Ứng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị

Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ tài liệu cách dùng đạo hàm để chứng minh một bài toán bất đẳng thức, tìm cực trị của hàm số.

Trong việc chứng tỏ bất đẳng thức hay tìm cực trị của một biểu thức, vận dụng chiêu thức dồn biến để khảo sát hàm số là một chủ đề rất được nhiều bạn học viên tham gia những kỳ thi chọn HSG và kỳ thi TSĐH, THPT – Quốc Gia quan tâm .Để hoàn toàn có thể dồn một biểu thức nhiều biến về một biến tất cả chúng ta có nhiều kỹ thuật, tuy nhiên trong nội dung của chủ đề chúng tôi chỉ ra mắt 1 số ít kỹ thuật quan trọng, thường gặp và sắp xếp theo sự phổ cập của những kỹ thuật đó gồm :

  • Vận dụng các bất đẳng thức kinh điển.
  • Kết hợp kỹ thuật đổi biến số.
  • Kết hợp kỹ thuật sắp thứ tự các biến.
  • Phương pháp tiếp tuyến.
  • Khảo sát hàm nhiều biến.
  • Kết hợp với việc sử dụng bổ đề.
  • Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển

1. Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng những bất đẳng thức tầm cỡ

Bài toán 1.  Cho các số thực $ a,b,c\in \left( 0;1 \right):abc=\left( 1-a \right)\left( 1-b \right)\left( 1-c \right)$. Chứng minh rằng $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{3}{4}$.

Phân tích.  Khai triển đẳng thức ở giả thiết cho ta:

 $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( a+b+c-1 \right)}^{2}}+1-4abc$

Để ý là : USD abc \ underset { AM-GM } { \ mathop { \ le } } \, { { \ left ( \ frac { a + b + c } { 3 } \ right ) } ^ { 3 } } USD. Từ đó ta quy việc giải bài toán bất đẳng thức về bài toán khảo sát hàm số theo biến USD t = a + b + c, \, \, t \ in \ left ( 0 ; 3 \ right ). USD

Lời giải. Ta có $ abc=1-\left( a+b+c \right)+ab+bc+ca-abc$

⇔ USD 1 – \ left ( a + b + c \ right ) + ab + bc + ca = 2 abc USD⇔ USD 1 – \ left ( a + b + c \ right ) + \ frac { { { \ left ( a + b + c \ right ) } ^ { 2 } } – \ left ( { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } \ right ) } { 2 } = 2 abc USD⇔ USD { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } = { { \ left ( a + b + c-1 \ right ) } ^ { 2 } } + 1-4 abc \ ge { { \ left ( a + b + c-1 \ right ) } ^ { 2 } } + 1 – \ frac { 4 } { 27 } { { \ left ( a + b + c \ right ) } ^ { 3 } } USDĐặt USD t = a + b + c \ Rightarrow t \ in \ left ( 0 ; 3 \ right ) USD. Xét hàm số USD F \ left ( t \ right ) = – \ frac { 4 } { 27 } { { t } ^ { 3 } } + { { t } ^ { 2 } } – 2 t + 2 USDTa có USD F ’ \ left ( t \ right ) = – \ frac { 4 } { 9 } { { t } ^ { 2 } } + 2 t – 2 = 0 USD⇒ USD \ left [ \ begin { matrix } t = \ frac { 3 } { 2 } \ \ t = 3 \, \, \ \ \ end { matrix } \ right. USDLập bảng biến thiên ta có : USD Min \, F \ left ( t \ right ) = F \ left ( \ frac { 3 } { 2 } \ right ) = \ frac { 3 } { 4 } USDVậy USD { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } \ ge \ frac { 3 } { 4 } USD. Dấu “ = ” xảy ra khi USD a = b = c = \ frac { 1 } { 2 } USD .Bài toán 2.  Cho các số thực dương $ x,y,z$ thỏa mãn $ xz+2xy+yz=4{{z}^{2}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=\frac{x}{2y+z}+\frac{y}{2x+z}+\frac{3}{2}{{\left( \frac{z}{x+y+z} \right)}^{2}}$.  

Lời giải.  Ta có

USD 4 { { z } ^ { 2 } } – \ left ( x + y \ right ) z = 2 xy \ underset { AM-GM } { \ mathop { \ le } } \, \ frac { { { \ left ( x + y \ right ) } ^ { 2 } } } { 2 } \ Rightarrow { { \ left ( \ frac { x + y } { z } \ right ) } ^ { 2 } } + 2 \ left ( \ frac { x + y } { z } \ right ) – 8 \ ge 0 \ Rightarrow \ frac { x + y } { z } \ ge 2 USDLại có :USD \ displaystyle P. \ ge \ frac { { { \ left ( x + y \ right ) } ^ { 2 } } } { { { \ left ( x + y \ right ) } ^ { 2 } } + \ left ( x + y \ right ) z } + \ frac { 3 } { 2 } { { \ left ( \ frac { z } { x + y + z } \ right ) } ^ { 2 } } = \ frac { \ left ( \ frac { x + y } { z } \ right ) } { \ left ( \ frac { x + y } { z } \ right ) + 1 } + \ frac { 3 } { 2 } { { \ left ( \ frac { 1 } { \ frac { x + y } { z } + 1 } \ right ) } ^ { 2 } } USDĐặt USD \ displaystyle \ frac { x + y } { z } = t, \, \, t \ ge 2 USD. Khảo sát hàm số USD f \ left ( t \ right ) = \ frac { t } { t + 1 } + \ frac { 3 } { 2 { { \ left ( t + 1 \ right ) } ^ { 2 } } }, \, \, t \ in \ left [ 2 ; + \ infty \ right ) USDTa tìm được USD \ underset { \ left [ 2 ; + \ infty \ right ) } { \ mathop { \ min } } \, f \ left ( t \ right ) = f \ left ( 2 \ right ) = \ frac { 5 } { 6 } USDHay USD \ min P = \ frac { 5 } { 6 } \ Leftrightarrow x = y = z USD .Bài toán 3.  Cho các số thực không âm thỏa mãn $ a+b\ge {{c}^{2}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=\left( \frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c} \right)-\frac{32c}{27\left( c+1 \right)}$ 

Lời giải.

Ta có USD \ frac { a } { a + c } + \ frac { b } { b + c } – \ frac { c } { c + 1 } = \ frac { c \ left ( a + b – { { c } ^ { 2 } } \ right ) + ab \ left ( c + 2 \ right ) } { \ left ( a + c \ right ) \ left ( b + c \ right ) \ left ( c + 1 \ right ) } \ ge 0 USD⇒ USD \ frac { a } { a + c } + \ frac { b } { b + c } \ ge \ frac { c } { c + 1 } USDDo đó USD P. \ ge { { \ left ( \ frac { c } { c + 1 } \ right ) } ^ { 4 } } – \ frac { 32 } { 27 } \ left ( \ frac { c } { c + 1 } \ right ) USD. Xét hàm số USD f \ left ( t \ right ) = { { t } ^ { 4 } } – \ frac { 32 } { 27 } t, \, \, t \ ge 0 USD có :USD \ displaystyle f ’ \ left ( t \ right ) = 4 { { t } ^ { 3 } } – \ frac { 32 } { 27 } \ Rightarrow f ’ \ left ( t \ right ) = 0 \ Leftrightarrow t = \ frac { 2 } { 3 } USDLập bảng biến thiên ta có USD f \ left ( t \ right ) \ ge – \ frac { 16 } { 27 } USDDo đó USD \ min P = – \ frac { 16 } { 27 } \ Leftrightarrow a = 0, b = 4, c = 2 USD hoặc USD b = 0, a = 4, c = 2 USD .

2. Dồn biến nhờ tích hợp với kỹ thuật đổi biến số

Bài toán 4. Cho a, b, c dương thỏa mãn : $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$ P=5\left( a+b+c \right)+\frac{3}{abc}$

Phân tích. Ta có $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( a+b+c \right)}^{2}}-3\left( ab+bc+ca \right)$ 

đồng thời USD { { \ left ( ab + bc + ca \ right ) } ^ { 2 } } \ ge 3 abc \ left ( a + b + c \ right ) USD. Do đó giữa những đại lượng USD \ left ( a + b + c \ right ), \, \ left ( ab + bc + ca \ right ), \, \, \ left ( abc \ right ) USD sống sót một mối liên hệ mà ta chăm sóc .Và để làm gọn những biểu thức ta hoàn toàn có thể sử dụng phép đổi biến số ( dạng ẩn phụ ) như giải thuật sau :

Lời giải. 

Đặt USD x = a + b + c, y = ab + bc + ca \ Rightarrow \ left \ { \ begin { matrix } x > \ sqrt { 3 }, y > 0 \ \ { { x } ^ { 2 } } = 2 y + 3 \ \ \ end { matrix } \ right. USDMặt khác ta có : USD { { \ left ( ab + bc + ca \ right ) } ^ { 2 } } \ ge 3 abc \ left ( a + b + c \ right ) \ Rightarrow \ frac { 1 } { abc } \ ge \ frac { 3 x } { { { y } ^ { 2 } } } USD .⇒ USD P. \ ge 5 x + \ frac { 9 x } { { { y } ^ { 2 } } } = 5 x + \ frac { 36 x } { { { \ left ( { { x } ^ { 2 } } – 3 \ right ) } ^ { 2 } } } USDXét hàm số USD F \ left ( x \ right ) = 5 x + \ frac { 36 x } { { { \ left ( { { x } ^ { 2 } } – 3 \ right ) } ^ { 2 } } } USD với USD x > \ sqrt { 3 } USDTa có : USD F ’ \ left ( x \ right ) = \ frac { \ left ( x-3 \ right ) \ left ( 5 { { x } ^ { 5 } } + 15 { { x } ^ { 4 } } + 27 x + 81 \ right ) } { { { \ left ( { { x } ^ { 2 } } – 3 \ right ) } ^ { 3 } } } USDVì USD x > \ sqrt { 3 } \ Rightarrow 5 { { x } ^ { 5 } } + 15 { { x } ^ { 4 } } + 27 x + 81 > 0 \ Rightarrow F ’ \ left ( x \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = 3 USD .Lập bảng biến thiên ta có : USD MinF = F \ left ( 3 \ right ) = 18 USD .Vậy USD MinP = 18 USD khi USD \ left \ { \ begin { matrix } x = 3 \ \ y = 3 \ \ \ end { matrix } \ Leftrightarrow a = b = c = 1. \ right. USDBài toán 5. (HSG Tỉnh 12 – Nghệ An 2010) . Cho các số dương a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn đồng thời các điều kiện $ \displaystyle ab+bc=2{{c}^{2}}$ và $ 2a\le c$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ P=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a}$.

Phân tích. Nhận thấy đẳng thức ở giả thiết và biểu thức P có dạng đồng bậc, do

đó ta hoàn toàn có thể nghĩ đến vận dụng cách đổi biến kiểu để dồn biểu thức babiến về biểu thức hai biến .

Lời giải. 

Đặt $ \left\{ \begin{matrix}a=x.c \\b=y.c \\\end{matrix}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}0Ta có USD P = \ frac { x } { x-y } + \ frac { y } { y-1 } + \ frac { 1 } { 1 – x } = \ frac { x \ left ( x + 1 \ right ) } { { { x } ^ { 2 } } + x-2 } + \ frac { 2 } { 1 – x } + \ frac { 1 } { 1 – x } = \ frac { { { x } ^ { 2 } } – 2 x – 6 } { { { x } ^ { 2 } } + x-2 } USDTa có USD P ’ = \ frac { 3 { { x } ^ { 2 } } + 8 x + 10 } { { { \ left ( { { x } ^ { 2 } } + x-2 \ right ) } ^ { 2 } } } > 0 \, \, \ forall x \ in \ left ( 0 ; \ frac { 1 } { 2 } \ right ] \ Rightarrow P \ left ( x \ right ) \ le P \ left ( \ frac { 1 } { 2 } \ right ) = \ frac { 27 } { 5 } USD⇒ USD MaxP = \ frac { 27 } { 5 } \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } x = \ frac { 1 } { 2 } \ \ y = \ frac { 4 } { 3 } \ \ \ end { matrix } \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } a = \ frac { 1 } { 2 } c \ \ b = \ frac { 4 } { 3 } c \ \ \ end { matrix } \ right. \ right. USD .

3. Dồn biến nhờ tích hợp với kỹ thuật sắp thứ tự những biến

Bài toán 6.  Cho $ a,b,c\ge 0$ thỏa mãn: $ a+b+c=3$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức$ P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+abc$.

Phân tích.

Ta thuận tiện nhận thấy USD P = { { \ left ( a + b \ right ) } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } + ab \ left ( c-2 \ right ) = { { \ left ( 3 – c \ right ) } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } – ab \ left ( 2 – c \ right ) USDKhi đó ta muốn dồn biểu thức USD P $ về biến USD c USD bằng nhìn nhận USD 0 \ le ab \ le { { \ left ( \ frac { a + b } { 2 } \ right ) } ^ { 2 } } = \ frac { { { \ left ( 3 – c \ right ) } ^ { 2 } } } { 4 } USD. Tuy nhiên dấu của USD \ left ( 2 – c \ right ) USD đổi khác khi USD c \ in \ left [ 0 ; 3 \ right ] USDĐể xử lý yếu tố đó, ta hoàn toàn có thể giả sửUSD c = \ min \ left \ { a, b, c \ right \ } \ Rightarrow 3 = a + b + c \ ge 3 c \ Rightarrow c \ le 1 USD

Lời giải.   

Giả sử USD c = \ min \ left \ { a, b, c \ right \ } \ Rightarrow 3 = a + b + c \ ge 3 c \ Rightarrow c \ le 1 USD .Từ giả thiết ta có : USD 0 \ le ab \ le \ frac { { { \ left ( 3 – c \ right ) } ^ { 2 } } } { 4 } USD và USD c \ in \ left [ 0 ; 1 \ right ] USD .Ta có : USD P = { { \ left ( 3 – c \ right ) } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } – ab \ left ( 2 – c \ right ) USD .Với USD \ left \ { \ begin { matrix } 0 \ le ab \ le \ frac { { { \ left ( 3 – c \ right ) } ^ { 2 } } } { 4 } \ \ 2 – c > 0 \ \ \ end { matrix } \ right. \ Rightarrow \ frac { 1 } { 4 } \ left ( { { c } ^ { 3 } } – 3 c + 18 \ right ) \ le P \ le 2 { { c } ^ { 2 } } – 6 c + 9 USD .Đặt USD f \ left ( c \ right ) = \ frac { 1 } { 4 } \ left ( { { c } ^ { 3 } } – 3 c + 18 \ right ), g \ left ( c \ right ) = 2 { { c } ^ { 2 } } – 6 c + 9 USD .Khảo sát hàm số USD f \ left ( c \ right ), g \ left ( c \ right ), c \ in \ left [ 0 ; 1 \ right ] USD .Ta có USD Min \, f \ left ( c \ right ) = 4 USD tại USD c = 1, Max \, g \ left ( c \ right ) = 9 USD tại USD c = 0 USD .Vậy USD Min \, P = 4 USD tại USD a = b = c = 1 USD ; USD Max \, P = 9 USD tại USD \ left ( 3 ; 0 ; 0 \ right ) USD và những hoán vị .

Bình luận.  Từ phân tích và lời giải bài toán trên, ta nhận thấy việc sắp thứ tự các biến phải thỏa mãn hai điều kiện:

  • Thứ nhất: Vai trò của các biến là như nhau (nghĩa là khi thay đổi vai trò của chúng thì giả thiết và kết luận của bài toán không thay đổi)
  • Thứ hai: Việc sắp thứ tự các biến phải xuất phát từ ý định giải toán nào: có thể là do việc so sánh gặp trở ngại về dấu như bài toán trên hay để dồn về một biến nào đó…

Sau đây mời các bạn cùng tham khảo một số bài toán để thấy được những mục đích khác nhau khi sắp thứ tự các biến.

Bài toán 7. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$ Q=3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)+4abc$.

Lời giải. 

Không mất tính tổng quát ta giả sử $ 0Ta có : USD a + b + c = 3 \ Rightarrow a + b = 3 – c USD và USD c \ ge 1 USD .Mặt khác USD a + b > c \ Rightarrow 3 – c > c \ Rightarrow c < \ frac { 3 } { 2 } \ Rightarrow c \ in \ left [ 1 ; \ frac { 3 } { 2 } \ right ) USD .Ta có : USD Q = 3 \ left ( { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } \ right ) + 3 { { c } ^ { 2 } } + 4 abc = 3 { { \ left ( 3 - c \ right ) } ^ { 2 } } + 3 { { c } ^ { 2 } } - 2 \ left ( 3-2 c \ right ) ab USD .Vì USD c < \ frac { 3 } { 2 } \ Rightarrow 3-2 c > 0 USD .Ta có : USD { { \ left ( \ frac { a + b } { 2 } \ right ) } ^ { 2 } } \ ge ab \ Rightarrow { { \ left ( \ frac { 3 – c } { 2 } \ right ) } ^ { 2 } } \ ge ab \ Rightarrow Q \ ge { { c } ^ { 3 } } – \ frac { 3 } { 2 } { { c } ^ { 2 } } + \ frac { 27 } { 2 } USDXét hàm số USD F \ left ( c \ right ) = { { c } ^ { 3 } } – \ frac { 3 } { 2 } { { c } ^ { 2 } } + \ frac { 27 } { 2 }, \, \, c \ in \ left [ 1 ; \ frac { 3 } { 2 } \ right ) USDTa có : USD F ’ \ left ( c \ right ) = 3 { { c } ^ { 2 } } – 3 c = 0 \ Rightarrow \ left [ \ begin { matrix } c = 0 \ \ c = 1 \ \ \ end { matrix } \ right. USD .Lập bảng biến thiên ta có : USD MinF \ left ( c \ right ) = F \ left ( 1 \ right ) = 13 USD .

Vậy $ MinQ=13$ tại $ \left( a;b;c \right)=\left( 1;1;1 \right)$.

Bài toán 8. Cho các số thực $ a,b,c$ thỏa mãn: $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=9$. Chứng minh rằng $ 2\left( a+b+c \right)\le 10+abc$.

Lời giải.

Ta có :USD \ displaystyle { { \ left ( 2 \ left ( a + b + c \ right ) – abc \ right ) } ^ { 2 } } = { { \ left ( 2 \ left ( a + b \ right ) + c \ left ( 2 – ab \ right ) \ right ) } ^ { 2 } } \ le \ left [ { { \ left ( a + b \ right ) } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } \ right ] \ left [ 4 + { { \ left ( 2 – ab \ right ) } ^ { 2 } } \ right ] USDUSD \ displaystyle = \ left ( 9 + 2 ab \ right ) \ left [ 8-4 ab + { { \ left ( ab \ right ) } ^ { 2 } } \ right ] = 2 { { t } ^ { 3 } } + { { t } ^ { 2 } } – 20 t + 72 = f \ left ( t \ right ), \, USD với USD \ displaystyle \, t = ab. USDKhông mất tính tổng quát, giả sử : USD | a | \ le | b | \ le | c | USD, ta có : USD 9 = { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } \ le 3 { { c } ^ { 2 } } \ Rightarrow { { c } ^ { 2 } } \ ge 3 USD .Lại có : USD 2 | ab | \ le { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } = 9 – { { c } ^ { 2 } } \ le 6 \ Rightarrow | t | \ le 3 USDDo đó : USD \ underset { \ left [ – 3 ; 3 \ right ] } { \ mathop { Max } } \, f \ left ( t \ right ) = Max \ left \ { f ( – 2 ) ; f ( 3 ) \ right \ } = f ( – 2 ) = 100 USD. Hay : USD { { P } ^ { 2 } } \ le 100 USD .Dấu “ = ” xảy ra ⇔ USD \ left ( a, b, c \ right ) = \ left ( – 1 ; 2 ; 2 \ right ) USD và những hoán vị của nó .

4. Phương pháp tiếp tuyến

Chú ý. Nếu đường thẳng $ y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y=f\left( x \right)$ tại điểm $ A\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)$ (A không là điểm uốn) khi đó tồn tại một khoảng $ \left( \alpha ;\,\beta \right)$ chứa điểm $ {{x}_{0}}$ sao cho $ f\left( x \right)\ge ax+b,\,\forall x\in \left( \alpha ;\beta \right)$ hoặc $ f\left( x \right)\le ax+b,\,\forall x\in \left( \alpha ;\beta \right)$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $ x={{x}_{0}}$.

Bài toán 9. Cho a, b, c dương thỏa mãn : $ a+b+c=1$.Chứng minh bất đẳng thức $ \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ca}+\frac{c}{1+ab}\ge \frac{9}{10}$ 

Lời giải. 

Ta có USD \ frac { a } { 1 + bc } \ ge \ frac { a } { 1 + \ frac { { { \ left ( b + c \ right ) } ^ { 2 } } } { 4 } } = \ frac { 4 a } { 4 + { { \ left ( 1 – a \ right ) } ^ { 2 } } } USDHoàn toàn tựa như, ta sẽ chứng tỏUSD \ frac { 4 a } { { { a } ^ { 2 } } – 2 a + 5 } + \ frac { 4 b } { { { b } ^ { 2 } } – 2 b + 5 } + \ frac { 4 c } { { { c } ^ { 2 } } – 2 c + 5 } \ ge \ frac { 9 } { 10 } USDXét hàm số USD f \ left ( x \ right ) = \ frac { 4 x } { { { x } ^ { 2 } } – 2 x + 5 } \ Rightarrow f ’ \ left ( x \ right ) = \ frac { – 4 { { x } ^ { 2 } } + 20 } { { { \ left ( { { x } ^ { 2 } } – 2 x + 5 \ right ) } ^ { 2 } } } USDPhương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ USD { { x } _ { 0 } } = \ frac { 1 } { 3 } USD là USD y = \ frac { 99 x – 3 } { 100 } USDLúc đó USD \ frac { 4 x } { { { x } ^ { 2 } } – 2 x + 5 } – \ frac { 99 x – 3 } { 100 } = \ frac { { { \ left ( 3 x – 1 \ right ) } ^ { 2 } } \ left ( 15-11 x \ right ) } { 100 \ left ( { { x } ^ { 2 } } – 2 x + 5 \ right ) } \ ge 0, \, \ forall x \ in \ left ( 0 ; 1 \ right ) USDTừ hiệu quả trên thay USD x USD bởi USD a, b, c USD ta được :USD \ frac { 4 a } { { { a } ^ { 2 } } – 2 a + 5 } + \ frac { 4 b } { { { b } ^ { 2 } } – 2 b + 5 } + \ frac { 4 c } { { { c } ^ { 2 } } – 2 c + 5 } \ ge \ frac { 99 \ left ( a + b + c \ right ) – 9 } { 100 } = \ frac { 9 } { 10 } USD ( đpcm )Bài toán 10. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh bất đẳng thức$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{9}{a+b+c}\ge 4\left( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right)$.

Lời giải.

Chuẩn hóa $ a + b + c = 1. USD Khi đó bất đẳng thức cần chứng tỏ là :USD \ left ( \ frac { 4 } { 1 – a } – \ frac { 1 } { a } \ right ) + \ left ( \ frac { 4 } { 1 – b } – \ frac { 1 } { b } \ right ) + \ left ( \ frac { 4 } { 1 – b } – \ frac { 1 } { b } \ right ) \ le 9 \, \, \ left ( * \ right ) USDXét hàm số USD f \ left ( x \ right ) = \ frac { 5 x – 1 } { x – { { x } ^ { 2 } } } USD, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ USD { { x } _ { 0 } } = \ frac { 1 } { 3 } USD là USD y = 18 x – 3 USD .Do USD a, b, c USD là ba cạnh của một tam giác nên USD \ left \ { \ begin { matrix } 1 = a + b + c \ ge 2 a \ \ \ begin { array } { l } 1 = a + b + c \ ge 2 b \ \ 1 = a + b + c \ ge 2 c \ end { array } \ \ \ end { matrix } \ right. \ Rightarrow x < \ frac { 1 } { 2 } USDSuy ra USD f \ left ( x \ right ) - \ left ( 18 x - 3 \ right ) = \ frac { { { \ left ( 3 x - 1 \ right ) } ^ { 2 } } \ left ( 2 x - 1 \ right ) } { x - { { x } ^ { 2 } } } \ ge 0, \, \ forall x \ in \ left ( 0 ; \ frac { 1 } { 2 } \ right ) USDTừ đó ta có : USD VT \ left ( * \ right ) = f \ left ( a \ right ) + f \ left ( b \ right ) + f \ left ( c \ right ) \ le 18 \ left ( a + b + c \ right ) - 9 = 9 USD ( đpcm ) .Bài toán 11. Cho $ a,b,c\ge -\frac{3}{4}$ thỏa mãn $ a+b+c=1$. Chứng minh bất đẳng thức $ \frac{a}{{{a}^{2}}+1}+\frac{b}{{{b}^{2}}+1}+\frac{c}{{{c}^{2}}+1}\le \frac{9}{10}\,\,\left( * \right)$.

Lời giải.

 Xét hàm số $ f\left( x \right)=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $ {{x}_{0}}=\frac{1}{3}$ là $ y=\frac{36x+3}{50}$.

Xét hiệu USD f \ left ( x \ right ) – \ frac { 36 x + 3 } { 50 } = – \ frac { { { \ left ( 3 x – 1 \ right ) } ^ { 2 } } \ left ( 4 x + 3 \ right ) 4 } { 50 \ left ( { { x } ^ { 2 } } + 1 \ right ) } \ le 0, \, \ forall x \ ge – \ frac { 3 } { 4 } USDDo đó USD VT \ left ( * \ right ) = f \ left ( a \ right ) + f \ left ( b \ right ) + f \ left ( c \ right ) \ le \ frac { 36 } { 50 } \ left ( a + b + c \ right ) + \ frac { 9 } { 50 } = \ frac { 9 } { 10 } USD ( đpcm ) .

5. Khảo sát hàm nhiều biến số

Bài toán 12. Cho a, b, c dương thỏa mãn : $ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=3$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}$.

Lời giải. 

Ta xét hàm số USD f \ left ( x \ right ) = \ frac { 1 } { 2 – x } – 1 – \ frac { 1 } { 2 } { { x } ^ { 2 } }, x \ in \ left ( 0 ; \ sqrt { 3 } \ right ) USDTa có : USD f ’ \ left ( x \ right ) = \ frac { 1 } { { { \ left ( 2 – x \ right ) } ^ { 2 } } } – x = 0 \ Rightarrow \ left [ \ begin { matrix } x = \ frac { 3 – \ sqrt { 5 } } { 2 } \ in \ left ( 0 ; \ sqrt { 3 } \ right ) \ \ x = 1 \ in \ left ( 0 ; \ sqrt { 3 } \ right ) \ \ x = \ frac { 3 + \ sqrt { 5 } } { 2 } \ notin \ left ( 0 ; \ sqrt { 3 } \ right ) \ \ \ end { matrix } \ right. USD .Lập bảng biến thiên ta có USD f \ left ( x \ right ) \ ge f \ left ( 1 \ right ) = – \ frac { 1 } { 2 } \ Rightarrow \ frac { 1 } { 2 – x } \ ge \ frac { 1 } { 2 } + \ frac { 1 } { 2 } { { x } ^ { 2 } } USD .Thay x bởi a, b, c vào ta được : USD P = \ frac { 1 } { 2 – a } + \ frac { 1 } { 2 – b } + \ frac { 1 } { 2 – c } \ ge \ frac { 3 } { 2 } + \ frac { 1 } { 2 } \ left ( { { a } ^ { 2 } } + { { b } ^ { 2 } } + { { c } ^ { 2 } } \ right ) = 3 USD .Vậy USD MinP = 3 USD tại USD a = b = c = 1 USD .

6. Kết hợp với việc sử dụng Bổ đề

Bài toán 13. Cho $ x,y,z\ge 0$ thoả mãn $ x+y+z>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức$ P=\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+16{{z}^{3}}}{{{\left( x+y+z \right)}^{3}}}$

Bổ đề. Trước hết ta có: $ {{x}^{3}}+{{y}^{3}}\ge \frac{{{\left( x+y \right)}^{3}}}{4}$ (chứng minh bằng cách biến đổi tương đương)

Lời giải. 

Đặt USD x + y + z = a. USD Khi đó USD 4P \ ge \ frac { { { \ left ( x + y \ right ) } ^ { 3 } } + 64 { { z } ^ { 3 } } } { { { a } ^ { 3 } } } = \ frac { { { \ left ( a-z \ right ) } ^ { 3 } } + 64 { { z } ^ { 3 } } } { { { a } ^ { 3 } } } = { { \ left ( 1 – t \ right ) } ^ { 3 } } + 64 { { t } ^ { 3 } } USD( với USD t = \ frac { z } { a } USD, USD 0 \ le t \ le 1 USD ) ;Xét hàm số USD \ displaystyle f \ left ( t \ right ) = { { \ left ( 1 \ text { } t \ right ) } ^ { 3 } } + \ text { } 64 { { t } ^ { 3 } } USD với USD t \ in \ left [ 0 ; 1 \ right ] USD .có USD f ‘ ( t ) = 3 \ left [ 64 { { t } ^ { 2 } } – { { \ left ( 1 – t \ right ) } ^ { 2 } } \ right ], f ‘ ( t ) = 0 \ Leftrightarrow t = \ frac { 1 } { 9 } \ in \ left [ 0 ; 1 \ right ] USDLập bảng biến thiên USD \ Rightarrow \ underset { t \ in \ left [ 0 ; 1 \ right ] } { \ mathop { Min \ text { f } \ left ( t \ right ) } } \, = \ frac { 64 } { 81 } \ Rightarrow USDGTNN của P. là USD \ frac { 16 } { 81 } USD đạt được khi USD x = y = 4 z > 0 USDBài toán 14. (Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005). Cho a,b,c >0.Chứng minh rằng $ \frac{{{a}^{3}}}{{{(a+b)}^{3}}}+\frac{{{b}^{3}}}{{{(b+c)}^{3}}}+\frac{{{c}^{3}}}{{{(c+a)}^{3}}}\ge \frac{3}{8}$

Lời giải :

Đặt USD \ displaystyle \ frac { b } { a } = x, \, \, \ frac { c } { b } = y, \, \, \ frac { a } { c } = z \ Rightarrow xyz = 1 USDBất đẳng thức đã cho trở thành : USD \ frac { 1 } { { { ( 1 + x ) } ^ { 3 } } } + \ frac { 1 } { { { ( 1 + y ) } ^ { 3 } } } + \ frac { 1 } { { { ( 1 + z ) } ^ { 3 } } } \ ge \ frac { 3 } { 8 } USDÁp dụng AM-GM ta có : USD \ frac { 1 } { { { \ left ( 1 + x \ right ) } ^ { 3 } } } + \ frac { 1 } { { { \ left ( 1 + x \ right ) } ^ { 3 } } } + \ frac { 1 } { 8 } \ ge 3 \ sqrt [ 3 ] { \ frac { 1 } { 8 { { ( 1 + x ) } ^ { 6 } } } } = \ frac { 3 } { 2 { { \ left ( 1 + x \ right ) } ^ { 2 } } } USDTa cần CM bất đẳng thức : USD \ frac { 1 } { { { ( 1 + x ) } ^ { 2 } } } + \ frac { 1 } { { { ( 1 + y ) } ^ { 2 } } } + \ frac { 1 } { { { ( 1 + z ) } ^ { 2 } } } \ ge \ frac { 3 } { 4 } USD

Bổ đề: $ \frac{1}{{{\left( 1+x \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1+y \right)}^{2}}}\ge \frac{1}{1+xy}\,\,\,\left( x,y>0 \right)$

Bổ đề này được CM bằng cách đổi khác tương tự đưa về BĐT hiển nhiên :USD xy { { ( x-y ) } ^ { 2 } } + { { ( 1 – xy ) } ^ { 2 } } \ ge 0 USDDo đó : USD VT \ ge \ frac { 1 } { 1 + xy } + \ frac { 1 } { { { ( 1 + z ) } ^ { 2 } } } = \ frac { z } { z + 1 } + \ frac { 1 } { { { ( 1 + z ) } ^ { 2 } } } = \ frac { z ( z + 1 ) + 1 } { { { ( 1 + z ) } ^ { 2 } } } = \ frac { { { z } ^ { 2 } } + z + 1 } { { { z } ^ { 2 } } + 2 z + 1 } USDGiả sử : USD z = Max \ left \ { x, y, z \ right \ } \ Rightarrow 1 = xyz \ le { { z } ^ { 3 } } \ Rightarrow z \ ge 1 USDXét hàm số : USD f ( z ) = \ frac { { { z } ^ { 2 } } + z + 1 } { { { z } ^ { 2 } } + 2 z + 1 } ; \, \, \, f ‘ ( z ) = \ frac { { { z } ^ { 2 } } – 1 } { { { ( z + 1 ) } ^ { 4 } } } \ ge 0, \ forall z \ ge 1 USDSuy ra : USD f ( z ) \ ge f ( 1 ) = \ frac { 3 } { 4 } USD .

7. Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ xưa

Bài toán 15. (Nghệ An MO TST – 2010 ). Xét các số thực dương a, b,c  thỏa mãn $ \displaystyle abc=1$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P={{a}^{3}}{{b}^{3}}+{{b}^{3}}{{c}^{3}}+{{c}^{3}}{{a}^{3}}-6\left( a+b+c \right)$

Lời giải :

Ta sẽ chứng tỏ : USD P \ left ( a, b, c \ right ) \ ge P \ left ( a, \, \ sqrt { bc }, \ sqrt { bc } \ right ) USD. Thật vậy :USD P \ left ( a, b, c \ right ) – P \ left ( a, \, \ sqrt { bc }, \ sqrt { bc } \ right ) = { { a } ^ { 3 } } { { b } ^ { 3 } } + { { a } ^ { 3 } } { { c } ^ { 3 } } – 6 \ left ( b + c \ right ) – 2 { { a } ^ { 3 } } { { \ left ( \ sqrt { bc } \ right ) } ^ { 3 } } + 12 \ sqrt { bc } USDUSD = { { a } ^ { 3 } } { { \ left [ { { \ left ( \ sqrt { b } \ right ) } ^ { 3 } } – { { \ left ( \ sqrt { c } \ right ) } ^ { 3 } } \ right ] } ^ { 2 } } – 6 { { \ left ( \ sqrt { b } – \ sqrt { c } \ right ) } ^ { 2 } } = USDUSD = { { \ left ( \ sqrt { b } – \ sqrt { c } \ right ) } ^ { 2 } } \ left [ { { a } ^ { 3 } } { { \ left ( b + \ sqrt { bc } + c \ right ) } ^ { 2 } } – 6 \ right ] \ ge { { \ left ( \ sqrt { b } – \ sqrt { c } \ right ) } ^ { 2 } } \ left [ 9 { { a } ^ { 3 } }. bc-6 \ right ] = USDUSD = { { \ left ( \ sqrt { b } – \ sqrt { c } \ right ) } ^ { 2 } } \ left ( 9 { { a } ^ { 2 } } – 6 \ right ) \ ge 0 USD ( Với giả sử USD a = M \ text { ax } \ left \ { a, b, c \ right \ } \ Rightarrow a \ ge 1 USD ) .Lại có :USD P \ left ( a, \ sqrt { bc }, \ sqrt { bc } \ right ) = P \ left ( a, \ frac { 1 } { \ sqrt { a } }, \, \ frac { 1 } { \ sqrt { a } } \ right ) = 2 a \ sqrt { a } + \ frac { 1 } { { { a } ^ { 3 } } } – 6 a – \ frac { 12 } { \ sqrt { a } } USD .Đặt USD \ sqrt { a } = t, \ left ( t \ ge 1 \ right ) USD. Ta có : USD f \ left ( t \ right ) = 2 { { t } ^ { 3 } } + \ frac { 1 } { { { t } ^ { 6 } } } – 6 { { t } ^ { 2 } } – \ frac { 12 } { t } USDTa sẽ chứng tỏ : USD 2 { { t } ^ { 3 } } + \ frac { 1 } { { { t } ^ { 6 } } } – 6 { { t } ^ { 2 } } – \ frac { 12 } { t } \ ge – 15, \, \, \ forall t \ ge 1 \, \, \, \ left ( * \ right ) USDThật vậy : USD \ left ( * \ right ) \ Leftrightarrow 2 { { t } ^ { 9 } } – 6 { { t } ^ { 8 } } + 15 { { t } ^ { 6 } } – 12 { { t } ^ { 5 } } + 1 \ ge 0 USD .Xét hàm số : USD g \ left ( t \ right ) = 2 { { t } ^ { 9 } } – 6 { { t } ^ { 8 } } + 15 { { t } ^ { 6 } } – 12 { { t } ^ { 5 } } + 1 USD, ta có :USD g ’ \ left ( t \ right ) = 18 { { t } ^ { 8 } } – 48 { { t } ^ { 7 } } + 90 { { t } ^ { 5 } } – 60 { { t } ^ { 4 } } = 6 { { t } ^ { 4 } } \ left ( 3 { { t } ^ { 4 } } – 8 { { t } ^ { 3 } } + 15 t – 10 \ right ) = 6 { { t } ^ { 4 } }. h \ left ( t \ right ) USDXét : USD h \ left ( t \ right ) = 3 { { t } ^ { 4 } } – 8 { { t } ^ { 3 } } + 15 t – 10, \, \, \ forall t \ ge 1 USD, có :USD h ’ \ left ( t \ right ) = 12 { { t } ^ { 3 } } – 24 { { t } ^ { 2 } } + 15 ; \, \, h ” \ left ( t \ right ) = 36 { { t } ^ { 2 } } – 48 t = 0 USD

⇒ $ \left[ \begin{matrix}t=0 \\t=\frac{4}{3} \\\end{matrix} \right.$

Lập bảng biến thiên ta thấy : USD h ’ \ left ( t \ right ) \ ge h ’ \ left ( \ frac { 4 } { 3 } \ right ) = \ frac { 7 } { 9 } > 0 USD .Do đó : USD h \ left ( t \ right ) \ ge h \ left ( 1 \ right ) = 0 \ Rightarrow g ’ \ left ( t \ right ) \ ge 0 USD nên : USD g \ left ( t \ right ) \ ge g \ left ( 1 \ right ) = 0 USD. Tin tức – Tags: bất đẳng thức, bđt, cực trị, đạo hàm

Rate this post
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments