Ngày đăng: 24/11/2014, 18:32
Chuyên đề nghiên cứu MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I. CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN 1. Một số công thức cơ tính đạo hàm [c]’ = 0 [x]’ = 1 [x α ]’ = αx α – 1 [sinx]’ = cosx [cosx]’ = –sinx [tanx]’ = 1 cos 2 x [cotx]’ = -1 sin 2 x [lnx]’ = 1 x [log a x ]’ = [af(x)]’ = a.f’(x) [f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x) [f(x).g(x)]’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x) f(x) g(x) ‘ = f'(x).g(x) – g'(x).f(x) [g(x)] 2 [f(g(x))]’ = g’(x).f’(g) 2. Vi phân Từ đạo hàm của hàm số y = f(x) kí hiệu là dy dx = f'(x) ta suy ra dy = f’(x).dx dy ta gọi là vi phân của hàm số dx ta gọi là vi phân của đối số (biến) Như vậy: Vi phân của hàm số bằng tích của đạo hàm của hàm số đó với vi phân của biến. 3. Tích phân S = f(x).dx = g(x) + C Trong dấu tích phân là một hàm số và một vi phân. Vi phân của biến nào thì tính tích phân theo biến đó, tất cả các đại lượng khác biến đều được xem là hằng số. Từ các đạo hàm cơ bản, hãy viết các tích phân cơ bản: dx = x + c x α dx = 1 α x α + 1 + c … … … … … … … … VD Trong việc tính tích phân S = dx 1-3x ta nghĩ đến công thức dx x = ln|x| + C. Tuy nhiên công thức này phải hiểu là: thương số giữa vi phân của biến dx với biến x. Còn với tích phân cần tìm thì, thương số giữa vi phân của biến dx với một hàm của biến 1 – 3x. Ta có thể khắc phục điều này bằng cách đặt ẩn phụ X = 1 – 3x, khi đó trong tích phân cũng phải có vi phân của ẩn phụ X, đó là dX = X’(x).dx Hay dX = -3dx Suy ra dx = -dX 3 Thay trở lại tích phân cần tìm ta được dạng của công thức: S = -1 3 dX X Bây giờ thì áp dụng được công thức, ta tính được S = -1 3 (ln|X| + C) = -1 3 (ln|1 – 3x| + C) Bây giờ hãy thử tự mình tính một số tích phân sau : a) S = 1 2 1 + x 2 .xdx b) S = 0 π 3 cos(t + π)dt DẠNG 1: TỪ CÁC PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN, THIẾT LẬP PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1. Các phƣơng trình cơ bản Cơ học: + Định luật II Niu-tơn: F 1 + F 2 + … = ma + Định luật bảo toàn động lượng: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ’ + m 2 v 2 ’ + Định lí động năng: 1 2 mv 2 2 – 1 2 mv 1 2 = A Điện học: + Định luật Ôm cho đoạn mạch + I(R + r) = U Nhiệt học: + Nguyên lí I: Xét một quá trình rất nhỏ của sự biến đổi một khối khí Nhiệt lượng được truyền dQ Nội năng biến đổi một lượng dU Khí thực hiện công dA dQ = dU + dA 2. Các vi phân cơ bản Chuyên đề nghiên cứu a = dv dt v = dx dt I = dq dt =- dΦ dt C = dQ dT (C là nhiệt dung bằng đạo hàm của nhiệt lượng theo nhiệt độ tuyệt đối) 3. Áp dụng + Lập phương trình cơ bản + Đưa về dạng vi phân: Mỗi vế có một vi phân, biến của vi phân nào thì nằm cùng vế với vi phân đó + Tích phân hai vế theo các cận xác định Bài 1 Một vật khối lượng m = 1 kg, vận tốc ban đầu v 0 = 10 m/s, chịu lực cản có độ lớn F c = kv, v là vận tốc của vật, hằng số k = 1 kg/s). 1. Viết biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm t 2. Chứng minh rằng vận tốc của vật giảm dần theo hàm số bậc nhất của đường đi. 3. Tính quãng đường vật đi được cho tới lúc dừng. Giải 1. Vận tốc theo thời gian t Bài toán đang xét vật chuyển động dưới tác dụng của một lực, đó là F c + Chọn chiều dương là chiều chuyển động + Định luật II Niu-tơn -F c = ma -kv = m dv dt Bây giờ ta đưa vi phân dt và dv về hai vế, đồng thời biến v về cùng vế với vi phân dv dt = – m k. dv v Do ta xét chuyển động của vật từ thời điểm ban đầu t = 0 đến thời điểm t nào đó, thì vận tốc cũng từ v 0 đến giá trị v nào đó, tích phân hai vế theo các cận này: 0 t dt = – v 0 v m k dv v t = – m k (lnv – lnv 0 ) = m k ln v 0 v v = v 0 e -k m t 2. Vận tốc theo quãng đường s Ta chỉ xét chuyển động cho đến khi dừng lại, tức là chuyển động theo một chiều, nên quãng đường có thể xem như tọa độ của vật s = x Từ công hệ thức đã có ở ý 1: -kv = m dv dt Với v = ds dt ta suy ra -kds = mdv Tích phân hai vế v 0 v dv = – k m 0 s ds v = – k m s + v 0 3. Quãng đường đi đến khi dừng Cho đến khi vật dừng lại thì v = 0, suy ra s = mv 0 k = 1.10 1 = 10 m Bài 2 Một thanh trượt bằng kim loại có khối lượng m, có thể trượt không ma sát dọc theo hai đường ray bằng kim loại đặt song, nghiêng một góc α và cách nhau một đoạn b. Các đường ray được nối kín ở phía dưới bằng một tụ điện có điện dung C. Hệ được đặt trong một từ trường đều cảm ứng từ B, các đường sức thẳng đứng hướng xuống. Ban đầu thanh trượt được giữ ở khoảng cách l so với đáy. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc thả nhẹ, thanh trượt tới đáy? Tính vận tốc của nó khi đó. Bỏ qua điện trở dây dẫn. Giải Thực chất đây là bài toán về chuyển động của thanh, phương trình cơ bản của bài toán là phương trình định luật II Niu-tơn + Chọn gốc tọa độ tại vị trí thả thanh, gốc thời gian lúc thả thanh. mg.sinα – F t cosα = ma Trong đó F t = BIb Ở đây cường độ dòng điện không tính bằng định luật Ôm, bởi vì thực chất mạch hở (có tụ điện). Vậy nên I được tính bằng đạo hàm điện tích trên tụ điện I = dq dt Với q = C. = C.Bv.cosα Khi đó I = C.B.b.cosα. dv dt = C.B.b.cosα.a F t = C.B 2 b 2 .cosα.a Thay trở lại phương trình cơ bản ta được mg.sinα = (m + C.B 2 b 2 cos 2 α)a a = mg.sinα m + C.B 2 b 2 cos 2 α Chuyên đề nghiên cứu Ta thấy rằng gia tốc a không đổi theo thời gian, thanh trượt xuống nhanh dần đều với vận tốc ban đầu bằng không, ta có l = 1 2 at 2 t = 2l a t = 2l(m + C.B 2 b 2 cos 2 α) mg.sinα Vận tốc khi đó v = at = 2l mg.sinα m + C.B 2 b 2 cos 2 α * Ghi chú: Chắc bạn thắc mắc 1. Vì sao trong công thức I = C.B.b.cosα.a lại có cosα? Công thức tính suất điện động trên thanh dẫn dài b, chuyển động với vận tốc v trong từ trường đều B là = B.v.l.sin , trong đó là góc hợp bởi v với B Hãy vẽ góc và sẽ thấy sin = cosα 2. Vì sao lực F t nằm ngang, hướng sang phải ? Hãy vẽ đường sức từ, áp dụng quy tắc bàn tay trái, và chú ý rằng, t F vuông góc đồng thời với thanh và các đường sức. Bài 3 Tại thời điểm t = 0, một lực F = kt tác dụng lên một vật nhỏ khối lượng m đang đứng yên trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang (k là một hằng số). Hướng của lực này luôn luôn hợp với phương ngang một góc α như hình vẽ. Tính: 1. vận tốc của vật khi nó bắt đầu rời khỏi mặt phẳng ngang. 2. quãng đường vật đi được cho đến thời điểm này. Giải + Chọn Ox nằm ngang hướng theo chuyển động ban đầu của vật, Oy thẳng đứng hướng lên. + Phương trình định luật II Niu-tơn trên các trục Ox kcosα.t = ma x = m dv x dt k m .cosα.t.dt = dv x 0 v x dv x = 0 t k m .cosα.t.dt v x = k 2m cosα.t 2 Trên trục Oy k.sinα.t + N = mg 1. Khi vật rời mặt phẳng ngang N = 0 t = mg k.sinα Lúc đó v y = 0 v x = mg 2 .cosα 2k.sin 2 α 2. Quãng đường vật đi được đến lúc đó Từ công thức dx dt = v x dx = v x dt = k 2m cosα.t 2 dt 0 x dx = k 2m cosα. 0 t t 2 dt x = k.cosα.t 3 6m Lúc t = mg k.sinα thì quãng đường là x = m 2 g 3 .cosα 6.k 2 .sin 2 α Bài 4 Một vật nhỏ trượt xuống một mặt phẳng nghiêng góc α với mặt phẳng ngang. Ban đầu vật ở gốc tọa độ của trục Ox dọc theo hướng trượt của vật. Hệ số ma sát trượt giữa mặt phẳng nghiêng với vật tại tọa độ x là µ = kx, với k là hằng số. Tìm vị trí vật dừng lại và tốc độ cực đại trong quá trình vật trượt. Giải Trên Oy ta có N = mgcosα Trên Ox phương trình định luật II Niu-tơn mg.sinα – µN = ma hay g.sinα – kx.g.cosα = dv dt *Nhận xét: Đến đây, nếu ta chuyển dt sang vế trái, khi đó vế phải có vi phân dv nhưng vế trái chứa biến x và vi phân dt, không thể tính tích phân được. Vậy ta phải chuyển x thành biểu thức có t (không làm được) hoặc chuyển dt về dx: Từ dx dt = v dt = dx v Vậy ta có: g.sinα – kx.g.cosα = vdv dx g(sinα – k.cosa.x)dx = vdv 0 x g(sinα – k.cosa.x)dx = 0 v vdv g(sinα.x – 1 2 k.cosα.x 2 ) = 1 2 v 2 1. Vật dừng lại khi v = 0, suy ra x = 2tanα k 2. Tốc độ cực đại khi 1 2 v 2 cực đại Đạo hàm vế trái bằng không: sinα – k.cosα.x = 0 x = tanα k Thay x trở lại ta tính được Chuyên đề nghiên cứu v max = gsinα.tanα k Bài 5 Cho n mol khí lí tưởng đơn nguyên tử có nhiệt dung C phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối T theo hệ thức eq C = α + βT, trong đó α và β là các hằng số. 1. Tính nhiệt lượng cần truyền cho khí để nó tăng từ nhiệt độ T 1 đến nhiệt độ T 2. 2. Viết biểu thức thể tích của khí theo nhiệt độ T. Giải 1. Nhiệt lượng Nói đến nhiệt lượng và nhiệt dung, ta phải nghĩ đến công thức C = dQ dT Hay dQ = CdT = (α + βT)dT 0 Q dQ = T 1 T 2 (α + βT)dT Q = (T 2 – T 1 )(α + β 2 (T 1 + T 2 )) 2. Thể tích Phương trình cơ bản chính là nguyên lí I dQ = dU + dA Trong đó dU = 3 2 nRdT Quá trình rất nhỏ nên áp suất coi như không đổi p, công được tính dA = pdV Bây giờ ta được (α + βT)dT = 3 2 nRdT + pdV * Ghi chú: đến đây thường ta nghĩ, α, β, n, R, p đều là hằng số, nên có thể chuyển T và dT sang một vế, dV sang một vế để thực hiện tích phân. Tuy nhiên, hãy chú ý, nếu trong một quá trình rất nhỏ thì áp suất không đổi, nhưng nếu tích phân, tức là xét cả quá trình dài, áp suất không phải hằng số, nó thay đổi theo T. Vậy ta phải đưa p về dạng có T và V (trong phương trình chỉ có hai vi phân dT và aV), ta sử dụng phương trình trạng thái p = nRT V, thay vào phương trình cơ bản ta được (α + βT)dT = 3 2 nRdT + nRT V dV Bây giờ thì đã rõ ràng, phương trình chỉ có các hằng số và hai biến V và T, ta đưa về hai vế cùng với hai vi phân dV và dT α – 3 2 nR T + β dT = nR dV V α – 3 2 nR T dT + βdT = nR dV V (α – 3 2 nR)lnT + βT = nRlnV + C Bài 6 Một mạch kín gồm một nguồn điện có suất điện động biến thiên theo thời gian = 10cos(100πt) (V) và điện trở trong không đáng kể, nối với mạch ngoài có một điện trở R = 50 Ω. 1. Viết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch tại thời điểm t. 2. Tính điện lượng chuyển qua điện trở và nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở trong thời gian từ t = 0 đến t = 1 600 s. Giải 1. Cường độ dòng điện Áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch I = R = 10cos(100πt) 50 = 0,02cos(100πt) A 2. Điện lượng qua R Ta thường tính điện lượng Δq qua công thức I = Δq Δt, tuy nhiên công thức đó chỉ đúng khi I không đổi. Với trường hợp I thay đổi theo t thì phải sử dụng công thức vi phân, sau đó tích phân theo cả quá trình. I = dq dt dq = Idt = 0,02cos(100πt).dt 0 q dq = 0,02 t 1 t 2 cos(100πt)dt q = 0,02 100π t 1 t 2 cos(100πt)d(100πt) = – 0,02 100π [sin(100πt 2 ) – sin(100πt 1 )] ≈ -3,18.10 -5 C Bài 7 Hai bản kim loại phẳngđặt song song, cách nhau d = 2 cm trong chân không, từ trường đều cảm ứng từ B = 0,1 T, các đường sức song song với hai bản (hình vẽ). Nối hai bản với một nguồn cao thế. Một electron rời catot với vận tốc ban đầu bằng không. Hiệu điện thế giữa hai bản là bao nhiêu để electron có thể bay được tới anot? Giải Trước hết ta phân tích chuyển động của electron sau khi rời catot: Chuyên đề nghiên cứu Ban đầu nó chỉ chịu tác dụng của lực điện trường, e tăng tốc hướng vuông góc với hai bản. Tuy nhiên ngay khi nó có vận tốc thì chịu thêm tác dụng của lực từ, quỹ đạo của e bị bẻ cong (hình vẽ). Xét electron tại một điểm nào đó có tọa độ (x,y) – Lực điện luôn cùng hướng Oy F đ = |e|U d – Lực từ ta phân tích thành 2 thành phần Thành phần F x tác dụng lên thành phần v y (Lưu ý rằng lực từ luôn vuông góc với vecto vận tốc) F x = Bv y |e| Thành phần F y tác dụng lên thành phần v x F y = Bv y |e| – Định luật II Niu-tơn trên Ox (trên Ox chỉ có lực từ nên ta xét trước): F x = ma x Bv y |e| = m dv x dt hay B|e| dy dt = m dv x dt Bỏ dt và tích phân hai vế từ y = 0 đến y, v x = 0 đến v x ta được v x = B|e| m y – Định luật II Niu-tơn trên Oy F đ – F y = ma y (Hãy vẽ vecto lực từ thì sẽ thấy thành phần F y luôn ngược chiều dương) Hay |e|U d – B|e|v x = m dv y dt Ta thay thế v x = B|e| m y và dt = dy v y vào thì được |e|U d – B 2 e 2 m y = mv y dv y dy ( |e|U d – B 2 e 2 m y)dy = mv y dv y Tích phân hai vế từ y = 0 đến y và từ v y = 0 đến v y |e|U d y – B 2 e 2 2m y 2 = m 2 v y 2 Electron đến bản dương khi y = d, khi đó |e|U d d – B 2 e 2 2m d 2 = m 2 v y 2 Để e đến được bản dương thì v y ≥ 0, suy ra U ≥ B 2 |e|d 2 2m = 3,5.10 5 V Bài 8 Trên mặt bàn nhẵn nằm ngang có một khung dây kín bằng kim loại hình chữ nhật kích thước hai cạnh là Z 0 và X 0, có điện trở là R. Khung đặt trong từ trường có cảm ứng từ dọc theo trục Oz và phụ thuộc vào toạ độ x theo quy luật ).1( 0 xBB z . Trong đó 0 B và là các hằng số. Tại thời điểm t = 0, truyền cho khung vận tốc ban đầu 0 v dọc theo trục Ox. Xác định quãng đường dịch chuyển xa nhất của khung. Giải Đây cũng là bài toán về sự chuyển động của khung dây, phương trình cơ bản là định luật II Niu-tơn + Xét khung dây ở tọa độ x (cạnh bên trái của khung có tọa độ x) + Các lực tác dụng lên khung theo phương ngang chính là lực từ tác dụng lên các cạnh của khung. + Cảm ứng từ dọc theo Oz là đều, nên các lực từ tác dụng lên hai cạnh dọc theo Ox cùng độ lớn, nhưng ngược chiều nhau, chúng triệt tiêu lẫn nhau. + Các lực tác dụng lên hai cạnh dọc theo Oz lần lượt là F 1 = B 1 Z 0 I = B 0 (1 – αx)Z 0 I ( ngược hướng Ox) F 2 = B 2 Z 0 I = B 0 [1 – α(x + X 0 )]Z 0 I (cùng hướng Ox) (* Ghi chú: Hãy xác định từ thông tăng hay giảm, suy ra cảm ứng từ do dòng điện cảm ứng trong khung gây ra, suy ra chiều dòng điện cảm ứng và cuối cùng suy ra được chiều các lực từ – Quy tắc Lenxơ) + Định luật II Niu-tơn F 2 – F 1 = ma -B 0 αX 0 Z 0 I = ma Trong đó, ta tính I bắt đầu từ việc tính từ thông qua khung dây tại vị trí này. Xét diện tích dS cạnh Z 0, dX tại vị trí cách cạnh bên trái một đoạn X. Vì dX rất nhỏ nên cảm ứng từ trên diện tích này là đều B = B 0 [1 – α(x + X)] dΦ = B.dS = B 0 [1 – α(x + X)]Z 0 dX Φ = 0 X 0 B 0 [1 – α(x + X)]Z 0 dX =B 0 Z 0 [(1 – αx)X 0 – 1 2 αX 0 2 ] Suất điện động cảm ứng trong khung có độ lớn = | -dΦ dt | =B 0 Z 0 X 0 α. dx dt = I = R = B 0 Z 0 X 0 α R. dx d Thay vào biểu thức định luật II Niu-tơn ta được – B 0 2 X 0 2 Z 0 2 α 2 R. dx dt = m dv dt – B 0 2 X 0 2 Z 0 2 α 2 R .dx = mdv z O x v 0 B Chuyên đề nghiên cứu Tích phân hai vế từ x = 0 đến x và từ v = v 0 đến v = 0 ta được – B 0 2 X 0 2 Z 0 2 α 2 R .x = -mv 0 x = mv 0 R B 0 2 X 0 2 Z 0 2 α 2 BÀI TẬP Bài 1 Một vật nhỏ khối lượng m đang đứng yên trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang thì bắt đầu chuyển động do một lực F = mg/3 tác dụng. Trong quá trình chuyển động của vật, góc hợp bởi hướng của lực với phương ngang là α = k.s, trong đó k là hằng số, s là quãng đường vật đi được. Tìm vận tốc của vật dưới dạng hàm số của α. Bài 2 Một chất điểm chuyển động dọc theo chiều dương của trục Ox, vận tốc phụ thuộc tọa độ theo biểu thức v = k x, trong đó k là hằng số dương. Hãy xác định 1. vận tốc và gia tốc của vật theo thời gian. 2. vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ khi x = 0 đến tọa độ x bất kì. ĐS: 1) a = k 2 2 ; v = k 2 2 t; 2) v tb = k x 2 Bài 3 Một chất điểm chuyển động chậm dần trên một đường thẳng với gia tốc có độ lớn phụ thuộc vào tốc độ v bằng biểu thức a = k v, với k là hằng số dương. Tại thời điểm ban đầu vận tốc của chất điểm là v 0. Tính quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại và thời gian đi quãng đường đó. ĐS: s = 2 3k .v 3/2 ; t = 2 v 0 k Bài 4 Một chất điểm chuyển động chậm dần trên quỹ đạo tròn bán kính R sao cho tại mỗi điểm gia tốc tiếp tuyến và gia tốc hướng tâm luôn có độ lớn bằng nhau. Khi t = 0 thì tốc độ dài là v 0. Hãy xác định 1. tốc độ dài theo thời gian và quãng đường đi được. 2. gia tốc toàn phần theo vận tốc và quãng đường. ĐS: 1) v = v 0 e -s/R ; 2) a = v 2 2 R và 2v 0 2 e – 2s R R Bài 5 Một thanh kim loại AB có thể trượt không ma sát dọc theo một đường ray trên mặt phẳng ngang (hình vẽ). Thanh có chiều dài l, khối lượng m và điện trở R. Hệ thống được đặt trong một từ trường đều thẳng đứng, cảm ứng từ B. Tại thời điểm t = 0, một lực không đổi F nằm ngang, song song với đường ray, tác dụng lên thanh và thanh bắt đầu chuyển động sang phải. Hãy lập biểu thức vận tốc của thanh theo thời gian t. Bỏ qua điện trở của ray. ĐS: v = (1 – e -B 2 l 2 Rm t ) RF B 2 l 2 Bài 6 Một dây dẫn thẳng dài vô hạn mang dòng điện 0 I, khoảng cách từ nó đến hai dây dẫn khác là a và b, R là điện trở nối hai dây đó. Thanh kim loại có thể trượt không ma sát với vận tốc không đổi v. Bỏ qua điện trở của dây nối và của thanh. 1. Xác định cường độ và chiều dòng điện cảm ứng xuất hiện trong mạch. 2. Tính lực để giữ cho thanh kim loại chuyển động với vận tốc không đổi. ĐS: 1) 7 0 2.10 ln Iv eb i R R a 2) 2 -14 2 0 4.10 ln Iv b F Ra Bài 7 Proton có vận tốc v = 10 7 m/s bay vào một môi trường có từ trường đều B = 0,2 T, các đường sức vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo của proton. Ngoài ra, proton còn chịu tác dụng của lực cản tỉ lệ với vận tốc F = αv, với α = 7.10 – 20 Ns/m. Hỏi ở khoảng cách nào kể từ khi bay vào môi trường, proton dừng lại? ĐS: l = v 0 m q 2 B 2 + α 2 = 21,7 cm N.Đ.T-CQB. phân của hàm số bằng tích của đạo hàm của hàm số đó với vi phân của biến. 3. Tích phân S = f(x).dx = g(x) + C Trong dấu tích phân là một hàm số và một vi phân. Vi phân của biến nào. Vi phân Từ đạo hàm của hàm số y = f(x) kí hiệu là dy dx = f'(x) ta suy ra dy = f’(x).dx dy ta gọi là vi phân của hàm số dx ta gọi là vi phân của đối số (biến) Như vậy: Vi phân của. Chuyên đề nghiên cứu MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I. CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN 1. Một số công thức cơ tính đạo hàm [c]’ = 0 [x]’ = 1 [x α ]’
Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay
