Đại số sơ cấp – Hoàng Huy Sơn.pdf (Đại số sơ cấp) | Tải miễn phí

Đại số sơ cấp – Hoàng Huy Sơn

pdf

Số trang Đại số sơ cấp - Hoàng Huy Sơn
43
Cỡ tệp Đại số sơ cấp - Hoàng Huy Sơn
545 KB
Lượt tải Đại số sơ cấp - Hoàng Huy Sơn
1
Lượt đọc Đại số sơ cấp - Hoàng Huy Sơn
31
Đánh giá Đại số sơ cấp - Hoàng Huy Sơn

4.3 (
16 lượt)

43545 KB

Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu

Đang xem trước 10 trên tổng 43 trang, để tải xuống xem rất đầy đủ hãy nhấn vào bên trên

Chủ đề tương quan

Tài liệu tương tự

Nội dung

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG
KHOA SƯ PHẠM

HOÀNG HUY SƠN

ĐẠI SỐ SƠ CẤP

AN GIANG, THÁNG 02 NĂM 2009
1

LỜI NÓI ĐẦU
Tài liệu “Đại số sơ cấp” được viết nhằm phục vụ sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán.
Nội dung của tài liệu đề cập đến các vấn đề: Hàm số và đồ thị; Phương trình và hệ phương
trình; Bất đẳng thức và bất phương trình.
Một số nội dung đề cập trong tài liệu, sinh viên đã được học sơ lược trong chương trình
Toán phổ thông. Tuy nhiên, để trở thành thầy giáo dạy tốt môn Toán khi ra trường, đòi hỏi
sinh viên phải nắm vững lý thuyết và hoàn thiện các phương pháp giải toán sơ cấp.
Xuất phát từ yêu cầu trên, chúng tôi cố gắng trình bày tương đối có hệ thống về cơ sở lý
thuyết của các khái niệm: Hàm số; Phương trình; Bất đẳng thức; Bất phương trình; Hệ phương
trình. Các nội dung chiếm một phần quan trọng trong chương trình Toán phổ thông như:
Phương trình, bất phương trình vô tỉ; Phương trình, bất phương trình mũ và logarit; Phương
trình lượng giác, chúng tôi trình bày thành các chương riêng để sinh viên dễ nghiên cứu.
Tài liệu được trình bày thành 6 chương:
1. Chương 1: Hàm số;
2. Chương 2: Phương trình – Hệ phương trình;
3. Chương 3: Bất đẳng thức – Bất phương trình;
4. Chương 4: Phương trình, bất phương trình vô tỉ;
5. Chương 5: Phương trình, bất phương trình mũ và logarit;
6. Chương 6: Phương trình lượng giác.
Một yêu cầu hết sức quan trọng trong giải toán là: Việc trình bày bài giải phải chặt chẽ và
logic. Để rèn cho sinh viên những kỹ năng đó, chúng tôi cố gắng đưa vào tài liệu nhiều ví dụ
về thực hành giải toán. Các ví dụ chiếm một khối lượng đáng kể trong tài liệu, giúp sinh viên
có thể tự nghiên cứu tài liệu trước khi đến lớp. Điều này phù hợp với phương thức đào tạo
theo hệ thống tín chỉ ở trường Đại học An Giang từ năm học 2009 – 2010.
Cuối mỗi chương có hệ thống bài tập đã được lựa chọn, nhiều về số lượng, đủ các mức
độ từ dễ đến khó (đối với một số bài khó, chúng tôi có hướng dẫn cách giải), yêu cầu sinh viên
tự giải để rèn kỹ năng tìm lời giải một bài toán. Với khối lượng quy định là 5 đơn vị học trình,
tài liệu không thể đề cập hết tất cả các dạng toán hay gặp của các nội dung về phương trình,
bất phương trình và hệ phương trình như một số tài liệu khác. Chúng tôi mong muốn ở sinh
viên là tự tổng kết và đúc rút cho mình những kỹ năng giải toán thông qua tự giải các bài tập
trong tài liệu.
Cuối cùng, chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp quí báu cho nội dung cũng
như hình thức trình bày trong tài liệu của các bạn đồng nghiệp trong Bộ môn Toán và Hội
đồng Khoa học Khoa Sư phạm cũng như các bạn sinh viên để tài liệu này có thể được hoàn
chỉnh tốt hơn.
An Giang, tháng 02 năm 2009
Tác giả

2

MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU
1
BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU
4
CHƯƠNG I. HÀM SỐ
5
§1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ
5
1. Định nghĩa hàm số
5
2. Đồ thị của hàm số
6
3. Hàm số đơn điệu
6
4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
8
5. Hàm số tuần hoàn
9
6. Hàm số hợp
10
7. Hàm số ngược
11
8. Hàm số sơ cấp cơ bản
13
§2. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
18
1. Trục đối xứng, tâm đối xứng của đồ thị
18
2. Phép đối xứng qua trục tọa độ
21
3. Phép tịnh tiến song song trục tung
21
4. Phép tịnh tiến song song trục hoành
21
5. Một số ví dụ
22
6. Đồ thị của một số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
23
§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
28
1. Định nghĩa
28
2. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
28
3. Một số ví dụ
29
BÀI TẬP CHƯƠNG I
37
CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
42
§1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
42
1. Phương trình
42
2. Hệ phương trình – Tuyển phương trình
45
§2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN
46
1. Phương trình bậc nhất một ẩn
46
2. Phương trình bậc hai một ẩn
50
3. Một số phương trình bậc bốn có thể đưa về phương trình bậc hai một ẩn
55
§3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
59
1. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
59
2. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
61
3. Hệ phương trình đối xứng
63
4. Giải một số hệ khác
71
BÀI TẬP CHƯƠNG II
78
CHƯƠNG III. BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
85
§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
85
1. Định nghĩa
85
2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
85
3. Một số bất đẳng thức quan trọng
86
4. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
86
§2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
96
1. Định nghĩa
96
2. Sự tương đương của các bất phương trình
97
3. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất vào việc giải phương trình và bất
3

phương trình
§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN
1. Bất phương trình bậc nhất một ẩn
2. Bất phương trình bậc hai một ẩn
BÀI TẬP CHƯƠNG III
CHƯƠNG IV. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
§1. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1. Định nghĩa và các định lý
2. Các phương pháp giải phương trình vô tỉ
§2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1. Định nghĩa và các định lý
2. Các phương pháp giải bất phương trình vô tỉ
BÀI TẬP CHƯƠNG IV
CHƯƠNG V. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
§1. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM LOGARIT
1. Định nghĩa
2. Các tính chất của logarit
§2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Định nghĩa
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
3. Một số phương pháp giải bất phương trình mũ
§3. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Định nghĩa
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
3. Một số phương pháp giải bất phương trình logarit
BÀI TẬP CHƯƠNG V
CHƯƠNG VI. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§1. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng
2. Công thức nhân
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
§2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sin x = a
2. Phương trình cos x = a
3. Phương trình tan x = a
4. Phương trình cot x = a
§3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác
2. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đố i với sin x và cos x
4. Phương trình đố i xứng đố i với sin x và cos x
§4. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
1. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba
2. Dạng phân thức
3. Dạng chứa tan x và cot x
4. Một số phương trình giải bằng phương pháp đặc biệt
5. Một số phương trình chứa tham số
BÀI TẬP CHƯƠNG VI
TÀI LIỆU THAM KHẢO
4

97
98
98
101
111
116
116
116
117
132
132
133
140
146
146
146
146
147
147
147
158
166
166
166
177
184
192
192
192
192
193
193
194
194
195
195
195
196
196
197
198
200
202
202
208
209
213
214
217
220

BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG
TRONG TÀI LIỆU
ℕ : Tập hợp các số tự nhiên: {0;1; 2;…}.
ℤ : Tập hợp các số nguyên: {…; −2; −1; 0;1; 2;…}.

a

ℚ : Tập hợp các số hữu tỉ:  / a, b ∈ ℤ, b ≠ 0  .
b

ℝ : Tập hợp các số thực.

ℝ* : Tập hợp các số thực khác không.
ℝ + : Tập hợp các số thực dương.
n

∑ : Phép lấy tổng từ 1 đến n.
1

{… / …} : Tập hợp.
T f : Tập (miền) giá trị của hàm số f .

Max f ( x) : Giá trị lớn nhất của hàm số f trên tập D.
x∈D

Min f ( x) : Giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên tập D.
x∈D

∈: Thuộc.
⊆, ⊂: Tập con.
∅ : Tập hợp rỗng.
∀ : Mọi.

≠: Khác.

\: Hiệu của hai tập hợp.
∪ : Hợp của hai tập hợp.
∩ : Giao của hai tập hợp.
n

∪ : Phép lấy hợp từ 1 đến n.
1
n

∩ : Phép lấy giao từ 1 đến n.
1

∨ : Hoặc (tuyển của hai mệnh đề).
⇒: Phép kéo theo, phương trình hệ quả.
⇔: Phép tương đương (khi và chỉ khi), phương trình tương đương.
Đpcm: Kết thúc chứng minh, điều phải chứng minh.

5

CHƯƠNG I.

HÀM SỐ
§1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ

1. Định nghĩa

Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. Nếu có một quy tắc f cho tương ứng mỗ i x ∈ X
với một và chỉ một y ∈ Y thì ta nói rằng f là một hàm từ X vào Y, kí hiệu
f : X →Y
x ֏ y = f ( x)
Nếu X, Y là các tập hợp số thì f được gọi là một hàm số. Trong chương này chúng ta chỉ xét
các hàm số thực của các biến số thực, nghĩa là X ⊆ ℝ ; Y ⊆ ℝ.
X được gọi là tập xác định (hay là miền xác định) của hàm số f. (Người ta hay dùng kí hiệu
tập xác định của hàm số là D ).

Số thực x ∈ X được gọ i là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hay đố i số). Số thực
y = f ( x ) ∈ Y được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm x. Tập hợp tất cả các giá trị f ( x ) khi
x lấy mọ i số thực thuộc tập hợp X gọi là tập giá trị (miền giá trị) của hàm số f và được kí
hiệu là T f, (như vậy T f = { f ( x ) | x ∈ X } = f ( X )).
Hiển nhiên T f ⊆ Y. Chú ý rằng T f có thể là một tập hợp con thực sự của Y hoặc bằng
tập Y .
Trong nhiều trường hợp, người ta cho hàm số f dưới dạng x ֏ f ( x ) hoặc y = f ( x )
mà không nêu rõ tập xác định X và tập hợp Y chứa tập các giá trị của f. Khi đó, ta hiểu rằng
Y = ℝ và X là tập hợp các số thực x ∈ ℝ sao cho quy tắc đã cho thì f ( x ) tồn tại.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f ( x ) = x 2 + 1. Theo cách hiểu trên thì Y = ℝ; tập xác định của f là

D = ℝ, tập các giá trị của f là T f = { x 2 + 1| x ∈ ℝ} = [1; +∞ ) .
1
Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x ) =. Khi đó, tập xác định D = ℝ \ {0}, tập giá trị là T f = ℝ \ {0}.
x

Ví dụ 3. Cho hàm số f ( x ) = 1 − x 2 .

Tập xác định D = [ −1;1], T f = [ 0;1] .
Ví dụ 4. Tìm tập giá trị của các hàm số

x2 − x +1
a. y = f ( x ) = 2
;
x + x +1
sin x + 2cos x + 1
b. y = f ( x ) =
.
sin x + cos x + 2
Giải.

x2 − x + 1
a. y = 2
. Hàm số có tập xác định D = ℝ.
x + x +1

6

Giả sử y0 ∈ T f. Khi đó y0 =

x2 − x + 1
(1) có nghiệm đố i với x .
x2 + x +1

(1) ⇔ y0 ( x2 + x + 1) = x 2 − x + 1 ⇔ ( y0 − 1) x 2 + ( y0 + 1) x + y0 − 1 = 0 ( 2) .
Xét y0 − 1 = 0 ⇔ y0 = 1 ;

( 2 ) ⇔ 2 x = 0 ⇔ x = 0.

Vậy 1 ∈ T f .
Xét y0 − 1 ≠ 0 ⇔ y0 ≠ 1. Khi đó, (2) có nghiệm khi và chỉ khi

( y0 + 1)

2

2

− 4 ( y0 − 1) ≥ 0 ⇔ −3 y02 + 10 y0 − 3 ≥ 0 ⇔

1
≤ y0 ≤ 3.
3

1
Vậy T f = [ ;3].
3

b. Tập xác định của hàm số đã cho là D = ℝ. Cũng tương tự như câu a. y0 thuộc tập giá trị
sin x + 2 cos x + 1
của hàm số đã cho khi và chỉ khi y0 =
(1) có nghiệm đố i với x
sin x + cos x + 2

(1) ⇔ y0 ( sin x + cos x + 2 ) = sin x + 2 cos x + 1 ⇔ ( y0 − 1) sin x + ( y0 − 2 ) cos x = 1 − 2 y0 .
(1) có nghiệm khi và chỉ khi
2

( y0 − 1) + ( y0 − 2 )

2

2

≥ (1 − 2 y0 ) ⇔ y02 + y0 − 2 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ y0 ≤ 1.

Vậy T f = [ −2;1] .
Ví dụ 5. Tìm tập giá trị của hàm số y = f ( x ) = cos

2x
.
1 + x2

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.
2x
, xem t là hàm số của biến x, áp dụng phương pháp đã trình bày ở ví dụ 4.a. ta
1 + x2
2x
được với x ∈ ℝ thì t ∈ [−1;1]. Miền giá trị của hàm số y = f ( x) = cos
trên tập xác định
1 + x2
D = ℝ cũng chính là miền giá trị của hàm số y = cos t với t ∈ [−1;1]. Từ đó hàm số
2x
y = f ( x ) = cos
có tập giá trị là đoạn [ cos1;1] .
1 + x2

Đặt t =

2. Đồ thị của hàm số

Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D, ta gọi tập hợp các điểm ( x; f ( x ) ) với ∀x ∈ D
là đồ thị của hàm số y = f ( x ) .
Việc biểu diễn các điểm ( x; f ( x ) ) thuộc đồ thị của hàm số y = f ( x ) lên mặt phẳng tọa
độ Oxy gọi là vẽ đồ thị của hàm số.

Chú ý rằng một đường ( ζ ) (đường cong hoặc đường thẳng) trong mặt phẳng tọa độ chỉ
có thể là đồ thị của một hàm số nào đó, nếu nó cắt một đường thẳng cùng phương với trục Oy
tại không quá tại một điểm.
7

3. Hàm số đơn điệu
3.1. Định nghĩa. Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định là tập D, khoảng ( a; b ) là tập con của
D. Khi đó ta có

Hàm số y = f ( x ) gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng ( a; b ), nếu với
∀x1, x2 ∈ ( a; b ), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) . Hàm số y = f ( x ) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng ( a; b ), nếu với ∀x1, x2 ∈ ( a; b ), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .

Một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng ( a; b ) thì ta nói hàm số đơn điệu
trên khoảng đó.
3.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Hàm số y = x3 đồng biến trên toàn bộ tập xác định ℝ.
Ví dụ 2. Hàm số y =

3x + 1
nghịch biến trên từng khoảng xác định ( −∞; 2 ) ; ( 2; +∞ ) .
x−2

Dựa vào định nghĩa 3.1, dễ dàng chứng minh được các tính chất sau
3.3. Tính chất
3.3.1. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( a; b ), thì hàm số
y = f ( x ) + c (c là hằng số) cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( a; b ) .

3.3.2. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( a; b ), thì hàm số
y = kf ( x ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( a; b ) nếu k > 0 ; hàm số y = kf ( x ) nghịch

biến (đồng biến) trên khoảng ( a; b ) nếu k < 0. 3.3.3. Nếu hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( a; b ) thì hàm số y = f ( x ) + g ( x ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( a; b ) . 3.3.4. Nếu hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) không âm trên khoảng ( a; b ) và cùng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( a; b ), thì hàm số y = f ( x ) .g ( x ) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng ( a; b ) . Chú ý. Đồ thị của hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng ( a; b ) cắt đường thẳng cùng phương với trục Ox nhiều nhất tại một điểm. Giả sử hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( a; b ) ; hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( a; b ). Khi đó trên khoảng (a; b), đồ thị của các hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau không quá tại một điểm. Áp dụng. Tìm x thỏa mãn 5 x− 2 = 3 − x. Để ý rằng hàm số y = f ( x ) = 5 x −2 là hàm số đồng biến trên ℝ, còn hàm số y = g ( x ) = 3 − x nghịch biến trên ℝ . 8 Dễ thấy x = 2 thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy, x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. 4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ 4.1. Định nghĩa. Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định trên D. Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu với mọ i x ∈ D, ta có − x ∈ D và f ( − x ) = f ( x ) . Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu với mọ i x ∈ D, ta có − x ∈ D và f ( − x ) = − f ( x ) . 4.2. Một số ví dụ Ví dụ 1. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x ) = x + 1 − 1 − x . Tập xác định của hàm số là [ −1;1] nên dễ thấy ∀x, x ∈ [−1;1] ⇒ − x ∈ [−1;1] và f ( − x ) = 1 − x − 1 + x = − ( ) 1 + x − 1 − x = − f ( x ). Vậy f là hàm số lẻ. x2 +1 . Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x ) = x +1 Tập xác định D = ℝ \ {−1}. Ta có 1 ∈ D nhưng −1 ∉ D, nên hàm số đã cho không phải là hàm số chẵn cũng như hàm số lẻ. Ví dụ 3. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x ) = x 2 + x + 1 + x 2 − x + 1. Tập xác định D = ℝ, nên ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D. Ta có ∀x ∈ D, f ( − x ) = 2 2 (−x) + (−x) +1 + (−x) − (−x) +1 = x 2 − x + 1 + x 2 + x + 1 = f ( x ). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. Ví dụ 4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số y = f ( x ) = x 2 − 4 x. Tập xác định D = ℝ, do đó x ∈ D thì − x ∈ D. Nhưng f (1) = −3 ; f ( −1) = 5, nên f (1) ≠ ± f ( −1) . Vậy, f không phải hàm số chẵn cũng như hàm số lẻ. 4.3. Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D là hàm số chẵn và có đồ thị là ( G ). Với mỗ i điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị ( G ), ta xét điểm đố i xứng với nó qua trục tung là M ' ( − x0 ; y0 ) . Từ định nghĩa hàm số chẵn, ta có − x0 ∈ D và f ( − x0 ) = f ( x0 ). Do đó M ∈ G ⇔ y0 = f ( x0 ) ⇔ y0 = f ( − x0 ) ⇔ M ' ∈ ( G ) . Điều đó chứng tỏ ( G ) có trục đối xứng là trục tung. 9 Nếu f là hàm số lẻ thì lí luận tương tự, ta cũng được ( G ) có tâm đối xứng là gốc tọa độ O. 5. Hàm số tuần hoàn 5.1. Định nghĩa. Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số dương T sao cho với mọ i x ∈ D ta có i ) x + T ∈ D và x − T ∈ D ; ii ) f ( x ± T ) = f ( x ) . Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có các tính chất trên gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn f ( x). 5.2. Một số ví dụ Ví dụ 1. Các hàm số lượng giác y = cos x ; y = sin x là các hàm số tuần hoàn có chu kỳ T = 2π. Các hàm số lượng giác y = tan x ; y = cot x là các hàm số tuần hoàn có chu kỳ T = π. Ví dụ 2. Chứng minh các hàm số sau đây không phải là hàm số tuần hoàn y = f ( x ) = x4 + 2 x3 ; y = g ( x) = 2x − 3 ; y = h ( x) = x3 . x2 − 4 Giải. x = 0 + Xét f ( x ) = 0 ⇔ x 4 + 2 x 3 = 0 ⇔   x = −2 Nếu hàm số y = f ( x) = x 4 + 2 x 3 là hàm số tuần hoàn thì tồn tại số T > 0 sao cho
f ( 0 + T ) = f ( 0 ) = 0, suy ra T > 0 là nghiệm của f ( x), vô lý. Vậy, hàm số f ( x ) không phải
là hàm số tuần hoàn.
+ Hàm số y = g ( x ) = 2 x − 3 cũng không phải là hàm số tuần hoàn, lập luận giống như đối
với hàm số f ( x ).
x3
có tập xác định D = ℝ \ {−2; 2}. Giả sử hàm số h( x) là hàm số
x2 − 4
tuần hoàn thì tồn tại số thực dương T sao cho với ∀x ∈ D ⇒ x ± T ∈ D. Do D = ℝ \ {−2; 2} ,
+ Hàm số y = h( x) =

nên 2 + T thuộc D suy ra 2 = (2 + T ) − T ∈ D, vô lý. Vậy hàm số h( x) không phải là hàm số
tuần hoàn.
Chú ý. Chúng ta có một số dấu hiệu để nhận biết một hàm số đã cho không phải là một hàm số
tuần hoàn, chẳng hạn ta có hai dấu hiệu sau.
+ Nếu một hàm số có tập xác định dạng D = ℝ \ A, với A là một tập hợp hữu hạn thì hàm số
đó không phải là một hàm số tuần hoàn.
+ Nếu phương trình f ( x ) = k có nghiệm, nhưng số nghiệm là một số hữu hạn, thì hàm số

10

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments