ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình

Ngày đăng: 20/12/2014, 07:34

Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đề tài : ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. ĐẶT VẤN ĐỀ : Trong quá trình giảng dạy toán việc hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau là rất quan trọng và cần thiết. Đặc biệt mỗi khi học sinh tiếp cận với một lý thuyết mới, người thầy phải khai thác các ứng dụng quan trọng và ưu việt của nó để trang bị cho học sinh, có như thế học sinh mới hứng thú, năng động và sáng tạo trong việc học của mình. Trong chương trình toán phổ thông trung học số phức vừa được đưa vào giảng dạy đại trà được 2 năm. Ứng dụng của số phức được giới thiệu ở sách giáo khoa rất ít, các tài liệu viết về ứng dụng số phức rất hiếm. Do đó với thời lượng thời gian cũng như lý thuyết mà các em được học ở trường người thầy phải nghiên cứu và bố trí dạy cho các em một số ứng dụng quan trọng và nổi bật nhất cho các em. Bản thân tôi nhiều năm được phân công giảng dạy các lớp năng khiếu nên điều kiện tiếp xúc với các ứng dụng của lý thuyết số phức để giải toán khá nhiều vì vậy khi trực tiếp giảng dạy phần số phức ở chương trình toán phổ thông tôi đã trang bị cho học sinh một số ứng dụng mà sách giáo khoa không đề cập đến và dĩ nhiên dạy ứng dụng đó ở thời điểm nào, dạy như thế nào thì sau đây tôi xin chia sẻ với các đồng nghiệp một bài dạy “Ứng dụng lý thuyết số phức để giải hệ phương trình” nhằm trang bị thêm cho học sinh một công cụ hữu hiệu để giải hệ phương trình nhằm giúp các em thành công trong các kỳ thi vì đây là một loại toán thường gặp ở các kỳ thi Đại học và học sinh giỏi các cấp. B. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN: Để học sinh hiểu một cách sâu sắc và có cơ sở lý luận tôi đã dẫn dắt học sinh vào vấn đề đơn giản như sau : Tìm căn bậc hai của số phức z = a + bi Ta gọi w = x + iy là một căn bậc hai của z. Ta có : 2 2 2 2w z x y xyi a bi= ⇔ − + = + Trang 1 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vậy ta có hệ : 2 2 2 x y a xy b  − =  =  Như thế, một hệ phương trình có thể “xuất xứ” từ các phương trình nghiệm phức. Bằng cách đi ngược lại quá trình từ phương trình suy ra hệ phương trình. Ta sẽ được quá trình hệ phương trình  phương trình. Giải hệ phương trình, so sánh phần thực và phần ảo, ta được nghiệm của hệ phương trình. I. Bước chuẩn bị 1/ Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết số phức, tìm ra những ứng dụng cần thiết nhất từ đó xây dựng chương trình để đưa vào truyền đạt cho học sinh. 2/ Chọn bài tập mẫu Chọn một số bài tập mẫu tiêu biểu phù hợp được các đối tượng : Trung bình, khá và giỏi để đưa vào giảng dạy nhằm củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, rèn luyện được kỹ thuật ứng dụng của lý thuyết số phức. 3/ Phân phối thời gian Cần phân bố thời gian hợp lý, có phương án đối phó với những tình huống không trả lời được của học sinh. 4/ Bước chuẩn bị của thầy và trò 4.1- Chuẩn bị của trò : * Các kiến thức cơ bản a) Định nghĩa * ĐN1. Một số phức là một biểu thức dạng : a + bi. a, b ∈¡, số i thỏa mãn : 2 1i = −. i : đơn vị ảo. a : phần thực. b : phần ảo. * ĐN2. Hai số phức : z = a + bi với a, b ∈¡ z’ = a’ + b’i với a’, b’ ∈¡ Ta có : z = z’ ‘ ‘ a a b b =  ⇔  =  b) Phép toán về số phức (b 1 ) phép cộng (Định nghĩa và tính chất) (b 2 ) phép trừ (b 3 ) phép nhân (Định nghĩa và tính chất) (b 4 ) phép chia Trang 2 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH • Số phức liên hợp • Số phức nghịch đảo • Phép chia c) Khai căn bậc hai của số phức * ĐN : Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa 2 z w= được gọi là một căn bậc hai của w. * Cách tìm căn bậc hai của số phức z d) Dạng lượng của số phức 4.2- Chuẩn bị của thầy :. Giáo án và các dụng cụ dạy học có liên quan.. Chuẩn bị bài tập chu đáo.. Tìm một số đề thi để giới thiệu. (1) Bài tập mẫu dạy tại lớp : * Bài 1- Giải hệ : 2 2 5 2 55 x x y xy y  + − =  + =  * Bài 2 : Giải hệ : 3 2 2 3 3 1 3 3 x xy x y y  − =   − = −   * Bài 3 : Giải hệ 2 2 2 2 3 3 3 0 x y x x y x y y x y −  + =  +   +  − =  +  * Bài 4- Giải hệ : 1 3. 1 2 1 7. 1 4 2 x x y y x y    + =   ÷ +        − =  ÷  +    * Bài 5- Giải hệ : Trang 3 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 12 1 2 3 12 1 6 3 x x y y x y    − =   ÷ +        + =  ÷  +    * Bài 1- Dụng ý :. Để học sinh sử dụng phương pháp khác gặp rất nhiều trắc trở.. Khai thác phương pháp sử dụng số phức dễ dàng hơn.. Mặt khác để dẫn dắt học sinh đi đến áp dụng số phức bằng cách cho học sinh bình phương 2 ( ) ?x yi+ = * Bài 2, 3- Rèn luyện kỹ năng áp dụng dạng giống bài 1. * Bài 4- Dụng ý :. Rèn kỹ năng áp dụng bằng thay biến phụ. * Bài 5- Dụng ý :. Rèn kỹ năng thêm trên cơ sở đã hiểu bài 4. (2) Bài tập tự rèn luyện ở nhà : * Bài 1 2 2 5 5 2 5 7 x x y xy y  + − =  + =  * Bài 2 2 3 2 8 6 2 2 12 2 x x y x xy y  − − =     − + = −   *Bài 3 2 2 3 4 log ( 5) 3 log (2 55) 4 x y x x y x xy y y  + − + − =   + + − =   Trang 4 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH * Bài 4 3 2 2 4 log ( 5( 1) 3 log ( 2 5 7) 4 x y x x x y y xy y    + + − − =     + + − =   (3)Đồ dùng dạy học  ĐỒ DÙNG 1 – BẢNG TÓM TẮT CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN a ) Định nghĩa * ĐN1. Một số phức là một biểu thức dạng : a + bi. a, b ∈¡, số i thỏa mãn : 2 1i = −. i : đơn vị ảo. a : phần thực. b : phần ảo. * ĐN2. Hai số phức : z = a + bi với a, b ∈¡ z’ = a’ + b’i với a’, b’ ∈¡ Ta có : z = z’ ‘ ‘ a a b b =  ⇔  =  b) Phép toán về số phức (b 1 ) phép cộng (Định nghĩa và tính chất) (b 2 ) phép trừ (b 3 ) phép nhân (Định nghĩa và tính chất) (b 4 ) phép chia • Số phức liên hợp • Số phức nghịch đảo • Phép chia Trang 5 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH c) Khai căn bậc hai của số phức * ĐN : Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa 2 z w= được gọi là một căn bậc hai của w. * Cách tìm căn bậc hai của số phức z d) Dạng lượng của số phức  ĐỒ DÙNG 2 – Bảng trình chiếu  Bài tập 1 : Giải hệ phương trình 2 2 5 2 55 x x y xy y  + − =  + =   ĐỒ DÙNG 3 – Bảng trình chiếu  Bài tập 2 : Giải hệ phương trình : Trang 6 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 2 2 3 3 1 3 3 x xy x y y − = − =−       ĐỒ DÙNG 4 – Bảng trình chiếu  Bài tập 3 :Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 3 3 3 0 x y x x y x y y x y        − + = + + − = +  ĐỒ DÙNG 5 – Bảng trình chiếu Trang 7 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  Bài tập 4 : Giải hệ phương trình : 1 3. 1 2 1 7. 1 4 2 x x y y x y    + =   ÷ +        − =  ÷  +     ĐỒ DÙNG 6 – Bảng trình chiếu  Bài tập 5 : Giải hệ phương trình : 12 1 2 3 12 1 6 3 x x y y x y    − =   ÷ +        + =  ÷  +    Trang 8 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH  ĐỒ DÙNG 7 – Bảng trình chiếu BÀI TẬP VỀ NHÀ  Bài 1 2 2 5 5 2 5 7 x x y xy y  + − =  + =   Bài 2 2 3 2 8 6 2 2 12 2 x x y x xy y  − − =     − + = −    Bài 3 2 2 3 4 log ( 5) 3 log (2 55) 4 x y x x y x xy y y  + − + − =   + + − =    Bài 4 3 2 2 4 log ( 5( 1) 3 log ( 2 5 7) 4 x y x x x y y xy y    + + − − =     + + − =   Trang 9 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH II. Bước soạn giảng * Ngày soạn : * Tiết PPCT : Tên bài : ỨNG DỤNG SỐ PHỨC (Chuyên đề tự chọn 12 – Nâng cao) Dạy bồi dưỡng học sinh giỏi A- Mục đích bài dạy : 1. Kiến thức : Nắm vững kiến thức lý thuyết về Số phức – Ứng dụng số phức. 2. Kĩ năng : Vận dụng số phức vào việc giải hệ phương trình. 3. Tư duy : Tư duy logic – tư duy so sánh. Mối quan hệ giữa sự vật và trừu tượng. B- Đồ dùng dạy học :. Bảng trình chiếu : Các đề bài tập.. Bảng tóm tắt : Kiến thức cơ bản về số phức.. Đề bài tập về nhà. C- Hoạt động dạy và học : 1. Kiểm tra bài cũ : Sẽ hỏi trong quá trình dạy 2. Hoạt động trên lớp: Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung ghi bảng * Hoạt động 1 (5 phút) GV: Trình chiếu kiến thức cơ bản về số phức. GV: Thuyết trình * Hoạt động 2 (8 phút) GV: Trình chiếu Bài tập 1. Giải hệ : 2 2 5 2 55 x x y xy y  + − =  + =  GV: Em nào giải hệ trên ? HS: Lúng túng và gặp khó trong việc giải hệ này GV: Hướng dẫn học sinh sử dụng số phức bằng cách dùng : z = a + bi với a, b ∈¡ z’ = a’ + b’i với a’, b’ ∈¡ z = z’ ‘ ‘ a a b b =  ⇔  =  GV: Gợi mở từ 2 ( ) ?x yi+ = 2 2 5x x y+ − = (1) * Bài tập 1- 2 2 5 2 55 x x y xy y  + − =  + =  Bài giải 2 2 5x x y+ − = (1) 2 55xy y+ = (2) Nhân 2 vế của (2) với I sau đó cộng vào (1) ta có : 2 ( ) 5 55x yi x yi i + + + = + Đặt z = x + yi ta có pt : z 2 + z – 5 – 55i = 0 5 5 6 5 z i z i = +  ⇔  = − −  Trang 10 […]… dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH   12  u 1 − u 2 + υ 2 ÷ = 2 3    Ta có hệ  υ 1 + 12  = 6   u2 +υ 2 ÷    3 Củng cố dặn dò (3 phút): * Củng cố phương pháp giải hệ phương trình bằng số phức * Phát hiện các bài toán hệ phương trình mà giải được bằng bằng lý thuyết số phức * Sưu tập các đề thi tuyển sinh và đề thi học sinh giỏi giải được bằng lý thuyết số phức *… Trường:THPT Chuyên Lê Quí Đôn NĂM HỌC : 2009 – 2010 Trang 17 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO NINH THUẬN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÍ ĐÔN  Đề tài ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ Trang 18 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Giáo viên : TRẦN VĂN TRUNG Chức vụ : Giáo viên Trường THPT Chuyên LÊ QUÍ ĐÔN… góp ý kiến để sang kiến ngày càng hoàn thiện hơn Xin chân thành cám ơn Phan Rang, ngày 10 tháng 5 năm 2010 Người viết Trần Văn Trung Trang 15 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trang 16 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỞ GIÁO… GV: (*) => z Ta có nghiệm (x,y) Ta có nghiệm (x,y) * Hoạt động 4 (8 phút) GV: Trình chiếu Bài tập 3 Giải hệ phương trình (4) Trang 11 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH * Bài tập 3: Giải hệ phương trình  x 3 − 3 xy 2 = 1   2 3 3 x y − y = − 3  GV: Hỏi học sinh giải HS: Trình bày lời giải [Nếu không được GV sẽ gợi ý : Nhân 2 vế của (2) với i rồi cộng vào (1)]… Trung bình 5 Yếu 2 Kém 1 Lớp 11 – Toán 1  2 x 2 − y 2 + 2 2 x = −1  * Giải hệ phương trình :   2 xy + y = 2  Trang 14 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Điểm Số lượng Giỏi 11 Khá 16 Trung bình 5 Yếu 2 Kém Lớp 11 – Toán 2  x 2 − 4 y 2 + 2 x = −1 • Giải hệ phương trình :   xy − y = 1 Điểm Số lượng Giỏi 10 Khá 15 Trung bình 6 Yếu 1 Kém C KẾT LUẬN : Thực tế việc… Bài tập 4: Giải hệ phương trình   1   3 x 1 + ÷= 2   x+ y   7 y 1 − 1  = 4 2  ÷   x+ y  Với x, y ∈ ¡ u = x ≥ 0  Đặt  ta có hệ phương trình υ = y ≥ 0  Trang 12 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nhân 2 vế của (2) với i sau đó cộng với (1) ta có : 1 2 4 2 (u − υ i ) = + i 2 u +υ 3 7 Đặt z = u + υ i ⇒ u 2 + υ 2 = z z Ta có phương trình : 1…Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2 xy + y = 55 (2) x = y = 5  x + yi = 5 + 5i  Nhân 2 vế của (2) với i sau đó cộng vào (1) ta Vậy  ⇔   x = −6  x + yi = −6 − 5i có :   y = −5   ( x + yi ) 2 + x +… phút) phương trình : GV: Trình chiếu Bài tập 5 Giải hệ phương trình 1 2 4 2   12   x 1 − ÷= 2   3x + y    y 1 + 12  = 6   3x + y ÷    GV: Học sinh giải x ≥ 0  Đk  y ≥ 0 3 x + y ≠ 0  Hệ phương đã cho viết lại :   12   3 x 1 − ÷= 2 3 u = 3 x u ≥ 0   3x + y   Đặt  Đk:   υ ≥ 0 υ = y  y 1 + 12  = 6   ÷   3x + y     12  u 1 − u 2 + υ 2 ÷ = 2 3    Ta có hệ. .. ;2009-2010  Bài tập 1 : 4:  Bài tập 2 :  Bài tập 3 :  Bài tập  Bài tập 2 :  Bài tập 3 :  Bài tập  Bài tập 5 :  Bài tập 1 : 4:  Bài tập 5 : Trang 19 Kinh nghiệm giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trang 20 … yi = −6 − 5i    y = −5  z 2 + z – 5 – 55i = 0 * Hoạt động 3 (8 phút) GV: Trình chiếu Bài tập 2 3x − y   x + x2 + y 2 = 3    y − x + 3y = 0  x2 + y 2  * Bài tập 2 : Giải hệ phương trình 3x − y   x + x2 + y2 = 3    y − x + 3y = 0  x2 + y 2  GV : Nếu giải phương pháp thông thường sẽ rất khó GV : Thuyết trình Giải Đk : x 2 + y 2 ≠ 0 Nhân 2 vế của (2) cho i, ta được Nhân 2 vế của (2) cho. dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Đề tài : ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. ĐẶT VẤN ĐỀ : Trong quá trình giảng dạy toán việc hướng dẫn học sinh giải. lại quá trình từ phương trình suy ra hệ phương trình. Ta sẽ được quá trình hệ phương trình  phương trình. Giải hệ phương trình, so sánh phần thực và phần ảo, ta được nghiệm của hệ phương trình. I giảng dạy  ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vậy ta có hệ : 2 2 2 x y a xy b  − =  =  Như thế, một hệ phương trình có thể “xuất xứ” từ các phương trình nghiệm phức. Bằng

Rate this post
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments