Vi phân – Lý thuyết tổng hợp và ứng dụng vi phân trong giải bài tập

Vi phân – Lý thuyết tổng hợp và ứng dụng vi phân trong giải bài tập

Bạn đang đọc: Vi phân – Lý thuyết tổng hợp và ứng dụng vi phân trong giải bài tập

Vi phân – Lý thuyết tổng hợp và ứng dụng vi phân trong giải bài tập

Vi phân là dạng công thức liên quan đến dạng bài về công thức tính đạo hàm, tích phân. Được đánh giá là một học phần khá quan trọng trong chương trình đại số và giải tích bậc trung học phổ thông, các bạn phải nắm chắc những kiến thức từ cơ bản đến chi tiết về vi phân. Bài viết sau sẽ đưa ra cho bạn câu trả lời hợp lý!

I. Vi phân là gì

Trong toán học, vi phân là một nhánh con của vi tích phân tương quan đến nghiên cứu và điều tra về vận tốc biến hóa của hàm số khi biến số đổi khác. Đây là một trong hai nhánh truyền thống cuội nguồn của vi tích phân, cái còn lại là tích phân, nghiên cứu và điều tra về diện tích quy hoạnh nằm bên dưới một đường cong. Vi phân là một giá trị nhỏ, nhỏ rất nhiều, vô cùng nhỏ. Ta thường viết vi phân bằng những ký hiệu như ? ? ; ? ? ; ? ? ; … với :

  • ?? là sự thay đổi giá trị rất ít của biến ?.
  • ?? là sự thay đổi giá trị rất ít của biến ?.
  • ?? là sự thay đổi giá trị rất ít của biến ?.

Khi so sánh 2 đại lượng có giá trị vô cùng nhỏ có mối quan hệ với nhau, như ? là một hàm ? nào đó của biến ?, ta nói vi phân ? ?, với ? = ? ( ? ) được viết là : \ ( ? ? = ? ′ ( ? ) ? x \ ).

Lưu ý: Ta xem \(\dfrac{dy}{dx}\) như là một phân số (tức ta có quyền tác động vào tử, mẫu một cách độc lập) hơn là một toán tử.

Ví dụ: Tính vi phân ?? của hàm số: \(? = 3? ^5 − ?\)

Trả lời : Ta có \ ( ? = 3 ? ^ 5 − ? \ ) nên \ ( ? ′ ( ? ) = 15 ? ^ 4 − 1 \ ). Vậy ta có tác dụng vi phân : \ ( ? ? = ? ′ ( ? ) ? ? = ( 15 ? ^ 4 − 1 ) ? ? \ ). Để tìm vi phân ? ?, ta chỉ việc tìm đạo hàm và gắn thêm đuôi ? ? vào.

Xem ngay: Vi phan

II. Các công thức vi phân thường gặp

1. Cách tính vi phân cơ bản

Cho hàm số f ( x ) xác lập tại \ ( x_o \ ) và trong lân cận của nó. Cho x một số gia \ ( \ Delta x \ ) tùy ý, nếu tại \ ( x_o \ ) số gia của hàm số \ ( y = f ( x0 + x ) – f ( x0 ) \ ) viết dưới dạng : \ ( \ Delta y = A \ Delta x + \ alpha ( \ Delta x ) \ ). Trong đó A là đại lượng không nhờ vào vào \ ( \ Delta x \ ) và \ ( \ alpha ( \ Delta x ) \ ) là vô cùng bé bậc cao hơn \ ( \ Delta x \ ) ( nghĩa là \ ( \ alpha ( \ Delta x ) \ rightarrow \ ) khi \ ( \ Delta x \ rightarrow 0 \ ) ) ta nói hàm số f ( x ) khả vi tại điểm \ ( x_o \ ) và đại lượng A \ ( \ Delta x \ ) được gọi là vi phân của hàm số tại điểm \ ( x_o \ ). Ký hiệu : \ ( dy = \ Delta A.x \ ).

2. Vi phân hàm ẩn

Chắc hẳn những bạn từng gặp những phương trình mà ? không hề trình diễn theo ? chỉ bằng cách chuyển vế, ví dụ điển hình : \ ( ? ^ 4 + 2 ? ^ 2 ? ^ 2 + 6 ? ^ 2 = 7 \ ) Để tính \ ( \ dfrac { ? ? } { ? ? } \ ) theo những cách thường thì trước đây thì rất phức tạp để đổi khác ? theo ?, thậm chí còn là không hề. Vậy ta phải có một cách nào đó để tính vi phân nhằm mục đích xác lập vận tốc đổi khác của ? khi ? biến hóa. Để làm được điều này thì tất cả chúng ta cần biết đến vi phân hàm ẩn.

Ví dụ: Tìm biểu thức \(\dfrac{??}{ ??}\) nếu: \(? ^4 + ?^ 5 − 7? ^2 − 5? −1 = 0\)

Trả lời:  \(? ^4 + ?^ 5 − 7? ^2 − 5? −1 = 0\).Ở ví dụ này ta dễ dàng phân tích ? theo ?, từ đó tính vi phân một cách dễ dàng. Thế nhưng ta hãy sử dụng một cách khác để tìm vi phân xem.

Phần A : Tìm đạo hàm với ? của \ ( ? ^ 4 \ ). Để vi phân biểu thức này, ta coi như ? là hàm theo ? và sử dụng “ Đạo hàm hàm số có lũy thừa ”. Cơ bản : Tiến hành những bước tính đạo hàm : \ ( \ dfrac { ? ? } { ? ? } ( y ) = \ dfrac { ? ? } { ? ? } \ ) \ ( \ dfrac { ? ? } { ? ? } ( y ^ 2 ) = 2 y \ dfrac { ? ? } { ? ? } \ ) \ ( \ dfrac { ? ? } { ? ? } ( y ^ 3 ) = 3 y ^ 2 \ dfrac { ? ? } { ? ? } \ ) \ ( \ dfrac { ? ? } { ? ? } ( y ^ 4 ) = 4 y ^ 3 \ dfrac { ? ? } { ? ? } \ ) Phần B : Tìm đạo hàm theo ? của : \ ( ? ^ 5 − 7 ? ^ 2 − \ dfrac { 5 } { x } \ ) Đây là cách tính vi phân thuần túy : \ ( \ dfrac { d } { dx } ( ? ^ 5 − 7 ? ^ 2 − \ dfrac { 5 } { x } ) = 5 x ^ 4-14 x + \ dfrac { 5 } { x ^ 2 } \ ). Phần C : Ở vế phải của phương trình, đạo hàm của 0 là 0. Bây giờ kết hợp phần ? ; ? ; ?. \ ( 4 y ^ 3 \ dfrac { ? ? } { ? ? } + 5 x ^ 4-14 x + \ dfrac { 5 } { x ^ 2 } = 0 \ )

Chuyển vế ta được kết quả:

\ ( \ dfrac { ? ? } { ? ? } = \ dfrac { 5 x ^ 4-14 x + \ dfrac { 5 } { x ^ 2 } } { 4 y ^ 3 } \ )

Hot: Tổng hợp các Mẹo Toán học hữu ích nhất

3. Vi phân của hàm số có lũy thừa

  • Hàm hợp

Nếu ? là hàm số theo ?, còn ? là hàm số theo ? thì ta nói : “ ? là hàm hợp theo ? ”.

Ví dụ: Hãy mô tả phương trình: \(? = (5? + 7) ^{12}\)

Trả lời : Nếu ta gọi \ ( ? = 5 ? + 7 \ ) ( biểu thức trong ngoặc ) thì phương trình trên viết lại thành : \ ( ? = ? ^ { 12 } \ ). Ta đã viết ? là hàm số theo ?, và tựa như ? là hàm số theo ?. Đây là khái niệm quan trọng trong vi phân. Những phương trình ta gặp đến giờ đây sẽ là phương trình trong phương trình và ta cần phải nhận diện chúng để hoàn toàn có thể tính vi phân một cách đúng chuẩn.

  • Quy tắc xích

Để tìm đạo hàm hàm hợp, ta cần sử dụng quy tắc xích : \ ( \ dfrac { ? ? } { ? ? } = \ dfrac { ? ? } { ? u }. \ dfrac { ? u } { ? ? } \ ) Điều này có nghĩa ta cần phải : – Nhận diện ? ( luôn luôn chọn biểu thức nằm trong cùng, thường nằm trong ngoặc hay dưới dấu căn ). – Sau đó ta cần ghi lại biểu thức ? theo ?. – Đạo hàm ? ( theo ? ) sau đó ta trình diễn lại mọi thứ theo ?. – Bước tiếp theo ta tìm \ ( \ dfrac { ? ? } { ? ? } \ ). – Nhân \ ( \ dfrac { ? ? } { ? u } \ ) với \ ( \ dfrac { ? u } { ? ? } \ ).

4. Vi phân toàn phần

Phương trình vi phân dạng : \ ( M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0 \ quad ( 1 ) \ ) được gọi là phương trình vi phần toàn phần khi nó thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo : vế trái của phương trình ( 1 ) phải là vi phân toàn phần của một hàm khả vi nào đó. Tức là sống sót một hàm U ( x, y ) khả vi nào đó sao cho : \ ( dU ( x, y ) = M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy \ ) Điều kiện để một phương trình vi phân dạng ( 1 ) trở thành phương trình vi phân toàn phần ( hay cách nhận ra phương trình vi phân toàn phần ) là : \ ( \ displaystyle \ frac { \ partial M } { \ partial y } = \ frac { \ partial N } { \ partial x } \ )

Có thể bạn quan tâm: 

III. Ứng dụng vi phân

Vi phân hoàn toàn có thể giúp tất cả chúng ta xử lý nhiều yếu tố trong quốc tế thực. Ta dùng đạo hàm để xác lập giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của những hàm riêng không liên quan gì đến nhau ( ví dụ như giá tiền, độ dài, số lượng vật tư dùng cho thiết kế xây dựng, quyền lợi, tổn thất ,. ). Ta dễ phát hiện phép tính đạo hàm trong những vấn để tương quan đến cơ khí và tin học, đặc biệt quan trọng khi ta làm quy mô đặc thù của một vật thể đang hoạt động.

1. Ứng dụng trong tiếp tuyến và pháp tuyến

  • Tiếp tuyến: Giả sử ta đi du lịch trên 1 chiếc xe hơi quanh khúc cua, bất chợt ta đụng vào một thứ gì đó trơn trượt trên đường (có thể là dầu, băng, nước hay cát mềm) và xe của ta bắt đầu trượt, thì chiếc xe sẽ di chuyển theo hướng tiếp tuyến với khúc cua đó. Tương tự, nếu ta cầm trái banh và ném chúng quanh 1 vật thể đang xoay tròn, trái banh ngay lập tức bay ra theo phương tiếp tuyến vật thể xoay tròn đó.
  • Khi bạn lái xe nhanh theo đường tròn, lực khiến bạn cảm thấy như xe mình sắp rời khỏi đường tròn đó chính là pháp tuyến của đường cong con đường. Một điều khá thú vị là lực giúp bạn di chuyển vòng quanh khúc cua hướng thẳng về tâm đường tròn, pháp tuyến với đường tròn. Căm bánh xe được đặt pháp tuyến với đường cong bánh xe ở những điểm có chỗ cho căm xe liên kết với tâm bánh xe.

2. Ứng dụng trong công thức Newton

Với những phương trình phức tạp mà bạn không hề giải thuần túy đại số thì bài viết này rất hữu dụng cho bạn. Các máy tính sử dụng công thức vòng lặp để giải phương trình. Quá trình này gồm có phán đoán ra cách giải đúng và vận dụng công thức để đưa ra những phán đoán đúng chuẩn hơn cho đến khi ta tìm ra được giá trị ( hoàn toàn có thể xê dịch ) đúng nhất của phương trình. Nếu ta muốn tìm ? để ? ( ? ) = 0 ( dạng bài toán phổ cập ) thì ta đoán một vài giá trị \ ( ? _1 \ ) gần đúng nhất, từ đó ta sẽ tìm ra giá trị giao động tương thích bằng cách sử dụng công thức Newton : \ ( ? _2 = ? _1 − \ dfrac { ? ( ? _1 ) } { ? ′ ( ? _1 ) } \ )

3. Ứng dụng trong chuyển động cong

Ở bài Đạo hàm với vận tốc đổi khác tức thời, ta đã tìm ra cách xác lập tốc độ theo phương trình hoạt động bằng cách. \ ( ? = \ dfrac { ? ? } { ? ? } \ ) Gia tốc theo phương trình tốc độ ( hay phương trình hoạt động ), sử dụng : \ ( a = \ dfrac { ? v } { ? ? } = \ dfrac { ? ^ 2 ? } { ? ? ^ 2 } \ ) Công thức trên chỉ thích hợp với hoạt động thẳng ( như tốc độ và tần suất trên đường thẳng ), điều này chưa tương thích với nhiều yếu tố trong đời sống. Vì vậy ta điều tra và nghiên cứu đến khái niệm về hoạt động cong khi một vật thể chuyển dời theo đường cong định trước. Thông thường ta trình diễn thành phần hoạt động là ? và ? là hàm số theo thời hạn, gọi là dạng tham số.

4. Ứng dụng trong tốc độ liên quan

Nếu ta có 2 đại lượng phụ thuộc theo thời gian và giữa chúng có sự liên quan với nhau, ta có thể biểu thị tốc độ thay đổi của đại lượng này theo đại lượng khác. Khi đó ta cần vi phân cả hai bên theo thời gian, tức là ta sẽ tìm \(\dfrac{ ?f}{ ??}\) của hàm ?(?) nào đó.

Xem thêm: Viber

Với những kiến thức tổng hợp trên hy vọng rằng nó đã giúp bạn giải đáp phần nào những thắc mắc về vi phân. Để học tập thật tốt hãy đầu tư thời gian vào làm bài cũng như trau dồi các kiến thức này nhé. Chúng tôi tin chắc rằng chúng sẽ không làm khó được bạn. Chúc các bạn thành công!

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments