Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 1 Chuyên đề: Bất đẳng thức và các ứng dụng Biên soạn: Lê Việt Hưng – 9B Trường THCS Thị Trấn Hải Lăng (Quảng Trị) Nguyễn Phúc Tăng – 9A10 Trường THCS Kim Đồng (Đồng Tháp) I ) Khái niệm bất đẳng thức cơ bản : 1.1 Số thực dương, số thực âm Nếu a là số thực dương, ta ký hiệu 0a Nếu a là số thực âm, ta ký hiệu 0a Nếu a là số thực dương hoặc 0a, ta nói a là số thực không âm, ký hiệu 0a Nếu a là số thực âm hoặc 0a, ta nói a là số thực không dương, ký hiệu 0a Chú ý: Với hai số thực ,a b chỉ có một trong ba khả năng sau xảy ra: a b hoặc a b hoặc a b Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " 0a " Phủ định của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " 0a " Tính chất quan trọng i) 2: 0 x R x (đẳng thức xảy ra khi 0x ) ii) 2 0,, kx k N x R (đẳng thức xảy ra khi 0x ) iii) 2 2 21 2 ... 0,, k k k n ix x x k N x R (đẳng thức xảy ra khi 1 2 ... 0 n x x x ) 1.2 Định nghĩa 1 Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a b là một số dương, tức là 0a b . Khi đó ta cũng ký hiệu b < a Ta có: 0a b a b Nếu a b hoặc a b, ta viết ba . Ta có: 0 a b a b Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 2 1.3 Định nghĩa 2 Giả sử A, B là hai biểu thức (bằng số hoặc chứa biến) Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu A B " A nhỏ hơn B ", ký hiệu A B " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B được gọi là một bất đẳng thức Quy ước : Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng 1.4 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức 1.4.1 Tính chất 1. a b a c b c (Bắc cầu) 1.4.2 Tính chất 2. a b a c b c (Cộng hai vế với cùng một số) Hệ quả 1. a b a c b c (Trừ hai vế với cùng một số) Hệ quả 2. a c b a b c (Chuyển vế) 1.4.3 Tính chất 3. a b a c b d c d (Cộng hai vế hai bđt cùng chiều) 1.4.4 Tính chất 4. khi c > 0 khi c < 0 ac bc a b ac bc (Nhân hai vế với cùng một số) Hệ quả 3. a b a b (Đổi dấu hai vế) Hệ quả 4. khi c > 0 khi c < 0 a b c c a b a b c c (Chia hai vế với cùng một số) Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 3 1.4.5 Tính chất 5. 0 0 a b ac bd c d (Nhân hai vế hai bđt cùng chiều) 1.4.6 Tính chất 6. 1 1 0 0a b a b (Nghịch đảo hai vế) 1.4.7 Tính chất 7. nn baNnba *,0 (Nâng lũy thừa bậc n) 1.4.8 Tính chất 8. n baNnba n *,0 (Khai căn bậc n) Hệ quả 5. Nếu a và b là hai số dương thì : 22 baba (Bình phương hai vế) Nếu a và b là hai số không âm thì : 22 baba (Bình phương hai vế) 2. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối Tính chất. 2 20, x, x x, -x xx x Với mọi Rba , ta có : a b a b a b a b . 0a b a b ab . 0a b a b ab 3. Bất đẳng thức trong tam giác Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : a > 0, b > 0, c > 0 b c a b c c a b c a a b c a b a b c A B C II ) Một số Bất Đẳng Thức Phụ cơ bản : TT Điều kiện Bất đẳng thức Điểm rơi Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 4 1, a b R 2 2 2 a b ab a = b 2, a b R 2 2 a b ab a = b 3, 0a b 2 a b ab a = b 4, a b R 2 2 22a b a b a b 5, , a b c R 2 2 2a b c ab bc ca 4 4 4a b c abc a b c a b c 6, , a b c R 22 2 23 a b c a b c a b c 7, , a b c R 2 3a b c ab bc ca a b c 8 , a b R và 1ab 2 2 1 1 2 1 1 1a b ab + ³ + + + a b hoặc 1ab 9 , 0a b 1 1 4a b a b 1 1 4 a b a b a b 10 ,, 0a b c 1 1 1 9a b c a b c 1 1 1 9 a b c a b c a b c 11 , 0a b 2 2 2 1 1 8a b a b ( ) 22 2 1 1 8 a b a b + ³ + a b 12, , a b c R , ,, x y z R 2 2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z (Hệ quả bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ) a b c x y z 13, , a b c R, ,, x y z R 22 2 2 x y zx y z a b c a b c (Hệ quả bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức) a b c x y z 14 a, b, c, x, y, z, m, n, p > 0 33 3 3 3 3 3 3 3 3a b c x y z m n p axm byn czp (Hệ quả bất đẳng thức Holder) Các dãy tương ứng tỉ lệ * Các bất đẳng thức quan trọng và mở rộng : Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 5 Bất đẳng thức AM - GM _________________________________________________ Nếu 1 2, ,..., na a a là các số thực không âm thì 1 2 1 2 ... ...n n n a a a a a a n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a . Bất đẳng thức AM - GM suy rộng ________________________________________ Cho các số dương 1 2, ,..., nw w w thoả mãn 1 2 ... 1nw w w . Nếu 1 2, ,..., na a a là các số thực không âm thì 1 2 1 1 2 2 1 2... ... nww w n n nw a w a w a a a a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... na a a . Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz __________________________________________ Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b. Ta có: 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n na b a b a b a a a b b b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 ... n n aa a b b b Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ______________________________ Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b. Ta có: 222 2 1 21 2 1 2 1 2 ... ... ... nn n n a a aaa a b b b b b b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 ... n n aa a b b b Bất đẳng thức Holder ____________________________________________________ Với m dãy số dương 1,1 1,2 1, 2,1 2,2 2, ,1 ,2 ,, ,..., , ,..., ..., ,...,n n m m m na a a a a a a a a ta có: , , 1 11 1 m m mn n m i j i j j ji i a a Đẳng thức xảy ra khi m dãy tương ứng đó tỉ lệ. +Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz là một hệ quả của bất đẳng thức Holder khi m = 2. Bất đẳng thức Minkowski ________________________________________________ Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b. Ta có: 2 22 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n na b a b a b a a a b b b Bất đẳng thức Minkowski dạng mở rộng ____________________________________ Cho hai dãy số thực 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b. Ta có: Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 6 1 2 1 2 1 1 2 2... ... ...n n nn n n na a a bb b a b a b a b Dấu ‘‘=’’ của bất đẳng thức Minkowski giống với Cauchy - Schwarz. Bất đẳng thức Vonicur Schur _____________________________________________ Cho các số thực không âm a, b, c. Nếu r 0, thì 0r r ra a b a c b b c b a c c a c b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, hoặc a = 0, b = c và các hoán vị. Với bất đẳng thức này ta có các hệ quả sau: Trong trường hợp r = 1, ta có các dạng tương đương sau: a. 3 3 3 3 ( ) ( ) ( )a b c abc ab a b bc b c ca c a b. 3 3 3 34( ) 15 ( )a b c abc a b c c. 2 2 2 9 2( ) abc a b c ab bc ca a b c d. 4 2 ( )( )( ) a b c abc b c c a a b a b b c c a Trong trường hợp r = 2, ta có các dạng tương đương: a. 4 2 2( ) ( )a abc a b c ab a b b. 2 26 ( ) (2 )( )abc a b c ab a a ab Bất đẳng thức Bernolli _________________________________________________ Với mọi số nguyên r 0 và x > -1 1 1 r x rx III ) Một số kỹ thuật cơ bản trong bất đẳng thức : 1)Kỹ thuật chọn điểm rơi: Ví Dụ 1:Cho 3x . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 1 A x x Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thứ AM-GM dạng 2a b ab ta có: 1 1 2. 2A x x x x Ta thấy lời giải trên sai vì trong đánh giá trên, dấu bằng xảy ra khi 1 x x , vì vậy x=1, tuy nhiên x=1 lại không nằm trong khoảng giá trị 3x mà bài toán đã quy định. Vì vậy với lời giải trên thì ta đã tìm sai điểm rơi cho bài toán. Giải: Để đảm bảo đc dấu “=” xảy ra thì ta có lời giải như sau: Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 7 8 1 8.3 1 24 2 10 2 . 9 9 9 9 9 3 3 x x x A x x Ra thêm: Ví Dụ 2:Cho 1x . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 3 2 B x x Ví Dụ 3:Cho x>2. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 4 3 4 C x x Ví Dụ 4:Cho a,b >0 và a+2b = 3. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2D ab Ví Dụ 5:Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: 6a b b c c a 2) Kỹ thuật đổi biến : Ví Dụ 1: Cho x,y,z > 0, xyz=1. Chứng minh rằng : 1 1 1 3 1 1 1 2 x y z y z x (Lê Việt Hưng) Lời giải : Từ xyz=1 ta có thể đặt : ; ; a b c x y c b c a 1 1 1 3 2 b c a a c b a c b a c a b b c b b c c a a (Bất đẳng thức Nesbit) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x=y=z=1 Ví Dụ 2:Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 3 3 3 a b c a b c bc ca ab a b c (NguyenDungTN) Lời giải :Từ đây ta đặt: ; ; bc ca ab x y z a b c Từ đó ta cần chứng minh: 3 3 xy yz zx x y z Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 8 2 3 xy yz zx x y z ( Đây là 1 dạng bất đẳng thức phụ quen thuộc) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 3: Cho x,y,z > 0, abc=1. Chứng minh rằng : 1 1 1 3 21 1 1a b b c c a (Sưu tầm) Lời giải : Từ abc=1 ta có thể đặt ; ; x y z a b c y z x , khi đó : VT 1 1 1 3 2 ( 1) ( 1) ( 1) yz zx xy x y y z z x xy zx yz xy zx yz y z z x x y (Nesbit) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c>0, abc = 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1a b c b c a (IMO 2000) Lời giải :Từ abc=1 ta có thể đặt ; ; x y z a b c y z x Ta có: ( )( )( ) 1 x y z y z x z x y VT xyz ( )( )( )x y z y z x z x y xyz (Một dạng Bất Đẳng Thức quen thuộc) Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5: Cho a,c>0 và 0b .Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 a c a b T aa c b c (Nguyễn Phúc Tăng) Lời giải : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 a c a b b T a aa c b c c b a c Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 9 Đặt : ; c b x y a c Ta được: 2 2 1 1 1 21 1 xy T x y Từ đây ta có thể sử dụng bất đẳng thức phụ: 2 2 1 1 2 11 1 xyx y 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 21 1 xy xy T xyx y Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2 tại x=y=1 Ví Dụ 6:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: abc=1. Chưng minh rằng: 2 1 1 1 a b Lời giải: Đặt: 3 3 3; ;a x b y c z , ta được: 3 6 1 1 1 x y Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 4 4 4 2 2 2 2 2 3 6 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 4 2 1 1 1 1 1 1 z x z x x x yz z xy y x y x y z x y zx y z x y Vậy ta chỉ cần chứng minh: 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 0 2 2 2 x y z x y z xyz x y z x y y z z x xyz x y z xy yz yz zx zx xy Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 7:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1a a b b c c (Võ Quốc Bá Cẩn – Vasile Cirtoage) Lời giải: Vì a,b,c nên ta có thể đặt: 2 2 2; ; xy yz zx a b z z x y Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành: Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 10 4 4 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 1 x y z y z x yz x z x xy z y x y xyz z Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 4 2 2 x y zx y z y z x yz x z x xy z y x y xyz z x y z xyz x y z Vậy ta chỉ cần chứng minh: 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 0 2 2 2 x y z x y z xyz x y z x y y z z x xyz x y z xy yz yz zx zx xy Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1c bc a ca b ab (Lê Việt Hưng) Lời giải: Vì abc=1 nên ta có thể đặt: ; ; x y z a b c y z x Bất đẳng thức được viết lại thành: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 1 1 x y z x z yz y x zx z y xy x y z x x z x yz y x y xy z z y z xyz Chứng minh bất đẳng thức trên tương tự như ví dụ 7. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 3) Sử dụng Cauchy- Schwarz để chứng minh bất đẳng thức : Ví Dụ 1: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 1 1 1 1 3. 2a b c a b (ĐTTS lớp 10 chuyên Ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008) Lời giải : 1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9 ; ; 2 2 2a b b a b b c c b c c a a c a (Cauchy-Swcharz) 1 1 1 1 1 13 9 2 2 2a b c a b b c c a Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 11 1 1 1 1 1 13 2 2 2a b c a b b c c a Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c Ví Dụ 2: Cho a,b,c > 0 thõa mãn 1 1 1 1 1 1 1b c c a a b .Chứng minh rằng : a b c ab bc ca ( Romania IBMO Team Selection Test 2007 ) Lời giải : Ta có: 1 1 1 1 b c b c b c 2 1 b c b c Từ đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: 2 1 a b b c c a VP b c b c 2 2 1 a b c a ab a Từ đây ta suy ra được: a b c ab bc ca Ví Dụ 3: Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 42 2 2a b b c c a (Iranian IMO Team Selection Test 2009) Lời giải:Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 22 2 2 a b a b a b Viết lại thành: 2 2 2 2 3 22 a b a b Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 6 a b b c c a a b b c c a VT a b b c c a a b c Ta lại có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 9 a b b c c a a b c a b b c a b c a bc a b c a b c a b c Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 12 2 2 2 2 2 2 3 9 3 22 6 a b c VT a b c Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=1 Ví Dụ 4: Cho a,b,c > 0 thõa mãn 2 2 2 3a b c .Chứng minh rằng: 2 2 2 2 9 1 1 1 2 2 2a b ca b c Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: : 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 3 2 9 b c b c a a b c a b c a b c a b c a b c Dấu đẳng thức xảy ra khi: a=b=c=1 Ví Dụ 5:Cho, ,a b c > 0 thõa mãn 3 cba. Chứng minh rằng: 1 111 222 bacacbcba Lời giải : Sử dụng BĐT Bunhia-copsxki cho 3 cặp số ta được : 2 2 22 2 31 1 1 2.3 3 1 91 a b cb c b c a b c a b c b c a b c a b c Bất đẳng thức đã được đã được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi : a=b=c=1 Ví Dụ 6: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1 a b c a b b c b c a b c a b (Belarusian MO 1998) Lời giải: Có thể viết lại bất đẳng thức trên thành: 2 1 2 a a b b c c b b b c c b c a a b a b ca b bc a b a bb b c c b c a a b Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 13 2 2 2 2 . b c a b cca b a c b a b a b ab b c c b c c b c c b c c a b Bất đẳng thức trên tương đương với: 2 2 2 0 a b c bc a b a bc a b a a b a b c bc a b c a b c a ca Từ đây, bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 7:Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 a b c a b c a c a (Chinese Western MO 2004) Lời giải:Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 82 2 a b c ab bc caa a a c b c a b a c a b b c c a Ta cần chứng minh: 8 9a b c ab bc ca a b b c c a Đây là 1 dạng bất đẳng thức quen thuộc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c Ví Dụ 8: Cho a,b,c >0 thỏa mãn 2 2 2 2a b c . Chứng minh rằng: 2 2 1 6 a b ca (Nguyễn Phúc Tăng) Lời giải: Ta có: 2 2 21 a b c ab bc ca Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 2 1 1 1 a b c a b c a b a b ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca Ta lại có: 2 21 1 1a b ab Bất đẳng thức và các ứng dụng Nguyễn Phúc Tăng – Lê Việt Hưng 14 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 6 5 2 2 2 4 6 6 6 a a b c ab bc ca b ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 1 3 a b c 4 ) Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức : Ví Dụ 1: Cho x,y > 0 và x + y = 2. Chứng minh rằng : 3 3 3 3 2x y x y (Sưu tầm) Lời giải : Ta được : 3 3 2 2 2 22x y x y x xy y x xy y Quy về bài toán chứng minh: 3 3 2 2 1x y x xy y Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có: 4 24 2 2 3 3 2 2 2 2 1 4 4 x yxy xy xy x xy y x y x xy y xy xy xy x xy y Từ đây bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy khi và chỉ khi: x=y=1 Ví Dụ 2: Cho a,b,c >0 .Chứng minh rằng: 2 2 3 42 a a b (Nguyễn Phúc Tăng) Lời giải:Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 . 22 1 12 1 1 1 1 3 2 41 a a a a b a ba b a a Đẳng thức xảy ra
