Ứng dụng tích phân vào tính thể tích của vật thể – TOÁN HỌC

Lý thuyết: Ứng dụng tích phân vào tính thể tích của vật thể

1. Công thức tổng quát

Một vật thể \ ( \ Omega \ ) số lượng giới hạn bởi hai mặt phẳng ( P ) và ( Q. ) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b ( a < b ). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại hoành độ x ( a < x < b ) và cắt \ ( \ Omega \ ) theo thiết diện S ( x ) ( hàm nhờ vào vào hoành độ x ) và là hàm liên tục theo biến x trên [ a, b ]. Khi đó thể tích của \ ( \ Omega \ ) là ( thừa nhận ) :

     \(V=\int\limits^b_aS\left(x\right)\text{d}x\)

2. Công thức thể tích hình lăng trụ

Tính thể tích hình lăng trụ biết diện tích đáy là B và chiều cao h ( xem hình vẽ )

Áp dụng công thức ở trên :
\ ( V = \ int \ limits ^ h_0S \ left ( x \ right ) \ text { d } x = \ int \ limits ^ h_0B \ text { d } x = B.x | ^ h_0 = B.h \ )

3. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

a) Khối chóp

Tính thể tích hình chóp có diện tích đáy B và chiều cao h ( xem hình vẽ dưới )

Ta có thiết diện và đáy tỉ lệ với x / h => Diện tích thiết diện và diện tích đáy tỉ lệ với ( x / h ) 2 ( do diện tích bằng tích hai độ dài ) .
Hay là : \ ( \ frac { S \ left ( x \ right ) } { B } = \ frac { x ^ 2 } { h ^ 2 } \ ) => \ ( S \ left ( x \ right ) = \ frac { B.x ^ 2 } { h ^ 2 } \ )
Theo công thức tính thể tích :
\ ( V = \ int \ limits ^ h_0S \ left ( x \ right ) \ text { d } x = \ int \ limits ^ h_0 \ frac { B.x ^ 2 } { h ^ 2 } \ text { d } x = \ frac { B } { h ^ 2 }. \ frac { x ^ 3 } { 3 } | ^ h_0 = \ frac { B.h } { 3 } \ )

b) Khối chóp cụt

Thể tích khối chóp cụt có diện tích đáy dưới là \ ( B_1 \ ), diện tích đáy trên là \ ( B_2 \ ) và chiều cao là h :

\ ( V = \ int \ limits ^ { h_1 } _ { h_2 } \ frac { B_1x ^ 2 } { h_1 ^ 2 } \ text { d } x = \ frac { B_1 } { h_1 ^ 2 }. \ frac { x ^ 3 } { 3 } | ^ { h_1 } _ { h_2 } = \ frac { B_1 } { 3 h_1 ^ 2 } \ left ( h_1 ^ 3 – h_2 ^ 3 \ right ) \ )
\ ( = \ frac { B_1 \ left ( h_1-h_2 \ right ) } { 3 } \ frac { \ left ( h_1 ^ 2 + h_1h_2 + h_2 ^ 2 \ right ) } { h_1 ^ 2 } \ )
Thay \ ( h_1-h_2 = h \ ) và \ ( \ left ( \ frac { h_2 } { h_1 } \ right ) ^ 2 = \ frac { B_2 } { B_1 } \ ) ta có :

   \(V=\frac{h}{3}\left(B_1+\sqrt{B_1B_2}+B_2\right)\)

Chú ý : Có thể tính thể tích khối chóp cụt bằng hiệu hai thể tích khối chóp .

4. Tính thể tích khối tròn xoay .

• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số \ ( y = f \ left ( x \ right ) \ ), trục hoành và hai đường thẳng \ ( x = a ; x = b \ ) quanh trục Ox là

\ ( V_x = \ pi \ int \ limits ^ b_af ^ 2 \ left ( x \ right ) dx \ ) ( vì thiết diện là hình tròn trụ nửa đường kính \ ( f \ left ( x \ right ) \ ) )
• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số \ ( y = f \ left ( x \ right ) \ ), \ ( y = g \ left ( x \ right ) \ ) ( trong đó \ ( f \ left ( x \ right ) \ ) và \ ( g \ left ( x \ right ) \ ) cùng dấu ) và hai đường thẳng \ ( x = a ; x = b \ ) quanh trục Ox là
\ ( V_x = \ pi \ int \ limits ^ b_a \ left | f ^ 2 \ left ( x \ right ) – g ^ 2 \ left ( x \ right ) \ right | dx \ ) ( vì thiết diện là hình miệng giếng số lượng giới hạn bởi hai đường tròn nửa đường kính lần lượt là \ ( f \ left ( x \ right ) \ ) và \ ( g \ left ( x \ right ) \ ) )
• Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số \ ( x = g \ left ( y \ right ) \ ) ), trục hoành và hai đường thẳng \ ( y = a ; y = b \ ) quanh trục Oy là
\ ( V_y = \ pi \ int \ limits ^ b_ag ^ 2 \ left ( y \ right ) dy \ )

Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=\sin x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0;x=\pi\). Hãy tính thể tích của khối tròn xoay khi quay hình này quanh trục Ox.

Giải : Thể tích của khối tròn xoay là :
\ ( V = \ pi \ int \ limits ^ { \ pi } _0 \ sin ^ 2 x \ text { d } x \ )
\ ( = \ pi \ int \ limits ^ { \ pi } _0 \ frac { 1 } { 2 } \ left ( 1 – \ cos2x \ right ) \ text { d } x = \ frac { \ pi } { 2 } \ left ( x – \ frac { 1 } { 2 } \ sin2x \ right ) | ^ { \ pi } _0 = \ frac { \ pi ^ 2 } { 2 } \ )

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do hình phẳng \(H=\{y=x\ln x; y=0; x=1; x=e\}\) quay quanh Ox.
ĐS: \(V=\dfrac{\pi}{27}(5e^3-3)\) (đvtt)

— — — — — — — –

Download tài liệu: PDF-tại đây Word: tại đây.

——————

Xem thêm:

— — — — — — — –

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments