Trong Lưu trữ 2020 – 09-29 tại Wayback Machine khoảng trống Euclide ba chiều, ba mặt phẳng này trình diễn những nghiệm của phương trình tuyến tính, và giao tuyến của chúng biểu lộ tập những nghiệm chung : trong trường hợp này là một điểm duy nhất. Đường màu xanh lam là nghiệm chung cho hai phương trình này .

Đại số tuyến tính là một nhánh của toán học liên quan đến các phương trình tuyến tính như:

+
⋯
+

=
b
,

{\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,}

$a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b,$

Bạn đang đọc: Đại số tuyến tính – Wikipedia tiếng Việt

ánh xạ tuyến tính như :

(

,
…
,

)
↦

+
…
+

{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n},}

$(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n},$

và màn biểu diễn của chúng trong khoảng trống vectơ và trải qua ma trận. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]Đại số tuyến tính là TT của hầu hết những nghành toán học. Ví dụ, đại số tuyến tính là cơ bản trong những bài thuyết trình tân tiến về hình học, gồm có cả việc xác lập những đối tượng người tiêu dùng cơ bản như đường thẳng, mặt phẳng và phép quay. Ngoài ra, giải tích hàm, một nhánh của giải tích toán học, về cơ bản hoàn toàn có thể được xem là ứng dụng của đại số tuyến tính vào khoảng trống của những hàm .Đại số tuyến tính cũng được sử dụng trong hầu hết những ngành khoa học và nghành kỹ thuật, vì nó được cho phép quy mô hóa nhiều hiện tượng kỳ lạ tự nhiên và đo lường và thống kê hiệu suất cao với những quy mô như vậy. Đối với những mạng lưới hệ thống phi tuyến, không hề được quy mô hóa bằng đại số tuyến tính, nó thường được sử dụng để giải quyết và xử lý những phép giao động bậc nhất, do thực tiễn là vi phân của một hàm đa biến tại một điểm là ánh xạ tuyến tính gần đúng nhất của hàm gần điểm đó .Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích … để giải những bài toán như phép quay trong khoảng trống, nội suy bình phương nhỏ nhất, nghiệm của hệ phương trình vi phân, tìm đường tròn qua ba điểm … Nó cũng có vô vàn ứng dụng trong khoa học tự nhiên ( vật lý, công nghệ tiên tiến … ) và khoa học xã hội ( kinh tế tài chính … ), vì những quy mô phi tuyến tính hay gặp trong tự nhiên và xã hội thường hoàn toàn có thể xê dịch bằng quy mô tuyến tính .

Quy trình giải các phương trình tuyến tính đồng thời, ngày nay được gọi là phép khử Gauss xuất hiện trong văn bản toán học Trung Quốc cổ đại Chương 8: Mảng chữ nhật trong Cửu chương toán thuật. Việc sử dụng nó được minh họa trong 18 bài toán, với 2 đến 5 phương trình.[4]

Hệ phương trình tuyến tính phát sinh ở châu Âu với sự sinh ra năm 1637 hệ tọa độ trong hình học do René Descartes đưa ra. Thực tế, trong hình học mới này, ngày này được gọi là hình học Descartes, những đường thẳng và mặt phẳng được màn biểu diễn bằng những phương trình tuyến tính, và việc giám sát những giao điểm của chúng biến thành việc giải những hệ phương trình tuyến tính .Các giải pháp mạng lưới hệ thống tiên phong để giải mạng lưới hệ thống tuyến tính sử dụng những định thức, được Leibniz xem xét lần tiên phong vào năm 1693. Năm 1750, Gabriel Cramer sử dụng chúng để đưa ra những giải pháp rõ ràng của mạng lưới hệ thống tuyến tính, thời nay được gọi là quy tắc Cramer. Sau đó, Gauss diễn đạt thêm giải pháp loại trừ, giải pháp này bắt đầu được coi là một tân tiến trong ngành trắc địa. [ 5 ]

Năm 1844, Hermann Grassmann xuất bản “Lý thuyết mở rộng” bao gồm các chủ đề mới cơ bản về cái mà ngày nay được gọi là đại số tuyến tính. Năm 1848, James Joseph Sylvester đưa ra thuật ngữ ma trận.

Đại số tuyến tính phát triển với những ý tưởng được ghi nhận trong mặt phẳng phức. Ví dụ: hai số

{\displaystyle w}

$w$ và

{\displaystyle z}

$z$ trong

{\displaystyle \mathbb {C} }

$\mathbb{C}$ có sự khác biệt

w
−
z

{\displaystyle w-z}

$w-z$ , và các đoạn thẳng

w
z

{\displaystyle {\overline {wz}}}

${\overline {wz}}$ và

0
(
w
−
z
)

{\displaystyle {\overline {0(w-z)}}}

${\overline {0(w-z)}}$ có cùng chiều dài và hướng. Các phân đoạn này là tương đương nhau. Hệ thống bốn chiều

{\displaystyle \mathbb {H} }

$\mathbb {H}$ của các quaternion được bắt đầu vào năm 1843. Thuật ngữ vectơ được giới thiệu là

v
=
x
i
+
y
j
+
z
k

{\displaystyle v=xi+yj+zk}

$v=xi+yj+zk$ đại diện cho một điểm trong không gian. Chênh lệch bậc bốn

p
−
q

{\displaystyle p-q}

$p-q$ cũng tạo ra một đoạn tương đương với

p
q

{\displaystyle {\overline {pq}}.}

${\overline {pq}}.$ Các hệ thống số siêu phức khác cũng sử dụng ý tưởng về một không gian tuyến tính có cơ sở.

Arthur Cayley đã trình làng phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo vào năm 1856, làm cho nhóm tuyến tính tổng quát trở nên khả thi. Cơ chế trình diễn nhóm đã có sẵn để những nhà toán học miêu tả những số phức và siêu phức. Điều quan trọng nhất là Cayley sử dụng một vần âm duy nhất để bộc lộ một ma trận, do đó coi ma trận như một đối tượng người dùng tổng hợp. Ông cũng nhận ra mối liên hệ giữa ma trận và định thức, và viết ” Sẽ có nhiều điều để nói về kim chỉ nan ma trận này, theo tôi, có vẻ như như, có trước triết lý về định thức “. [ 5 ]

Benjamin Peirce đã xuất bản tác phẩm Đại số liên kết tuyến tính của mình (1872), và con trai của ông là Charles Sanders Peirce đã mở rộng tác phẩm này sau đó.[6]

Điện báo nhu yếu một mạng lưới hệ thống vật lý giải thích nó, và ấn phẩm năm 1873 có tên Một luận thuyết về điện và từ trường đã thiết lập một triết lý trường về lực và nhu yếu hình học vi phân để bộc lộ. Đại số tuyến tính là hình học vi phân phẳng và Giao hàng trong khoảng trống tiếp tuyến với đa tạp. Đối xứng điện từ của không thời hạn được bộc lộ bằng những phép biến hóa Lorentz, và phần đông lịch sử vẻ vang của đại số tuyến tính là lịch sử vẻ vang của những phép đổi khác Lorentz .Định nghĩa tân tiến và đúng chuẩn hơn tiên phong của khoảng trống vectơ được Peano đưa ra vào năm 1888 ; [ 5 ] đến năm 1900, một triết lý về những phép biến hóa tuyến tính của khoảng trống vectơ hữu hạn chiều đã Open. Đại số tuyến tính có hình thức tân tiến vào nửa đầu thế kỷ XX, khi nhiều ý tưởng sáng tạo và giải pháp của những thế kỷ trước được khái quát hóa thành đại số trừu tượng. Sự tăng trưởng của máy tính dẫn đến việc tăng cường điều tra và nghiên cứu những thuật toán hiệu suất cao để vô hiệu Gaussian và phân rã ma trận, và đại số tuyến tính trở thành một công cụ thiết yếu để quy mô hóa và mô phỏng. [ 5 ]

Mục lục nội dung

Phạm vi điều tra và nghiên cứu[sửa|sửa mã nguồn]

Không gian vectơ[sửa|sửa mã nguồn]

Cấu trúc chính của đại số tuyến tính là các không gian vectơ. Một không gian vectơ trên trường số

{\displaystyle \mathbb {F} }

$\mathbb {F}$ là một tập

{\displaystyle V}

$V$ kèm theo phép toán hai ngôi. Các phần tử trong

{\displaystyle V}

gọi là những vectơ, các phần tử trong

{\displaystyle \mathbb {F} }

gọi là vô hướng. Phép toán đầu tiên là phép cộng vectơ, cộng 2 vectơ

{\displaystyle v}

$v$ và

{\displaystyle w}

cho ra một vectơ thứ 3 là

v
+
w

{\displaystyle v+w}

$v+w$ . Phép toán thứ hai là phép nhân một vô hướng

{\displaystyle a}

$a$ với bất kỳ vectơ

{\displaystyle v}

nào và kết quả cho ra một vectơ mới

a
v

{\displaystyle av}

$av$ , phép toán này gọi là phép nhân vô hướng của

{\displaystyle v}

với

{\displaystyle a}

. Các phép nhân và cộng trong không gian vectơ phải thỏa mãn 8 tiên đề sau,[7] với

{\displaystyle u}

$u$ ,

{\displaystyle v}

và

{\displaystyle w}

là các vectơ trong tập

{\displaystyle V}

{\displaystyle a}

và

{\displaystyle b}

$b$ là các vô hướng trong trường số

{\displaystyle \mathbb {F} }

Tiên đề
Công thức biểu diễn

Tính kết hợp của phép cộng
$(u+v)+w=u+(v+w)$
Phần tử trung hòa của phép cộng
Tồn tại một phần tử $0\in V$ $v+0=0+v=v$ $v\in V$
Phần tử nghịch đảo của phép cộng
Với mọi $v ∈ V { \ displaystyle v \ in V }$ $-v\in V$ phần tử nghịch đảo của $v { \ displaystyle v }$ $v+(-v)=(-v)+v=0$

Tính giao hoán của phép cộng
$u+v=v+u$

Tính phân phối của một phép nhân vô hướng với một phép cộng vectơ
$a(u+v)=au+av$

Tính phân phối của một phép nhân vô hướng với một phép cộng vô hướng
$(a+b)v=av+bv$

Phép nhân vô hướng kết hợp với phép nhân trong trường các số vô hướng

a
(
b
v
)
=
(
a
b
)
v

{\displaystyle a(bv)=(ab)v}

Xem thêm: 10 App Chèn Sticker Vào Ảnh Bạn Nên Trải Nghiệm

$a(bv)=(ab)v$ [nb 1]

Phần tử đơn vị trong phép nhân vô hướng
$1v=v$ $1$ $F { \ displaystyle \ mathbb { F } }$

Ánh xạ tuyến tính[sửa|sửa mã nguồn]

Cho 2 không gian vectơ

{\displaystyle V}

và

{\displaystyle W}

$W$ trên trường

{\displaystyle \mathbb {F} }

, một biến đổi tuyến tính (còn gọi là ánh xạ tuyến tính) là một ánh xạ:

T:V\to W

bảo toàn phép cộng và phép nhân vô hướng :

T(u+v)=T(u)+T(v),\quad T(av)=aT(v)

với mọi vectơ

u
,
v
∈
V

{\displaystyle u,v\in V}

$u,v\in V$ và mọi vô hướng

a
∈

{\displaystyle a\in \mathbb {F} }

$a\in \mathbb {F}$ .

Các chủ đề chính[sửa|sửa mã nguồn]

Giới thiệu chung[sửa|sửa mã nguồn]

Trong trường ĐH, đại số tuyến tính mở màn từ nghiên cứu và điều tra những vectơ trong hệ tọa độ Descartes 2 chiều hoặc 3 chiều. Các vectơ là những đoạn thẳng có hướng và độ lớn. Các hiệu quả trong khoảng trống 2 hoặc 3 chiều hoàn toàn có thể được lan rộng ra ra cho nhiều chiều hơn, gọi tổng quát là khoảng trống vectơ .Không gian vectơ là một khái niệm trừu tượng của đại số trừu tượng, được định nghĩa trên một trường toán học, thông dụng trong ứng dụng là trường số thực hoặc trường số phức .Các đổi khác tuyến tính chuyển những thành phần trong một khoảng trống vectơ này sang khoảng trống vectơ kia, tuân thủ phép cộng và phép nhân vô hướng. bản thân tập hợp của những đổi khác này cũng hình thành nên khoảng trống vectơ của chính chúng .Nếu hệ cơ sở của một khoảng trống vectơ là cố định và thắt chặt, mọi đổi khác tuyến tính đều hoàn toàn có thể viết thành bảng gọi là ma trận. Việc nghiên cứu và điều tra những đặc thù của ma trận, như định thức và vectơ riêng là một phần quan trọng của đại số tuyến tính .Sử dụng đại số tuyến tính hoàn toàn có thể giải đúng chuẩn hoặc gần đúng rất nhiều bài toán, gồm có cả những bài toán không tuyến tính. Lý do là ta luôn hoàn toàn có thể sử dụng vi giải tích để biến những hàm không tuyến tính thành gần đúng tuyến tính ở gần những điểm chăm sóc. Phương pháp này là một trong những giải pháp thông dụng nhất trong toán học ứng dụng vào khoa học và kỹ thuật .

Một số định lý quan trọng[sửa|sửa mã nguồn]

$A$
$\det(A)\neq 0$
${\text{rank}}\ A=n$
${\text{null}}\ A=0$
$A { \ displaystyle A }$ giá trị riêng bằng $0$
Với mọi $\mathbf {b}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $\mathbf {x}$
$A^{T}A$
Các hàng (hoặc cột) của $A { \ displaystyle A }$ độc lập tuyến tính trong không gian vectơ của $A { \ displaystyle A }$

^
Tiên đề này không khẳng định về tính kết hợp của một toán tử, bởi vì có hai toán tử đang nói đến, nhân vô hướng: bv; và nhân trên trường số: ab.

Phương tiện liên quan tới Linear algebra tại Wikimedia Commons
Grassmann, Hermann, Die lineare Ausdehnungslehre dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie, 1844.