Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

“ Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức ” là một trường hợp đặc biệt quan trọng của chiêu thức “ Ứng dụng giá trị lớn nhất ( GTLN ), giá trị nhỏ nhất ( GTNN ) của hàm số để chứng minh bất đẳng thức ”. Phương pháp này những bạn học viên lớp 12 sẽ làm quen ngay ở những buổi tiên phong của năm học, và yếu tố khó khăn vất vả ở chỗ :

  • vừa mới học xong bài đầu tiên của môn Giải tích 12, bài “Bài 1. Tính đơn điệu của hàm số” – lúc này nội dung còn rất mới so với các bạn ( còn kinh ngạc ấy )
  • các bạn sẽ gặp ngay một số bài tập trong SGK về chứng minh bất đẳng thức mà lại có ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh
  • các bạn chưa có kiến thức hoàn chỉnh về GTLN (GTNN) của hàm số, vì trong SGK thì nội dung này được giới thiệu ở bài thứ 3: “Bài 3. GTLN, GTNN của hàm số”.

Tình huống này giống như, sáng vừa học bắn súng cao su đặc xong thì chiều phải dùng súng cao su đặc đi bắn chim và ngày kia ta sẽ học bắn súng săn 😀

Bài viết dài kì này (trang này chỉ là phần 1) ra đời nhằm giúp các bạn học sinh lớp 12 phần nào tự tin hơn khi lần đầu gặp các bài toán trên (kiểu như “ngày đầu tiên đi học” vậy). Bài viết giới thiệu, phân tích bài toán tổng quát và làm rõ hơn thông qua việc phân tích, vận dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh một số ví dụ đơn giản, thường gặp trong SGK. (Đơn giản chỉ là giúp các bạn biết dùng súng cao su tốt hơn thôi, chứ sau khi biết dùng súng săn thì chắc không còn dùng súng cao su mấy :D)

Lời nhắn: Bài viết phù hợp với các bạn là học sinh lớp 12 vừa học xong về “Tính đơn điệu của hàm số”. Bài viết cũng tốt với các bạn đã học hết lớp 12 và muốn ôn lại kiến thức của mình về chủ đề này. Nếu bạn thuộc nhóm thứ nhất thì có thể đọc nhanh phần “Kiến thức”, còn nếu bạn thuộc nhóm thứ hai thì bạn nên đọc cẩn thận cả phần “Kiến thức” trước khi đọc các phần tiếp theo.

Trước tiên, bạn cần “ nắm chắc, buộc chặt : D ” 1 số ít kiến thức và kỹ năng về định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến, cách dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu của một hàm số trên khoảng chừng, nửa khoảng chừng và đoạn .

1. Kiến thức

Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến và đơn điệu

Hàm số f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên nửa khoảng [a;b) nếu

\forall x_1, x_2 \in [a;b):x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)

Hàm số gọi là nghịch biến ( giảm ) trên nửa khoảng chừng nếu

\forall x_1, x_2 \in [a;b):x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)” class=”ql-img-inline-formula ” height=”19″ src=”https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-be97af9477e97e7403e3065a53253744_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”320″/></p>
<p>Hàm số gọi là đơn điệu trên khoảng chừng, nếu luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên<br />
Tương tự, ta cũng có định nghĩa hàm số đồng biến ( nghịch biến, đơn điệu ) trên đoạn và khoảng chừng .<br />
Nhớ nắm vững định nghĩa trên nhé. Học định nghĩa mà không nhớ nghĩa thì việc học chỉ là “ copy quên không paste ” : D .<br />
Giờ ta vận dụng định nghĩa trên cho hàm số đồng biến trên nửa khoảng chừng, đoạn và thu được định lý sau :</p><div class='code-block code-block-14' style='margin: 8px auto; text-align: center; display: block; clear: both;'>
<script async src=

Định lý 1

đồng biến trên thì f(x)\ge f(a),\forall x \in [a;b)Nếu hàm sốđồng biến trênthì

Định lý trên có ý nghĩa gì? Ý nghĩa là nếu một hàm số đồng biến trên nửa khoảng thì hàm số chỉ đạt GTNN tại đầu mút dưới (tại a) và không tồn tại GTLN của hàm số trên nửa khoảng đó.

Định lý 2

đồng biến trên (a;b] thì f(x)\le f(b), \forall x \in (a;b]Nếu hàm sốđồng biến trênthì

Định lý này có ý nghĩa là nếu một hàm số đồng biến trên nửa khoảng thì hàm số chỉ đạt GTLN tại đầu mút trên (tại b) và không tồn tại GTNN của hàm số trên nửa khoảng .

Định lý 3

đồng biến trên [a;b] thì f(a) \le f(x) \le f(b), \forall x \in [a;b]Nếu hàm sốđồng biến trênthìĐịnh lý trên có ý nghĩa gì ? Ý nghĩa là nếu một hàm số đồng biến trên một đoạn thì hàm số đó luôn đạt cả GTNN và GTLN và GTNN đạt tại đầu mút dưới còn GTLN đạt tại đầu mút trên của đoạn đó .
Một cách tựa như, bạn cũng có định lý cho trường hợp hàm số nghịch biến trên nửa khoảng chừng và đoạn. Bạn tự phát biểu nhé ? Chú ý : Hãy nhớ ý nghĩa của những định lý này, đây chính là súng cao su đặc của bạn đấy : D. Các bạn sẽ tăng cấp nó lên thành “ súng săn ” khi học bài thứ 3 trong SGK : “ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ”
Tiếp theo, cần phân biệt cách dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu của một hàm số trên một khoảng chừng là khác với trên nửa khoảng chừng và đoạn. Khác nhau như thế nào nhỉ ?

Định lý 4

f'(x)\ge 0 với mọi x\in (a;b)f'(x)=0 chỉ tại hữu hạn điểm trên (a;b) thì hàm số đồng biến trên khoảng Nếu hàm sốcóvới mọivàchỉ tại hữu hạn điểm trênthì hàm sốđồng biến trên khoảng chừng

Tương tự, nếu thay dấu \ge bởi \le ở giả thiết của định lí trên thì bạn có kết luận hàm số nghịch biến. Trên một khoảng thì chỉ cần thế thôi, nhưng trên một tập là nửa khoảng hay đoạn thì phải như thế này:

Định lý 5

có với mọi, chỉ tại hữu hạn điểm trên  và  liên tục trên trên thì hàm số đồng biến trên nửa khoảng Nếu hàm sốcóvới mọichỉ tại hữu hạn điểm trênthì hàm sốđồng biến trên nửa khoảng chừngBạn có thấy sự khác nhau giữa định lý 4 và 5 không ? Khác ở chỗ : định lý 5 có thêm “ tính liên tục ” của hàm số trên nửa khoảng chừng vào giả thiết, phần còn lại của giả thiết thì giống như định lý 4. Tương tự, bạn tự phát biểu định lý cho một đoạn. và nhớ thêm “ tính liên tục ” vào giả thiết nhé 🙂 Như vậy, khi dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu của một hàm số trên nửa khoảng chừng hay trên một đoạn thì phải kiểm tra tính liên tục của hàm số trên tập đó .
Kiến thức như thế là đủ dùng rồi, tất cả chúng ta quay trở lại với bài toán khởi đầu thôi .

2. Bài toán tổng quát

Chứng minh rằng :

f(x) \ge m, \forall x\in K với K là đoạn hoặc nửa khoảng. (*)

Ý tưởng cơ bản của cách giải :

Chứng minh rằng GTNN của trên lớn hơn hoặc bằng m.

Như vậy, để chứng minh bất đẳng thức trên, ta chỉ cần tìm GTNN của hàm số trên, rồi Tóm lại. bằng mắt ta thấy GTNN ≥ m thế là xong 😀
Nhưng do những bạn chưa được học về GTNN một cách rất đầy đủ, đúng mực, cũng như cách tìm GTNN bằng đạo hàm ( súng săn ). Nên ở đây ta chỉ đề cập đến những bài toán dạng ( * ) mà hàm số vế trái là liên tục và đơn điệu trên. Khi đó, theo những định lý số 1, 2, 3 ở trên ( súng cao su đặc ) thì GTNN của hàm số đạt được tại những đầu mút của nửa khoảng chừng hoặc đoạn đó .
Như vậy ta có “ kế hoạch ” để xử lý bài toán trên như sau :

* Từ chiều của bất đẳng thức, dự đoán cần tìm GTLN/GTNN của hàm số
* Áp dụng các định lý 4, 5 về tính đơn điệu của hàm số để suy ra GTLN/GTNN
* Áp dụng định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến và kết luận

Chú ý: Chiến lược trên vẫn đúng nếu chiều của bất đẳng thức (*) là >, \le, <.

Đây là một bài toán khá cơ bản, nó giúp các bạn giải quyết nhiều bài toán cao hơn. Chẳng hạn, nó được sử dụng trong Câu 1b của đề thi Đại học khối A vừa rồi (2013). Các bạn nhớ học thật tốt bài toán này nhé, dù bằng “súng cao su” hay “súng săn” :D. Trước tiên là bằng súng cao su đã.

Chúng ta sẽ mở màn với dụ đơn thuần

3. Ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng: x>\sin x” class=”ql-img-inline-formula ” height=”12″ src=”https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8a038aab0314629d2e13e85cfd406dc_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”68″/>, với mọi <img loading=Chứng minh rằng :, với mọi

Phân tích

* Nhận xét, bất đẳng thức đã cho chưa có dạng (*), nên ta sẽ quy nó về dạng (*). Có 2 việc cần làm: Dồn hết biến về một vế và hai là quy khoảng (0;\frac{\pi}{2}) về đoạn hoặc nửa khoảng.

* Do biến x xuất hiện ở cả hai vế, nên đầu tiên ta sẽ “dồn” các biến về một vế. Chẳng hạn, chuyển \sin x ở vế phải sang vế trái ta thu được bất đẳng thức tương đương:

x-\sin x > 0″ class=”ql-img-inline-formula ” height=”12″ src=”https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-262d98fefd2fce4f826ca182b683f852_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”99″/>, với mọi </p>
<p>* Lại “để ý” rằng <img loading=, nên bất đẳng thức trên có thể viết lại dưới dạng:

x-\sin x \ge 0, \forall x \in [0;\frac{\pi}{2})

* Lúc này, đặt f(x)=x - \sin x, \forall x \in \mathbb{R} thì bất đẳng thức trên có thể viết lại thành:

f(x) \ge 0 , với mọi x \in [0;\frac{\pi}{2})

* Bây giờ thì tốt rồi, bài toán đã được quy về dạng tổng quát ( * ) .

* Do chiều bất đẳng thức là, nên chứng minh GTNN của hàm số phải lớn hơn hoặc bằng 0 là xong!

* Giờ ta sẽ áp dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số trên nửa khoảng [0;\frac{\pi}{2}). Chú ý nhé, trên nửa khoảng đấy! Cứ trên nửa khoảng thì cần thêm gì nhỉ? 🙂

– Ta có f'(x) = 1 - \cos x > 0, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})” class=”ql-img-inline-formula ” height=”20″ src=”https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3a0cb18df8868a2bbf242bd723f77bb9_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”254″/></p>
<p>– mà dễ thấy  liên tục trên <img loading= nên liên tục trên .

– Vậy hàm số đồng biến trên .
* Lúc này, do hàm số đồng biến trên, nên ta có :

f(0) < f(x), 0 < \forall x < \frac{\pi}{2} (đpcm)

Việc nghiên cứu và phân tích đã xong, giờ chỉ cần trình diễn lại thôi

Giải

* Bất đẳng thức đã cho tương tự với
, với mọi

* Xét hàm số f(x)=x-\sin x liên tục trên

Có. Suy ra hàm số đồng biến trên
* Hàm số đồng biến trên nên ta có :

\frac{\pi}{2} > \forall x >0 \Rightarrow f(x) > f(0)” class=”ql-img-inline-formula ” height=”20″ src=”https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-af7ec389931abcdb7eea2164b2a06c8f_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”205″/></p>
<p><img alt= 0, \forall x \in (0;\frac{\pi}{2})” class=”ql-img-inline-formula ” height=”20″ src=”https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d46d3b52c3f3fda9fa83a0d4bfb2b79c_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”213″/> (đpcm)

Bình luận

* Ở bước đầu tiên, nếu bạn không chuyển sang vế trái mà chuyển từ vế trái sang vế phải thì lời giải cũng tương tự, chỉ khác một chút, bây giờ hàm số của bạn là  f(x)=\sin x - x và đây là một hàm nghịch biến.

* Ở bước thứ hai, thực chất chúng ta đã so sánh giá trị của vế trái khi nhận hai giá trị đầu mút và \frac{\pi}{2} của tập cần chứng minh. Từ đó, suy ra cần xét tính đơn điệu trên tập  Chú ý so sánh giá trị của vế trái khi nhận hai giá trị đầu mút nhé!

* Cuối cùng, hãy luôn nhớ : Xét tính đơn điệu của hàm số trên nửa khoảng chừng hay đoạn thì cần kiểm tra tính liên tục của hàm số trên tập đó .

Mở rộng bài toán

* Quay lại với bước xét đạo hàm ở trên :

* Bạn có thấy f'(x) = 1 - \cos x > 0″ class=”ql-img-inline-formula ” height=”18″ src=”https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e62eab8134e0cab2ab73cd852521c090_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”163″/> không chỉ đúng với <img loading= mà còn “gần đúng” với \forall x > 0″ class=”ql-img-inline-formula ” height=”14″ src=”https://thapsang.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-74cb0c5e01d1652c7c016869ebf511d2_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”53″/> không?</p>
<p>* Từ đó, bạn hoàn toàn có thể lan rộng ra bài toán đã cho :<br />
Chứng minh rằng :, với mọi<br />
thành một bài toán rộng hơn không ?<br />
Đó là ví dụ tiên phong, “ vạn sự khởi đầu nan ” quy trình nghiên cứu và phân tích thật hơi “ nguy hiểm ” : D, nhưng “ đầu xuôi thì đuôi lọt ”. Mời bạn sẵn sàng chuẩn bị “ lọt ” tiếp ví dụ thứ 2. 😀</p>
<p>Ps: Trong khi nghỉ giải lao, chuẩn bị cho lần đi săn với “súng cao su” tiếp theo, bạn nhớ tự phát triển và giải quyết bài toán mở rộng mà tôi gợi ý trên kia nhé!</p>
<div style=

Xem thêm: Những ứng dụng cho điện thoại smartphone hay và cần thiết nhất


Thapsang.vn để nhận được thông báo khi có cập nhật mới.Mời bạn đón đọc những bài viết tiếp theo bằng cách đăng kí nhận bài viết mới qua email hoặc like fanpageđể nhận được thông tin khi có update mới .

5/5 - (1 vote)