Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit cực hay – Toán lớp 12

Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit cực hay

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình logarit cực hay

Bài giảng: Cách giải phương trình logarit – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

Giả sử phương trình có dạng f ( x ) = g ( x ) ( * )
• Bước 1 : Nhẩm được một nghiệm x0 của phương trình ( thường thì chọn nghiệm lân cận 0 ) .
• Bước 2 : Xét những hàm số y = f ( x ) ( C1 ) và y = g ( x ) ( C2 ). Ta cần chứng tỏ một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến hoặc một hàm đơn điệu và một hàm không đổi. Khi đó ( C1 ) và ( C2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình ( * ) .
Hoặc đưa phương trình về dạng f ( x ) = 0
• Bước 1 : Nhẩm được hai nghiệm x1 ; x2 của phương trình ( thường chọn nghiệm lân cận 0 ) .
• Bước 2 : Xét những hàm số y = f ( x ). Ta cần chứng tỏ f ‘ ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất và f ‘ ( x ) đổi dấu khi đi qua nghiệm đó. Từ đây suy ra phương trình f ( x ) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm .
Hoặc :
• Bước 1 : Biến đổi phương trình về dạng f ( u ) = f ( v ) .
• Bước 2 : Chứng minh hàm f ( x ) là hàm đơn điệu, suy ra u = v

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình log3 (x+2) + log7 (3x+4) = 2

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Phương trình có một nghiệm x = 1
f ( x ) = log3 ( x + 2 ) + log7 ( 3 x + 4 ) ⇒ f ‘ ( x ) > 0, nên f ( x ) đồng biến trên tập xác lập ; g ( x ) = 2 là hàm hằng. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1

Quảng cáo

Bài 2: Giải phương trình log2 (x2-x-6)+x=log2 (x+2)+4

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Phương trình ( 2 ) có một nghiệm x = 4
f ( x ) = log2 ( x-3 ), đồng biến trên tập xác lập ; g ( x ) = 4 – x nghịch biến trên tập xác lập. Nên phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 4 .

Bài 3: Giải phương trình

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇔ log2 ( x2-x+1 ) – log2 ( 2×2 – 4 x + 3 ) = x2-3x+2 ⇔ log2 ( x2-x+1 ) + ( x2-x+1 ) = log2 ( 2×2 – 4 x + 3 ) + ( 2×2 – 4 x + 3 ) ( 3 )

Xét hàm số f(t) = log2 t+t có f'(t) > 0 nên hàm số đồng biến trên tập xác định. Khi đó có f(x2-x+1) = f(2×2-4x+3) ⇒ x2-x+1 = 2×2-4x+3 ⇔ x2-3x+2=0Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Nên phương trình đã cho có tập nghiệm là { 1 ; 2 }

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình log23 x + (x-12)log3 x + 11 – x = 0

Hiển thị đáp án
Điều kiện : x > 0
Đặt log3 x = t. Khi đó phương trình đã cho trở thành
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Với t = 1 ⇒ x = 3 .
Với t = 11 – x ⇒ log3 x = 11 – x. Phương trình này có một nghiệm là x = 9 ; vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có duy nhất môt nghiệm x = 9 .
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là { 3 ; 9 }

Bài 2: Giải phương trình log3 (2x+1) = x

Quảng cáo

Hiển thị đáp án

Đặt log3 (2x+1) = x ⇔ 3x = 2x+1 ⇔ 3x – 2x + 1 = 0(*).

Phương trình ( * ) có hai nghiệm là x = 0 ; x = 1
Xét hàm số f ( x ) = 3 x – 2 x + 1 .
Ta có f ‘ ( x ) = 3 x ln3 – 2 ; f ‘ ‘ ( x ) = 3 x ln2 3 > 0 ⇒ f ‘ ( x ) là hàm đồng biến trên R. Suy ra phương trình f ‘ ( x ) = 0 có nhiều nhất một nghiệm ( 1 ) .
Mặt khác ta có f ‘ ( 0 ). f ‘ ( 1 ) > 0 ( 2 ). Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra phương trình f ‘ ( x ) = 0 có duy nhất một nghiệm và f ‘ ( x ) đổi dấu khi qua nghiệm đó, nên phương trình f ( x ) = 0 có nhiều nhất hai nghiệm .
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là { 0 ; 1 }

Bài 3: Giải phương trình log2 (2x+1) + log3 (4x+2) = 2.

Hiển thị đáp án
+ ) x = 0 là một nghiệm của phương trình .
+ ) Với x > 0, ta có : 2 x + 1 > 20 + 1 = 2 ⇒ log2 ( 2 x + 1 ) > log2 2 = 1
4 x + 2 > 40 + 2 = 3 ⇒ log3 ( 4 x + 1 ) > log3 3 = 1
⇒ VT = log2 ( 2 x + 1 ) + log3 ( 4 x + 1 ) > 2 = VP
+ ) Với x ≤ 0, ta có : 2 x + 1 < 20 + 1 = 2 ⇒ log2 ( 2 x + 1 ) < log2 2 = 1 4 x + 2 < 40 + 2 = 3 ⇒ log3 ( 4 x + 1 ) < log3 3 = 1 ⇒ VT = log2 ( 2 x + 1 ) + log3 ( 4 x + 1 ) < 2 = VP Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0 .

Bài 4: Giải phương trình: log3 (x2+x+1) – log3 x = 2x-x2

Hiển thị đáp án
Điều kiện : x > 0 .
Phương trình :
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Xét hàm số : f ( x ) = 2 x – x2 ; f ‘ ( x ) = 2-2 x ; f ‘ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 .
BBT
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Căn cứ BBT f ( x ) ≤ 1. Hay VP ≤ 1 .
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Vậy phương trình đã cho tương tự với
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 1 .

Bài 5: Giải phương trình logx (x+1) = log1,5

Hiển thị đáp án
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
+ ) Với x ∈ ( 0 ; 1 ) : x + 1 > 1 ⇒ VT = logx ( x + 1 ) < logx 1 = 0 VP = log1, 5 > 0. Suy ra phương trình vô nghiệm Với x ∈ ( 0 ; 1 ) .
+ ) Với x ∈ ( 1 ; + ∞ ) : x + 1 > x ⇒ VT = logx ( x + 1 ) > logx x = 1
VP = log1, 5 < 1. Suy ra phương trình vô nghiệm Với x ∈ ( 1 ; + ∞ ) . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .

Bài 6: Giải phương trình

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Hiển thị đáp án
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Ta có :
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Vậy phương trình tương tự với
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 7: Giải phương trình ln(sin2 x) – 1 + sin3 x = 0.

Hiển thị đáp án
Điều kiện : sinx ≠ 0 .
ln ( sin2 x ) – 1 + sin3 x = 0 ⇔ ln ( sin2 x ) – 1 = 1 – sin3 x
Ta có : VT = ln ( sin2 x ) – 1 ≤ ln1-1 = 0 .
VP = 1 – sin3 x ≥ 0
Vậy phương trình tương tự với
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 8: Giải phương trình log2 (x-2) = log3 (x-1).

Hiển thị đáp án
Điều kiện của phương trình là
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Đặt log2 ( x-2 ) = log3 ( x-1 ) = t
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Dễ thấy t = 1 là một nghiệm của ( * ) .
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Kết hợp với điều kiện kèm theo, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là { 4 } .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-logarit.jsp

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments