Đề tài Ứng dụng của đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình

Như ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình ( PT, BPT, HPT, HBPT ) chiếm một lượng khá lớn trong chương trình đại trà phổ thông. Tuy nhiên trong số những bài tập đó có một lượng lớn bài tập mà ta không hề giải được bằng giải pháp thường thì ( trong phân phối chương trình ) hoặc hoàn toàn có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn vất vả và phức tạp .

Bạn đang đọc: Đề tài Ứng dụng của đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình

26 trang | Chia sẻ : manphan

| Lượt xem: 6222

Xem thêm: 9 ứng dụng thiết kế, tạo Logo đẹp trên điện thoại miễn phí, dễ sử dụng

| Lượt tải : 4

Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Đề tài Ứng dụng của đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Xem thêm: Những ứng dụng cho điện thoại smartphone hay và cần thiết nhất

Phần 1 : đặt yếu tố I. Lý do chọn đề tài : Như ta đã biết, chuyên đề về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình ( PT, BPT, HPT, HBPT ) chiếm một lượng khá lớn trong chương trình đại trà phổ thông. Tuy nhiên trong số những bài tập đó có một lượng lớn bài tập mà ta không hề giải được bằng chiêu thức thường thì ( trong phân phối chương trình ) hoặc hoàn toàn có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn vất vả và phức tạp. Giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối tương quan rất ngặt nghèo. Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số để giải những bài tập đó thì bài toán sẽ đơn thuần hơn. Tuy nhiên không phải bài nào cũng hoàn toàn có thể sử dụng hàm số để giải nhưng ứng dụng đạo hàm của hàm số để giải là rất lớn, chính thế cho nên tôi chọn đề tài ý tưởng sáng tạo kinh nghiệm tay nghề là : ” ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình “. II. Mục đích điều tra và nghiên cứu : – Trang bị cho học viên về một giải pháp giải PT, BPT, HPT, HBPT mang lại hiệu suất cao rõ nét. – Bồi dưỡng cho học viên về giải pháp, kỹ năng và kiến thức giải toán. Qua đó học viên nâng cao năng lực tư duy, phát minh sáng tạo. III. Đối tượng nghiên cứu và điều tra : – Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT nằm trong chương trình toán đại trà phổ thông. – Phân loại những dạng toán thường gặp và giải pháp giải mỗi dạng. IV. Phương pháp nghiên cứu và điều tra : Phương pháp chung của dạng bài tập này – Với những PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng những đặc thù về tính đơn điệu của hàm số để giải. – Với những PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số về một vế, đưa phương trình, bất phương trình về dạng : f ( x ) = m hoặc f ( x ) > m ( hoặc f ( x ) < m ; f ( x ) m ; hoặc f ( x ) m ). Sau đó sử dụng những đặc thù về tính đơn điệu của hàm số để giải. Phần 2 : Nội dung I. Dạng 1 : ứng dụng hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình. Tính chất 1 : Cho phương trình : f ( x ) = g ( x ) xác lập trên D. Nếu một trong hai hàm số f ( x ) hoặc g ( x ) là hàm số đơn điệu, hàm còn lại là hàm hằng hoặc đơn điệu ngược với hàm kia thì phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Tính chất 2 : Cho phương trình f ( x ) = m xác lập trên D. Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là m thuộc miền giá trị của hàm số f ( x ). Tính chất 3 : Cho phương trình f ( x ) = m xác lập trên D Nếu f ( x ) là hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình trên có không quá một nghiệm. Tính chất 4 : Cho bất phương trình : f ( x ) > m ( hay f ( x ) < m ) i ) Nếu f ( x ) là hàm đơn điệu tăng trên D và sống sót x0 D sao có f ( x0 ) = m thì tập nghiệm của bất PT là : T = D ( x0 ; + ) ( T = D ( – ; x0 ) ). ii ) Nếu f ( x ) là hàm đơn điệu giảm trên D và sống sót x0 D sao có f ( x0 ) = m thì tập nghiệm của bất PT là : T = D ( – ; x0 ) ( T = D ( x0 ; + ) ). Tính chất 5 : Cho hàm số f ( x ) xác lập trên D 1. f ( x ) m, x D m 2. f ( x ) m, x D m 3. f ( x ) m có nghiệm x D m 4. f ( x ) m có nghiệm x D m 5. Nếu f ( x ) là hàm số đơn điệu tăng trên D và sống sót u, v D. Khi đó : u > v, f ( u ) = f ( v ) u = v 6. Nếu f ( x ) là hàm số đơn điệu giảm trên D và sống sót u, v D. Khi đó : u < v, f ( u ) = f ( v ) u = v 1. ứng dụng hàm số để giải phương trình Phương pháp : Dạng 1 : Phương trình đã cho đổi khác được về dạng ( hoặc ) trong đó. Bước 1 : Biến đổi phương trình đã cho về dạng ( hoặc ) Bước 2 : Xét hai hàm số trên D * Tính, xét dấu, Kết luận tính đơn điệu của hàm số trên D * Tính, xét dấu, Tóm lại tính đơn điệu của hàm số trên D * Kết luận hai hàm số đơn điệu ngược nhau, hoặc một trong hai hàm số là hàm số hằng. * Tìm sao cho ( hoặc tìm sao cho ) Bước 3 : Kết luận : * Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ( hoặc rồi giải phương trình ) * Kết luận nghiệm của phương trình đã cho Dạng 2 : PT đã cho biến hóa được về dạng trong đó, Bước 1 : Biến đổi phương trình về dạng Bước 2 : Xét hàm số trên D * Tính, xét dấu y ‘ * Kết luận hàm số là hàm số đơn điệu trên D. Bước 3 : Kết luận : * Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi, giải PT : * Kết luận nghiệm của phương trình đã cho 2. ứng dụng hàm số để giải bất phương trình Phương pháp : Dạng 1 : BPT biến hóa về dạng ( hoặc ) trong đó. Bước 1 : Biến đổi BPT đã cho về dạng ( hoặc ) Bước 2 : Xét hai hàm số trên D * Tính, xét dấu, Tóm lại tính đơn điệu của hàm số trên D * Tính, xét dấu, Tóm lại tính đơn điệu của hàm số trên D * Tìm sao cho ( hoặc tìm sao cho ) * Nếu f ( x ) đơn điệu tăng, g ( x ) đơn điệu giảm ( hoặc là hàm hằng ) thì ( hoặc ) Nếu f ( x ) đơn điệu giảm, g ( x ) đơn điệu tăng ( hoặc là hàm hằng ) thì ( hoặc ) Bước 3 : Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho Dạng 2 : BPT biến hóa được về dạng trong đó, Bước 1 : Biến đổi bất phương trình về dạng Bước 2 : Xét hàm số trên D * Tính, xét dấu y ‘. Kết luận hàm số đơn điệu trên D. * Nếu f ( x ) đơn điệu tăng thì : Nếu f ( x ) đơn điệu giảm thì : Bước 3 : Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho Bài 1 : Giải những phương trình sau : a. b. c. 8 log2 ( x2 – x + 5 ) = 3 ( x2 – x + 5 ) d. Trước hết, ta nhận thấy những phương trình trên không giải được bằng những giải pháp thường thì hoặc có giải được thì cũng rất khó khăn vất vả. Ta sẽ tìm cách để sử dụng hàm số giải những phương trình này. Giải : a. TXĐ : Xét hàm số : + TXĐ : + Đạo hàm : Do đó hàm số đồng biến trên D, vậy phương trình trên nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Mặt khác ta có : f ( 3 ) = 6. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. b. Điều kiện : Viết lại phương trình dưới dạng : ( 1 ) Xét hàm số với t > 0 + Đạo hàm : Hàm số luôn đồng biến trên khoảng chừng. Khi đó : phương trình ( 1 ) Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 4. c. 8 log2 ( x2 – x + 5 ) = 3 ( x2 – x + 5 ) ( 1 ) Với phương trình này ta chưa thể có hàm số giống như hai câu trên mà ta phải đổi khác để tìm được hàm số mà ta muốn xét. TXĐ : D = Trên D ( 1 ) ( do > e > 0 ) Đặt t = với t > e, thì phương trình trên trở thành : ( 2 ) Xét hàm số : với t > e Ta có e Từ đó, vế trái của phương trình ( 2 ) là hàm nghịch biến t > e ; vế phải là hằng số Do đó phương trình ( 2 ) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Mặt khác Phương trình ( 2 ) có nghiệm duy nhất t = 8 Với t = 8 ta có x = ; x = Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = ; x = d. ( 1 ) Tương tự như câu c ) so với phương trình này ta cũng cần đổi khác để Open hàm số cần xét. TXĐ : D = Trên D ; ( 1 ) Xét hàm số với t t f ( t ) là hàm số đồng biến trên Mặt khác ( 1 ) f ( x – 1 ) = f ( x2 – x ) x – 1 = x2 – x x2 – 2 x + 1 = 0 x = 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 Bài 2 : Giải những bất phương trình sau : a. b. c. d. Giải : a. TXĐ : D = Xét hàm số : f ( x ) = với x D Ta cũng nhận thấy f ( x ) là hàm số đồng biến trên D ( vì f ’ ( x ) > 0 x ( 2 ; 4 ) ) Lại có : f ( 3 ) = 3 ; do đó, bất phương trình có nghiệm x thì. Vậy tập nghiệm là : T = ( 3 ; + ) = b. ( 1 ) TXĐ : D =, BPT ( 1 ) ( 2 ) Xét hàm số : là hàm số đồng biến trên. Khi đó : ( 2 ) Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x. c. ( 1 ) Điều kiện : x > – 1, những hàm số và là những hàm số đồng biến trên khoảng chừng, nên hàm số là hàm số đồng biến trên khoảng chừng. Mặt khác vậy ( 1 ). Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 0. d. ( 1 ) Điều kiện :. Vậy TXĐ : D = ( 1 ) ( 2 ) Xét hàm số, thấy ngay hàm số đồng biến trên D. Vậy trên D ; ( 2 ) x = 1 hoặc x 3. Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 1 và x 3. Bài 3 : Giải những hệ phương trình và hệ bất phương trình sau : a ) b ) Giải : a. Điều kiện. Hệ đã cho trở thành : Xét hàm số + TXĐ : + Đạo hàm suy ra hàm số đồng biến trên D. Vậy trên D, phương trình ( 1 ) được viết dưới dạng. Khi đó hệ đã cho trở thành Giải ( 2 ) : Ta đoán được x = 1 là một nghiệm của ( 2 ), mặt khác dễ nhận thấy phương trình ( 2 ) có vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm số nghịch biến. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của PT ( 2 ), Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x = y = 1. Nhận xét : Đối với hệ phương trình, hệ bất phương trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến hóa làm Open những phương trình giải được bằng chiêu thức hàm số để đưa về mối quan hệ giữa những ẩn số đơn thuần hơn rồi tuỳ từng trường hợp tìm ra cách giải tiếp. b. Giải ( 1 ) : ( 1 ) Giải ( 2 ) : xét hàm số trên ( 1 ; 4 ) Có, Mặt khác, vậy Vậy nghiệm của hệ là 1 < x < 4. Nhận xét : Đối với giải hệ phương trình, hệ bất phương trình có 1 ẩn số ta hoàn toàn có thể dùng giải pháp hàm số để giải từng phương trình hay bất phương trình của hệ rồi phối hợp những tập nghiệm tìm được để đưa ra Kết luận về nghiệm cho hệ bất phương trình. II. Dạng 2 : Sử dụng hàm số để biện luận phương trình Bài 4 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau : a ) b ) c ) d ) – x + m = 0 Giải : a ) ( 1 ) Nhận xét : Bài tập này ta hoàn toàn có thể giải bằng chiêu thức thường thì. Tuy nhiên, nếu giải bằng chiêu thức đó, ta phải kiểm tra điều kiện kèm theo của ẩn số rất phức tạp. Ta sẽ giải bài này bằng cách sử dụng hàm số Giải : TXĐ : D = Trên D ; ( 1 ) Xét hàm số f ( x ) = với x D Ta có : f ’ ( x ) = Trên D ta có : f ’ ( x ) > 0 > 0 x > 3 ; f ’ ( x ) < 0 < 0 x < 1 Từ đó, ta có bảng biến thiên : x – 1 3 + + + f ’ ( x ) – + f ( x ) Số nghiệm của phương trình ( 1 ) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = m. Dựa vào bảng biến thiên ta có tác dụng biện luận sau : – Nếu m <, đường thẳng y = m không cắt đồ thị hàm số y = f ( x ), do đó phương trình ( 1 ) vô nghiệm. – Nếu m <, đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 1 điểm, do đó phương trình ( 1 ) có 1 nghiệm. – Nếu m, đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 2 điểm, do đó phương trình ( 1 ) có 2 nghiệm. b ) Viết lại phương trình dưới dạng ( 2 ) Xét hàm số là hàm số đồng biến trên Vậy ( 2 ) + Giải và biện luận ( I ) – Với m = 1 thì ( 3 ) vô nghiệm nên ( I ) vô nghiệm – Với m1 thì ( 3 ) có nghiệm, nó là nghiệm của ( I ) khi + Giải và biện luận ( II ) – Với m = – 1 thì ( 4 ) nghiệm đúng với mọi x, nên ( II ) nhận x 1 làm nghiệm – Với m – 1 thì ( 4 ) có nghiệm x = 0, nhưng không là nghiệm của ( II ) Kết luận : – Với m < – 1 hoặc m 1 : phương trình vô nghiệm – Với m = – 1 : phương trình có nghiệm x 1 – Với – 1 < m < 1 : phương trình có nghiệm c ) ( 1 ) Viết lại phương trình dưới dạng ( 2 ) Xét hàm số là hàm số đồng biến trên, vậy ( 2 ) – Nếu + Với m = 2, ( 3 ) 0. x = 0, nghiệm đúng với + Với m = – 2, ( 3 ) 0. x = – 9, phương trình vô nghiệm – Nếu Phương trình ( 3 ) có nghiệm duy nhất Kết luận : – Với : phương trình có nghiệm duy nhất – Với m = 2 : phương trình nghiệm đúng với – Với m = – 2 : phương trình vô nghiệm. d ) – x + m = 0 ( 1 ) Viết lại phương trình dưới dạng : ( 2 ) Điều kiện : x2 – 3 x + 2 > 0 x 2. TXĐ : D = Xét hàm số đồng biến trên khoảng chừng. Vậy trên D, phương trình ( 2 ) trở thành : Biện luận : – Với 2 m – 3 = 0, khi đó ( 3 ) vô nghiệm nên ( I ) vô nghiệm – Với, khi đó ( 3 ) có nghiệm duy nhất, là nghiệm của ( I ) khi Kết luận : – Với thì phương trình có nghiệm – Với thì phương trình vô nghiệm. III. Dạng 3 : Sử dụng hàm số tìm điều kiện kèm theo của tham số để phương trình, bất phương trình thoả mãn điều kiện kèm theo cho trước. Bài 5 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm : ( 1 ) ( m – tham số ) Giải : ( 1 ) = x – 3 Phương trình ( 1 ) có nghiệm phương trình ( 2 ) có nghiệm thoả mãn x 3 ở bài này ta hoàn toàn có thể sử dụng giải pháp tam thức bậc hai để giải. Tuy nhiên ta sẽ sử dụng hàm số để giải bài này. Xét phương trình ( 2 ) : Đặt f ( x ) = với x 3 Ta có : f ’ ( x ) = f ’ ( x ) = 0 Ta có bảng biến thiên : x – 3 4 + f ’ ( x ) 4 + 3 – 0 + f ( x ) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy : Phương trình ( 2 ) có nghiệm x 3 m 3 Vậy phương trình ( 1 ) có nghiệm m 3. Bài 6 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm : 4 cosx – m. 2 cosx + m + 3 0 ( 3 ) ( m – tham số ) Giải : Đặt 2 cosx = t với t 2 ( vì – 1 cosx 1 ) Khi đó bất phương trình ( 3 ) trở thành : t2 – mt + m + 3 0 m ( t – 1 ) t2 + 3 ( 4 ) + Nhận thấy : t = 1 không là nghiệm của bất phương trình, nên : Xét hàm số : f ( t ) = Ta có : f ’ ( t ) = < 0 t Do đó ta có bảng biến thiên : t – 1 2 + f ’ ( t ) – + + + 7 – f ( t ) + + – Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình ( 4 ) có nghiệm hệ ( I ) có nghiệm hoặc hệ ( II ) có nghiệm Vậy bất phương trình ( 3 ) có nghiệm Bài 7 : Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x cos4x – 5 cos3x – 36 sin2x – 15 cosx + 36 + 24 m – 12 mét vuông 0 ( 5 ) ( m – tham số ) Giải : TXĐ : D = Trên D, ( 5 ) 3 cos4x – 20 cos3x + 36 cos2x + 24 m – 12 mét vuông 0 Đặt t = cosx với t Khi đó, ta có bất phương trình : 3 t4 – 20 t3 + 36 t2 + 24 m – 12 mét vuông 0 3 t4 – 20 t3 + 36 t2 12 mét vuông – 24 m ( 6 ) Bất phương trình ( 5 ) nghiệm đúng với mọi x bất phương trình ( 6 ) nghiệm đúng với t Xét hàm số : f ( t ) = 3 t4 – 20 t3 + 36 t2 với t Ta có : f ’ ( t ) = 12 t3 – 60 t2 + 72 t = 12 t ( t2 – 5 t + 6 ) f ’ ( t ) = 0 12 t ( t2 – 5 t + 6 ) = 0 Khi đó ta có bảng biến thiên : t – – 1 0 1 2 3 + f ’ ( t ) – 0 + f ( t ) 59 19 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có : f ( t ) 12 mét vuông – 24 m t 12 mét vuông – 24 m 12 mét vuông – 24 m 0 0 m 2 Vậy với m thì bất phương trình ( 5 ) nghiệm đúng với mọi x Bài 8 : Tìm m để hệ sau có nghiệm : ( m – tham số ) Giải : Giải ( 1 ) : x Xét ( 2 ) : ( 2 ) 3 mx < – x3 – 1 Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của hệ ; do đó ta có hệ BPT đã cho tương tự với : hoặc : Đặt f ( x ) = với x D = Khi đó : f ’ ( x ) =, f ’ ( x ) = 0 = 0 x = Ta có bảng biến thiên : x – – 1 0 + f ’ ( x ) + + + + 0 + – + + f ( x ) Từ đó ta có : Hệ ( I ) có nghiệm m > 0 ; Hệ ( II ) có nghiệm m < Vậy hệ đã cho có nghiệm Nhận xét : Trong 1 số ít bài tập giải bằng chiêu thức đặt ẩn phụ, ta phải tìm điều kiện kèm theo của ẩn phụ. Tuy nhiên, việc tìm điều kiện kèm theo đó gặp không ít khó khăn vất vả. Nếu ta sử dụng hàm số thì việc tìm điều kiện kèm theo sẽ đơn thuần hơn. Ta xét ví dụ sau : Bài 9 : Cho phương trình : ( 1 ) ( m – tham số ) Tìm m để phương trình có nghiệm x Giải : Đặt t = ở đây, điều kiện kèm theo cần là t > 0 nhưng nếu chỉ có điền kiện đó thì chưa đủ và ta chưa giải được bài này. Ta phải tìm điều kiện kèm theo của t bằng cách xét hàm số. Xét hàm số y = 2 x – x2 với x Ta có : y ’ ( x ) = 2 – 2 x y ’ ( x ) = 0 x = 1 Ta có bảng biến thiên : x – 0 1 + y ’ ( x ) + 0 – y ( x ) 0 1 Từ đó suy ra tập giá trị của y là y 20 21 1 t 2 Với điều kiện kèm theo đó của t thì phương trình ( 1 ) trở thành : t2 + 2 t + m – 3 = 0 m = – t2 – 2 t + 3 ( 2 ) Phương trình ( 1 ) có nghiệm x phương trình ( 2 ) có nghiệm 1 t 2 Xét hàm số : g ( t ) = – t2 – 2 t + 3 với t g ’ ( t ) = – 2 t – 2 g ’ ( t ) = 0 t = – 1 Từ đó ta có bảng biến thiên : x – 1 2 + y ’ ( x ) – y ( x ) 0 – 5 Dựa vào bảng biến thiên ta có : phương trình ( 2 ) có nghiệm t m Vậy phương trình ( 1 ) có nghiệm x m Bài 10 : Cho bất phương trình : mx – m + 1 ( 1 ) ( m – tham số ) a. Tìm m để bất phương trình có nghiệm. b. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng. Giải : TXĐ : D = Trên D, ( 1 ) m ( x – 1 ) + 1 m ( vì : x D nên x – 1 > 0 ) Đặt f ( x ) = với x D Khi đó : f ’ ( x ) =, f ’ ( x ) = 0 = 0 x = 7 – 2 Ta có bảng biến thiên : x – 3 7 – 2 7 + f ’ ( x ) + 0 – – f ( x ) Dựa vào bảng biến thiên ta có : a. Bất phương trình có nghiệm m m b. Bất phương trình nghiệm đúng m m Bài 11 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm : 2 + 2 sin2x = m ( 1 + cosx ) 2 ( 1 ) Giải : Trước hết ta nhận thấy : m, 1 + cosx 0 ( vì nếu 1 + cosx = 0 thì : vế trái PT ( 1 ) = 2 vô lý ) Khi đó ( 1 ) m = m = Đặt t = ; với, Khi đó : sinx =, cosx = = Theo ( 1 ) ta được phương trình : 2 m = ( 1 + 2 t – t2 ) 2 ( 2 ) Khi đó PT ( 1 ) có nghiệm PT ( 2 ) có nghiệm Xét hàm số : f ( t ) = ( 1 + 2 t – t2 ) 2 f ’ ( t ) = 4 ( t – 1 ) ( t2 – 2 t – 1 ), f ’ ( t ) = 0 Ta có bảng biến thiên : t 0 – 1 – 1 1 + + f ’ ( t ) 0 – + 0 – + f ( t ) + 0 2 0 + Từ bảng biến thiên ta suy ra : phương trình ( 2 ) có nghiệm 2 m 0 m 0 Vậy phương trình ( 1 ) có nghiệm m 0 IV. Dạng 4 : Sử dụng hàm số để đoán và vét hết toàn bộ những nghiệm của phương trình : Dạng này thường được sử dụng khi ta nhận thấy 2 vế của phương trình là những hàm đồng biến hoặc nghịch biến, đồng thời ta đã nhẩm được 1 hay 2 nghiệm. Dạng bài tập này được cho phép tất cả chúng ta Dự kiến và chứng tỏ phương trình chỉ chó những nghiệm mà ta đã Dự kiến. Ta xét những ví dụ sau : Bài 12 : Giải những phương trình sau : a. 2 x + 3 x = 3 x + 2 b. log5 ( 2 x + 1 ) = log3 ( x + 1 ) c. Nhận xét : ở cả hai ví dụ trên ta đều thấy hai vế của phương trình đều là những hàm đồng biến. Mặt khác ở ví dụ a ) ta nhẩm được 2 nghiệm là x = 0 ; x = 1 ở ví dụ b ) ta nhẩm đựoc 2 nghiệm là x = 0 ; x = 2 Ngoài những nghiệm đó ra ta chưa biết là phương trình có còn nghiệm nào nữa không. Ta sẽ tìm cách chứng tỏ phương trình không còn nghiệm nào khác nữa. Giải : a. 2 x + 3 x = 3 x + 2 ( 1 ) TXĐ : D = Trên D ( 1 ) 2 x + 3 x – 3 x – 2 = 0 Xét hàm số : f ( x ) = 2 x + 3 x – 3 x – 2 với x D Ta có : f ’ ( x ) = 2 xln2 + 3 xln3 – 3 f ’ ’ ( x ) = 2 xln2x + 3 xln2x > 0 x f ’ ( x ) là hàm số đồng biến trên Mặt khác f ’ ( x ) là hàm số liên tục trên Mà f ’ ( 0 ) = ln2 + ln3 – 3 < 0 f ’ ( 1 ) = 2 ln2 + 3 ln3 – 3 > 0 f ’ ( 0 ). f ’ ( 1 ) < 0 x0 ( 0 ; 1 ) sao cho f ’ ( x0 ) = 0 x thì f ’ ( x ) < 0 x thì f ’ ( x ) > 0 Khi đó ta có bảng biến thiên : x – x0 + f ( x0 ) + + f ’ ( x ) – 0 + f ( x ) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục hoành. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số nếu cắt trục hoành thì sẽ cắt nhiều nhất tại 2 điểm. Do đó phương trình ( 1 ) sẽ có nhiều nhất 2 nghiệm Mặt khác ta nhẩm được : f ( 0 ) = 0 ; f ( 1 ) = 0 Vậy phương trình ( 1 ) có đúng 2 nghiệm x = 0 ; x = 1. b. log5 ( 2 x + 1 ) = log3 ( x + 1 ) TXĐ : D = Đặt log3 ( x + 1 ) = t x + 1 = 3 t 2 x + 1 = 2 ( 3 t – 1 ) + 1 = 2.3 t – 1 Khi đó ta có phương trình : log5 ( 2.3 t – 1 ) = t 2.3 t – 1 = 5 t 2.3 t – 5 t – 1 = 0 Xét hàm số : f ( t ) = 2.3 t – 5 t – 1 với t Ta có : f ’ ( t ) = 2.3 t. ln3 – 5 tln5 f ’ ( t ) = 0 2.3 t. ln3 – 5 tln5 = 0 t = f ’ ( t ) > 0 t Ta có bảng biến thiên : t – + f ’ ( t ) + 0 – – – f ( ) f ( t ) Số nghiệm của PT là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t ) và trục hoành. Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình f ( t ) = 0 nếu có nghiệm thì có nhiều nhất là 2 nghiệm. Mặt khác ta có f ( 0 ) = 0 ; f ( 1 ) = 0 Từ đó suy ra phương trình f ( t ) = 0 có đúng 2 nghiệm t = 0 ; t = 1 Với t = 0 ta có : x + 1 = 30 x = 0 Với t = 1 ta có : x + 1 = 31 x = 2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 0 ; x = 2 c. ( 1 ) Điều kiện Biến đổi phương trình ( 1 ) về dạng = Xét hàm số là hàm số đồng biến với t > 0. Khi đó ( 2 ) viết dưới dạng Xét hàm số trên D = Có. Vậy g ‘ ( x ) đồng biến và liên tục trên D, mặt khác phương trình g ‘ ( x ) = 0 chỉ có 1 nghiệm. Vậy phương trình g ( x ) = 0 có không quá 2 nghiệm trên D. Ta có : g ( 0 ) = g ( 1 ) = 0. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 0 và x = 1. Nhận xét : Đôi khi ta phải sử dụng chiêu thức hàm số nhiều lần trong giải một PT. V. Một số bài tập tự giải : Bài 13 : Giải những phương trình sau : a. = x b. 2 log3 ( tgx ) = log2 ( sinx ) c. d. 2 x = + 1 e. Bài 14 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Bài 15 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm Bài 16 : Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x R : ( Bài 17 : Cho phương trình : a. Giải phương trình với m = 3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm c. Tìm m để phương trình có nghiệm x d. Tìm m để phương trình có nghiệm x Bài 18 : Cho bất phương trình : Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thoả mãn Bài 19 : Cho phương trình : a. Giải phương trình với m = 2 b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn : Bài 20 : Cho bất phương trình : Tìm m để bất phương trình trên có nghiệm mà mọi nghiệm của bất phương trình đó đều không thuộc tập xác lập của hàm số : y = Phần 3 : Kết luận – đề xuất kiến nghị I – Tóm lại : – Hàm số có rất nhiều ứng dụng và một trong những ứng dụng đó là sử dụng trong việc giải phương trình và bất phương trình. – Đề tài đã nêu được chiêu thức chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng những bài toán đơn cử, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số ít bài tập với những mức độ khác nhau. – Tuy vậy, do nhiều nguyên do khác nhau, chủ quan và khách quan nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định. Rất mong nhận được sự góp ý của Hội đồng khoa học nhà trường Trung học đại trà phổ thông Phan Đình Giót, Hội đồng khoa học Sở GD và ĐT Điện Biên. Xin chân thành cảm ơn ! II – yêu cầu : – Như trên đã trình diễn thì PT, HPT, BPT, HBPT có mối liện hệ mật thiết với hàm số. Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta biết sử dụng hàm số để giải những bài tập đó thì bài toán sẽ đơn thuần hơn. Đặc biệt, đạo hàm là một công cụ hữu dụng, sắc bén. – Chính vì lẽ đó, tôi hy vọng đề tài sẽ góp phần một phần nhỏ bé vào việc giải những dạng toán đã nêu trên ; là tài liệu tìm hiểu thêm cho những em học viên trong quy trình học toán cũng như ôn thi tốt nghiệp và thi vào những trường Đại học, Cao đẳng và Trung học chuyên nghiệp. Người viết Xác nhận của tổ ( Ký, ghi rõ họ tên ) ( Ký, ghi rõ họ tên ) Xác nhận của Hội đồng khoa học Xác nhận của Hội đồng khoa học nhà trường Sở GD và ĐT Điện Biên ( Hiệu trưởng ký tên, đóng dấu ) ………………………

………………….

……………………………….

…………………

…………………………………

………………….

………… ………………..

…………………….
File đính kèm :

  • SKKN-Ung dung dao ham.doc

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments