Hình học giải tích

Giáo viên đại số của bạn đã đúng. Bạn sẽ sử dụng toán học sau khi tốt nghiệp — cho bài kiểm tra này ! Xem những gì bạn nhớ từ trường học và hoàn toàn có thể học được một vài thông tin mới trong quy trình này .Hình học giải tích, còn được gọi là hình học tọa độ, môn toán học trong đó những chiêu thức và ký hiệu đại số được sử dụng để trình diễn và xử lý những yếu tố trong hình học. Tầm quan trọng của hình học giải tích là nó thiết lập sự tương ứng giữa những đường cong hình học và phương trình đại số. Sự tương ứng này làm cho nó hoàn toàn có thể định dạng lại những bài toán trong hình học như những bài toán tương tự trong đại số, và ngược lại ; những giải pháp của một trong hai môn sau đó hoàn toàn có thể được sử dụng để xử lý những yếu tố của môn kia. Ví dụ, máy tính tạo ra hình ảnh động để hiển thị trong game show và phim bằng cách thao tác với những phương trình đại số .

Hình học giải tích cơ bản

Apollonius của Perga ( khoảng chừng 262 – 190 bc ), được những người đương thời gọi là “ Great Geometer ”, đã báo trước sự tăng trưởng của hình học giải tích trong hơn 1.800 năm với cuốn sách của ông. Conics. Ông đã định nghĩa một hình nón là giao của một hình nón và một mặt phẳng ( xem hình vẽ ). Sử dụngkết quả của Euclid trên những tam giác đồng dạng và trên những phần của đường tròn, ông đã tìm thấy một quan hệ thỏa mãn nhu cầu bởi khoảng cách từ bất kể điểm P. nào của một đường conic đến hai đường thẳng vuông góc, trục chính của đường conic và tiếp tuyến tại điểm cuối của trục. Các khoảng cách này tương ứng với tọa độ của P., và quan hệ giữa những tọa độ này tương ứng với một phương trình bậc hai của conic. Apollonius đã sử dụng mối quan hệ này để suy ra những đặc thù cơ bản của conics. Xem phần conic .

Bạn đang đọc: Hình học giải tích

phần conicphần conicCác phần hình nón là hiệu quả của việc cắt một mặt phẳng với một hình nón đôi, như biểu lộ trong hình. Có ba họ riêng không liên quan gì đến nhau của những phần hình nón : hình elip ( gồm có cả hình tròn trụ ), hình parabol ( với một nhánh ) và hyperbol ( có hai nhánh ) .
Encyclopædia Britannica, Inc.
Sự tăng trưởng hơn nữa của hệ tọa độ ( xem hình ) trong toán học chỉ Open sau khi đại số đã trưởng thành dưới thời những nhà toán học Hồi giáo và Ấn Độ. ( Xem toán học : Thế giới Hồi giáo ( thế kỷ 8-15 ) và toán học, Nam Á. ) Cuối thế kỷ 16, nhà toán học Pháp François Viète đã ra mắt ký hiệu đại số có mạng lưới hệ thống tiên phong, sử dụng những vần âm để màn biểu diễn những đại lượng số đã biết và chưa biết, và ông đã tăng trưởng những giải pháp tổng quát can đảm và mạnh mẽ để thao tác với những biểu thức đại số và giải phương trình đại số. Với sức mạnh của ký hiệu đại số, những nhà toán học không còn trọn vẹn phụ thuộc vào vào những hình hình học và trực giác hình học để xử lý yếu tố. Những người táo bạo hơn mở màn bỏ lại phía sau cách tâm lý hình học tiêu chuẩn, trong đó những biến tuyến tính ( lũy thừa thứ nhất ) tương ứng với độ dài, bình phương ( lũy thừa thứ hai ) với diện tích quy hoạnh, và hình khối ( lũy thừa thứ ba ) với thể tích, với quyền hạn cao hơn thiếu lý giải ” vật lý “. Hai người Pháp, nhà toán học-triết học René Descartes và luật sư-nhà toán học Pierre de Fermat, là một trong những người tiên phong thực thi bước đi táo bạo này .
Tọa độ Descartes Một số điểm được gắn nhãn trong một đồ thị hai chiều, được gọi là mặt phẳng Descartes.  Lưu ý rằng mỗi điểm có hai tọa độ, số đầu tiên (giá trị x) cho biết khoảng cách của nó từ trục y — các giá trị dương ở bên phải và giá trị âm ở bên trái — và số thứ hai (giá trị y) cho biết khoảng cách của nó từ x -axis — giá trị dương hướng lên và giá trị âm giảm xuống.Tọa độ Descartes Một số điểm được gắn nhãn trong một đồ thị hai chiều, được gọi là mặt phẳng Descartes. Lưu ý rằng mỗi điểm có hai tọa độ, số tiên phong ( giá trị x ) cho biết khoảng cách của nó từ trục y — những giá trị dương ở bên phải và giá trị âm ở bên trái — và số thứ hai ( giá trị y ) cho biết khoảng cách của nó từ trục x – axis — giá trị dương hướng lên và giá trị âm giảm xuống .
Encyclopædia Britannica, Inc.
Descartes và Fermat đã độc lập xây dựng hình học giải tích vào những năm 1630 bằng cách kiểm soát và điều chỉnh đại số của Viète để nghiên cứu và điều tra những locus hình học. Họ đã vượt ra khỏi Viète một cách dứt khoát bằng cách sử dụng những vần âm để biểu lộ khoảng cách hoàn toàn có thể đổi khác thay vì cố định và thắt chặt. Descartes đã sử dụng những phương trình để điều tra và nghiên cứu những đường cong được xác lập về mặt hình học, và ông nhấn mạnh vấn đề sự thiết yếu phải xem xét những đường cong đại số tổng quát — đồ thị của những phương trình đa thức theo x và y ở mọi bậc. Ông đã chứng tỏ chiêu thức của mình trong một bài toán cổ xưa : tìm toàn bộ những điểm P. sao cho tích của khoảng cách từ P. đến những đường nhất định bằng tích của khoảng cách đến những đường khác. Xem hình học : Hình học Descartes .

Đăng ký Britannica Premium và có quyền truy cập vào nội dung độc quyền.
Theo dõi ngay

Fermat nhấn mạnh vấn đề rằng bất kể mối quan hệ nào giữa tọa độ x và y xác lập a đường cong ( xem hình vẽ ). Sử dụng ý tưởng sáng tạo này, ông viết lại những lập luận của Apollonius bằng những thuật ngữ đại số và Phục hồi việc làm đã mất. Fermat chỉ ra rằng bất kể phương trình bậc hai nào theo x và y đều hoàn toàn có thể được đưa về dạng chuẩn của một trong những phần hình nón .
Đồ thị đa thức Hình bên cho thấy một phần của đồ thị của phương trình đa thức y = 3x4 - 16x3 + 6x2 + 24x + 1. Lưu ý rằng không cần sử dụng cùng một tỷ lệ cho trục x và y.Đồ thị đa thức Hình bên cho thấy một phần của đồ thị của phương trình đa thức y = 3 x 4 – 16 x 3 + 6 x 2 + 24 x + 1. Lưu ý rằng không cần sử dụng cùng một tỷ suất cho trục x – và y .
Encyclopædia Britannica, Inc.
Fermat đã không xuất bản tác phẩm của mình, và Descartes cố ý làm cho nó khó đọc để làm nản lòng “ những kẻ hay trò chuyện ”. Ý tưởng của họ chỉ nhận được sự gật đầu chung trải qua nỗ lực của những nhà toán học khác vào nửa sau của thế kỷ 17. Đặc biệt, nhà toán học người Hà Lan Frans van Schooten đã dịch những bài viết của Descartes từ tiếng Pháp sang tiếng Latinh. Ông đã bổ trợ tài liệu lý giải quan trọng, cũng như luật sư người Pháp Florimond de Beaune và nhà toán học Hà Lan Johan de Witt. Ở Anh, nhà toán học John Wallis đã phổ biến hình học giải tích, sử dụng những phương trình để xác lập hàm số và đặc thù của chúng. Ông sử dụng những tọa độ âm một cách tự do, mặc dầu chính Isaac Newton đã sử dụng rõ ràng hai trục ( xiên ) để chia mặt phẳng thành bốn góc phần tư, như được hiển thị tronghình vẽ .

Hình học giải tích có ảnh hưởng tác động lớn nhất đến toán học trải qua tích. Không có năng lực tiếp cận với sức mạnh của hình học giải tích, những nhà toán học Hy Lạp cổ xưa như Archimedes ( khoảng chừng 285 – 212 / 211 bc ) đã xử lý những trường hợp đặc biệt quan trọng của những bài toán cơ bản của giải tích : tìm tiếp tuyến và điểm cực trị ( phép tính vi phân ) và độ dài cung, diện tích quy hoạnh, và khối lượng ( tích phân ). Các nhà toán học thời kỳ Phục hưng đã bị dẫn dắt trở lại những yếu tố này bởi nhu yếu của thiên văn học, quang học, điều hướng, cuộc chiến tranh và thương mại. Họ tự nhiên tìm cách sử dụng sức mạnh của đại số để xác lập và nghiên cứu và phân tích một loạt những đường cong ngày càng tăng .

Fermat đã tăng trưởng một thuật toán đại số để tìm tiếp tuyến của một đường cong đại số tại một điểm bằng cách tìm một đường có giao điểm kép với đường cong tại điểm — về thực chất, ý tưởng ra phép tính vi phân. Descartes đã ra mắt một thuật toán tương tự như nhưng phức tạp hơn bằng cách sử dụng một vòng tròn. Fermat đã tính diện tích quy hoạnh dưới những đường cong y = a x k với mọi số hữu tỉ k ≠ − 1 bằng cách tính tổng diện tích quy hoạnh của những hình chữ nhật nội tiếp và ngoại tiếp. ( Xem kiệt sức, chiêu thức của. ) Trong phần còn lại của thế kỷ 17, nền tảng cho phép tính giải tích đã được liên tục bởi nhiều nhà toán học, gồm có cả người Pháp Gilles Personne de Roberval, Bonaventura Cavalieri người Ý, và người Anh James Gregory, John Wallis, và Isaac Barrow .

Newton và người Đức Gottfried Leibniz đã cách mạng hóa toán học vào cuối thế kỷ 17 bằng cách chứng tỏ độc lập sức mạnh của phép đo lường và thống kê. Cả hai người đều sử dụng tọa độ để tăng trưởng những ký hiệu bộc lộ sáng tạo độc đáo của phép tính tổng quát vừa đủ và dẫn đến những quy tắc phân biệt và định lý cơ bản của phép tính một cách tự nhiên ( liên kết phép tính vi phân và tích phân ). Xem nghiên cứu và phân tích .

Newton đã chứng tỏ tầm quan trọng của những giải pháp giải tích trong hình học, ngoài vai trò của chúng trong giải tích, khi ông khẳng định chắc chắn rằng bất kể đường cong bậc ba – hoặc, đại số bậc 3 nào – đều có một trong bốn phương trình chuẩn, x y 2 + e y = a x 3 + b x 2 + c x + d, x y = a x 3 + b x 2 + c x + d, y 2 = a x 3 + bx 2 + c x + d, y = a x 3 + b x 2 + c x + d, so với những trục tọa độ tương thích. Nhà toán học người Scotland James Stirling đã chứng tỏ khẳng định chắc chắn này vào năm 1717, hoàn toàn có thể với sự trợ giúp của Newton. Newton đã chia hình khối thành 72 loài, tổng số sau đó được sửa thành 78 .

Newton cũng chỉ ra cách biểu diễn một đường cong đại số gần gốc theo chuỗi lũy thừa phân số y = a 1 x 1 / k + a 2 x 2 / k +… cho một số nguyên dương k. Các nhà toán học kể từ đó đã sử dụng kỹ thuật này để nghiên cứu các đường cong đại số của tất cả các bậc.

Xem thêm: Viber

Rate this post
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments