Một số ứng dụng của Tứ giác nội tiếp.(SKKN)

Một số ứng dụng của Tứ giác nội tiếp.(SKKN)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (289.27 KB, 19 trang )

Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp
I/ Đặt vấn đề:
Hình học cấp hai là một bộ môn khoa học khó đối với học sinh. Đa số các em ngại
học, ngại đầu t, cha say mê với bộ môn này. Đặc biệt với học sinh lớp 9, phần đờng
tròn các em đơng chập chững làm quen. Các em luôn gặp khó khăn trớc việc chứng
minh một bài toán hình. Các em loay hoay không biết bắt đầu từ đâu, chứng minh
nh thế nào?
Trớc thực tiễn đó, với trách nhiệm của ngời giáo viên đang trực tiếp giảng dạy, bản
thân tôi đã tìm hiểu nguyên nhân vì sao? Do đâu các em nhận thức lệch lạc về bộ
môn này. Theo tôi có một số nguyên nhân sau:
Về phía học sinh:
+ Học sinh cha thật nắm chắc lý thuyết.
+ Cha biết vận dụng tri thức toán học vào thực hành.
+ Hiểu bài một cách thụ động, không vững chắc.
+ Suy luận hình học kém, lập luận đôi khi còn theo cảm tính.
+ Cha đúc rút đợc kinh nghiệm sau mỗi bài giải.
+ Cha biết cách khai thác bài toán.
+ Hình vẽ thiếu chính xác, không rõ ràng.
+ Ngôn ngữ, ký hiệu tuỳ tiện.
Về phía giáo viên:
+ Cha chú trọng cho học sinh cách giải bài toán hình học.
+ Bằng lòng và kết thúc công việc giải bài tập hình học khi đã tìm ra cách giải nào
đó.
+ Cha chú trọng cho học sinh cách tìm tòi lời giải.
+ ít quan tâm đến sự phát triển t duy, sáng tạo của học sinh.
+ Chú ý đến số lợng bài tập, cha chú trọng đến chất lợng.
Trớc những nguyên nhân cơ bản làm cho học sinh ngại môn hình học đặc biệt là
chứng minh hình học, thiết nghĩ ngời giáo viên cần:
– Nắm vững kiến thức.
– Chú ý phát triển t duy học sinh.
– Trình bày bài giảng một cách có hệ thống, lô gíc.

– Vận dụng dạy học theo phơng pháp đổi mới.
– Tìm tòi, hệ thống bài tập từ đơn giản đến phức tạp để củng cố, khắc sâu một
kiến thức, một chủ đề toán học nào đó, nhằm giúp học sinh có phơng pháp
chứng minh một bài toán hình học tốt hơn, từ đó tạo cho các em niềm tin, sự h-
ng phấn trong học toán hình học.
Trong khuôn khổ cho phép, tôi không có tham vọng nêu đợc tất cả các phơng pháp
chứng minh hình học mà chỉ thể hiện một đề tài nhỏ về chứng minh toán học, đó là:
Chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đờng thẳng song
song, hai đờng thẳng vuông góc thông qua tứ giác nội tiếp
1
1
Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp
II/ Nội dung của đề tài
Trong quá trình học hình học ở cấp hai, đặc biệt là các lớp 7, 8, 9 các em thờng
chứng minh hai góc bằng nhau thông qua hai tam giác bằng nhau, hai góc so le
trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc cùng phụ, cùng bù vời một
góc thứ ba. Hay muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng học sinh hay vận dụng: sử
dụng tiên đề Ơclit, hai góc kề bù, chứng minh hai đoạn thẳmg bằng nhau học
sinh thờng gắn hai đoạn thẳng đó vào hai tam giác bằng nhau
Ngoài các phơng pháp trên để chứng minh hai góc bằng nhau, hai đờng thẳng song
song, ba điểm thẳng hàng, hai đoạn thẳng bằng nhau thì còn những phơng pháp
chứng minh nào nữa?
Với kinh nghiệm của bản thân tôi xin đa ra một số bài toán vận dụng tứ giác nội
tiếp để chứng minh.
III/ Đối tợng nghiên cứu
– Học sinh khối lớp 9
– Các tài liệu tham khảo
– Sách giáo khoa các lớp 6, 7, 8, 9 và các chuyên đề toán học
IV/ Nội dung cụ thể:
A. Để vận dụng đợc tứ giác nội tiếp trớc hết học sinh phải nắm vững điều kiện cần

và đủ để tứ giác nội tiếp:
Tứ giác ABCD nội tiếp
à
à
A C
+
= 2v hoặc
à
à
B D+
= 2v và một số cách thờng
dùng chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp
Cách1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 2v
Cách2: Hai điểm B và C cùng nhìn đoạn AD cho trớc dới một góc vuông thì tứ giác
ABCD nội tiếp
Cách3: Từ hai đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn
xuống cạnh qua hai đỉnh kia dới những góc bằng nhau
ã ã
CBD CAD=
thì tứ giác đó nội tiếp
2
2
A D
O
B
C
B
A
C
D

O
Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp
Cách4: Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại M mà MA .MC = MB.MD thì tứ giác
ABCD nội tiếp
Chứng minh:
Từ MA.MC = MB.MD suy ra:
MC
MD
MB
MA
=
.
Hai tam giác MAD và MBC có:


1 2
M M
=
(Đối đỉnh)
MC
MD
MB
MA
=
. MAD MBC

ã
ã
MAD MBC
=

hay:
ã ã
CAD CBD
=
Tứ giác ABCD nội tiếp
Cách5: Tứ giác ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt nhau
tại M mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp
Chứng minh:
Từ MA.MB = MC.MD suy ra:
MB
MC
MD
MA
=
MAC và MDB có:

M
chung:
MB
MC
MD
MA
=
MAC MDB
ã
ã
MCA MBD=
.
Hay
ã

ã
DCA ABD
=
Tứ giác ABCD nội tiếp
B. Một số dạng toán cụ thể:
1) Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh hai góc bằng nhau :
Bài toán 1.1: Cho đờng tròn (O;R). Từ một điểm M ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp
tuyến MN, MP với đờng tròn (O)(N,P là hai tiếp điểm). Chứng minh:
ã
ã
NMO NPO
=
H ớng dẫn : Với bài toán này sau khi vẽ hình học sinh sẽ lúng túng không biết sử dụng
phơng pháp nào để chứng minh hai góc bằng nhau, gv có thể hớng dẫn học sinh suy
nghĩ từng bớc: từ MN, MP là hai tiếp tuyến ta có đợc điều gì? ta dễ dàng chứng minh
tứ giác nào trong hình là nội tiếp? Từ đó suy ra điều gì?
3
3
2
1
M
C
D
A
B
O
B
A
D
C

C
D
l
A
B
M
O
M
B
C
B’
A
C’
O
B
C
H
B’
A
C’
A’
1 2
1
1
Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp
N
O
P
M
Chứng minh: Ta có MN, MP là hai tiếp tuyến của (O)

ã
ã
ONM OPM
=
= 90
0
. Tứ giác
ONMP có:
ã
ã
ONM OPM
+
= 180
0
nên tứ giác ONMP nội tiếp

ã
ã
NMO NPO
=
( Hai góc nội tiếp chắn cung NO)
Bài toán 1.2: Cho

ABC nội tiếp đờng tròn(O). Các đờng cao BB

, CC

. Chứng minh:
ã
ã

‘ ‘ ‘
C B B C CB=
Nhận xét:
ở bài toán này học sinh sẽ không tìm ra cặp tam giác bằng nhau để chứng minh hai
góc trên bằng nhau. GV cần hớng dẫn học sinh phân
tích bài toán
+ BB

, CC

là hai đờng cao suy ra điều gì?
+ Tứ giác BC

B

C có
ã
ã
‘ ‘ 0
90BC C BB C
= =
ta có đợc
điều gì?
+ Từ tứ giác BC

B

C nội tiếp ta suy ra đợc gì?
Chứng minh: Tứ giác BC

B

C có
ã
ã
‘ ‘
BC C BBC
=
(Vì
CC

AB, BB

AC)
tứ giác BC

B

C nội tiếp đờng tròn đờng
kính BC Do đó:
ã
ã
‘ ‘ ‘
C B B C CB=
(Hai góc
nội tiếp cùng chắn cung BC)
Bài toán 1.3: Cho

ABC. Ba đờng cao
AA

, BB

, CC

. Chứng minh rằng trực
tâm H của tam giác ABC là tâm của đ-
ờng tròn nội tiếp tam giác A

B

C

GV hớng dẫn học sinh phân tích bài
toán theo các câu hỏi sau:
4
4
Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp
– Hỏi1: Để chứng minh H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác A

B

C

ta cần chứng
minh H là giao điểm của ba đờng nào trong tam giác?
– Hỏi2: Vậy ta cần chứng minh những góc nào bằng nhau?
– Hỏi3: Có những cách nào để chứng minh:

‘ ‘
1 2
A A= ?
– Hỏi4: (Gợi ý) Cần chứng minh hai góc này cùng bằng một góc hoặc hai góc
bằng nhau nào đó ?
– Hỏi5: Có thể sử dụng giả thiết AA

, BB

, CC

là các đờng cao nh thế nào?
Sơ đồ phân tích:
H là tâm đờng tròn nội tiếp A

B

C

b





‘ ‘ ‘ ‘
1 2 1 2
;A A B B
= =

b

Tứ giác A

BC

N nội tiếp
ơ

à

à

1 1 2 1
;A B A C
= =
Tứ giác A

CB

H nội tiếp

b

à
à
1 1
B C
=

b
BCB

C

nội tiếp
Chứng minh:
Tứ giác BA

HC

có hai góc đối bù nhau( Vì A

= C

= 1v) nên tứ giác BA

HC

nội tiếp đợc

à

1 1
A B
=
( Cùng chắn cung HC)
Tơng tự : Tứ giác CA

HB

nội tiếp

à

2 1
A C
=
( Cùng chắn cung HB

)
Ta lại có BCB

C

nội tiếp(
ã
ã
‘ ‘
BB C BC C
= =
1v)
à
à
1 1
B C=
. Do đó

‘ ‘
1 2
A A
=
. Hay A

H
là tia phân giác của góc B

A

C

.
Chứng minh tơng tự: B

H là tia phân giác của góc C

B

A

. Vậy H là tâm đờng tròn
nội tiếp tam giác A

B

C

Bài toán 1.4:(Bài 5, mục giải toán qua th Tạp chí toán tuổi thơ 2 số 18)

Bi 5(18) : Cho hỡnh thang ABCD (AB // CD). O l giao im ca AC v BD. M l
trung im ca CD. Cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc AOD, BOC ct nhau
ti K khỏc O. Chng minh rng :
ã
ã
=KOC MOD
;
Li gii :
5
5
Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp
Trờn tia i ca tia MO, ly im I sao cho MI = MO. D thy ODIC l hỡnh
bỡnh hnh, DI // OC =>
ã
ã
=
IOC OID
(1).
Mt khỏc ta thy :
+) AB // CD

+) AOKD ; BOKC l cỏc t giỏc ni tip nờn
ã
ã
=OAK ODK
;
ã
ã
=OCK OBK

+) ODIC l hỡnh bỡnh hnh nờn OC = DI.
Chỳ ý rng
ã ã
=AKD AOD
(vỡ AOKD ni tip)
v
ã
ã
AOD = IDO
(vỡ AO // DI) suy ra
ã
ã
=AKD IDO
. (1)
=>
ã
ã
=OID DAK

=>
ã
ã
=OID DOK
(vỡ AOKD ni tip) (2)
T (1) v (2) suy ra :
ã
ã
IOC = DOK
=>
ã

ã
KOC = MOD
(pcm).
2) Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh hai đ ờng thẳng song
song, hai đ ờng thẳng vuông góc
Bài toán 2.1: Hai đờng tròn (O) và (O

) giao nhau tại A và B. CD là dây
tuỳ ý của (O), CA và BD cắt (O

) tại E và F. Chứng minh EF//CD
GV hớng dẫn học sinh phân tích bài toán:

CD//EF
6
6
Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp

b

à à
C E
+
= 2v

b

à

à
à
2 1
;C B B E= =
Tứ giác ABCD nh thế nào?
\

_
Tứ giác ABEF nh thế nào?
Chứng minh:
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O)
à
à
1
C B+
= 2v, mà
à

1 2
B B
+
= 2v

à

2
C B=
(1)
Chứng minh tơng tự ta có :

à
à
1
E B
=
(2)

à

1 2
B B
+
= 180
0
(3)
Từ (1), (2), (3)
à à
0
180E C
+ =
.
Do đó EF //CD (đpcm).

Bài toán 2.2: Cho đờng tròn (O) và hai đờng kính AB, CD vuông góc với nhau.
Một đờng thẳng d qua C cắt AB tại M và cắt đờng tròn (O) tại N. Gọi P là giao
điểm của tiếp tuyến tại N của (O) với đờng thẳng vuông góc với AB tại M. Chứng
minh OP // d
Phân tích bài toán:
d //OP

b

ã
ã
DOP OCN
=

b

ã
ã
OPM ONC
=

(Vì:
ã
ã
ã
ã
;DOP OPM OCN ONC
= =
)

b
Tứ giác : OMNP nội tiếp
7
7
C
N

A
D
P
M
O
d
B
d
B
C
B
F
E
D
A
O’
O
1 2
– Vận dụng dạy học theo phơng pháp thay đổi. – Tìm tòi, mạng lưới hệ thống bài tập từ đơn thuần đến phức tạp để củng cố, khắc sâu mộtkiến thức, một chủ đề toán học nào đó, nhằm mục đích giúp học viên có phơng phápchứng minh một bài toán hình học tốt hơn, từ đó tạo cho những em niềm tin, sự h-ng phấn trong học toán hình học. Trong khuôn khổ được cho phép, tôi không có tham vọng nêu đợc tổng thể những phơng phápchứng minh hình học mà chỉ bộc lộ một đề tài nhỏ về chứng tỏ toán học, đó là : Chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đờng thẳng songsong, hai đờng thẳng vuông góc trải qua tứ giác nội tiếpMột số ứng dụng của tứ giác nội tiếpII / Nội dung của đề tàiTrong quy trình học hình học ở cấp hai, đặc biệt quan trọng là những lớp 7, 8, 9 những em thờngchứng minh hai góc bằng nhau trải qua hai tam giác bằng nhau, hai góc so letrong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc cùng phụ, cùng bù vời mộtgóc thứ ba. Hay muốn chứng tỏ ba điểm thẳng hàng học viên hay vận dụng : sửdụng tiên đề Ơclit, hai góc kề bù, chứng tỏ hai đoạn thẳmg bằng nhau họcsinh thờng gắn hai đoạn thẳng đó vào hai tam giác bằng nhauNgoài những phơng pháp trên để chứng tỏ hai góc bằng nhau, hai đờng thẳng songsong, ba điểm thẳng hàng, hai đoạn thẳng bằng nhau thì còn những phơng phápchứng minh nào nữa ? Với kinh nghiệm tay nghề của bản thân tôi xin đa ra một số ít bài toán vận dụng tứ giác nộitiếp để chứng tỏ. III / Đối tợng nghiên cứu và điều tra – Học sinh khối lớp 9 – Các tài liệu tìm hiểu thêm – Sách giáo khoa những lớp 6, 7, 8, 9 và những chuyên đề toán họcIV / Nội dung đơn cử : A. Để vận dụng đợc tứ giác nội tiếp trớc hết học viên phải nắm vững điều kiện kèm theo cầnvà đủ để tứ giác nội tiếp : Tứ giác ABCD nội tiếpA C = 2 v hoặcB D + = 2 v và 1 số ít cách thờngdùng chứng tỏ một tứ giác là tứ giác nội tiếpCách1 : Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 2 vCách2 : Hai điểm B và C cùng nhìn đoạn AD cho trớc dới một góc vuông thì tứ giácABCD nội tiếpCách3 : Từ hai đỉnh liên tục của tứ giác cùng nhìnxuống cạnh qua hai đỉnh kia dới những góc bằng nhauã ãCBD CAD = thì tứ giác đó nội tiếpA DMột số ứng dụng của tứ giác nội tiếpCách4 : Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại M mà MA. MC = MB.MD thì tứ giácABCD nội tiếpChứng minh : Từ MA.MC = MB.MD suy ra : MCMDMBMAHai tam giác MAD và MBC có : 1 2M M ( Đối đỉnh ) MCMDMBMA. MAD MBCMAD MBChay : ã ãCAD CBDTứ giác ABCD nội tiếpCách5 : Tứ giác ABCD có hai cạnh bên AB và CD cắt nhautại M mà MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếpChứng minh : Từ MA.MB = MC.MD suy ra : MBMCMDMAMAC và MDB có : chung : MBMCMDMAMAC MDBMCA MBD = HayDCA ABDTứ giác ABCD nội tiếpB. Một số dạng toán đơn cử : 1 ) Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng tỏ hai góc bằng nhau : Bài toán 1.1 : Cho đờng tròn ( O ; R ). Từ một điểm M ở ngoài đờng tròn ( O ) vẽ hai tiếptuyến MN, MP với đờng tròn ( O ) ( N, P là hai tiếp điểm ). Chứng minh : NMO NPOH ớng dẫn : Với bài toán này sau khi vẽ hình học sinh sẽ lúng túng không biết sử dụngphơng pháp nào để chứng tỏ hai góc bằng nhau, gv hoàn toàn có thể hớng dẫn học viên suynghĩ từng bớc : từ MN, MP là hai tiếp tuyến ta có đợc điều gì ? ta thuận tiện chứng minhtứ giác nào trong hình là nội tiếp ? Từ đó suy ra điều gì ? B’C ‘ B’C ‘ A ‘ 1 2M ột số ứng dụng của tứ giác nội tiếpChứng minh : Ta có MN, MP là hai tiếp tuyến của ( O ) ONM OPM = 90. Tứ giácONMP có : ONM OPM = 180 nên tứ giác ONMP nội tiếpNMO NPO ( Hai góc nội tiếp chắn cung NO ) Bài toán 1.2 : ChoABC nội tiếp đờng tròn ( O ). Các đờng cao BB, CC. Chứng minh : ‘ ‘ ‘ C B B C CB = Nhận xét : ở bài toán này học viên sẽ không tìm ra cặp tam giác bằng nhau để chứng tỏ haigóc trên bằng nhau. GV cần hớng dẫn học viên phântích bài toán + BB, CClà hai đờng cao suy ra điều gì ? + Tứ giác BCC có ‘ ‘ 090BC C BB C = = ta có đợcđiều gì ? + Từ tứ giác BCC nội tiếp ta suy ra đợc gì ? Chứng minh : Tứ giác BCC có ‘ ‘ BC C BBC ( VìCCAB, BBAC ) tứ giác BCC nội tiếp đờng tròn đờngkính BC Do đó : ‘ ‘ ‘ C B B C CB = ( Hai gócnội tiếp cùng chắn cung BC ) Bài toán 1.3 : ChoABC. Ba đờng caoAA, BB, CC. Chứng minh rằng trựctâm H của tam giác ABC là tâm của đ-ờng tròn nội tiếp tam giác AGV hớng dẫn học viên nghiên cứu và phân tích bàitoán theo những câu hỏi sau : Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếp – Hỏi1 : Để chứng tỏ H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác Ata cần chứngminh H là giao điểm của ba đờng nào trong tam giác ? – Hỏi2 : Vậy ta cần chứng tỏ những góc nào bằng nhau ? – Hỏi3 : Có những cách nào để chứng tỏ : ‘ ‘ 1 2A A = ? – Hỏi4 : ( Gợi ý ) Cần chứng tỏ hai góc này cùng bằng một góc hoặc hai gócbằng nhau nào đó ? – Hỏi5 : Có thể sử dụng giả thiết AA, BB, CClà những đờng cao nh thế nào ? Sơ đồ nghiên cứu và phân tích : H là tâm đờng tròn nội tiếp A ‘ ‘ ‘ ‘ 1 2 1 2 ; A A B B = = Tứ giác ABCN nội tiếp1 1 2 1 ; A B A C = = Tứ giác ACBH nội tiếp1 1B CBCBnội tiếpChứng minh : Tứ giác BAHCcó hai góc đối bù nhau ( Vì A = C = 1 v ) nên tứ giác BAHCnội tiếp đợc1 1A B ( Cùng chắn cung HC ) Tơng tự : Tứ giác CAHBnội tiếp2 1A C ( Cùng chắn cung HBTa lại có BCBnội tiếp ( ‘ ‘ BB C BC C = = 1 v ) 1 1B C =. Do đó ‘ ‘ 1 2A A. Hay Alà tia phân giác của góc BChứng minh tơng tự : bh là tia phân giác của góc C. Vậy H là tâm đờng trònnội tiếp tam giác ABài toán 1.4 : ( Bài 5, mục giải toán qua th Tạp chí toán tuổi thơ 2 số 18 ) Bi 5 ( 18 ) : Cho hỡnh thang ABCD ( AB / / CD ). O l giao im ca AC v BD. M ltrung im ca CD. Cỏc ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc AOD, BOC ct nhauti K khỏc O. Chng minh rng : = KOC MODLi gii : Một số ứng dụng của tứ giác nội tiếpTrờn tia i ca tia MO, ly im I sao cho MI = MO. D thy ODIC l hỡnhbỡnh hnh, DI / / OC => IOC OID ( 1 ). Mt khỏc ta thy : + ) AB / / CD + ) AOKD ; BOKC l cỏc t giỏc ni tip nờn = OAK ODK = OCK OBK + ) ODIC l hỡnh bỡnh hnh nờn OC = DI.Chỳ ý rngã ã = AKD AOD ( vỡ AOKD ni tip ) AOD = IDO ( vỡ AO / / DI ) suy ra = AKD IDO. ( 1 ) => = OID DAK => = OID DOK ( vỡ AOKD ni tip ) ( 2 ) T ( 1 ) v ( 2 ) suy ra : IOC = DOK => KOC = MOD ( pcm ). 2 ) Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng tỏ hai đ ờng thẳng songsong, hai đ ờng thẳng vuông gócBài toán 2.1 : Hai đờng tròn ( O ) và ( O ) giao nhau tại A và B. CD là dâytuỳ ý của ( O ), CA và BD cắt ( O ) tại E và F. Chứng minh EF / / CDGV hớng dẫn học viên nghiên cứu và phân tích bài toán : CD / / EFMột số ứng dụng của tứ giác nội tiếpà àC E = 2 v2 1 ; C B B E = = Tứ giác ABCD nh thế nào ? Tứ giác ABEF nh thế nào ? Chứng minh : Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn ( O ) C B + = 2 v, mà1 2B B = 2 vC B = ( 1 ) Chứng minh tơng tự ta có : E B ( 2 ) 1 2B B = 180 ( 3 ) Từ ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) à à180E C + = Do đó EF / / CD ( đpcm ). Bài toán 2.2 : Cho đờng tròn ( O ) và hai đờng kính AB, CD vuông góc với nhau. Một đờng thẳng d qua C cắt AB tại M và cắt đờng tròn ( O ) tại N. Gọi P là giaođiểm của tiếp tuyến tại N của ( O ) với đờng thẳng vuông góc với AB tại M. Chứngminh OP / / dPhân tích bài toán : d / / OPDOP OCNOPM ONC ( Vì : ; DOP OPM OCN ONC = = Tứ giác : OMNP nội tiếpO ‘ 1 2

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments