Công thức xác định độ dài của đường cong dựa vào tích phân

Ta cần tính độ dài đường cong của hàm số USD y = f ( x ) USD số lượng giới hạn bởi hai đường thẳng USD x = a USD và USD x = b USD tức là độ dài của cung AB với $ A ( a ; f ( a ) ) USD và $ B ( b ; f ( b ) ) USD trên đồ thị hàm số USD y = f ( x ) USD .
Ý tưởng chia đoạn thẳng AB thành n đoạn thẳng nhỏ với n rất lớn thì độ dài của từng đoạn nhỏ sẽ xê dịch đến độ dài của cung tròn nhỏ, tức là tổng độ dài của n đoạn thẳng nhỏ này sẽ xê dịch với độ dài cung AB .

 

Trên đoạn [ a ; b ] xét điểm USD { { x } _ { 0 } } \ in [ a ; b ], USD xét USD { { x } _ { 0 } } + \ Delta x \ in [ a ; b ] USD với USD \ Delta x USD đủ nhỏ khi đó độ dài đoạn thẳng nối hai điểm USD ( { { x } _ { 0 } } ; f ( { { x } _ { 0 } } ) ), ( { { x } _ { 0 } } + \ Delta x ; f ( { { x } _ { 0 } } + \ Delta x ) ) USD ta coi là độ dài của cung nhỏ nối hai điểm USD ( { { x } _ { 0 } } ; f ( { { x } _ { 0 } } ) ), ( { { x } _ { 0 } } + \ Delta x ; f ( { { x } _ { 0 } } + \ Delta x ) ) USD, do USD \ Delta x USD đủ nhỏ nên ta hoàn toàn có thể coi đoạn thẳng nối hai điểm này là tiếp tuyến tại điểm USD { { x } _ { 0 } } USD của đồ thị hàm số USD y = f ( x ). USD Như vậy độ dài đoạn thẳng nối hai điểm

Áp dụng: Một nhà sản xuất tấm lợp kim loại bằng tôn có chiều rộng 28 inch và cao 2 inch, bề mặt tấm lợp được dàn bằng máy theo chương trình máy tính lập trình trước mà tập hợp các điểm trên bề mặt tấm lợp đều thuộc đồ thị của hàm số $y=\sin \frac{\pi x}{7}.$ từ một tấm phôi kim loại phẳng có chiều dài $w.$ Tính chiều dài cần thiết của tấm phôi kim loại để chế tạo được tấm lợp theo yêu cầu trên, biết rằng độ dài của đường cong $y=f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ được xác định bởi công thức $w=\int\limits_{a}^{b}{\sqrt{1+{{[{f}'(x)]}^{2}}}dx}.$

Tham khảo khoá học môn Toán do Vted phát hành tại đây : http://vted.vn/khoa-hoc.html

Bài viết này Vted giới thiệu đến quý thầy cô cùng các em học sinh ứng dụng tích phân trong việc tính độ dài của một đường cong $y=f(x)$ trên đoạn $[a;b]$.

Trước tiên ta xét một ví dụ:

Ví dụ 1. Một con diều hâu bay 15m/s tại độ cao 180 m tình cờ đánh rơi con mồi. Con mồi rơi theo quỹ đạo là đường parabol có phương trình $y=180-\frac{{{x}^{2}}}{45}$ cho đến khi nó chạm đất, trong đó $y$ là độ cao tính từ mặt đất và $x$ là khoảng cách dịch chuyển theo phương ngang. Tính quãng đường di chuyển của con mồi từ lúc rơi đến khi chạm đất, biết độ dài đường cong $y=f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ xác định bởi công thức $L=\int\limits_{a}^{b}{\sqrt{1+{{[{f}'(x)]}^{2}}}dx}.$

A. 209 ( mét ) .
B. 201 ( mét ) .
C. 210 ( mét ) .
D. 290 ( mét ) .

Giải. Con mồi chậm đất khi $y=0\Leftrightarrow 180-\frac{{{x}^{2}}}{45}=0\Leftrightarrow x=90(x\ge 0).$

Quãng đường con mồi chuyển dời từ lúc rơi đến lúc chạm đất là

\[L=\int\limits_{0}^{90}{\sqrt{1+{{[{y}'(x)]}^{2}}}dx}=\int\limits_{0}^{90}{\sqrt{1+{{\left( \frac{-2x}{45} \right)}^{2}}}dx}\approx 209\] (mét).

Chọn đáp án A. 

Các bạn tham khảo thêm tại khoá học Tư duy giải toán trắc nghiệm: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/chuong-trinh-dgnl-hoc-va-giai-toan-trac-nghiem-thpt-quoc-gia-2017-kh963493378.html hoặc khoá học dành riêng cho bài toán thực tế: http://vted.vn/khoa-hoc/xem/chinh-phuc-nhom-cau-hoi-van-dung-thuc-te-trong-de-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-kh668864686.html

Câu 21. Luồng gió thổi ổn định con diều về hướng tây, chiều cao của con diều phụ thuộc vào vị trí tính theo phương ngang từ $x=0$ đến $x=80m$ được cho bởi phương trình $y=150-\frac{1}{40}{{(x-50)}^{2}}.$ Tìm quãng đường con diều.

A. 122,776 ( mét ) .
B. 122,767 ( mét ) .
C. 122,677 ( mét ) .
D. 122,711 ( mét ) .

Giải. Quãng đường con diều là \[L=\int\limits_{0}^{80}{\sqrt{1+{{\left[ {y}'(x) \right]}^{2}}}dx}=\int\limits_{0}^{80}{\sqrt{1+{{\left[ -\frac{1}{20}(x-50) \right]}^{2}}}dx}\approx 122,776.\]

Chọn đáp án A.

>>Chương trình khuyến mại cùng 2k- 2k1-2k2 tăng tốc học Toán

CHƯƠNG TRÌNH KHUYẾN MẠI TĂNG TỐC HỌC TRONG NĂM

PRO X GIẢM ĐẾN 41.75%

PRO Y – PRO Z – PRO O giảm đến 40%

ÁP DỤNG ĐẾN HẾT NGÀY 20 – 10 – 2017

Nhân dịp nghênh đón năm học mới 2017 – 2018, Vted. vn khuyến mại lớn những khoá học môn Toán dành cho học viên từ 2 k2 trở đi gồm những khoá học như sau :

CHỈ 600K SỞ HỮU KHOÁ PRO X TOÁN 2018 TẠI VTED

Pro X – Giải pháp cho vấn đề hàm số

PRO X TOÁN 2018 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2018

• Dành cho thí sinh với mục tiêu đạt ít nhất 9,0 điểm Toán 2018

• Học toàn bộ 12 cơ bản và nâng cao đã giảm tải

• Ôn tập kiến thức 11 có trong đề thi Toán 2018

• Khoá học đi kèm Khoá Luyện đề Toán 2018

Học phí gốc: 1,200,000 đ

Học phí ưu đãi: 699,000đ + Tặng mã giảm giá 50,000đ chỉ còn 649.000đ.

>>Đăng kí ngay: https://goo.gl/7vS2mv

>>Đăng kí tại đây: https://mindovermetal.org/khoa-hoc/xem/pro-x-luyen-thi-thpt-quoc-gia-mon-toan-2018-kh522847554.html

PRO X bao gồm:

• Khoá luyện thi 2018

• Khoá luyện đề 2018

Tham gia đăng kí PRO X bạn sẽ được:

• Được học toàn bộ kiến thức 12 từ cơ bản đến nâng cao, bao quát mọi dạng bài, rèn luyện ngân hàng đề thi phong phú và chất.

• Được ôn tập lại toàn bộ 11 có trong chương trình thi 2018, dự kiến bộ công bố cấu trúc đề thi vào khoảng tháng 10 – 11.

• Được rèn luyện kĩ năng làm đề với Khoá luyện đề 2018 chất. 

Ngoài ra:

• Được tam gia thi thử không tính tiền hàng tuần tại group hs vted và website vted tại đây : https://mindovermetal.org/khoa-hoc/xem/thi-thu-mon-toan-hang-tuan-tai-group-hs-vtedvn-kh078989756.html

• Được trợ giúp bởi hội đồng học viên giỏi, Mod và giáo viên số 1 tại : https://www.facebook.com/groups/vted.vn/

( Pro X tại Vted có gì cho teen 2 k ? )

PRO X GIẢM CÒN 666.000 VNĐ SO VỚI HỌC PHÍ GỐC 1.200.000 VNĐ

Vted.vn – Học toán online chất lượng cao!

6 LÍ DO TẠO NÊN SỰ KHÁC BIỆT CỦA CÁC KHOÁ HỌC MÔN TOÁN TẠI VTED CỦA THẦY ĐẶNG THÀNH NAM

• Nội dung chất lượng luôn đi sát với thực tiễn đề thi
• Học 1 được 3 và còn hơn thế nữa với tổng thời lượng cho đến 500 giờ / khoá
• Tài liệu tương hỗ và bài tập đi kèm vừa đủ, chỉ sợ học viên phát hoảng vì quá nhiều
• Giao lưu trực tuyến hàng tuần và gặp trực tiếp tại TP.HN
• Học phí quá rẻ so với những gì những bạn nhận được và liên tục update những nội dung mới trọn vẹn không lấy phí

•Đảm bảo kết quả thi nếu Bạn tiếp thu được 70% lượng kiến thức mà khoá học mang lại

Có thể Bạn sẽ gặp 1 số ít đối tượng người dùng đi rao bán những video này của chúng tôi không xin phép ( so với những video chúng tôi dạy trong những khóa trước đây ) và hành vi lừa đảo Bạn so với những video Tôi đã để công khai minh bạch trên kênh Youtube của chúng tôi mà bị đem đi kinh doanh thương mại không xin phép. Bạn nên sáng suốt trước những lời mời mọc của những thành phần mất nhân cách này. Hãy chứng tỏ nhân cách của Bạn bằng cách hãy khước từ và chụp hình lại đoạn mời mọc của chúng ( Facebook, thông tin cá thể, đoạn chat mời mọc ) và gửi cho chúng tôi để có giải pháp giải quyết và xử lý chúng. Chúng tôi sẽ giữ bí hiểm cho Bạn đồng thời gửi Tặng Ngay Bạn phần quà và lời cảm ơn chân thành .
Nhận xét của học viên về những khoá học tại Vted xem tại link : https://www.facebook.com/media/set/?set=a.1369920146414690.1073741842.100001901544977&type=1&l=db28765616

Vted.vn – Học toán online chất lượng cao!

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments