Ứng dụng của đạo hàm trong phân tích kinh tế

1.     Phân tích cận biên

Xét quy mô kinh tế được trình diễn qua hàm số USD y = f ( x ) USD xác lập và khả vi trên miền USD D, USD trong đó coi USD x USD là biến nguồn vào và USD y USD là biến đầu ra. Ta xét tại điểm USD x = { { x } _ { 0 } } USD xem khi tăng USD x USD thêm 1 đơn vị chức năng thì USD y USD đổi khác như nào ?
Ta có

\[\begin{gathered} f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0})}}{{\Delta x}} \hfill \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) – f({x_0}) – f'({x_0})\Delta x}}{{\Delta x}} = 0 \hfill \\ \Rightarrow f({x_0} + \Delta x) – f({x_0}) – f'({x_0})\Delta x = o\left( {\Delta x} \right) \hfill \\ \Rightarrow f({x_0} + \Delta x) – f({x_0}) = f'({x_0})\Delta x + o\left( {\Delta x} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

Khi USD \ Delta x USD đủ nhỏ ta có USD f ( { { x } _ { 0 } } + \ Delta x ) – f ( { { x } _ { 0 } } ) \ approx { f } ‘ ( { { x } _ { 0 } } ) \ Delta x. USD
Cho USD \ Delta x = 1 \ Rightarrow f ( { { x } _ { 0 } } + 1 ) – f ( { { x } _ { 0 } } ) \ approx { f } ‘ ( { { x } _ { 0 } } ). USD Điều đó chưng tỏ tại USD x = { { x } _ { 0 } } USD cho USD x USD tăng 1 đơn vị chức năng thì USD y USD tăng giao động USD { f } ‘ ( { { x } _ { 0 } } ) USD đơn vị chức năng. Trong nghiên cứu và phân tích kinh tế, USD { f } ‘ ( { { x } _ { 0 } } ) USD được gọi là giá trị cận biên của USD y USD tại điểm USD { { x } _ { 0 } }. USD

2. Hệ số co giãn

Xét quy mô kinh tế được màn biểu diễn qua hàm số USD y = f ( x ) USD xác lập và khả vi trên miền USD D, USD trong đó coi USD x USD là biến nguồn vào và USD y USD là biến đầu ra. Ta xét tại điểm USD x = { { x } _ { 0 } } \ in D USD xem khi tăng USD x USD thêm 1 % thì USD y USD đổi khác như nào ?
Giả sử tại điểm USD x = { { x } _ { 0 } }, USD biến hóa USD x USD một lượng USD \ Delta x USD thì USD y USD đổi khác một lượng USD \ Delta y ( { { x } _ { 0 } } ) = f ( { { x } _ { 0 } } + \ Delta x ) – f ( { { x } _ { 0 } } ). USD
Phần trăm đổi khác của USD x USD là USD \ frac { \ Delta x } { { { x } _ { 0 } } } 100 % ; USD Phần Trăm đổi khác của USD y USD là \ [ \ frac { \ Delta y ( { { x } _ { 0 } } ) } { { { y } _ { 0 } } } 100 % = \ frac { f ( { { x } _ { 0 } } + \ Delta x ) – f ( { { x } _ { 0 } } ) } { { { y } _ { 0 } } } 100 % = \ frac { f ( { { x } _ { 0 } } + \ Delta x ) – f ( { { x } _ { 0 } } ) } { \ Delta x }. \ frac { { { x } _ { 0 } } } { { { y } _ { 0 } } } \ frac { \ Delta x } { { { x } _ { 0 } } } 100 %. \ ]
Vậy khi USD x USD tăng thêm 1 % thì USD y USD đổi khác USD \ varepsilon _ { x } ^ { y } % USD với \ [ \ varepsilon _ { x } ^ { y } = \ frac { f ( { { x } _ { 0 } } + \ Delta x ) – f ( { { x } _ { 0 } } ) } { \ Delta x }. \ frac { { { x } _ { 0 } } } { { { y } _ { 0 } } }. \ ] Cho USD \ Delta x \ to 0 \ Rightarrow \ varepsilon _ { x } ^ { y } = { y } ‘ ( { { x } _ { 0 } } ). \ frac { { { x } _ { 0 } } } { { { y } _ { 0 } } }. USD
Ý nghĩa kinh tế : Tại USD x = { { x } _ { 0 } }, USD khi USD x USD tăng thêm 1 % thì USD y USD đổi khác một lượng khoảng chừng USD \ varepsilon _ { x } ^ { y } = { y } ‘ ( { { x } _ { 0 } } ). \ frac { { { x } _ { 0 } } } { { { y } _ { 0 } } } USD %
+ ) Nếu USD \ varepsilon _ { x } ^ { y } > 0 USD thì USD y USD tăng USD \ varepsilon _ { x } ^ { y } %. USD
+ ) Nếu USD \ varepsilon _ { x } ^ { y } < 0 USD thì USD y USD giảm USD - \ varepsilon _ { x } ^ { y } %. USD Trong nghiên cứu và phân tích kinh tế ta gọi USD \ varepsilon _ { x } ^ { y } = { y } ' ( { { x } _ { 0 } } ). \ frac { { { x } _ { 0 } } } { { { y } _ { 0 } } } USD là thông số co và giãn của hàm số USD y USD theo USD x USD tại USD x = { { x } _ { 0 } }. USD

3. Tối đa hoá lợi nhuận

CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ

Câu 1: Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp $Q=5\sqrt{L}.$ Tính sản phẩm hiện vật cận biên của lao động tại mức sử dụng 100 đơn vị lao động và giải tích ý nghĩa của kết quả tìm được.

Ta có USD MP { { P } _ { L } } = { Q } ‘ ( L ) = \ frac { 5 } { 2 \ sqrt { L } } \ Rightarrow MP { { P } _ { L } } ( 100 ) = \ frac { 5 } { 2 \ sqrt { 100 } } = 0,25. USD Điều này có ý nghĩa là tại mức sử dụng 100 đơn vị chức năng lao động, tăng thêm 1 đơn vị chức năng lao động thì sản lượng hiện vật tăng thêm khoảng chừng 0,25 đơn vị chức năng hiện vật .

Câu 2: Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và tiêu thụ sản phẩm đó trên thị trường với hàm cầu $Q=1500-5p.$ Hãy tính doanh thu cận biên tại mức sản lượng $Q=650$ và giải tích ý nghĩa kết quả tìm được.

Ta có USD Q = 1500 – 5 p \ Leftrightarrow p = – \ frac { 1 } { 5 } Q + 300 \ Rightarrow TR ( Q. ) = pQ = – \ frac { 1 } { 5 } { { Q } ^ { 2 } } + 300Q. USD
Do đó USD MR = T { R } ‘ ( Q. ) = – \ frac { 2 } { 5 } Q + 300 \ Rightarrow MR ( 650 ) = 40. USD Điều này có ý nghĩa tại mức sản lượng 650 nếu sản xuất thêm 1 đơn vị chức năng mẫu sản phẩm thì tổng doanh thu của công ty sẽ tăng thêm 40 đơn vị chức năng lệch giá .

Câu 3: Cho biết hàm doanh thu cận biên của doanh nghiệp sản xuất độc quyền 1 loại hàng hoá là $MR(Q)=40-0,45{{Q}^{2}}.$ Xác định hàm tổng doanh thu và hàm cầu hàng hoá của doanh nghiệp. Tính hệ số co giãn của cầu theo giá tại mức giá $p=30$ và nêu ý nghĩa của kết quả tính được.

Ta có USD TR = \ int { MR ( Q. ) dQ } = \ int { \ left ( 40-0, 45 { { Q } ^ { 2 } } \ right ) dQ } = 40Q-0, 15 { { Q } ^ { 3 } } + { { C } _ { 0 } }. USD
Vì USD TR ( 0 ) = 0 \ Leftrightarrow { { C } _ { 0 } } = 0 \ Rightarrow TR = 40Q-0, 15 { { Q } ^ { 3 } } = pQ \ Rightarrow p = 40-0, 15 { { Q } ^ { 2 } } \ Leftrightarrow Q = \ sqrt { \ frac { 40 – p } { 0,15 } } \ left ( Q > 0 \ right ). USD
Ta có USD \ varepsilon _ { p } ^ { Q } = { Q } ‘ ( p ). \ frac { p } { Q } = \ frac { – 1 } { 2 \ times 0,15 \ sqrt { \ frac { 40 – p } { 0,15 } } }. \ frac { p } { Q } = – \ frac { p } { 2 ( 40 – p ) } \ Rightarrow \ varepsilon _ { p } ^ { Q } ( p = 30 ) = – 1,5. USD

Tại mức giá $p=30$ nếu tăng giá 1% thì lượng cầu giảm khoảng 1,5%.

Câu 4: Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ngược $p=1400-7,5Q.$ Hãy xác định hệ số co giãn của cầu theo giá tại mỗi mức giá $p.$ Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa, cho biết hàm chi phí cận biên $MC=3{{Q}^{2}}-12Q+140.$

Có USD p = 1400 – 7,5 Q \ Leftrightarrow Q = \ frac { 560 } { 3 } – \ frac { 2 } { 15 } p \ Rightarrow \ varepsilon _ { p } ^ { Q } = { Q } ‘ ( p ). \ frac { p } { Q } = – \ frac { 2 } { 15 }. \ frac { p } { \ frac { 560 } { 3 } – \ frac { 2 } { 15 } p }. USD
Hàm doanh thu của doanh nghiệp là
USD \ pi = TR-TC = \ left ( 1400Q-7, 5 { { Q } ^ { 2 } } \ right ) – \ left ( { { Q } ^ { 3 } } – 6 { { Q } ^ { 2 } } + 140Q \ right ) = – { { Q } ^ { 3 } } – 1,5 { { Q } ^ { 2 } } + 1260Q. USD
+ ) Điều kiện cần : USD { \ pi } ‘ = 0 \ Leftrightarrow – 3 { { Q } ^ { 2 } } – 3Q + 1260 = 0 \ Leftrightarrow Q = 20 \ left ( Q > 0 \ right ). USD
+ ) Điều kiện đủ : USD { \ pi } ‘ ‘ = – 6Q-3 \ Rightarrow { \ pi } ‘ ‘ ( 20 ) = – 123 < 0 USD thoả mãn . Vậy mức sản lượng cho tối đa doanh thu là 20 .

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.

Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:

– ĐH Kinh Tế Quốc Dân
– ĐH Ngoại Thương
– ĐH TM
– Học viện Tài Chính
– Học viện ngân hàng nhà nước
– ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Thành Phố Hà Nội
và những trường ĐH, ngành kinh tế của những trường ĐH khác trên khắp cả nước …

KHOÁ PRO S1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

KHOÁ PRO S1 GIẢI TÍCH

tương đương chương trình Giải tích 1 và Giải tích 2 khối ngành kỹ thuật. 

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay