Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ cực hay

Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ cực hay

Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình mũ cực hay

Bài giảng: Cách giải phương trình mũ – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

Hướng 1:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f ( x ) = k .
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f ( x ) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu
• Bước 3. Nhận xét :
+ Với x = x0 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) = k do đó x = x0 là nghiệm .
+ Với x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x0 ) = k do đó phương trình vô nghiệm .
+ Với x < x0 ⇔ f ( x ) < f ( x0 ) = k do đó phương trình vô nghiệm . • Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình .

Hướng 2:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f ( x ) = g ( x ) .
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ). Khẳng định hàm số y = f ( x ) là hàm số đồng biến còn y = g ( x ) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng .
• Bước 3. Xác đinh x0 sao cho f ( x0 ) = g ( x0 .
• Bước 4. Kết luận vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình .

Hướng 3:

• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f ( u ) = f ( v ) .
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f ( x ). Khẳng định hàm số đơn điệu .
• Bước 3. Khi đó f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v .

Ví dụ minh họa

Quảng cáo

Bài 1: Giải phương trình x+2.3log2 x = 3 (*).

Hướng dẫn:

Ta có : ( * ) ⇔ 2.3 log2x = 3 – x ( 1 ) .
Nhận xét :
+ Vế trái của phương trình là hàm số đồng biến .
+ Vế phải của phương trình là hàm số nghịch biến .
Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất .
Mặt khác : x = 1 là nghiệm của phương trình. Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 } .

Bài 2: Giải phương trình

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
⇒ x2 – 3 x + 2 = u2 ⇒ 3 x – x2 – 1 = 1 – u2 .
Khi đó phương trình ( * ) có dạng
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Xét hàm số :
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
+ Miền xác lập : D = [ 0 ; + ∞ ) .

    + Đạo hàm Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải ∀x ∈ D. Suy ra hàm số đồng biến trên D.

Mặt khác f ( 1 ) = log3 ( 1 + 2 ) + ( 1/5 ). 5 = 2 .
Do đó, phương trình ( 1 ) được viết dưới dạng
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 3: Giải phương trình 2×2-x + 93-2x + x2 + 6 = 42x-3 + 3x – x2 + 5x (*).

Quảng cáo

Hướng dẫn:

Ta có : ( * ) ⇔ 2×2 – x + 36-4 x + x2 + 6 = 24 x – 6 + 3 x – x2 + 5 x .
⇔ 2×2 – x + x2 – x – 3 x – x2 = 24 x – 6 + 4 x – 6 – 36-4 x .

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

ta được 2 u + u – 3 – u = 2 v + v – 3 – v .
Xét hàm số :
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒ f'(t) là hàm số đồng biến trên R, mà f(u)=f(v) ⇔ u=v.

Xem thêm: Viber

Ta có phương trình :
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 ; 6 } .

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình 9x = 5x+4x+2(√20)x

Hiển thị đáp án

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

nên vế trái của ( 1 ) là hàm số nghịch biến trên R .
Mặt khác : f ( 2 ) = 1 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 2 } .

Bài 2: Giải phương trình 3.xlog3 x+(log3 x-1)2 = x2

Hiển thị đáp án
Điều kiện : x > 0 .
Đặt t = log3 x ⇔ x = 3 t .
Phương trình ( * ) 3. ( 3 t ) t + ( t-1 ) 2 = 32 t ⇔ 3 t2 + 1 + t2 + 1 = 32 t + 2 t. ( 1 )
Xét hàm số : f ( t ) = 3 t + t ⇒ f ‘ ( t ) = 3 t ln3 + 1 > 0, ∀ t ∈ R.
Suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên R.
Phương trình ( 1 ) ⇔ f ( t2 + 1 ) = f ( 2 t ) ⇔ t2 + 1 = 2 t ⇔ t = 1 .
Với t = 1 ⇒ x = 3 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 3 } .

Bài 3: Giải phương trình 2x+3x = 5x

Hiển thị đáp án
Do 5 x > 0, ∀ x ∈ R. Chia cả 2 về của phương trình ( * ) cho 5 x ta được :

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Suy ra hàm số f ( t ) nghịch biến trên R.
Lại có f ( 1 ) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 } .

Bài 4: Giải phương trình 3x+x-4=0

Hiển thị đáp án
Xét hàm số : f ( t ) = 3 t + t-4 ⇒ f ‘ ( t ) = 3 t ln ( 3 ) + 1 > 0, ∀ t ∈ R.
Suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên R.
Lại có f ( 1 ) = 0. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 } .

Bài 5: Giải phương trình 3x.2x = 3x+2x+1

Hiển thị đáp án
Nhận xét : Ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ± 1 .
Với x = 50% không là nghiệm của phương trình nên
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Ta có hàm số y = 3 x là hàm số đồng biến trên R .
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
là hàm số nghịch biến trên ( – ∞ ; 50% ) và ( 50% ; + ∞ ) .
Nên hàm số có hai nghiệm x = ± 1 .
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { ± 1 } .

Bài 6: Giải phương trình (√3-√2)x + (√3+√2)x = (√10)x

Hiển thị đáp án
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Ta có : f ( 2 ) = 1
Hàm số f ( x ) nghịch biến trên R
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2 .

Bài 7: Giải phương trình 12+6x = 4.3x+3.2x

Hiển thị đáp án
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 ; 2 } .

Bài 8: Giải phương trình 15x-3.5x+3x = 3

Hiển thị đáp án
Ta có : ( * ) ⇔ 3 x. 5 x – 3.5 x + 3 x – 3 = 0 ⇔ 5 x ( 3 x – 3 ) + 3 x – 3 = 0
⇔ ( 3 x – 3 ) ( 5 x + 1 ) = 0 ⇔ 3 x – 3 = 0 ⇔ x = 1 ( 5 x + 1 > 0 ∀ x ∈ R )
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 } .

Bài 9: Giải phương trình 4×2-3x+2 + 4×2+6x+5 = 42×2+3x+7+1

Hiển thị đáp án
Nhận xét : x2-3x+2 + x2 + 6 x + 5 = 2×2 + 3 x + 7
Ta có : ( * ) ⇔ 4×2 – 3 x + 2 – 42×2 + 3 x + 7 = 1 – 4×2 + 6 x + 5
⇔ ( 4×2 – 3 x + 2 – 1 ) ( 4×2 + 6 x + 5 – 1 ) = 0
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { – 5 ; ± 1 ; 2 } .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-mu.jsp

Rate this post
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments