Trong toán học, một hàm số[note 1] hay hàm là một quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp liên kết mọi phần tử của tập hợp đầu tiên với đúng một phần tử của tập hợp thứ hai. Ví dụ điển hình là các hàm từ số nguyên sang số nguyên hoặc từ số thực sang số thực. Cùng mindovermetal tìm hiểu chi tiết hơn trong bài viết dưới đây!
Các hàm số khởi đầu là sự lý tưởng hóa cách một đại lượng biến hóa phụ thuộc vào vào một đại lượng khác. Ví dụ, vị trí của một hành tinh là một hàm số của thời hạn. Về mặt lịch sử vẻ vang, khái niệm này được kiến thiết xây dựng dựa trên phép tính vi tích phân vào cuối thế kỷ 17, và cho đến thế kỷ 19, những hàm được coi là khả vi ( nghĩa là chúng có mức độ mịn cao ). Khái niệm hàm số được chính thức hóa vào cuối thế kỷ 19 dưới dạng kim chỉ nan tập hợp, và điều này đã lan rộng ra đáng kể những nghành ứng dụng của khái niệm này .
Một hàm số là một quá trình hoặc một mối quan hệ mà liên kết mỗi phần tử x của một tập hợp X, được gọi là miền xác định của hàm số, đến một phần tử y duy nhất của một tập hợp Y (có thể là cùng một tập hợp như X), và gọi là tập hợp đích của hàm số này. Hàm số thường được ký hiệu bằng các chữ cái như f, g và h.
Nếu hàm được gọi là f, quan hệ này được ký hiệu là y = f ( x ) ( đọc là ” f của x ” ), trong đó thành phần x là đối số hoặc nguồn vào của hàm và y là giá trị của hàm, đầu ra hoặc ảnh của x theo f. [ 2 ] Ký hiệu được sử dụng để trình diễn nguồn vào là biến của hàm ( ví dụ : f là hàm của biến x ). [ 3 ]Một hàm số được trình diễn duy nhất bởi tập hợp tổng thể những cặp số ( x, f ( x ) ), được gọi là đồ thị của hàm số. [ note 2 ] [ 4 ] Khi miền và miền là tập hợp những số thực, mỗi cặp như vậy hoàn toàn có thể được coi là tọa độ Descartes của một điểm trong mặt phẳng. Tập hợp những điểm này được gọi là đồ thị của hàm số ; nó là một phương tiện đi lại thông dụng để minh họa một hàm số .
Mục lục nội dung
Khái niệm
Nói một cách trực quan, hàm là một quy trình link từng thành phần của tập hợp X với một thành phần của tập hợp Y .Về mặt hình thức, một hàm f từ tập X đến tập Y được xác lập bởi tập G gồm những cặp có thứ tự ( x, y ) sao cho x X, y Y, và mọi thành phần của X là thành phần tiên phong của đúng một cặp có thứ tự ghép đôi trong G [ 6 ] [ note 3 ] Nói cách khác, với mọi x trong X, có đúng một thành phần y sao cho cặp có thứ tự ( x, y ) thuộc tập những cặp xác lập hàm f.
Tập hợp G được gọi là đồ thị của hàm số. Về mặt hình thức, nó hoàn toàn có thể được xác lập với hàm số trên, nhưng điều này che giấu cách lý giải thường thì về một tính năng như một quy trình. Do đó, trong cách sử dụng thường thì, hàm số thường được phân biệt với đồ thị của nó .Hàm còn được gọi là ánh xạ, mặc dầu 1 số ít tác giả phân biệt giữa ” ánh xạ ” và ” hàm số ” .
Trong định nghĩa về hàm số, X và Y tương ứng được gọi là tập / miền xác lập và tập đích / miền giá trị của hàm f [ 7 ] Nếu ( x, y ) thuộc tập xác lập f, thì y là ảnh của x trải qua f, hoặc giá trị của f được vận dụng cho đối số x. Đặc biệt, trong ngữ cảnh của những số lượng, người ta cũng nói rằng y là giá trị của f so với giá trị x của biến của nó, hay ngắn gọn hơn, y là giá trị của f của x, được ký hiệu là y = f ( x ) .
Hai hàm f và g là bằng nhau, nếu miền và tập hợp miền xác lập của chúng giống nhau và giá trị đầu ra của chúng giống nhau trên toàn miền xác lập đó. Chính thức hơn, f = g nếu f ( x ) = g ( x ) với mọi x X, trong đó f : X Y và g : X Y [ 8 ] [ 9 ] [ note 4 ]Miền xác lập và miền giá trị không phải khi nào cũng được phân phối rõ ràng khi một hàm được xác lập và, nếu không có một số ít đo lường và thống kê ( hoàn toàn có thể khó ), người ta hoàn toàn có thể chỉ biết rằng miền được chứa trong một tập hợp lớn hơn.
Thông thường, điều này xảy ra trong giải tích toán học, trong đó ” một hàm từ X tới Y ” thường đề cập đến một hàm hoàn toàn có thể có một tập con thích hợp [ note 5 ] của X là miền xác lập. Ví dụ, một ” hàm từ giá trị thực đến giá trị thực ” hoàn toàn có thể tham chiếu đến một hàm có giá trị thực của một biến thực. Tuy nhiên, một ” hàm từ số thực đến số thực ” không có nghĩa là miền của hàm là hàng loạt tập những số thực, mà chỉ có nghĩa miền là tập những số thực có chứa khoảng mở không rỗng. Khi đó một hàm như vậy được gọi là hàm một phần.
Ví dụ : nếu f là một hàm có những số thực là miền xác lập và miền giá trị, thì một hàm ánh xạ giá trị x với giá trị g ( x ) = 1 f ( x ) { \ displaystyle g ( x ) = { \ tfrac { 1 } { f ( x ) } } }là một hàm g từ miền số thực đến miền số thực, có miền xác lập là tập những số thực x, sao cho f ( x ) 0 .Phạm vi của một hàm là tập hợp những ảnh của tổng thể những thành phần trong miền. [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] Tuy nhiên, khoanh vùng phạm vi đôi lúc được sử dụng như một từ đồng nghĩa tương quan của miền giá trị, [ 12 ] [ 13 ] thường sử dụng trong những sách cũ .
Định nghĩa dùng quan hệ
Bất kỳ tập con nào của tích Descartes gồm hai tập hợp X { \ displaystyle X } và Y { \ displaystyle Y }xác lập một quan hệ hai ngôi R X × Y { \ displaystyle R \ subseteq X \ times Y } giữa hai tập hợp này. Rõ ràng là một quan hệ tùy ý hoàn toàn có thể chứa những hai bạn trẻ vi phạm những điều kiện kèm theo thiết yếu cho một hàm số đã cho ở trên .
Một quan hệ hai ngôi là có tính hàm số ( còn được gọi là duy nhất bên phải ) nếux X, y Y, z Y, ( ( x, y ) R ( x, z ) R ) ⟹ y = z. { \ displaystyle \ forall x \ in X, \ forall y \ in Y, \ forall z \ in Y, ( ( x, y ) \ in R \ land ( x, z ) \ in R ) \ implies y = z. }Một quan hệ nhị phân là có tính tiếp nối đuôi nhau ( còn được gọi là tổng bên trái ) nếux X, y Y, ( x, y ) R. { \ displaystyle \ forall x \ in X, \ exists y \ in Y, ( x, y ) \ in R. }
Một hàm một phần là một quan hệ hai ngôi mà có tính hàm số ..Một hàm số là một quan hệ hai ngôi có tính hàm số và tiếp nối đuôi nhau .Các thuộc tính khác nhau của hàm số và thành phần hàm số hoàn toàn có thể được định dạng lại bằng ngôn từ của những quan hệ. Ví dụ, một hàm số là đơn ánh nếu quan hệ ngược R T Y × X { \ displaystyle R ^ { \ text { T } } \ subseteq Y \ times X } là có tính hàm số, trong đó quan hệ ngược được định nghĩa là R T = { ( y, x ) ( x, y ) R }. { \ displaystyle R ^ { \ text { T } } = \ { ( y, x ) \ mid ( x, y ) \ in R \ }. }
Cách cho hàm số
Hàm số hoàn toàn có thể được cho bằng bảng hoặc bằng biểu đồ hoặc bằng 1 biểu thức hoặc nhiều biểu thức trên từng khoảng chừng, đoạn, nửa khoảng chừng .Ví dụ : X = { 1,2,3,4,5 }, Y = { 5,6,7,8,9,10 } .
Hàm f : X Y { \ displaystyle f : X \ to Y } được cho bảng sau : x 1 2 3 4 5 y 5 6 7 8 9
Các hàm cho bằng biểu thức như y = 2 x + 3 { \ displaystyle y = 2 x + 3 }, y = x 2 { \ displaystyle y = x ^ { 2 } }, y = sin x { \ displaystyle y = \ sin x }…
Lưu ý : Trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học đại trà phổ thông của Nước Ta ( chỉ đề cập đến Hàm số biến số thực ) quy ước rằng :
Khi không nói rõ thêm, miền xác định (tập xác định) của hàm số cho bằng biểu thức y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x làm cho f(x) có nghĩa.Ví dụ: Hàm số y = log 2 x {\displaystyle y={\log }_{2}x} có miền xác lập là { x R | x > 0 } { \ displaystyle \ { x \ in \ mathbb { R } | x > 0 \ } }hay ( 0 ; + ) { \ displaystyle ( 0 ; + \ infty ) }Hàm số y = ( x 1 ) ( 3 x ) { \ displaystyle y = { \ sqrt { ( x-1 ) ( 3 – x ) } } } có miền xác lập là [ 1 ; 3 ] { \ displaystyle [ 1 ; 3 ] }
- Miền giá trị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị có thể có của f ( x ) {\displaystyle f(x)}
, nghĩa là f ( X ) { \ displaystyle f ( X ) }. Ví dụ : Miền giá trị của hàm số y = x ( 5 x ) { \ displaystyle y = { \ sqrt { x ( 5 – x ) } } }là [ 0 ; 2.5 ] { \ displaystyle [ 0 ; 2.5 ] }.
- Nếu X,Y R {\displaystyle \subset \mathbb {R} }
thì hàm số được gọi là hàm số thực. Ví dụ : Hàm lượng giác y = sin x { \ displaystyle y = \ sin x }, hàm mũ y = 2 x { \ displaystyle y = 2 ^ { x } }, …
- Nếu X,Y C {\displaystyle \subset \mathbb {C} }
thì hàm số được gọi là hàm số biến số phức. Ví dụ : Hàm giao động y = cos φ + i sin φ { \ displaystyle y = \ cos \ varphi + i \ ; \ sin \ varphi };
- Nếu X N {\displaystyle \subset \mathbb {N} }
thì hàm số được gọi là hàm số số học.Ví dụ: Hàm Euler ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)}
màn biểu diễn số những số tự nhiên không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n, hàm Sigma σ ( n ) { \ displaystyle \ sigma ( n ) }màn biểu diễn tổng toàn bộ những ước của số tự nhiên n …
Các dạng của hàm số
Đơn ánh, song ánh, toàn ánh
Như trên đã đề cập, hàm số là một trường hợp ánh xạ, nên người ta cũng miêu tả hàm số dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và tuy nhiên ánh .
Đơn ánh
Một hàm số là đơn ánh khi nó vận dụng lên 2 đối số khác nhau luôn cho 2 giá trị khác nhau .
Một cách chặt chẽ, hàm f, xác định trên X và nhận giá trị trong Y, là đơn ánh nếu như nó thỏa mãn điều kiện với mọi x1 và x2 thuộc X và nếu x1 x2 thì f(x1) f(x2).
Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh khi và chỉ khi : x 1, x 2 X ; x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) { \ displaystyle \ forall x_ { 1 }, x_ { 2 } \ in { \ mathit { X } } \, \ ! ; x_ { 1 } \ neq x_ { 2 } \ Rightarrow f ( x_ { 1 } ) \ neq f ( x_ { 2 } ) } Với đồ thị hàm số y = f ( x ) trong hệ tọa độ Đề những, mọi đường thẳng vuông góc với trục đối số Ox sẽ chỉ cắt đường cong đồ thị tại nhiều nhất là một điểm
Toàn ánh
Hàm số f được gọi là toàn ánh nếu như với mọi số y thuộc Y ta luôn tìm được ít nhất một số x thuộc X sao cho f(x) = y. Theo cách gọi của ánh xạ thì điều kiện này có nghĩa là mỗi phần tử y thuộc Y đều là ảnh của ít nhất một tạo ảnh x thuộc X qua ánh xạ f.
Nghĩa là, hàm số f là toàn ánh khi và chỉ khi : y Y, x X : f ( x ) = y { \ displaystyle \ forall y \ in Y, \ exists x \ in X : f ( x ) = y }cũng tức là f ( X ) = Y { \ displaystyle { \ mathit { f ( X ) = Y } } \, \ ! }Đồ thị hàm y = f ( x ) { \ displaystyle y = f ( x ) \, }cắt đường thẳng y = y 0 y 0 { \ displaystyle y = y_ { 0 } \ forall y_ { 0 } }
Song ánh
Trongtoán học,song ánh, hoặchàm song ánh, là mộthàm sốftừtậpXvào tậpYthỏa mãn tính chất, đối với mỗiythuộcY, có duy nhất một x thuộc X sao cho f(x) =y.
Nói cách khác,flà một song ánh nếu và chỉ nếu nó là tương ứng một-mộtgiữa hai tập hợp; tức là nó vừa làđơn ánhvà vừa làtoàn ánh.
Ví dụ, xét hàm f xác định trên tập hợpsố nguyênvào, được định nghĩaf(x) =x+ 1. Ví dụ khác, đối với mỗi cặp số thực (x,y) hàm f xác định bởif(x,y) = (x+y,xy) là một song ánh
Hàm song ánh đôi khi còn gọi là hoán vị.
Tập hợp toàn bộ những tuy nhiên ánh từ tậpXvào tậpYđược ký hiệu làXY. Thông thường tập những hoán vị của tậpXđược ký hiệu là X ! .Song ánh đóng nhiều vai trò quan trọng trong toán học, như nó dùng để định nghĩađẳng cấu ( và những khái niệm tương quan nhưphép đồng phôivàvi phôi ), nhóm hoán vị, ánh xạ xạ ảnh, và nhiều định nghĩa khác
Hàm hợp và hàm ngược
Hàm hợp
Cho những hàm số : f 1 : X Y { \ displaystyle f_ { 1 } \ colon X \ to Y }f 2 : Y Z { \ displaystyle f_ { 2 } \ colon Y \ to Z }
trong đó X, Y, Z là các tập hợp số nói chung. Hàm hợp của f1 và f2 là hàm số: f : X Z {\displaystyle f\colon X\to Z}
được định nghĩa bởi : f ( x ) = f 2 ( f 1 ( x ) ) ; x X { \ displaystyle { \ mathit { f ( x ) = f_ { 2 } ( f_ { 1 } ( x ) ) ; x } } \ in X }Có thể ký hiệu hàm hợp là : f = f 2 f 1 { \ displaystyle f = f_ { 2 } \ circ f_ { 1 } }Ví dụ, hàm số f ( x ) = sin ( x2 + 1 ) là hàm số hợp f2 ( f1 ( x ) ), trong đó f2 ( y ) = sin ( y ), f1 ( x ) = ( x2 + 1 ) .Việc nhận ra một hàm số là hàm hợp của những hàm khác, trong nhiều trường hợp hoàn toàn có thể khiến những đo lường và thống kê giải tích ( đạo hàm, vi phân, tích phân ) trở nên đơn thuần hơn .
Hàm ngược
Cho hàm số tuy nhiên ánh : f : X Y { \ displaystyle f \ colon X \ to Y }
trong đó X, Y là tập hợp số nói chung.Khi đó mỗi phần tử y = f(x) với y nằm trong Y đều là ảnh của một và chỉ một phần tử x trong X. Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi phần tử y trong Y với một phần tử x trong X. Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số, ánh xạ từ Y sang X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số f và được ký hiệu là: f 1 : y x = f 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}\colon y\mapsto x=f^{-1}(y)}
Nếu f1(x) tồn tại ta nói hàm số f(x) là khả nghịch. Có thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức là nếu f(x) là song ánh thì ta luôn tìm được hàm ngược f1(x) và ngược lại.
Đồ thị của hàm số
Thông thường thì hàm số được xác định bằng một biểu thức tổng quát y = f(x) nào đó, ví dụ như y = x2 – 5. Tuy nhiên cũng có những hàm đặc biệt mà quy tắc cho tương ứng x với y của nó không theo bất kỳ một quy luật nào để có thể diễn đạt bằng một biểu thức toán học. Trong trường hợp này ta có thể lập bảng cho các giá trị đối số x và các giá trị hàm số y tương ứng với chúng. Ngoài ra hàm số còn có thể được xác định một cách triệt để bằng đồ thị của nó.
Đối với hàm số một biến số thực (có miền xác định thực), đồ thị hàm số được định nghĩa như sau: Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng R2 có tọa độ [x, f(x)].
Ký hiệu đồ thị hàm số theo định nghĩa trên là : g r a p h f { ( x, y ) R 2 y = f ( x ) } { \ displaystyle graphf \ equiv { \ begin { Bmatrix } ( x, y ) \ in R ^ { 2 } \ mid y = f ( x ) \ end { Bmatrix } } }
Các tính chất của hàm số
Tính đơn điệu
Giả sử hàm số y = f ( x ) xác lập trên K. Ta nói :
- Hàm số y= f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x 1 {\displaystyle x_{1}}
, x 2 { \ displaystyle x_ { 2 } }thuộc K mà x 1 { \ displaystyle x_ { 1 } }nhỏ hơn x 2 { \ displaystyle x_ { 2 } }thì f ( x 1 ) { \ displaystyle f ( x_ { 1 } ) }nhỏ hơn f ( x 2 ) { \ displaystyle f ( x_ { 2 } ) }
, tức là: x 1 < x 2, f ( x 1 ) < f ( x 2 ) {\displaystyle \forall x_{1}<x_{2},\rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})}<=”” p=””>
- Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x 1 {\displaystyle x_{1}}
, x 2 { \ displaystyle x_ { 2 } }thuộc K mà x 1 { \ displaystyle x_ { 1 } }nhỏ hơn x 2 { \ displaystyle x_ { 2 } }thì f ( x 1 ) { \ displaystyle f ( x_ { 1 } ) }lớn hơn f ( x 2 ) { \ displaystyle f ( x_ { 2 } ) }, tức là: x 1 < x 2, f ( x 1 ) > f ( x 2 ) {\displaystyle \forall x_{1}<x_{2},\rightarrow f(x_{1})=””>f(x_{2})}</x_{2},\rightarrow>
Tính chẵn lẻ
Điều kiện để một hàm số chẵn hoặc lẻSửa đổi
Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên D
- Điều kiện tiên quyết để hàm số có tính chẵn lẻ là tập xác định của hàm số phải đối xứng qua điểm 0, tức là x D, x D {\displaystyle \forall x\in D,-x\in D}
- Để hàm số được xem là chẵn cần thêm điều kiện f(-x) = f(x)
- Để hàm số được xem là lẻ cần thêm điều kiện f(-x) = -f(x)
- Nếu thiếu điều kiện 1 hoặc cả hai điều kiện 2 và 3 thì xem như hàm số không có tính chẵn lẻ.
Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ
Trong mặt phẳng tọa độ Descartes :
- Đồ thị của mọi hàm số chẵn đều nhận trục Oy làm trục đối xứng.
- Đồ thị của mọi hàm số lẻ đều nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
