góc, ta cần chứng tỏ tích vô hướng của chúng bằng 0USD AB \ bot AC \ Leftrightarrow \ overrightarrow { AB }. \ overrightarrow { AC } = 0 USD

2.2 BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Trong đường tròn C(O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau ở điểm S và gọi M là trung điểm của AB.CMR: SM vuông góc A’B’.

GiảiXét tích vô hướngUSD \ overrightarrow { SM }. \ overrightarrow { A’B ’ } = \ frac { 1 } { 2 } ( \ overrightarrow { SA } + \ overrightarrow { SB } ). ( \ overrightarrow { SB ’ } – \ overrightarrow { SA ’ } ) USD= USD \ frac { 1 } { 2 } ( \ overrightarrow { SA }. \ overrightarrow { SB ’ } – \ overrightarrow { SA }. \ overrightarrow { SA ’ } + \ overrightarrow { SB }. \ overrightarrow { SB ’ } – \ overrightarrow { SB }. \ overrightarrow { SA ’ } ) USDTa có :USD \ overrightarrow { SA }. \ overrightarrow { SB ’ } = 0 USDUSD \ overrightarrow { SB }. \ overrightarrow { SA ’ } = 0 USDUSD \ overrightarrow { SA }. \ overrightarrow { SA ’ } = \ overrightarrow { SB }. \ overrightarrow { SB ’ } USDTừ đó suy ra USD \ overrightarrow { SM }. \ overrightarrow { A’B ’ } = 0 USD nên SM vuông góc với A’B .

2.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp USD \ Delta ABC USD, D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm của USD \ Delta ACD USD. Chứng minh rằng nếu AB = AC thì USD OE \ bot CD USD .2. Cho USD \ Delta ABC USD cân tại A. Gọi D là trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm USD \ Delta ADC USD. Chứng minh USD IE \ bot CD USD. ( I là tâm đường tròn ngoại tiếp USD \ Delta ABC USD ) .3. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng : USD BM \ bot CN \ Leftrightarrow { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } = 5 { { a } ^ { 2 } } USD4. Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ USD bh \ bot AC USD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH và DC.Chứng minh rằng : USD BM \ bot MN USD .5. Cho hình vuông vắn ABCD, trên DC lấy điểm E, kẻ USD EF \ bot AC, ( F \ in BC ) USD. M, N lần lượt là trung điểm của AE và DC. Chứng minh rằng : USD MN \ bot DF USD6. Cho hình vuông vắn ABCD, trên AB lấy điểm P., trên AD lấy điểm Q. sao cho AP = AQ. Kẻ USD AH \ bot DP USD. Chứng minh rằng : USD CH \ bot QH USD7. Cho tam giác cân ABC, AB = AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm cạnh AB và G là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh : USD OG \ bot CD USD .

3. CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU

3.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Muốn chứng tỏ hai điểm USD \ displaystyle { { A } _ { 1 } } USD và USD \ displaystyle { { A } _ { 2 } } USD trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng :– Hướng 1 : Chứng minh USD \ overrightarrow { { { A } _ { 1 } } { { A } _ { 2 } } } = \ overrightarrow { 0 } USD .– Hướng 2 : Chứng minh USD \ overrightarrow { O { { A } _ { 1 } } } = \ overrightarrow { O { { A } _ { 2 } } } USD với O là điểm tùy ý .

3.2 BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ : Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P., Q. lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm .GiảiGọi USD { { G } _ { 1 } }, { { G } _ { 2 } } USD lần lượt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ và O là một điểm tùy ý .Ta có : USD \ left \ { \ begin { array } { l } \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { ON } + \ overrightarrow { OP } = 3 \ overrightarrow { O { { G } _ { 1 } } } \ \ \ overrightarrow { OC } + \ overrightarrow { OM } + \ overrightarrow { OQ } = 3 \ overrightarrow { O { { G } _ { 2 } } } \ end { array } \ right. USD ( 1 )Mặt khác :USD \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { ON } + \ overrightarrow { OP } = \ overrightarrow { OA } + \ frac { 1 } { 2 } ( \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OC } ) + \ frac { 1 } { 2 } ( \ overrightarrow { OC } + \ overrightarrow { O \ text { D } } ) USD= USD \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OC } + \ frac { 1 } { 2 } ( \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { O \ text { D } } ) USD ( 2 )USD \ overrightarrow { OC } + \ overrightarrow { OM } + \ overrightarrow { OQ } = \ overrightarrow { OC } + \ frac { 1 } { 2 } ( \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } ) + \ frac { 1 } { 2 } ( \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { O \ text { D } } ) USD= USD \ overrightarrow { OC } + \ overrightarrow { OA } + \ frac { 1 } { 2 } ( \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { O \ text { D } } ) USD ( 3 )Từ ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) suy ra : USD \ overrightarrow { O { { G } _ { 1 } } } = \ overrightarrow { O { { G } _ { 2 } } } USDVậy USD { { G } _ { 1 } } USD và USD { { G } _ { 2 } } USD trùng nhau .3.3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ1. Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P., Q., R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm .2. Cho lục giác ABCDEF có USD AB \ bot \ text { EF } USD và hai tam giác ACE và BDF có cùng trọng tâm. CMR : AB² + EF² = CD² .

4. ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CÁC BÀI TOÁN QUỸ TÍCH ĐIỂM

4.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Với những bài toán quỹ tích ta cần nhớ :Nếu USD \ left | \ overrightarrow { MA } \ right | USD = USD \ left | \ overrightarrow { MB } \ right | USD, với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB .USD \ left | \ overrightarrow { MC } \ right | USD = k USD \ displaystyle \ left | \ overrightarrow { AB } \ right | USD, với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, nửa đường kính bằng k. AB .Nếu USD \ overrightarrow { MA } USD = k USD \ overrightarrow { BC } USD, với A, B, C cho trước thì :– Với k ∈ R điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC .– Với k ∈ USD { { R } ^ { + } } USD điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng USD \ overrightarrow { BC } USD .– Với k ∈ R điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng USD \ overrightarrow { BC } USD .

4.2 BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho ABC, tìn tập hợp những điểm M thỏa mãn

a. USD \ overrightarrow { MA } + k \ overrightarrow { MB } – k \ overrightarrow { MC } = \ overrightarrow { 0 } USD ( 1 )b. USD ( 1 – k ) \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } – k \ overrightarrow { MC } = \ overrightarrow { 0 } USD ( 2 )Giảia. Ta đổi khác ( 1 ) về dạng :USD \ overrightarrow { MA } = k ( \ overrightarrow { MC } – \ overrightarrow { MB } ) \ Leftrightarrow \ overrightarrow { MA } = k \ overrightarrow { BC }. USD⇔ M thuộc đường thẳng qua A song song với BC .b. Ta biến hóa ( 2 ) về dạng :USD \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } – k ( \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MC } ) = \ overrightarrow { 0 } USD ( 3 )Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và AC, ta được 🙁 3 ) ⇔ USD \ displaystyle 2 \ overrightarrow { ME } – 2 k \ overrightarrow { MF } = \ overrightarrow { 0 } \ Leftrightarrow \ overrightarrow { ME } = k \ overrightarrow { MF } USD⇔ M thuộc đường trung bình EF của ABC .

Ví dụ 2: Trên tia Ox và Oy của $ \widehat{xOy}$ lấy hai điểm M, N sao cho OM + ON = a (a là độ dài cho trước). Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN.

GiảiLấy hai điểm USD { { M } _ { 0 } } USD, USD { { N } _ { 0 } } USD thuộc Ox, Oy sao cho :USD O { { M } _ { 0 } } = O { { N } _ { 0 } } = \ frac { a } { 2 } USDGiả sử OM = k thì ON = a-k, với 0 USD \ le k \ le a USD, khi đó :USD \ overrightarrow { OM } = \ frac { 2 k } { a } \ overrightarrow { O { { M } _ { 0 } } } USD và USD \ overrightarrow { ON } = \ frac { 2 ( a-k ) } { a } \ overrightarrow { O { { N } _ { 0 } } } USDVì I là trung điểm của đoạn MN, ta được :USD \ overrightarrow { OI } = \ frac { 1 } { 2 } ( \ overrightarrow { OM } + \ overrightarrow { ON } ) = \ frac { 1 } { 2 } \ text { } \ ! \ ! [ \ ! \ ! \ text { } \ frac { 2 k } { a } \ overrightarrow { O { { M } _ { 0 } } } + \ frac { 2 ( a-k ) } { a } \ overrightarrow { O { { N } _ { 0 } } } USD⇔ USD \ displaystyle \ overrightarrow { { { M } _ { 0 } } I } = ( \ frac { k } { a } – 1 ) \ overrightarrow { O { { M } _ { 0 } } } + \ frac { a-k } { a } \ overrightarrow { O { { N } _ { 0 } } } USD⇔ USD a \ overrightarrow { { { M } _ { 0 } } I } = ( a-k ) ( \ overrightarrow { O { { N } _ { 0 } } } – \ overrightarrow { O { { M } _ { 0 } } } ) USD⇔ USD \ overrightarrow { { { M } _ { 0 } } I } = \ frac { a-k } { A } \ overrightarrow { { { M } _ { 0 } } { { N } _ { 0 } } } USD

Vậy quỹ tích I thuộc đoạn $ {{M}_{0}}{{N}_{0}}$.     

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC và BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG song song AC. Chứng minh rằng hai tam giác ADE và BFG có diện tích bằng nhau.

GiảiTa đặt : USD \ overrightarrow { CA } = \ overrightarrow { a } ; \ overrightarrow { CB } = \ overrightarrow { b } USD. Khi đó USD \ overrightarrow { CM } = \ frac { \ overrightarrow { b } } { 2 } \ overrightarrow { CE } = k \ overrightarrow { CA } = k \ overrightarrow { a } USD. Vì E nằm ngoài đoạn thẳng AC nên có số k sao cho USD \ overrightarrow { CE } = k \ overrightarrow { CA } = k \ overrightarrow { a } USD, với 0 < k < 1. Khi đó USD \ overrightarrow { CF } = k \ overrightarrow { CB } = k \ overrightarrow { b } USDĐiểm D nằm trên AM và EF nên có hai số x và y sao cho :USD \ overrightarrow { CD } = x \ overrightarrow { CA } + ( 1 - x ) \ overrightarrow { CM } = y \ overrightarrow { CE } + ( 1 - y ) \ overrightarrow { CF } USDHay USD x \ overrightarrow { a } + \ frac { 1 - x } { 2 } \ overrightarrow { b } = ky \ overrightarrow { a } + k ( 1 - y ) \ overrightarrow { b } USDVì hai vectơ không cùng phương nên x = ky và USD \ frac { 1 - x } { 2 } = k ( 1 - y ) USD .Suy ra x = 2 k - 1, do đó USD \ overrightarrow { CD } = ( 2 k - 1 ) \ overrightarrow { a } + ( 1 - k ) \ overrightarrow { b } USDTa có :USD \ overrightarrow { ED } = \ overrightarrow { CD } - \ overrightarrow { CE } USD = USD ( 2 k - 1 ) \ overrightarrow { a } + ( 1 - k ) \ overrightarrow { b } - k \ overrightarrow { a } USD = USD ( 1 - k ) ( \ overrightarrow { b } - \ overrightarrow { a } ) USD = USD ( 1 - k ) \ overrightarrow { AB } USDChú ý rằng vì USD \ overrightarrow { CF } = k \ overrightarrow { CB } USD hay USD \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { BG } = k \ overrightarrow { AB } USDSuy ra USD ( 1 - k ) \ overrightarrow { AB } = \ overrightarrow { GB } USDDo đó ED = GB. Như vậy, hai tam giác ADE và BFG có những cạnh đáy ED và GB bằng nhau ( bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ) nên có diện tích quy hoạnh bằng nhau .

Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho $ AM=\frac{AC}{4}$. Gọi N là trung điểm CD. Chứng minh rằng BMN là tam giác vuông cân.

GiảiĐặt USD \ overrightarrow { AD } = \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { AB } = \ overrightarrow { b } USDKhi đó :USD \ overrightarrow { AM } = \ frac { 1 } { 4 } \ overrightarrow { AC } = \ frac { 1 } { 4 } ( \ overrightarrow { a } + \ overrightarrow { b } ) USDUSD \ overrightarrow { AN } = \ overrightarrow { AD } + \ overrightarrow { Doanh Nghiệp } = \ overrightarrow { a } + \ frac { \ overrightarrow { b } } { 2 } USDTa có :USD \ overrightarrow { MB }. \ overrightarrow { MN } = \ frac { 1 } { 16 } ( – \ overrightarrow { a } + 3 \ overrightarrow { b } ) ( 3 \ overrightarrow { a } + \ overrightarrow { b } ) USD= USD \ frac { 1 } { 16 } ( – 3 { { \ overrightarrow { a } } ^ { 2 } } + 3 { { \ overrightarrow { b } } ^ { 2 } } + 8 \ overrightarrow { a }. \ overrightarrow { b } ) = 0 USDUSD { { \ overrightarrow { MB } } ^ { 2 } } = \ frac { 1 } { 16 } { { ( – \ overrightarrow { a } + 3 \ overrightarrow { b } ) } ^ { 2 } } = \ frac { 1 } { 16 } ( { { \ overrightarrow { a } } ^ { 2 } } + 9 { { \ overrightarrow { b } } ^ { 2 } } – 6 \ overrightarrow { a }. \ overrightarrow { b } ) = \ frac { 5 } { 8 } { { \ overrightarrow { a } } ^ { 2 } } USDUSD { { \ overrightarrow { MN } } ^ { 2 } } = \ frac { 1 } { 16 } { { ( 3 \ overrightarrow { a } + \ overrightarrow { b } ) } ^ { 2 } } = \ frac { 1 } { 16 } ( 9 { { \ overrightarrow { a } } ^ { 2 } } + { { \ overrightarrow { b } } ^ { 2 } } + 6 \ overrightarrow { a }. \ overrightarrow { b } ) = \ frac { 5 } { 8 } { { \ overrightarrow { a } } ^ { 2 } } USDVậy MB vuông góc với MN và MB = MN, tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M .

Ví dụ 5: Chứng minh rằng trong hình bình hành ta có: tổng các bình phương của hai đường chéo bằng tổng các bình phương của các cạnh

GiảiCho hình bình hành ABCD, ta phải chứng tỏ :USD A { { C } ^ { 2 } } + B { { D } ^ { 2 } } = 2 ( A { { B } ^ { 2 } } + A { { D } ^ { 2 } } ) USDTa có :USD A { { C } ^ { 2 } } + B { { D } ^ { 2 } } = { { \ overrightarrow { AC } } ^ { 2 } } + { { \ overrightarrow { BD } } ^ { 2 } } USD= USD { { ( \ overrightarrow { AB } + \ overrightarrow { AD } ) } ^ { 2 } } + { { ( \ overrightarrow { BC } + \ overrightarrow { BA } ) } ^ { 2 } } USD= USD 2 ( A { { B } ^ { 2 } } + A { { D } ^ { 2 } } ) + 2 ( \ overrightarrow { AB }. \ overrightarrow { AD } + \ overrightarrow { BA }. \ overrightarrow { BC } ) USDDo USD \ overrightarrow { AB }. \ overrightarrow { AD } + \ overrightarrow { BA }. \ overrightarrow { BC } = 0 USDUSD \ overrightarrow { BA } = – \ overrightarrow { AB } ; \ overrightarrow { BC } = \ overrightarrow { AD } USDnên : USD \ overrightarrow { AB }. \ overrightarrow { AD } + \ overrightarrow { BA }. \ overrightarrow { BC } = 0 USDVậy ta có : USD A { { C } ^ { 2 } } + B { { D } ^ { 2 } } = 2 ( A { { B } ^ { 2 } } + A { { D } ^ { 2 } } ) USD

4.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Cho USD \ Delta ABC USD vuông cân tại C. Trên những cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy những điểm M, N, P. sao cho : USD \ frac { MB } { MC } = \ frac { NC } { NA } = \ frac { PA } { PB } USDChứng minh rằng :a. USD CP \ bot MN USDb. USD CP = MN USD2. Cho USD \ Delta ABC USD có đường cao CH. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của những cạnh AB và CH. Một đường thẳng USD d USD di động luôn luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC ở M và cắt cạnh BC ở N. Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P., Q. nằm trên cạnh AB. Gọi J là tâm hình chữ nhật MNPQ. Chứng tỏ rằng ba điểm I, K, J thẳng hàng .3. Cho hai hình vuông vắn ABCD và BMNP sắp xếp cho P. thuộc cạnh BC, B thuộc đoạn AM. Tính góc giữa hai đường thẳng AP và Doanh Nghiệp .4. Cho tứ giác ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD.Tính MN theo những cạnh và hai đường chéo của tứ giác .5. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Hãy xác lập vị trí của điểm M trên đường thẳng d sao cho biểu thức : T = USD M { { A } ^ { 2 } } + 2M { { B } ^ { 2 } } – M { { C } ^ { 2 } } USD là nhỏ nhất .6. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng biểu thức : USD a. M { { A } ^ { 2 } } + b. M { { B } ^ { 2 } } + c. M { { C } ^ { 2 } } USD là không đổi khi M di động trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC .7. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O nửa đường kính R. Giả sử M là một diểm di động trên ( O ; R ). Chứng minh rằng : USD M { { A } ^ { 2 } } + M { { B } ^ { 2 } } + M { { C } ^ { 2 } } USD là luôn luôn không đổi. Hãy tính lượng không đổi đó theo R .8. Cho tam giác ABC có trọng tâm H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B ’ là B điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh : USD \ displaystyle \ overrightarrow { AH } = \ overrightarrow { B’C } USD

5. ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

5.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Ta có :USD \ overrightarrow { a }. \ overrightarrow { b } = \ left | \ overrightarrow { a } \ right |. \ left | \ overrightarrow { b } \ right |. c \ text { os } \ alpha USD, với USD \ alpha = ( \ overrightarrow { a }, \ overrightarrow { b } ) USD ,và bởi | cos α | ≤ 1, do đó : USD \ left | \ overrightarrow { a }. \ overrightarrow { b } \ right | \ le \ left | \ overrightarrow { a } \ right |. \ left | \ overrightarrow { b } \ right | USD

5.2 BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho ΔABC, CMR: cosA + cosB + cosC $ \le \frac{3}{2}$

5.2 BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho ΔABC, CMR: cosA + cosB + cosC $ \le \frac{3}{2}$.

GiảiThiết lập những vectơ đơn vị chức năng USD \ overrightarrow { { { e } _ { 1 } } } USD, USD \ overrightarrow { { { e } _ { 2 } } } USD, USD \ overrightarrow { { { e } _ { 3 } } } USD trên những cạnh AB, BC, AC của ΔABC, ta được :USD \ overrightarrow { { { e } _ { 1 } } }. \ overrightarrow { { { e } _ { 2 } } } = \ left | \ overrightarrow { { { e } _ { 1 } } } \ right |. \ left | \ overrightarrow { { { e } _ { 2 } } } \ right |. c \ text { os } ( { { 180 } ^ { 0 } } – B ) = – \ cos B USD ,USD \ overrightarrow { { { e } _ { 2 } } }. \ overrightarrow { { { e } _ { 3 } } } = \ left | \ overrightarrow { { { e } _ { 2 } } } \ right |. \ left | \ overrightarrow { { { e } _ { 3 } } } \ right |. c \ text { os } ( { { 180 } ^ { 0 } } – C ) = – \ cos C USD ,USD \ overrightarrow { { { e } _ { 1 } } }. \ overrightarrow { { { e } _ { 3 } } } = \ left | \ overrightarrow { { { e } _ { 1 } } } \ right |. \ left | \ overrightarrow { { { e } _ { 3 } } } \ right |. c \ text { os } ( { { 180 } ^ { 0 } } – A ) = – \ cos A $ ,Mặt khác ta luôn có :USD { { ( \ overrightarrow { { { e } _ { 1 } } } + \ overrightarrow { { { e } _ { 2 } } } + \ overrightarrow { { { e } _ { 3 } } } ) } ^ { 2 } } = { { \ overrightarrow { { { e } _ { 1 } } } } ^ { 2 } } + { { \ overrightarrow { { { e } _ { 2 } } } } ^ { 2 } } + { { \ overrightarrow { { { e } _ { 3 } } } } ^ { 2 } } + 2 ( \ overrightarrow { { { e } _ { 1 } } }. \ overrightarrow { { { e } _ { 2 } } } + \ overrightarrow { { { e } _ { 2 } } }. \ overrightarrow { { { e } _ { 3 } } } + \ overrightarrow { { { e } _ { 1 } } }. \ overrightarrow { { { e } _ { 2 } } } ) USD= USD 3 + 2 ( – \ cos B – \ cos C – \ cos A ) \ ge 0 USD⇔ USD \ cos A + \ cos B + \ cos C \ le \ frac { 3 } { 2 } USD, đpcm .

Ví dụ 2:  Cho ΔABC, CMR: $ \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C\ge -\frac{3}{2}$.

GiảiGọi O là tâm đường tròn ngoại tiép ABC, ta nhận được :USD 2A = ( \ overrightarrow { OB }, \ overrightarrow { OC } ) USD ,USD 2B = ( \ overrightarrow { OC }, \ overrightarrow { OA } ) USD ,USD 2C = ( \ overrightarrow { OA }, \ overrightarrow { OB } ) USD ,Mặt khác :USD { { ( \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OC } ) } ^ { 2 } } = { { \ overrightarrow { OA } } ^ { 2 } } + { { \ overrightarrow { OB } } ^ { 2 } } + { { \ overrightarrow { OC } } ^ { 2 } } + 2 ( \ overrightarrow { OA }. \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OB }. \ overrightarrow { OC } + \ overrightarrow { OC }. \ overrightarrow { OA } ) USD= USD 3 { { \ text { R } } ^ { 2 } } + 2 ( { { \ text { R } } ^ { 2 } }. c \ text { os } 2C + { { \ text { R } } ^ { 2 } } c \ text { os } 2A + { { \ text { R } } ^ { 2 } } c \ text { os } 2B ) \ ge 0 USD⇔ USD c \ text { os } 2A + c \ text { os } 2B + c \ text { os } 2C \ ge – \ frac { 3 } { 2 } USD, đpcm

Ví dụ 3: Cho bốn số thực $ {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{1}},{{b}_{2}}$ tùy ý. Chứng minh:

USD \ sqrt { { { a } _ { 1 } } ^ { 2 } + { { a } _ { 2 } } ^ { 2 } } + \ sqrt { { { b } _ { 1 } } ^ { 2 } + { { b } _ { 2 } } ^ { 2 } } \ ge \ sqrt { { { ( { { a } _ { 1 } } + { { b } _ { 1 } } ) } ^ { 2 } } + { { ( { { a } _ { 2 } } + { { b } _ { 2 } } ) } ^ { 2 } } } USDGiảiXét những vectơ : USD \ overrightarrow { u } = ( { { a } _ { 1 } }, { { a } _ { 2 } } ) USD, USD \ overrightarrow { v } = ( { { b } _ { 1 } }, { { b } _ { 2 } } ) USD ⇒ USD \ overrightarrow { u } + \ overrightarrow { v } = ( { { a } _ { 1 } } + { { b } _ { 1 } }, { { a } _ { 2 } } + { { b } _ { 2 } } ) USDÁp dụng : USD \ left | \ overrightarrow { u } \ right | + \ left | \ overrightarrow { v } \ right | \ ge \ left | \ overrightarrow { u } + \ overrightarrow { v } \ right | USD ⇒ USD \ sqrt { { { a } _ { 1 } } ^ { 2 } + { { a } _ { 2 } } ^ { 2 } } + \ sqrt { { { b } _ { 1 } } ^ { 2 } + { { b } _ { 2 } } ^ { 2 } } \ ge \ sqrt { { { ( { { a } _ { 1 } } + { { b } _ { 1 } } ) } ^ { 2 } } + { { ( { { a } _ { 2 } } + { { b } _ { 2 } } ) } ^ { 2 } } } USDĐẳng thức xảy ra khi USD \ overrightarrow { u }, \ overrightarrow { v } USD cùng hướng ⇔ USD { { a } _ { 1 } }. { { b } _ { 2 } } = { { a } _ { 2 } }. { { b } _ { 1 } } USD

Ví dụ 4: Cho 6 số thực a, b, c, d, x, y, z thỏa mãn: a + b + c = 2; ax + by + cz = 6

Chứng minh rằng : USD \ sqrt { 16 { { a } ^ { 2 } } + { { a } ^ { 2 } } { { x } ^ { 2 } } } + \ sqrt { 16 { { b } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } { { y } ^ { 2 } } } + \ sqrt { 16 { { c } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } { { z } ^ { 2 } } } \ ge 10 USDHD : Đặt USD \ overrightarrow { u } = ( 4 a, \ text { ax } ) ; \ overrightarrow { v } = ( 4 b, by ) ; \ overrightarrow { \ text { w } } = ( 4 c ; cz ) USD

5.3 BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Cho ΔABC, CMR : USD \ sin \ frac { A } { 2 } + \ sin \ frac { B } { 2 } + \ sin \ frac { C } { 2 } \ le \ frac { 3 } { 2 } USD .2. CMR :a. USD \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ { n } { c \ text { os } \ frac { 2 ( i-1 ) \ pi } { n } = 0 } USDb. USD \ sum \ limits_ { i = 1 } ^ { n } { \ sin \ frac { 2 ( i-1 ) \ pi } { n } } = 0 USD3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : USD f = x + \ sqrt { 2 – { { x } ^ { 2 } } } + x. \ sqrt { 2 – { { x } ^ { 2 } } } USD4. Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1Chứng minh rằng : USD \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + \ frac { 1 } { { { x } ^ { 2 } } } } + \ sqrt { { { y } ^ { 2 } } + \ frac { 1 } { { { y } ^ { 2 } } } } + \ sqrt { { { z } ^ { 2 } } + \ frac { 1 } { { { z } ^ { 2 } } } } \ ge \ sqrt { 82 } USD5. ( Đại học khối B 2006 ). Cho x, y là những số thực đổi khác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :USD A = \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } – 2 x + 1 } + \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } + 2 x + 1 } + \ left | y-2 \ right | USD6. Cho ba số thực x, y, z tùy ý. Chứng minh :USD \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + xy + { { y } ^ { 2 } } } + \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + xz + { { z } ^ { 2 } } } \ ge \ sqrt { { { y } ^ { 2 } } + yz + { { z } ^ { 2 } } } USD7. ( Dự bị ĐH 2005 ) Cho x, y, z là ba số thực thỏa x + y + z = 0Chứng minh rằng : USD \ sqrt { 3 + { { 4 } ^ { x } } } + \ sqrt { 3 + { { 4 } ^ { y } } } + \ sqrt { 3 + { { 4 } ^ { z } } } \ ge 6 USD8. Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có :USD \ sqrt { 9 + { { \ tan } ^ { 4 } } A } + \ sqrt { 9 + { { \ tan } ^ { 4 } } B } + \ sqrt { 9 + { { \ tan } ^ { 4 } } C } \ ge 9 \ sqrt { 2 } USD9. Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có :USD \ sqrt { 4 { { \ cos } ^ { 2 } } x. c \ text { o } { { \ text { s } } ^ { 2 } } y + { { \ sin } ^ { 2 } } ( x-y ) } + \ sqrt { 4 { { \ sin } ^ { 2 } } x. { { \ sin } ^ { 2 } } y + c \ text { o } { { \ text { s } } ^ { 2 } } ( x-y ) } \ ge 2 USDVới x, y là hai số thực bất kỳ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :USD S = \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 4 } + \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 2 xy + { { y } ^ { 2 } } + 1 } + \ sqrt { { { y } ^ { 2 } } – 6 y + 10 } USD10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :USD \ displaystyle y = \ sqrt { co { { s } ^ { 2 } } x-2cosx+3 } + \ sqrt { co { { s } ^ { 2 } } x + 4 cosx + 8 } USD11. Cho USD x USD, USD y USD, USD z USD là những số thực đôi một khác nhau. Chứng minh :USD \ frac { \ left | x-y \ right | } { \ sqrt { 1 + { { x } ^ { 2 } } }. \ sqrt { 1 + { { y } ^ { 2 } } } } + \ frac { \ left | y-z \ right | } { \ sqrt { 1 + { { y } ^ { 2 } } }. \ sqrt { 1 + { { z } ^ { 2 } } } } USD > USD \ frac { \ left | x-z \ right | } { \ sqrt { 1 + { { x } ^ { 2 } } }. \ sqrt { 1 + { { z } ^ { 2 } } } } USD12. Chứng minh rằng ∀ a, b, c ta luôn có :a. USD \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } – 2 a – 12 b + 37 } + \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + 6 a – 6 b + 18 } \ ge 5 USDb. USD \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } + 4 } + \ sqrt { { { a } ^ { 2 } } – 2 a + { { b } ^ { 2 } } + 1 } + \ sqrt { { { b } ^ { 2 } } – 6 b + 10 } \ ge 5 USD13. Cho những số thực a, b, c, m, n thỏa hệ thức USD ma + nb = c USD với USD { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } USD > 0Chứng minh rằng :USD { { ( m-2 ) } ^ { 2 } } + { { ( n + 1 ) } ^ { 2 } } \ ge \ frac { { { ( 2 a – b-c ) } ^ { 2 } } } { { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } } USD

6. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ

6.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Cho USD \ displaystyle \ overrightarrow { a } = ( { { x } _ { 1 } } ; { { y } _ { 1 } } ) USD ; USD \ displaystyle \ overrightarrow { b } = ( { { x } _ { 2 } } ; { { y } _ { 2 } } ) USD⇒ USD \ displaystyle \ left | \ overrightarrow { a } \ right | = \ sqrt { x_ { 1 } ^ { 2 } + y_ { 1 } ^ { 2 } } USD và USD \ displaystyle \ overrightarrow { a }. \ overrightarrow { b } = { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } + { { y } _ { 2 } } { { y } _ { 2 } } USD

Một số kiến thức thường dùng:
$ \displaystyle \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|$  (1)

USD \ displaystyle \ left | \ overrightarrow { a } \ right | + \ left | \ overrightarrow { b } \ right | \ ge \ left | \ overrightarrow { a } \ right | + \ left | \ overrightarrow { b } \ right | USD ( 2 )USD \ displaystyle \ left | \ overrightarrow { a } + \ overrightarrow { b } \ right | \ ge \ left | \ overrightarrow { a } \ right | – \ left | \ overrightarrow { b } \ right | USD ( 3 )( 1 ), ( 2 ) xảy ra khi USD \ displaystyle \ overrightarrow { a } USD và USD \ displaystyle \ overrightarrow { b } USD cùng hướng( 3 ) xảy ra khi USD \ displaystyle \ overrightarrow { b } = 0 USD hoặc USD \ displaystyle \ overrightarrow { a } USD và USD \ displaystyle \ overrightarrow { b } USD ngược hướng .

6.2 BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Giải phương trình: $ \displaystyle \sqrt{x_{{}}^{2}-2x+5}+\sqrt{x_{{}}^{2}+2x+10}=29$

GiảiXét USD \ displaystyle \ overrightarrow { u } = ( 1 – x ; 2 ) USD ; USD \ displaystyle \ overrightarrow { v } = ( 1 + x ; 3 ) USDTa có :USD \ displaystyle \ left | \ overrightarrow { u } \ right | = \ sqrt { ( 1 – x ) _ { { } } ^ { 2 } + 2 _ { { } } ^ { 2 } } = \ sqrt { x_ { { } } ^ { 2 } – 2 x + 5 } USDUSD \ displaystyle \ left | \ overrightarrow { v } \ right | = \ sqrt { ( 1 + x ) _ { { } } ^ { 2 } + 3 _ { { } } ^ { 2 } } = \ sqrt { x_ { { } } ^ { 2 } + 2 x + 10 } USDTa có : USD \ displaystyle \ overrightarrow { u } + \ overrightarrow { v } \ ge \ left | \ overrightarrow { u } + \ overrightarrow { v } \ right | USD ⇔ VT ≥ VPĐẳng thức xảy ra ⇔ USD \ displaystyle \ overrightarrow { u } USD, USD \ displaystyle \ overrightarrow { v } USD cùng hướngUSD \ displaystyle \ frac { 1 – x } { 2 } = \ frac { 1 + x } { 3 } USD ⇔ USD \ displaystyle x = \ frac { 1 } { 5 } USD

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình có nghiệm $ \displaystyle \sqrt{x_{{}}^{2}+x+1}-\sqrt{x_{{}}^{2}-x+1}=m$.

GiảiXét những vectơ : USD \ displaystyle \ overrightarrow { u } = \ left ( \ frac { 1 } { 2 } + x ; – \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } \ right ) USD ; USD \ displaystyle \ overrightarrow { v } = \ left ( \ frac { 1 } { 2 } – x ; \ frac { \ sqrt { 3 } } { 2 } \ right ) USDTa có : USD \ displaystyle \ overrightarrow { u } + \ overrightarrow { v } USD = ( 1 ; 0 ) ⇒ USD \ displaystyle \ left | \ overrightarrow { u } + \ overrightarrow { v } \ right | USD = 1Đẳng thức xảy ra khi USD \ displaystyle \ overrightarrow { u } = \ overrightarrow { 0 } USD hoặc USD \ displaystyle \ overrightarrow { v } = \ overrightarrow { 0 } USD hoặc USD \ displaystyle \ overrightarrow { u } USD, USD \ displaystyle \ overrightarrow { v } USD ngược hướng .Mà USD \ displaystyle \ overrightarrow { u } USD, USD \ displaystyle \ overrightarrow { v } USD # USD \ displaystyle \ overrightarrow { 0 } USD ( vì USD \ displaystyle { { y } _ { \ overrightarrow { u } } } USD và USD \ displaystyle { { y } _ { \ overrightarrow { v } } } USD USD \ displaystyle \ ne USD 0 )Nếu USD \ displaystyle \ overrightarrow { u } USD, USD \ displaystyle \ overrightarrow { v } USD ngược hướng ( VL )⇒ USD \ displaystyle \ left | m \ right | \ ne 1 USDVậy phương trình có nghiệm khi m ∈ ( – 1 ; 1 ) .

7.3  BÀI TẬP TỰ GIẢI

Giải những phương trình sau :1. USD \ displaystyle \ sqrt { 10-3 x – x_ { { } } ^ { 2 } } + \ sqrt { 18-7 x – x_ { { } } ^ { 2 } } = \ sqrt { 77 } USD2. USD \ displaystyle \ sqrt { x_ { { } } ^ { 2 } + 2 x } + \ sqrt { 2 x – 1 } \ ge \ sqrt { 3 x_ { { } } ^ { 2 } + 4 x + 1 } USDGiải hệ phương trình :USD \ left \ { \ begin { array } { l } { { x } ^ { 1996 } } + { { y } ^ { 1996 } } + { { z } ^ { 1996 } } = 3 \ \ { { x } ^ { 1997 } } + { { y } ^ { 1997 } } + { { z } ^ { 1997 } } = 3 \ \ { { x } ^ { 1998 } } + { { y } ^ { 1998 } } + { { z } ^ { 1998 } } = 3 \ end { array } \ right. USDa. Ta có :USD \ overrightarrow { MA }. \ overrightarrow { BC } + \ overrightarrow { MB }. \ overrightarrow { CA } + \ overrightarrow { MC }. \ overrightarrow { AB } = \ overrightarrow { MA }. ( \ overrightarrow { MC } – \ overrightarrow { MB } ) + \ overrightarrow { MB }. ( \ overrightarrow { MA } – \ overrightarrow { MC } ) + \ overrightarrow { MC }. ( \ overrightarrow { MB } – \ overrightarrow { MA } ) = 0 USDb. Ta có :USD M { { A } ^ { 2 } } = { { \ overrightarrow { MA } } ^ { 2 } } = { { ( \ overrightarrow { MG } + \ overrightarrow { GA } ) } ^ { 2 } } = M { { G } ^ { 2 } } + G { { A } ^ { 2 } } + 2 \ overrightarrow { MG }. \ overrightarrow { GA } USDUSD M { { B } ^ { 2 } } = { { \ overrightarrow { MB } } ^ { 2 } } = { { ( \ overrightarrow { MG } + \ overrightarrow { GB } ) } ^ { 2 } } = M { { G } ^ { 2 } } + G { { B } ^ { 2 } } + 2 \ overrightarrow { MG }. \ overrightarrow { GB } USDUSD M { { C } ^ { 2 } } = { { \ overrightarrow { MC } } ^ { 2 } } = { { ( \ overrightarrow { MG } + \ overrightarrow { GC } ) } ^ { 2 } } = M { { G } ^ { 2 } } + G { { C } ^ { 2 } } + 2 \ overrightarrow { MG }. \ overrightarrow { GC } USDCộng vế theo vế ta được :USD M { { A } ^ { 2 } } + M { { B } ^ { 2 } } + M { { C } ^ { 2 } } = 3M { { G } ^ { 2 } } + G { { A } ^ { 2 } } + G { { C } ^ { 2 } } + \ overrightarrow { MG }. ( \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { GC } ) USD= USD 3M { { G } ^ { 2 } } + G { { A } ^ { 2 } } + G { { B } ^ { 2 } } + G { { C } ^ { 2 } } USD ( vì USD \ overrightarrow { GA } + \ overrightarrow { GB } + \ overrightarrow { GC } = \ overrightarrow { 0 } USD )Từ đó suy ra USD \ displaystyle M { { A } ^ { 2 } } + M { { B } ^ { 2 } } + M { { C } ^ { 2 } } USD đạt giá trị nhỏ nhất khi USD M { { G } ^ { 2 } } = 0 \ Leftrightarrow M \ equiv I USD

Ví dụ 2:  Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ‎ý.

a. CMR : USD M { { A } ^ { 2 } } – M { { B } ^ { 2 } } + M { { C } ^ { 2 } } = M { { \ text { D } } ^ { 2 } } – 2 ( O { { B } ^ { 2 } } – O { { A } ^ { 2 } } ) USDb. Giả sử M di động trên đường tròn ( d ), xác lập vị trí của M để USD M { { A } ^ { 2 } } – M { { B } ^ { 2 } } + M { { C } ^ { 2 } } USD đạt giá trị nhỏ nhất .Giảia. Ta có :USD \ left \ { \ begin { matrix } \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MC } = 2 \ overrightarrow { MO } \ \ \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MD } = 2 \ overrightarrow { MO } \ \ \ end { matrix } \ right. USD⇒ USD { { ( \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MC } ) } ^ { 2 } } = { { ( \ overrightarrow { MB } + \ overrightarrow { MD } ) } ^ { 2 } } USD⇔ USD M { { A } ^ { 2 } } – M { { B } ^ { 2 } } + M { { C } ^ { 2 } } – M { { \ text { D } } ^ { 2 } } + 2 ( \ overrightarrow { MA }. \ overrightarrow { MC } – \ overrightarrow { MB }. \ overrightarrow { MD } ) = 0 USD ( 1 )Ta xét :USD \ overrightarrow { MA }. \ overrightarrow { MC } – \ overrightarrow { MB }. \ overrightarrow { MD } = ( \ overrightarrow { OA } – \ overrightarrow { OM } ). ( \ overrightarrow { OC } – \ overrightarrow { OM } ) – ( \ overrightarrow { OB } – \ overrightarrow { OM } ). ( \ overrightarrow { OD } – \ overrightarrow { OM } ) USD= USD – ( \ overrightarrow { OA } – \ overrightarrow { OM } ). ( \ overrightarrow { OA } + \ overrightarrow { OM } ) + ( \ overrightarrow { OB } – \ overrightarrow { OM } ). ( \ overrightarrow { OB } + \ overrightarrow { OM } ) USD= USD – O { { A } ^ { 2 } } + O { { M } ^ { 2 } } + O { { B } ^ { 2 } } – O { { M } ^ { 2 } } = O { { B } ^ { 2 } } – O { { A } ^ { 2 } } USD ( 2 )Thay ( 2 ) vào ( 1 ), ta được :USD M { { A } ^ { 2 } } – M { { B } ^ { 2 } } + M { { C } ^ { 2 } } – M { { D } ^ { 2 } } + 2 ( O { { B } ^ { 2 } } – O { { A } ^ { 2 } } ) = 0 USD⇔ USD M { { A } ^ { 2 } } – M { { B } ^ { 2 } } + M { { C } ^ { 2 } } = M { { D } ^ { 2 } } – 2 ( O { { B } ^ { 2 } } – O { { A } ^ { 2 } } ) USD, đpcm .b. Từ tác dụng câu a ) suy ra USD M { { A } ^ { 2 } } – M { { B } ^ { 2 } } + M { { C } ^ { 2 } } USD đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi USD M { { \ text { D } } ^ { 2 } } USD nhỏ nhất⇔ M là hình chiếu vuông góc của D lên ( d ) .

7.3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

1. Cho ΔABC đều cạnh bằng 6, M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ABC. Đặt USD S = M { { A } ^ { 2 } } – M { { B } ^ { 2 } } – M { { C } ^ { 2 } } USD .a. Tìm giá trị nhỏ nhất của S .b. Tìm giá trị lớn nhất của S .2. Cho ΔABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ‎ ý .a. CMR : vevtơ USD \ displaystyle \ overrightarrow { v } = \ overrightarrow { MA } + \ overrightarrow { MB } – 2 \ overrightarrow { MC } USD, không phụ thuộc vào vào vị trí của M .b. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC, chứng tỏ rằng :USD M { { A } ^ { 2 } } + M { { B } ^ { 2 } } – 2M { { C } ^ { 2 } } = 2 \ overrightarrow { MO }. \ overrightarrow { v } USDc. Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn nhu cầu USD M { { A } ^ { 2 } } + M { { B } ^ { 2 } } – 2M { { C } ^ { 2 } } USD = 0 .Giả sử M di động trên đường tròn ngoại tiếp ΔABC, tìm vị trí của M để USD M { { A } ^ { 2 } } + M { { B } ^ { 2 } } – 2M { { C } ^ { 2 } } USD đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

BÀI ĐỌC THÊM

Khai thác hệ thức Jacobi

Cho tam giác ABC cạnh BC = a, AC = b, AB = c, điểm M nằm trong tam giác. Đặt :USD x = \ frac { { { S } _ { \ Delta MBC } } } { { { S } _ { \ Delta ABC } } } USD ; USD y = \ frac { { { S } _ { \ Delta MAC } } } { { { S } _ { \ Delta ABC } } } USD ; USD z = \ frac { { { S } _ { \ Delta MBA } } } { { { S } _ { \ Delta ABC } } } USDTa có x + y + z = 1 và : USD x \ overrightarrow { MA } + y \ overrightarrow { MB } + z \ overrightarrow { MC } = \ overrightarrow { 0 } USDĐây là một hệ thức quen thuộc và đương nhiên việc chứng tỏ không có gì khó khăn vất vả. Tuy nhiên từ đây ta thu được rất nhiều bất đẳng thức trong tam giác khi cho M là những điểm đặc biệt quan trọng cũng như khi xét những mối quan hệ giữa điểm đặt biệt đó. Trước hết cho O là một điểm bất kể trong mặt phẳng ta có 🙁 1 ) ⇔ USD x ( \ overrightarrow { MO } + \ overrightarrow { OA } ) + y ( \ overrightarrow { MO } + \ overrightarrow { OB } ) + z ( \ overrightarrow { MO } + \ overrightarrow { OC } = \ overrightarrow { 0 } USD⇔ USD ( x + y + z ) \ overrightarrow { OM } = x \ overrightarrow { OA } + y \ overrightarrow { OB } + z \ overrightarrow { OC } USD⇔ USD { { ( x + y + z ) } ^ { 2 } }. O { { M } ^ { 2 } } = { { x } ^ { 2 } }. O { { A } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } }. O { { B } ^ { 2 } } + { { z } ^ { 2 } }. O { { C } ^ { 2 } } + 2 xy \ overrightarrow { OA }. \ overrightarrow { OB } + 2 yz \ overrightarrow { OB }. \ overrightarrow { OC } + 2 xz \ overrightarrow { OC }. \ overrightarrow { OA } USD⇔ USD { { ( x + y + z ) } ^ { 2 } }. O { { M } ^ { 2 } } = { { x } ^ { 2 } }. O { { A } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } }. O { { B } ^ { 2 } } + { { z } ^ { 2 } }. O { { C } ^ { 2 } } + xy ( O { { A } ^ { 2 } } + O { { B } ^ { 2 } } – { { c } ^ { 2 } } ) + yz ( O { { B } ^ { 2 } } + O { { C } ^ { 2 } } – { { a } ^ { 2 } } ) + xz ( O { { A } ^ { 2 } } + O { { C } ^ { 2 } } – { { b } ^ { 2 } } ) USD⇔ USD { { ( x + y + z ) } ^ { 2 } }. O { { M } ^ { 2 } } = ( x + y + z ) ( xO { { A } ^ { 2 } } + yO { { B } ^ { 2 } } + zO { { C } ^ { 2 } } ) – ( xy { { c } ^ { 2 } } + yz { { a } ^ { 2 } } + xz { { b } ^ { 2 } } ) USD⇔ USD O { { M } ^ { 2 } } = ( xO { { A } ^ { 2 } } + yO { { B } ^ { 2 } } + zO { { C } ^ { 2 } } ) – ( xy { { c } ^ { 2 } } + yz { { a } ^ { 2 } } + xz { { b } ^ { 2 } } ) USD ( 2 )1 ) Chọn ( O ; R ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Hệ thức ( 2 ) trở thànhUSD O { { M } ^ { 2 } } = { { R } ^ { 2 } } – ( xy { { c } ^ { 2 } } + yz { { a } ^ { 2 } } + xz { { b } ^ { 2 } } ) USD ( 3 )Cho M lần lượt là những điểm đặt biệt trong tam giác, ta có những bài toán sau :

Bài toán 1 : Cho tam giác ABC. Chứng minh: $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le 9{{R}^{2}}$

Lời giải : Khi M trùng G, ta có USD x = y = z = \ frac { 1 } { 3 } USD nên USD O { { G } ^ { 2 } } = { { R } ^ { 2 } } – \ frac { { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } } { 9 } USDSuy ra điều phải chứng tỏ

Bài toán 2:Chứng minh:

a. USD { { R } ^ { 2 } } \ ge \ frac { abc } { a + b + c } USDb. USD { { R } ^ { 2 } } \ ge 2R USDLời giải : Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCa ) Khi M trùng I ta có :

$ x=\frac{a}{a+b+c};y=\frac{b}{a+b+c};z=\frac{c}{a+b+c}$

Thay vào ( 3 ) ta có : USD O { { I } ^ { 2 } } = { { R } ^ { 2 } } – \ frac { abc } { a + b + c } \ ge 0 USDb ) USD O { { I } ^ { 2 } } = { { R } ^ { 2 } } – \ frac { 4RS } { 2 p } = { { R } ^ { 2 } } – 2R r USD. Suy ra điều phải chứng tỏ. Toán lớp 10 – Tags: đại số, giải tích, hình học, vectơ

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments