Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

Bài viết hướng dẫn chiêu thức ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể ( gồm vật thể số lượng giới hạn bởi những mặt phẳng và vật thể tròn xoay ) trải qua kim chỉ nan, công thức tính, những bước giải toán và ví dụ minh họa có giải thuật chi tiết cụ thể .

Kiến thức cần nắm:
1. Thể tích của vật thể
Giả sử vật thể $T$ được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song $(\alpha )$, $(\beta )$. Ta chọn trục $Ox$ sao cho:
$\left\{ \begin{array}{l}
Ox \bot (\alpha ) \\
Ox \bot (\beta )
\end{array} \right.$ và giả sử $\left\{ \begin{array}{l}
Ox \cap (\alpha ) = a\\
Ox \cap (\beta ) = b
\end{array} \right.$
Giả sử mặt phẳng $(\gamma ) \cap Ox$ và $(\gamma ) \cap Ox = x\left( {a \le x \le b} \right)$ cắt $T$ theo một thiết diện có diện tích $S\left( x \right)$ (là hàm số liên tục theo biến $x$). Khi đó, thể tích $V$ của vật thể $T$ được cho bởi công thức: $V = \int\limits_a^b {S(x)dx} .$

2. Thể tích của vật thể tròn xoay
a. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ quay quanh trục $Ox$ được cho bởi công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .$
b. Cho hàm số $x = f\left( y \right)$ liên tục và không âm trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $x = f\left( y \right)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ quay quanh trục $Oy$ được cho bởi công thức: $V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} .$

3. Thể tích khối nón và khối chóp, khối nón cụt và khối cầu
a. Thể tích khối nón (khối chóp) có diện tích đáy bằng $B$ và chiều cao $h$ được cho bởi $V = \frac{1}{3}Bh.$ Thể tích khối nón cụt (khối chóp cụt) có diện tích hai đáy là ${B_1}$, ${B_2}$ và chiều cao $h$ được cho bởi: $V = \frac{1}{3}({B_1} + {\rm{ }}{B_2} + \sqrt {{B_{1.}}.{B_2}} )h.$
b. Thể tích của khối cầu có bán kính $R$ được cho bởi: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}.$

Dạng toán 1: Tính thể tích vật thể
Phương pháp: Thực hiện theo hai bước:
+ Bước 1: Xác định công thức tính diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ (hoặc $S\left( y \right)$) thông thường chúng ta gặp thiết diện là các hình cơ bản.
+ Bước 2: Khi đó: $V = \int\limits_a^b {S(x)dx} $ (hoặc $V = \int\limits_a^b {S(y)dy} $).

Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể:
a. Nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = \frac{\pi }{2}$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( {0 \le x \le \frac{\pi }{2}} \right)$ là một hình vuông cạnh $\sqrt {{{\sin }^3}x} .$
b. Nằm giữa hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 4$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( {1 \le x \le 4} \right)$ là một tam giác đều cạnh là $\sqrt x – 1.$

a. Diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ được cho bởi:
$S\left( x \right) = {\left( {\sqrt {{{\sin }^3}x} } \right)^2}$ $ = {\rm{ }}si{n^3}x$ $ = \frac{1}{4}\left( {3\sin x – \sin 3x} \right) .$
Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:
$V = \int\limits_{ – 1}^1 {S(x)dx} $ $ = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {3\sin x – \sin 3x} \right)dx} $ $ = \frac{1}{4}\left( { – 3\cos x + \frac{1}{3}\cos 3x} \right)\left| \begin{array}{l}
\pi /2\\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{2}{3}.$
b. Diện tích thiết diện $S\left( x \right)$ được cho bởi:
$S\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\sqrt x – 1} \right)^2}$ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {x – 2\sqrt x + 1} \right).$
Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi:
$V = \int\limits_{ – 1}^1 {S(x)dx} $ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\int\limits_1^4 {\left( {x – 2\sqrt x + 1} \right)dx} $ $ = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{1}{2}{x^2} – \frac{4}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + x} \right)\left| {_1^4} \right.$ $ = \frac{{7\sqrt 3 }}{{24}}.$

Nhận xét: Như vậy, để tính các thể tích vật thể trên:
+ Ở câu 1.a vì thiết diện là hình vuông (giả sử cạnh bằng $a$) nên ta có ngay $S = {a^2}$.
+ Ở câu 1.b vì thiết diện là tam giác đều (giả sử cạnh bằng $a$) nên ta có ngay $S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.$
[ads]
Dạng toán 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay dạng 1
Phương pháp: Ta có hai dạng sau:
+ Dạng 1: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$, $y = 0$ khi quay quanh trục $Ox$: $V = \pi \int\limits_a^b {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .$
+ Dạng 2: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $x = f\left( y \right)$, $y = a$, $y = b$, $x = 0$ khi quay quanh trục $Oy$: $V = \pi \int\limits_a^b {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(y)dy} .$

Chú ý: Trong một số trường hợp chúng ta cần tìm cận $a$, $b$ thông qua việc thiết lập điều kiện không âm cho hàm số $f\left( x \right)$ (hoặc $f(y)$).

Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:
a. Quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = {e^x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3.$
b. Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 3 – {x^2}$, trục tung và đường thẳng $y = 1.$

a. Thể tích vật thể được cho bởi: $V = \pi \int\limits_0^3 {{y^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_0^3 {{e^{2x}}dx} $ $ = \frac{\pi }{2}{e^{2x}}\left| {_0^3} \right.$ $ = \frac{\pi }{2}({e^6} – 1).$
b. Biến đổi hàm số về dạng: $y = 3 – {x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} = 3 – y$ (cần có điều kiện $3 – y \ge 0$ $ \Leftrightarrow y \le 3$).
Khi đó, thể tích vật thể được cho bởi: $V = \pi \int\limits_1^3 {{x^2}dy} $ $ = \pi \int\limits_1^3 {(3 – y)dy} $ $ = \pi \left( {3y – \frac{{{y^2}}}{2}} \right)\left| {_1^3} \right.$ $ = 2\pi .$

Nhận xét: Như vậy, để tính các thể tích khối tròn xoay trên:
+ Ở câu 2.a chúng ta sử dụng ngay công thức trong dạng 1.
+ Ở câu 2.b chúng ta cần thực thêm công việc biến đổi hàm số về dạng $x = f\left( y \right)$ và ở đây nhờ điều kiện có nghĩa của $y$ chúng ta nhận được cận $y = 3.$

Ví dụ 3: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:
a. $H = {\rm{\{ }}y = 0;y = \sqrt {1 + {{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x} ;$ $x = \frac{\pi }{2};x = \pi {\rm{\} }}.$
b. $H = {\rm{\{ }}y = 0;y = \sqrt {{{\cos }^6}x + {{\sin }^6}x} ;$ $x = 0;x = \frac{\pi }{2}{\rm{\} }}.$

a. Thể tích vật tròn xoay cần tính được cho bởi:
$V = \pi \int\limits_{\pi /2}^\pi {(1 + {{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x)} dx$ $ = \pi \int\limits_{\pi /2}^\pi {(\frac{{7 – \cos 4x}}{4})dx} $ $ = \pi \left( {\frac{7}{4}x – \frac{1}{{16}}\sin 4x} \right)\left| \begin{array}{l}
\pi \\
\pi /2
\end{array} \right.$ $ = \frac{7}{8}{\pi ^2}$ (đvtt).
b. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:
$V = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {({{\cos }^6}x} + {\sin ^6}x)dx$ $ = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {(1 – \frac{3}{4}{{\sin }^2}2x)dx} $ $ = \pi \int\limits_0^{\pi /2} {(\frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x)dx} $ $ = \pi \left( {\frac{5}{8}x + \frac{3}{{32}}\sin 4x} \right)\left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{{5{\pi ^2}}}{{16}}$ (đvtt).

Ví dụ 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay hình $H$ quanh trục $Ox$, với:
a. $H = \left\{ {y = 3ax – {x^2}\left( {a > 0} \right),y = 0} \right\}.$
b. $H = \left\{ {y = xlnx;y = 0;x = 1;x = e} \right\}.$

a. Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $Ox$ là:
$3ax – {x^2} = 0$ $ \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 3a.$
Khi đó, thể tích cần xác định được cho bởi:
$V = \pi \int\limits_0^{3a} {{{(3ax – {x^2})}^2}dx} $ $ = \pi \int\limits_0^{3a} {({x^4} – 6a{x^3} + 9{a^2}{x^2})dx} $ $ = \pi \left( {\frac{1}{5}{x^5} – \frac{{3a}}{2}{x^4} + 3{a^2}{x^3}} \right)\left| \begin{array}{l}
3a\\
0
\end{array} \right.$ $ = \frac{{81{a^5}\pi }}{{10}}$ (đvtt).
b. Thể tích vật thể tròn xoay cần tính là:
$V = \pi \int\limits_1^e {{{(x\ln x)}^2}} dx$ $ = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}x} dx.$
Để tính tích phân trên ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = {\ln ^2}x\\
dv = {x^2}dx
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{2}{x}\ln xdx\\
v = \frac{1}{3}{x^3}
\end{array} \right.$
Khi đó: $V = \pi \left( {\frac{1}{3}{x^3}{{\ln }^2}x} \right)\left| \begin{array}{l}
e\\
1
\end{array} \right.$ $ – \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx$ $ = \frac{{\pi {e^3}}}{3} – \frac{{2\pi }}{3}\underbrace {\int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx}_I$ $(1).$
Xét tích phân $I$, đặt:
$\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = {x^2}dx
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = \frac{1}{3}{x^3}
\end{array} \right.$
Khi đó: $I = \frac{1}{3}{x^3}lnx\left| {_1^e} \right. – \frac{1}{3} \int\limits_1^e {{x^2}dx} $ $ = \frac{{{e^3}}}{3} – \frac{1}{9}{x^3}\left| {_1^e} \right.$ $ = \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}$ $(2).$
Thay $(2)$ vào $(1)$, ta được: $V = \frac{{\pi (5{e^3} – 2)}}{{27}}$ (đvtt).

Dạng toán 3: Tính thể tích vật thể tròn xoay dạng 2
Phương pháp: Ta có hai dạng sau:
+ Dạng 1: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi $y = f\left( x \right)$, $y = g\left( x \right)$, $x = a$, $x = b$ quay quanh trục $Ox$: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) – {g^2}(x)} \right|dx} .$
+ Dạng 2: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $\left( D \right)$ giới hạn bởi  $x = f\left( y \right)$, $x = g\left( y \right)$, $y = a$, $y = b$ quay quanh trục $Oy$: $V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(y) – {g^2}(y)} \right|dy} .$

Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:
a. Quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = {x^2}$ và $y = 2 – {x^2}.$
b. Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x$ và $y = 2 – {x^2}.$

a. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
${x^2} = 2 – {x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} = 1$ $ \Leftrightarrow x = \pm 1.$
Thể tích vật tròn xoay cần tính là:
$V = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{x^4} – {{(2 – {x^2})}^2}} \right|dx} $ $ = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {4{x^2} – 4} \right|dx} $ $ = 4\pi \int\limits_{ – 1}^1 {(1 – {x^2})dx} $ $ = 4\pi \left( {x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {_{ – 1}^1} \right.$ $ = \frac{{16\pi }}{3}.$
b. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
$x = 2 – {x^2}$ $ \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1  \Rightarrow  y = 1\\
x = -2  \Rightarrow  y = -2
\end{array} \right.$
Thể tích vật thể được cho bởi:
$V = \pi \int\limits_{ – 2}^1 {\left| {{y^2} – \left( {2 – y} \right)} \right|dy} $ $ = \frac{9}{2}\pi .$

Ví dụ 6: Cho hình tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( {0;2} \right)$, bán kính $R = 1$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:
a. Quay $\left( C \right)$ quanh trục $Ox$.
b. Quay $\left( C \right)$ quanh trục $Oy$.

Đường tròn USD ( C ) USD có phương trình : USD \ left ( C \ right ) : { x ^ 2 } + { ( y – 2 ) ^ 2 } = 1. USD

ung-dung-tich-phan-tinh-the-tich-vat-the-1

a. Ta có:
Ta chia đường tròn $(C)$ thành $2$ đường cong như sau:
+ Nửa $\left( C \right)$ ở trên ứng với $2 \le y \le 3$ có phương trình: $y = {f_1}\left( x \right) = 2 + \sqrt {1 – {x^2}} $ với $x \in \left[ { – 1;{\rm{ }}1} \right]$.
+ Nửa $\left( C \right)$ ở dưới  ứng với $1 \le y \le 2$ có phương trình: $y = {f_2}\left( x \right) = 2 – \sqrt {1 – {x^2}} $ với $x \in \left[ { – 1;{\rm{ }}1} \right]$.
Khi đó, thể tích vật thể tròn xoay cần tính được sinh bởi hình tròn $(C)$ giới hạn bởi các đường: $y = {f_1}\left( x \right) = 2 + \sqrt {1 – {x^2}} $, $y = {f_2}\left( x \right) = 2 – \sqrt {1 – {x^2}} $, $x = -1$, $x = 1$ quay quanh $Ox$ được tính theo công thức: $V = \pi \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {f_1^2\left( x \right) – f_2^2\left( x \right)} \right|} dx$ $ = 8\pi \int\limits_{ – 1}^1 {\sqrt {1 – {x^2}} } dx$ $ = 4{\pi ^2}.$
b. Khi quay $\left( C \right)$ quanh trục $Oy$ ta nhận được khối tròn xoay chính là hình cầu bán kính $R = 1$, do đó: $V = \frac{4}{3}\pi {R^3}$ $ = \frac{4}{3}\pi .$

Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo bởi hình elip $\left( E \right):\frac{{{{\left( {x – 4} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{{16}} \le 1$ quay quanh trục $Oy.$

Elip USD \ left ( E \ right ) USD có tâm USD I \ left ( { 4,0 } \ right ) USD, trục lớn có độ dài USD 2 a = 8 USD, trục nhỏ có độ dài USD 2 b = 4. USD

ung-dung-tich-phan-tinh-the-tich-vat-the-2

Ta chia đường biên của elip $(E)$ thành $2$ đường cong như sau:
+ Nửa biên $\left( E \right)$ ứng với $2 \le x \le 4$ có phương trình: $x = {f_1}\left( y \right) = 4 – 2\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} $ với $y \in \left[ { – 4;4} \right].$
+ Nửa biên $\left( E \right)$ ứng với $4 \le x \le 6$ có phương trình: $x = {f_2}\left( y \right) = 4 + 2\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} $ với $y \in \left[ { – 4;4} \right].$
Thể tích vật thể tròn xoay cần tính được sinh bởi miền $E$ giới hạn bởi các đường: $x = {f_1}\left( y \right) = 4 – 2\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} $, $x = {f_2}\left( y \right) = 4 + 2\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} $, $y = -4$, $y = 4$ quay quanh trục $Oy$ được tính theo công thức:
$V = \pi \int\limits_{ – 4}^4 {\left( {f_2^2(y) – f_1^2(y)} \right)} dy$ $ = 32\pi \int\limits_{ – 4}^4 {\sqrt {1 – \frac{{{y^2}}}{{16}}} } dy$ $ = 64{\pi ^2}.$

Rate this post
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments