Tích có hướng là gì?

Tích có hướng là gì ?

Khái niệm: Tích có hướng là một phép toán nhị nguyên trên các vec-tơ trong không gian ba chiều của vec-tơ. Đây là một trong hai phép nhân giữa các vec-tơ thường gặp (phép toán còn lại là nhân vô hướng). Phép nhân này khác nhân vô hướng ở điểm kết quả thu được là một giả vec-tơ thay cho một vô hướng. Kết quả này sẽ vuông góc với mặt phẳng chứa hai vec-tơ đầu vào của phép nhân.

Định nghĩa: Tích có hướng của hai vec-tơ u và v trong không gian, ký hiệu là [u,v] hoặc u v là vec-tơ w thỏa mãn 3 điều kiện sau:

w có phương vuông góc với cả u và v .
| w | = | u |. | v |. sin, với là góc hợp bởi cả u và v .

Tính chất và công thức tọa độ

Tính chất

+ ) [ u1 ; u2 ] = – [ u2 ; u1 ]
+ ) [ u1 ; u2 ] = 0 ⇔ u1 cùng phương với u2
+ ) [ u1 ; u2 ] u1 ; [ u1 ; u2 ] u2
+ ) [ u1 ; u2 ]. u3 = 0 ⇔ ba vec-tơ u1, u2, u3 đồng phẳng
+ ) | [ u1 ; u2 ] | = | u1 |. | u2 | sin ( u1 ; u2 )

Công thức tọa độ

Tọa độ vec-tơ của tích có hướng của hai vec-tơ u = ( u1 ; u2 ; u3 ) và v = ( v1, v2, v3 ) là :
[ u, v ] = ( | u2 u3 | ) ; – ( | u1 u3 | ) ; – ( | u1 u2 | )
| v2 v3 | | v1 v3 | | v1 v2 |
trong đó định thức | a b | = ad – bc .
| c d |

Ứng dụng

Tích có hướng của hai vec-tơ hoàn toàn có thể được ứng dụng để tính diện tích quy hoạnh, thể tích một số ít mô hình như tam giác, khối hộp … trong mặt phẳng chứa hệ tọa độ vuông góc Oxyz. Khi bạn đã nắm vững những đặc thù và công thức tính tọa độ cơ bản, việc sử dụng chúng sẽ trở nên đơn thuần hơn trong những trường hợp này .

• Diện tích tam giác :

S ABC = ½ | [ AB, AC ] |

• Diện tích hình bình hành:

  Xem thêm: Downtown Là Gì? Uptown Là Gì? Phân Biệt Downtown Và Uptown Nguồn Gốc Và Ý Nghĩa Của Từ Downtown

S ABCD = | [ AB, AD ] | = | [ AB, AC ] |

• Thể tích tứ diện :

V ABCD = ⅙ | [ AB, AC ]. AD |

• Thể tích khối hộp :

V ABCD.A ’ B’C ’ D ’ = | [ AB.AD ]. AA ’ |

Chú ý khi vận dụng

Để tránh xảy ra nhầm lẫn trong quy trình thống kê giám sát dẫn đến hiệu quả ở đầu cuối không được đúng mực, bạn hãy tính tích có hướng của hai vec-tơ ở ngoài nháp theo trình tự sau :
B1 : Viết tọa độ mỗi vec-tơ hai lần liền nhau, những tọa độ tương ứng của hai vec-tơ thẳng cột
x1 y1 z1 x1 y1 z1
x2 y2 z2 x2 y2 z2
B2 : Xóa bỏ 2 cột ngoài cùng
x1 y1 z1 x1 y1 z1
x2 y2 z2 x2 y2 z2
B3 : Tính toán theo quy luật nhân chéo rồi trừ

Ví dụ: Cho hai vec-tơ u = (1;5;3) và v = (2;-1;0). Tính tích có hướng của hai vec-tơ trên.

( chỉ viết ngoài nháp )
1 5 3 1 5 3
2 – 1 0 2 – 1 0
3 6 – 11
Vậy [ u ; v ] = ( 3 ; 6 ; – 11 ) .

Làm sao để nắm chắc kiến thức và kỹ năng về tích vô hướng ?

Kiến thức về tích vô hướng, vec-tơ và hệ tọa độ là kỹ năng và kiến thức nền tảng cần được nắm kỹ và chắc như đinh. Bạn cần quan tâm triển khai những giải pháp sau để nắm vững kiến thức và kỹ năng về tích có hướng :
– Nắm nền tảng những kiến thức và kỹ năng vec-tơ, hệ tọa độ

–  Thực hành các bài tập liên quan thường xuyên và áp dụng tích có hướng một cách linh hoạt

– Kết hợp tìm hiểu và khám phá kỹ năng và kiến thức về tích vô hướng, để tránh lầm lẫn hai kiến thức và kỹ năng này .
Hiểu về kiến thức và kỹ năng tích vô hướng, bạn sẽ thuận tiện vận dụng nó vào trong việc giải bài tập, khám phá kỹ năng và kiến thức toán học và vận dụng trong đời sống. Cho dù kỹ năng và kiến thức về vec-tơ, tích vô hướng chỉ là kiến thức và kỹ năng được dạy trên lớp nhưng sau này, chắc như đinh sẽ có dịp bạn gặp lại những kỹ năng và kiến thức này. Vì thế, cần khám phá và nắm rõ để tránh kinh ngạc, khó khăn vất vả trong tiếp cận .

Source: https://mindovermetal.org
Category: Wiki là gì