S được giới hạn bởi đường cong y=f(x) và trục hoành, với x chạy từ a đến bTích phân xác lập được định nghĩa như diện tíchđược số lượng giới hạn bởi đường cong ) và trục hoành, vớichạy từđến

Tích phân là một khái niệm toán học và cùng với nghịch đảo của nó vi phân (differentiation) đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus). Có thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật… Tiếp theo, xét một hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng bây giờ kết quả có thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó.

Hoặc giải thích bằng toán học như sau: Cho một hàm f của một biến thực x và một miền giá trị thực [a, b]. Như vậy một tích phân xác định (definite integral) từ a đến b của f(x), ký hiệu là:

\int_a^b \! f(x)\,dx \,

được định nghĩa là diện tích của một vùng trong không gian phẳng xy được bao bởi đồ thị của hàm f, trục hoành, và các đường thẳng x = a và x = b, sao cho các vùng trên trục hoành sẽ được tính vào tổng diện tích, còn dưới trục hoành sẽ bị trừ vào tổng diện tích.

Ta gọi a là cận dưới của tích phân, còn b là cận trên của tích phân.

Cho F(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b). Khi đó, tích phân bất định (indefinite integral) được viết như sau:

\int \! f(x)\,dx\,=\,F(x)\,+\,C

Nhiều định nghĩa tích phân có thể được xây dựng dựa vào lý thuyết độ đo (measure). Ví dụ, tích phân Riemann dựa trên độ đo Jordan, còn tích phân Lebesgue dựa trên độ đo Lebesgue. Tích phân Riemann là định nghĩa đơn giản nhất của tích phân và thường xuyên được sử dụng trong vật lý và giải tích cơ bản.

Mục lục nội dung

Lược sử tích phân[sửa|sửa mã nguồn]

Những phép tính tích phân tiên phong đã được triển khai từ cách đây trên 2.100 năm bởi Archimedes ( 287 – 212 trước Công nguyên ), khi ông tính diện tích quy hoạnh mặt phẳng và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương pháp tính của Archimedes rất tân tiến dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại số, hàm số hay thậm chí còn cách viết số dạng thập phân .Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, giải tích, đã chính thức được tò mò bởi Leibniz ( 1646 – 1716 ) và Isaac Newton ( 1642 – 1727 ). Ý tưởng chủ yếu là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học đã giải được một số lượng khổng lồ những bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học .J. B. Fourier ( 1768 – 1830 ) khi điều tra và nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi những hàm lượng giác hoàn toàn có thể dùng để trình diễn nhiều hàm số khác. Biến đổi Fourier ( biến hóa từ hàm số thành chuỗi những hàm lượng giác và ngược lại ) và đổi khác tích phân thời nay được ứng dụng rất thoáng đãng không chỉ trong khoa học cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học .Người tiên phong lập bảng tra cứu những tích phân tính sẵn là Gauss ( 1777 – 1855 ). Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào những bài toán của toán học và vật lý. Cauchy ( 1789 – 1857 ) lan rộng ra tích phân sang cho số phức. Riemann ( 1826 – 1866 ) và Lebesgue ( 1875 – 1941 ) là những người tiên phong đặt nền tảng lô-gíc vững chãi cho định nghĩa của tích phân .Liouville ( 1809 – 1882 ) thiết kế xây dựng một chiêu thức để tìm xem khi nào tích phân vô định của hàm cơ bản lại là một hàm cơ bản. Hermite ( 1822 – 1901 ) tìm thấy một thuật toán để tính tích phân cho những hàm phân thức. Phương pháp này đã được lan rộng ra cho những phân thức chứa lô-ga-rít vào những năm 1940 bởi A. M. Ostrowski .Vào những năm trước thời đại máy tính của thế kỷ 20, nhiều kim chỉ nan giúp tính những tích phân khác nhau đã không ngừng được tăng trưởng và ứng dụng để lập những bảng tra cứu tích phân và đổi khác tích phân. Một số những nhà toán học góp phần cho việc làm này là G. N. Watson, E. C. Titchmarsh, E. W. Barnes, H. Mellin, C. S. Meijer, W. Grobner, N. Hofreiter, A. Erdelyi, L. Lewin, Y. L. Luke, W. Magnus, A. Apelblat, F. Oberhettinger, I. S. Gradshteyn, H. Exton, H. M. Srivastava, A. P. Prudnikov, Ya. A. Brychkov, và O. I. Marichev .Vào năm 1969, R. H. Risch đã góp phần một tăng trưởng vượt bậc cho những thuật toán tính tích phân vô định bằng khu công trình của ông về kim chỉ nan tổng quát và ứng dụng trong tích phân những hàm cơ bản. Phương pháp đã chưa thể được ứng dụng ngay cho mọi hàm cơ bản vì cốt lõi của giải pháp là giải một phương trình vi phân khá khó. Những tăng trưởng tiếp nối của nhiều nhà toán học khác đã giúp giải được phương trình vi phân này cho nhiều dạng hàm cơ bản khác nhau, ngày càng triển khai xong chiêu thức của Risch. Trong những năm 1980 đã có những văn minh lan rộng ra chiêu thức này cho cả những hàm không cơ bản đặc biệt quan trọng .Từ thập niên 1990 trở lại đây, những thuật toán để tính biểu thức tích phân vô định được chuyển giao sang và tối ưu hoá cho thống kê giám sát bằng máy tính điện tử. Máy tính đã giúp vô hiệu sai sót con người, tạo nên năng lực tính hàng nghìn tích phân mới chưa khi nào Open trong những bảng tra cứu. Một số ứng dụng máy tính thương mại có năng lực tính biểu thức tích phân lúc bấy giờ là Mathematica, Maple, …

Thuật ngữ và ký pháp[sửa|sửa mã nguồn]

Đối với trường hợp đơn thuần nhất, tích phân của một hàm số thực f ( x ) trên x, được viết là :

\int f(x)\,dx

Với :

∫ là “sự tích phân”
f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân
dx biểu diễn việc tích phân trên x. dx được gọi là biến của tích phân. Trong topo toán học, việc biểu diễn chính xác là dx được tách ra khỏi hàm được tích phân (integrand) bằng một dấu cách.
Ta có thể thay đổi biểu thức f(x)dx bằng biểu thức f(t)dt hoặc bất kỳ một đối số nào như f(y)dy, f(u)du dưới dấu tích phân.

Một số đặc thù của tích phân[sửa|sửa mã nguồn]

Danh sách những tích phân cơ bản[sửa|sửa mã nguồn]

Còn gọi là danh sách của các nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.[1]
Tich phan co ban.png

Phân loại tích phân[sửa|sửa mã nguồn]

Tích phân Riemann[sửa|sửa mã nguồn]

Có hai dạng tích phân Riemann, tích phân xác định (có cận trên và cận dưới) và tích phân bất định. Tích phân Riemann xác định của hàm f(x) với x chạy trong khoảng từ a (cận dưới) đến b (cận trên) được viết là:

\int_{a}^{b} f(x)\, dx

Dạng bất định ( không có cận ) được viết là :

\int_{ }^{ } f(x)\, dx

Theo định lý cơ bản thứ nhất của giải tích, nếu F(x) là tích phân bất định của f(x) thì f(x) là vi phân của F(x). Tích phân xác định được tính từ tích phân bất định như sau:

\int_{a}^{b} f(x)\, dx = F(b) - F(a)

Còn đối với tích phân bất định, tồn tại cùng lúc nhiều hàm số sai khác nhau bằng hằng số tích phân C thoả mãn điều kiện cùng có chung vi phân, bởi vì vi phân của hằng số bằng 0:

\int_{ }^{ } f(x)\, dx = F(x) + C

Ngày nay biểu thức toán học của tích phân bất định hoàn toàn có thể được tính cho nhiều hàm số tự động hóa bằng máy tính. Giá trị số của tích phân xác lập hoàn toàn có thể được tìm bằng những chiêu thức số, ngay cả khi biểu thức toán học của tích phân bất định tương ứng không sống sót .Định lý cơ bản thứ nhất của giải tích được biểu lộ ở đẳng thức sau :

{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(x)

{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=-f(x)

Tồn tại những hàm số mà tích phân bất định của chúng không hề trình diễn bằng những hàm toán học cơ bản. Dưới đây là một vài ví dụ :

\int_{}^{} e^{-x^2}\, dx

\int_{}^{} \frac{e^{-x}}{x}\, dx

\int_{}^{} \frac{\sin x}{x}\, dx

\int_{}^{} \frac{\cos x}{x}\, dx

Tích phân Lebesgue[sửa|sửa mã nguồn]

Một hàm

{\displaystyle f}

$f$ được gọi là một hàm đơn giản nếu tập ảnh của nó là hữu hạn.[2] Gọi các giá trị của tập ảnh là

,
…
,

{\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}

$\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ và đặt

=
{
x
:
f
(
x
)
=

}

{\displaystyle A_{i}=\{x:f(x)=\alpha _{i}\}}

$A_{i}=\{x:f(x)=\alpha _{i}\}$ , ta có

f
=

∑

i
=
1

{\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}

$f=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$

trong đó

{\displaystyle \chi _{A_{i}}}

$\chi _{A_{i}}$ là hàm chỉ thị của tập hợp

{\displaystyle A_{i}}

$A_{i}$ .

Gọi

{\displaystyle \mu }

$\mu$ là một độ đo không âm trên một không gian độ đo

{\displaystyle X}

$X$ và

{\displaystyle f}

là một hàm đơn giản

f
:
X
→
[
0
,
∞
)

{\displaystyle f:X\to [0,\infty )}

$f:X\to [0,\infty )$ . Hàm

{\displaystyle f}

là đo được khi và chỉ khi các tập hợp

{\displaystyle A_{i}}

là đo được.[2] Tích phân của

{\displaystyle f}

theo độ đo

{\displaystyle \mu }

trên một tập con đo được

E
⊂
X

{\displaystyle E\subset X}

$E\subset X$ được định nghĩa là

∫

f
d
μ
=

∑

i
=
1

μ
(

∩
E
)

{\displaystyle \int _{E}fd\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}\cap E)}

$\int _{E}fd\mu =\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}\cap E)$

Nếu

{\displaystyle F}

$F$ là một hàm không âm đo được, ta định nghĩa

∫

F
d
μ
=

sup

0
≤
f

đơn giản

≤
F

∫

f
d
μ

{\displaystyle \int _{E}Fd\mu =\sup _{0\leq f{\text{ đơn giản }}\leq F}\int _{E}fd\mu }

$\int _{E}Fd\mu =\sup _{0\leq f{\text{ đơn giản }}\leq F}\int _{E}fd\mu$ .[3]

Một hàm

{\displaystyle F}

được gọi là khả tích Lebesgue nếu

∫

|
F
|
d
μ
< ∞{\displaystyle \int _{X}\vert F\vert d\mu <\infty } $\int _{X}\vert F\vert d\mu <\infty$ . Ký hiệu

=
max
{
f
,
0
}

{\displaystyle F^{+}=\max\{f,0\}}

$F^{+}=\max\{f,0\}$ và

−

=
−
min
{
f
,
0
}

{\displaystyle F^{-}=-\min\{f,0\}}

$F^{-}=-\min\{f,0\}$ . Đây đều là các hàm không âm. Thế thì tích phần của

{\displaystyle F}

là

∫

F
d
μ
=

∫

d
μ
−

∫

−

d
μ

{\displaystyle \int _{E}Fd\mu =\int _{E}F^{+}d\mu -\int _{E}F^{-}d\mu }

$\int _{E}Fd\mu =\int _{E}F^{+}d\mu -\int _{E}F^{-}d\mu$ [4]

Định lý Lebesgue về sự quy tụ đơn điệu[sửa|sửa mã nguồn]

Định lý Lebesgue về sự quy tụ bị chặn[sửa|sửa mã nguồn]

Bổ đề Fatou[sửa|sửa mã nguồn]

Các loại tích phân khác[sửa|sửa mã nguồn]

Ngoài tích phân Riemann và Lebesgue được sử dụng thoáng rộng, còn có 1 số ít loại tích phân khác như :

^
Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước, tr.185
Xem thêm: Top 7 ứng dụng tải video trên Youtube cho điện thoại Android
^ a b Walter, R. ( 1987 ), tr. 15, định nghĩa 1.6
^ Walter, R. ( 1987 ), tr. 19
^ Walter, R. ( 1987 ), tr. 25

Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước. Phương pháp giải toán Giải tích 12 theo chương trình mới nhất (Tái bản lần 1). Nhà xuất bản Đại học sư phạm,, Hà Nội 2011.
Havil, J. (2003), Gamma: Exploring Euler’s Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press.
Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. (1988), Methods of Mathematical Physics, 3rd ed., Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 29.
Kaplan, W. (1992), Advanced Calculus, 4th ed., Reading, MA: Addison-Wesley.
Toán học là gì?
Walter, R. (1987), Real and Complex Analysis, intl edi., McGraw-Hill Education.