Phép tính vi phân và phép tính gần đúng

Trong toán học, phép tính vi phân là một nhánh của toán học tương quan đến quy trình tìm đạo hàm của một hàm số. Nó là điều tra và nghiên cứu về vận tốc đổi khác của những đại lượng so với những biến số khác. Quá trình tìm đạo hàm của hàm số đã cho được gọi là phép phân biệt. Khái niệm về phép tính vi phân về cơ bản là cắt một thứ gì đó thành nhiều phần nhỏ hơn để tìm vận tốc đổi khác. Nói chung, nếu một phương trình tương quan đến đạo hàm của biến phụ thuộc vào so với biến độc lập, thì nó được gọi là phương trình vi phân .dy / dx = f ( x )
Trong trường hợp này, “ x ” là một biến độc lập và “ y ” là một biến phụ thuộc vào .

Nói chung, các dẫn xuất được sử dụng để xác định những điều sau:

  • Nó được sử dụng để tìm tỷ suất biến hóa của những đại lượng .
  • Nó được sử dụng để tìm phương trình của tiếp tuyến và pháp tuyến của một đường cong tại một điểm .
  • Nó dùng để tìm điểm chuyển trên đồ thị hàm số, giúp xác định điểm xảy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số .
  • Nó được sử dụng để tìm khoảng chừng thời hạn mà hàm tăng hoặc giảm .
  • Nó được sử dụng để tìm giá trị gần đúng của một số ít đại lượng nhất định .

Ví dụ, tìm vận tốc đổi khác của diện tích quy hoạnh hình tròn trụ trong một giây so với nửa đường kính, khi r là 5 cm .
Chúng ta biết rằng diện tích quy hoạnh của một hình tròn trụ là A = πr 2 .
Do đó, vận tốc biến hóa của diện tích quy hoạnh so với nửa đường kính được cho bởi :
dA / dr = ( d / dr ) ( πr 2 )
dA / dr = 2 πr
Khi r = 5 cm thì nó trở thành
dA / dr = 10 π
Do đó, diện tích quy hoạnh của một hình tròn trụ đang biến hóa với vận tốc 10 π cm 2 / s .

Phép tính vi phân giao động

Bây giờ, tất cả chúng ta hãy xem những vi phân được sử dụng để tính gần đúng những đại lượng nhất định. Cho hàm f theo x được xác lập sao cho f : D → R, D ⊂ R. Cho y = f ( x ). Cho một sự ngày càng tăng nhỏ của x được ký hiệu là ∆ x. Nếu x tăng ∆ x thì độ tăng tương ứng của y được cho bởi ∆ y = f ( x + ∆ x ) – f ( x ) như trong hình bên dưới .

Phép tính vi phân

Dựa trên bàn luận ở trên, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể xác lập như sau :

  • Vi phân của x được màn biểu diễn dưới dạng dx được cho bởi dx = ∆ x .
  • Vi phân của y được trình diễn dưới dạng dy được cho bởi dy = f ‘ ( x ) dx = ( dy / dx ) ∆ x .

Nếu trong trường hợp vi phân của x hoặc dx = ∆ x tương đối rất nhỏ so với x thì dy là một giao động tốt của ∆ y và dy ≈ ∆ y .
Từ bàn luận trên, hoàn toàn có thể nhận thấy rằng vi phân của biến độc lập bằng mức tăng của biến, nhưng mặt khác, vi phân của biến nhờ vào không bằng mức tăng của biến .
Chúng ta hãy xem xét những ví dụ để có cái nhìn thâm thúy hơn .

Ví dụ về ước đạt

Ví dụ 1:

Gần đúng sử dụng vi phân. 25,5 – – – – √

Giải pháp:

Chúng ta hãy xem xét y =, trong đó x = 25 và ∆ x = 0,5. Sau đó, x – – √
∆ y = x + △ x – – – – – – √ – x – – √
∆ y = 25,5 – – – – √ – 25 – – √
∆ y = 25,5 – – – – √ – 5

25,5––––√= △ y+ 5

Vì dy giao động bằng ∆ y, do đó
dy = d yd x △ x = 12 x √ ( 0,5 ) = 0,05
Do đó, giá trị gần đúng của25, 5 – – – – √ = 5 + 0,05 = 5,05

Ví dụ 2:

Tìm giá trị gần đúng của hàm số f ( 3.02 ), trong đó f ( x ) là 3 x 2 + 5 x + 3 .

Giải pháp:

Cho rằng, f ( x ) = 3 x 2 + 5 x + 3
Giả sử x = 3 và ∆ x = 0,02 .
Do đó, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể viết hàm đã cho dưới dạng :
f ( 3. 02 ) = f ( x + ∆ x ) = 3 ( x + ∆ x ) 2 + 5 ( x + ∆ x ) + 3
Chúng ta biết rằng ,
∆ y = f ( x + ∆ x ) – f ( x ) .
Biểu thức trên hoàn toàn có thể được viết dưới dạng
f ( x + ∆ x ) = f ( x ) + ∆ y
Vì dx = ∆ x, nó hoàn toàn có thể được viết gần đúng là f ( x ) + f ′ ( x ) ∆ x
Do đó, f ( 3.02 ) ≈ ( 3 x 2 + 5 x + 3 ) + ( 6 x + 5 ) ∆ x
Bây giờ, thay những giá trị của x và ∆ x, tất cả chúng ta nhận được
= ( 3 ( 3 ) 2 + 5 ( 3 ) + 3 ) + ( 6 ( 3 ) + 5 ) ( 0,02 )
Bây giờ, hãy đơn giản hóa nó để nhận được giá trị gần đúng
= ( 27 + 15 + 3 ) + ( 18 + 5 ) ( 0,02 )
= 45 + 0,46
= 45,46
Do đó, giá trị gần đúng của f ( 3.02 ) là 45.46 .

Vấn đề thực hành thực tế

Giải quyết những yếu tố sau :

  1. Tìm giá trị gần đúng của ( 26 )⅓bằng cách sử dụng vi phân
  2. Tìm giá trị gần đúng của f (2.01), trong đó f (x) = 4x 

    Xem thêm: Viber

    2+ 5 x + 2 .

  3. Xác định sai số gần đúng khi tính diện tích quy hoạnh mặt phẳng, nếu đo nửa đường kính của hình cầu là 9 cm với sai số là 0,03 cm .
5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments