Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học

Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng – Giải Tích Lớp 12

Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học

Chắc chắn trong chương trình học toán đại trà phổ thông tất cả chúng ta ai cũng đã khá là quen thuộc với thể tích và diện tích quy hoạnh của một đối tượng người dùng bằng cách xác lập những yếu tố tương quan đến đối tượng người dùng, như độ dài cạnh, số đo góc … Và sau khi được tìm hiểu và khám phá khái niệm tích phân thì những em sẽ được tiếp cận 1 số ít chiêu thức mới để tính hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối tròn xoay ở hình học trải qua những hàm số ứng dụng tích phân .

I. Tính Diện Tích Hình Phẳng

Câu hỏi 1 bài 3 trang 116 SGK giải tích lớp 12: Tính diện tích hình thang vuông được giới hạn bởi các đường thẳng y = -2x – 1, y = 0, x = 1 và x = 5.

So sánh với hình thang vuông trong câu hỏi 1 bài 2 .

Giải: Vẽ hình, sử dụng công thức tính diện tích hình thang để tính toán.

Gọi A ( 1 ; 0 ), D ( 5 ; 0 )
B là giao điểm của đường thẳng x = 1 với đường thẳng y = – 2 x – 1 thì B ( 1 ; – 3 )
C là giao điểm của đường thẳng x = 5 với đường thẳng y = – 2 x – 1 thì C ( 5 ; – 11 )
Diện tích hình thang \ ( \ ) \ ( S_ { ABCD } = \ frac { ( AB + CD ). AD } { 2 } = \ frac { ( 3 + 11 ). 4 } { 2 } = 28 \ )

1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị không âm trên đoạn [ a ; b ]. Ta đã biết hình thang cong số lượng giới hạn bởi đồ thị của f ( x ), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b có diện tích quy hoạnh S được tính theo công thức \ ( S = \ int_a ^ bf ( x ) dx \ ) ( 1 ) .
Trường hợp f ( x ) ≤ 0 trên đoạn [ a ; b ], ta có – f ( x ) ≥ 0 và diện tích quy hoạnh hình thang cong aABb bằng diện tích quy hoạnh hình thang cong aA’B ’ b là hình đối xứng của hình thang đã cho qua trục hoành ( Hình 51 ). Do đó \ ( S = S_ { aABb } = S_ { aA’B ’ b } = \ int_a ^ b ( – f ( x ) ) dx \ ) ( 2 ) .

Tổng quát, diện tích quy hoạnh S của hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f ( x ) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b ( Hình 52 ) được tính theo công thức \ ( S = \ int_a ^ b | f ( x ) | dx \ ) ( 3 ) .

Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = x^3\), trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2 (Hình 53).

Giải: Ta có \(x^3 ≤ 0\) trên đoạn [-1; 0] và \(x^3 ≥ 3\) trên đoạn [0; 2]. Áp dụng công thức (3), ta có:

\ ( S = \ int_ { – 1 } ^ 2 | x ^ 3 | dx = \ int_ { – 1 } ^ 0 ( – x ^ 3 ) dx + \ int_0 ^ 2 x ^ 3 dx \ )
\ ( = – \ frac { x ^ 4 } { 4 } \ Bigg | _ { – 1 } ^ 0 + \ frac { x ^ 4 } { 4 } \ Bigg | _0 ^ 2 = \ frac { 17 } { 4 } \ )

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số \ ( y = f_1 ( x ) \ ) và \ ( y = f_2 ( x ) \ ) liên tục trên đoạn [ a ; b ]. Gọi D là hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và những đường thẳng x = a, x = b. ( Hình 54 )

Xét trường hợp \ ( f_1 ( x ) ≥ f_2 ( x ) \ ) với mọi x ∈ [ a ; b ]. Gọi \ ( S_1, S_2 \ ) là diện tích quy hoạnh của hai hình thang cong số lượng giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng x = a, x = b và những đường cong \ ( y = f_1 ( x ), y = f_2 ( x ) \ ) tương ứng. Khi đó, diện tích quy hoạnh S của hình D là :
\ ( S = S_1 – S_2 = \ int_a ^ b ( f_1 ( x ) – f_2 ( x ) dx ) \ )
Trong trường hợp tổng quát, người ta chứng tỏ được công thức \ ( S = \ int_a ^ b | f_1 ( x ) – f_2 ( x ) | dx \ ) ( 4 )

Chú ý: Khi áp dụng công thức (4), cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dâu tích phân. Muốn vậy, ta giải phương trình \(f_1(x) – f_2(x) = 0\) trên đoạn [a; b]. Giả sử phương trình có hai nghiệm c, d (c < d). Khi đó, \(f_1(x) – f_2(x)\) không đổi dấu trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b]. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên đoạn [a; c], ta có:

\ ( \ int_a ^ c | f_1 ( x ) – f_2 ( x ) | dx = | \ int_a ^ c ( f_1 ( x ) – f_2 ( x ) ) dx | \ )

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = 0, x = π và đồ thị của hai hàm số y = cosx, y = sinx (Hình 55).

Giải: Đặt \(f_1(x) = cosx, f_2(x) = sinx\)

Ta có \ ( f_1 ( x ) – f_2 ( x ) = 0 \ )
\ ( ⇔ cosx – sinx = 0 \ )
\ ( ⇔ x = \ frac { π } { 4 } ∈ [ 0 ; π ] \ )
Vậy diện tích quy hoạnh của hình phẳng đã cho là :
\ ( S = \ int_0 ^ π | cosx – sinx | dx = \ int_0 ^ { \ frac { π } { 4 } } | cosx – sinx | dx + \ int_ { \ frac { π } { 4 } } ^ π | cosx – sinx | dx \ )
\ ( = | \ int_0 ^ { \ frac { π } { 4 } } ( cosx – sinx ) dx | + | \ int_ { \ frac { π } { 4 } } ^ π ( cosx – sinx ) dx | \ )
\ ( = | ( sinx + cosx ) \ Bigg | _0 ^ { \ frac { π } { 4 } } | + | ( sinx + cosx ) \ Bigg | _ { \ frac { π } { 4 } ^ π } | = 2 \ sqrt { 2 } \ )

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong \(y = x^3 – x\) và \(y = x – x^2\).

Giải: Ta có:

\ ( f_1 ( x ) – f_2 ( x ) = ( x ^ 3 – x ) – ( x – x ^ 2 ) = x ^ 3 + x ^ 2 – 2 x. \ )
Phương trình \ ( f_1 ( x ) – f_2 ( x ) = 0 \ ) có ba nghiệm \ ( x_1 = – 2, x_2 = 0, x_3 = 1. \ )
Vậy diện tích quy hoạnh hình phẳng đã cho là
\ ( S = \ int_ { – 2 } ^ 1 | x ^ 3 + x ^ 2 – 2 x | dx = | \ int_ { – 2 } ^ 0 ( x ^ 3 + x ^ 2 – 2 x ) dx | + | \ int_0 ^ 1 ( x ^ 3 + x ^ 2 – 2 x ) dx | \ )
\ ( = | ( \ frac { x ^ 4 } { 4 } + \ frac { x ^ 3 } { 3 } – x ^ 2 ) \ Bigg | _ { – 2 } ^ 0 | + | ( \ frac { x ^ 4 } { 4 } + \ frac { x ^ 3 } { 3 } – x ^ 2 ) \ Bigg | _0 ^ 1 | \ )
\ ( = \ frac { 8 } { 3 } + \ frac { 5 } { 12 } = \ frac { 37 } { 12 } \ )

II. Tính Thể Tích

Câu hỏi 2 bài 3 trang 119 SGK giải tích lớp 12: Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.

Giải: Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao h là: V = Bh.

1. Thể tích của vật thể

Cắt một vật thể ϑ bởi hai mặt phẳng ( P ) và ( Q. ) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b ( a < b ). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x ( a ≤ x ≤ b ) cắt ϑ theo thiết diện có diện tích quy hoạnh là S ( x ) ( Hình 56 ). Giả sử S ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] .
Người ta chứng tỏ được rằng thể tích V của phần vật thể ϑ số lượng giới hạn bởi hai mặt phẳng ( P ) và ( Q. ) được tính bởi công thức : \ ( V = \ int_a ^ bS ( x ) dx \ ). ( 5 )

Ví dụ 4: Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.

Giải: Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h (Hình 57).

Hiển nhiên, một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích quy hoạnh không đổi S ( x ) = B ( 0 ≤ x ≤ h ) .
Áp dụng công thức ( 5 ), ta có
\ ( V = \ int_0 ^ hS ( x ) dx = \ int_0 ^ hBdx = Bx \ Bigg | _0 ^ h = Bh \ )

2. Tính thể tích khối chóp và khối chóp cụt

a. Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B.

Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I sao cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và có hướng xác lập bởi vectơ \ ( \ vec { OI } \ ). Khi đó OI = h. Một mặt phẳng ( d ) vuông góc với Ox tại x ( 0 ≤ x ≤ h ) cắt khối chóp theo thiết diện có diện tích quy hoạnh là S ( x ) ( Hình 58 ). Ta có \ ( S ( x ) = B \ frac { x ^ 2 } { h ^ 2 } \ ) .

Khi đó, thể tích V của khối chóp là
\ ( V = \ int_0 ^ hB \ frac { x ^ 2 } { h ^ 2 } dx = \ frac { B } { h ^ 2 } ( \ frac { x ^ 3 } { 3 } ) \ Bigg | _0 ^ h = \ frac { Bh } { 3 } \ )

b. Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B, B’ và chiều cao bằng h.

Chọn trục Ox trùng với đường cao của khối chóp và gốc O trùng với đỉnh S. Hai mặt phẳng đáy của khối chóp cụt cắt Ox tại I và I ’ ( Hình 59 ). Đặt OI = b, OI ’ = a ( a < b ). Gọi V là thể tích của khối chóp cụt. Ta có \ ( V = \ int_a ^ bB \ frac { x ^ 2 } { b ^ 2 } dx = \ frac { B } { 3 b ^ 2 } ( b ^ 3 – a ^ 3 ) \ ) \ ( = B \ frac { b – a } { 3 }. \ frac { a ^ 2 + ab + b ^ 2 } { b ^ 2 } \ ) Vì \ ( B ’ = B \ frac { a ^ 2 } { b ^ 2 } \ ) và h = b – a nên \ ( V = \ frac { h } { 3 } ( B + \ sqrt { BB ’ } + B ’ ) \ )

III. Thể Tích Của Khối Tròn Xoay

Câu hỏi 3 bài 3 trang 121 SGK giải tích lớp 12: Nhắc lại khái niệm mặt tròn xoay và khối tròn xoay trong hình học.

Giải:

– Khái niệm mặt tròn xoay: Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng Δ và chứa đường L. Khi quay mặt (P) xung quanh Δ một góc \(360^0\) thì đường L tạo nên một mặt tròn xoay. Mặt tròn xoay đó nhận Δ làm trục, đường L được gọi là đường sinh.

– Khái niệm khối tròn xoay: Khối tròn xoay là khối hình học được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một đường thẳng cố định (trục quay) của hình.

Bài toán: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b (a = b) quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay (Hình 60). Hãy tính thể tích V của nó.

Giải: Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x ∈ [a; b] là hình tròn có bán kính bằng |f(x)|. Do đó, diện tích của thiết diện là \(S(x) = πf^2(x)\). Vậy theo công thức (5) ta có \(V = π\int_a^bf^2(x)dx\) (6).

Ví dụ 5: Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sinx, truch hoành và hai đường thẳng x = 0, x = π (Hình 61).

Giải: Áp dụng công thức (6), ta có

\ ( V = π \ int_0 ^ πsin ^ 2 xdx = \ frac { π } { 2 } \ int_0 ^ π ( 1 – cos2x ) dx \ )
\ ( = \ frac { π } { 2 } ( x – \ frac { 1 } { 2 } sin2x ) \ Bigg | _0 ^ π = \ frac { π ^ 2 } { 2 } \ )

Ví dụ 6: Tính thể tích hình cầu bán kính R.

Giải: Hình cầu bán kính R là khối tròn xoay thu được khi quay nửa hình tròn giới hạn bởi đường \(y = \sqrt{R^2 – x^2}\) (-R ≤ x ≤ R) và trục hoành xung quanh Ox (Hình 62).

Vậy \ ( V = π \ int_ { – R } ^ R ( \ sqrt { R ^ 2 – x ^ 2 } ) ^ 2 dx \ )
\ ( = π \ int_ { – R } ^ R ( R ^ 2 – x ^ 2 ) dx = π ( R ^ 2 x – \ frac { x ^ 3 } { 3 } ) \ Bigg | _ { – R } ^ R = \ frac { 4 } { 3 } πR ^ 3. \ )

Bài Tập Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học

Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 3 : Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học của Chương 3 : Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng môn Toán Giải Tích Lớp 12. Bài học giúp những bạn tìm hiểu và khám phá cách tính hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối tròn xoay ở hình học trải qua những hàm số ứng dụng tích phân .
Tính diện tích quy hoạnh hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường :

a. \(y = x^2, y = x + 2\)

b. \(y = |lnx|, y = 1\);

c. \(y = (x – 6)^2, y = 6x – x^2\)

Tính diện tích quy hoạnh hình phẳng số lượng giới hạn bởi đường cong \ ( y = x ^ 2 + 1 \ ), tiếp tuyến với đường này tại điểm \ ( M ( 2 ; 5 ) \ ) và trục Oy .
Parabol \ ( y = \ frac { x ^ 2 } { 2 } \ ) chia hình tròn trụ có tâm tại gốc tọa độ, nửa đường kính \ ( 2 \ sqrt { 2 } \ ) thanh hai phần. Tìm tỉ số diện tích quy hoạnh của chúng .
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường sau quay quanh Ox :

a. \(y = 1 – x^2, y = 0\)

b. \(y = cosx, y = 0, x = 0, x = π\)

c. \(y = tanx, y = 0, x = 0, x = \frac{π}{4}\)

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt :
\ ( \ widehat { POM } = α, OM = R ( 0 ≤ α ≤ \ frac { π } { 3 }, R > 0 ) \ )
Gọi ϑ là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh Ox ( Hình 63 ) .

a. Tính thể tích của ϑ theo α và R.

b. Tìm α sao cho thể tích của ϑ lớn nhất.

Bạn Có Biết

Lịch Sử Phép Tính Tích Phân

Ra đời trên cơ sở trực giác, phép tính tích phân đã được những nhà bác học sử dụng từ trước thế kỉ XVIII. Đến thế kỉ XIX, Cô-si ( Cauchy, 1789 – 1857 ) và Ri-man ( Riemann, 1826 – 1866 ) mới thiết kế xây dựng được một lí thuyết đúng mực về tích phân. Lí thuyết này về sau được Lơ-be-gơ ( Lebesgue, 1875 – 1941 ) và Đăng-gioa ( Denjoy, 1884 – 1974 ) triển khai xong .
Để định nghĩa tích phân, những nhà toán học ở thế kỉ XVII và XVIII không dùng đến niệm số lượng giới hạn. Thay vào đó, họ nói “ tổng của 1 số ít vô cùng lớn những số hạng vô cùng nhỏ ”. Chẳng hạn, diện tích quy hoạnh của hình thang cong là tổng của 1 số ít vô cùng lớn những diện tích quy hoạnh của những hình chữ nhật vô cùng nhỏ. Dựa trên cơ sở này, Kê-ple ( Kepler, 1571 – 1630 ) đã tính một cách đúng mực nhiều diện tích quy hoạnh và thể tích. Các điều tra và nghiên cứu này được Ca-va-li-ơ-ri ( Cavalierie, 1598 – 1647 ) liên tục tăng trưởng .
Dưới dạng trừu tượng, tích phân đã được Lai-bơ-nit định nghĩa và đưa vào kí hiệu J. Tên gọi “ tích phân ” do Bec-nu-li ( Jacob Bernoulli, 1654 – 1705 ), học trò của Lai-bơ-nit yêu cầu. Như vậy, tích phân đã Open độc lập với đạo hàm và nguyên hàm. Do đó, việc thiết lập liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm là một ý tưởng vĩ đại của Niu-tơn và Lai-bơ-nit .
Khái niệm văn minh về tích phân, xem như số lượng giới hạn của những tổng tích phân, là của Cô-si và Ri-man .
Ở trên là triết lý Bài 3 : Ứng Dụng Của Tích Phân Trong Hình Học Của Chương III : Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng Môn Giải Tích Lớp 12. Bài học giúp những bạn tìm hiểu và khám phá cách tính hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối tròn xoay ở hình học .

5/5 (2 bình chọn)

Related

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay