Lý thuyết tập hợp – Wikipedia tiếng Việt

Lý thuyết tập hợp (tiếng Anh: set theory) là ngành toán học nghiên cứu về tập hợp. Mặc dù bất kỳ đối tượng nào cũng có thể được đưa vào một tập hợp, song lý thuyết tập hợp được dùng nhiều cho các đối tượng phù hợp với toán học.

Sự nghiên cứu và điều tra lý thuyết tập hợp văn minh do Cantor và Dedekind khởi xướng vào thập niên 1870. Sau khi tò mò ra những nghịch lý trong lý thuyết tập không hình thức, đã có nhiều hệ tiên đề được ý kiến đề nghị vào đầu thế kỷ thứ 20, trong đó có những tiên đề Zermelo – Fraenkel, với tiên đề chọn là nổi tiếng nhất .

Ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp được dùng trong định nghĩa của gần như tất cả các đối tượng toán học, như hàm số, và các khái niệm lý thuyết tập hợp được đưa vào nhiều chương trình giảng dạy toán học. Các sự kiện cơ bản về tập hợp và phần tử trong tập hợp có thể được mang ra giới thiệu ở cấp tiểu học, cùng với sơ đồ Venn, để học về tập hợp các đối tượng vật lý thường gặp. Các phép toán cơ bản như hội và giao có thể được học trong bối cảnh này. Các khái niệm cao hơn như bản số là phần tiêu chuẩn của chương trình toán học của sinh viên đại học.

Lý thuyết tập hợp, được hình thức hóa bằng lôgic bậc nhất ( first-order logic ), là giải pháp toán học nền tảng thường dùng nhất. Ngoài việc sử dụng nó như một mạng lưới hệ thống nền tảng, lý thuyết tập hợp bản thân nó cũng là một nhánh của toán học, với một hội đồng nghiên cứu và điều tra tích cực. Các điều tra và nghiên cứu mới nhất về lý thuyết tập hợp gồm có nhiều loại chủ đề khác nhau, từ cấu trúc của dòng số thực đến nghiên cứu và điều tra tính nhất quán của bản số lớn .
Georg CantorCác chủ đề về toán học thường Open và tăng trưởng trải qua sự tương tác giữa những nhà nghiên cứu. Tuy nhiên, lý thuyết tập hợp được tìm thấy năm 1874 bởi Georg Cantor trải qua bài viết : ” On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers “. [ 1 ] [ 2 ]

Thế kỷ 19[sửa|sửa mã nguồn]

Cái trống là phần tử của tập hợp
Cuốn sách không phải là phần tử của tập hợp.Tập hợp như thể một thu góp trong tư tưởng những đối tượng người tiêu dùng có quan hệ nào đó với nhau. Cái trống là thành phần của tập hợpCuốn sách không phải là thành phần của tập hợp .Lý thuyết tập hợp được sáng lập bởi Georg Cantor trong những năm 1874 đến năm 1897. Thay cho thuật ngữ ” tập hợp “, khởi đầu ông ta đã sử dụng những từ như ” bộc lộ ” ( inbegriff ) hoặc ” sự phong phú ” ( Mannigfaltigkeit ) ; Về tập hợp và Lý thuyết tập hợp, ông chỉ nói sau đó. Năm 1895, ông đã diễn đạt định nghĩa sau :

Cantor phân loại các tập hợp, đặc biệt là những tập hợp vô hạn, theo Lực lượng của chúng. Đối với tập hợp hữu hạn, đây là số lượng các phần tử của chúng. Ông gọi hai tập hợp ” có lực lượng bằng nhau” khi chúng được ánh xạ song ánh với nhau, tức là khi có một mối quan hệ một-một giữa các phần tử của chúng. Cái được định nghĩa là sự đồng nhất lực lượng là một quan hệ tương đương, và một lực lượng hay số phần tử của một tập hợp M theo Cantor, là lớp tương đương của các tập hợp có lực lượng bằng M. Ông là người đầu tiên quan sát thấy rằng có những lực lượng vô hạn khác nhau. Tập hợp các số tự nhiên, và tất cả các tập hợp có lực lượng bằng nó, được Cantor gọi là ‘Tập hợp đếm được, tất cả các tập hợp vô hạn khác được gọi là tập hợp không đếm được.

Các kết quả quan trọng từ Cantor

• Tập hợp của số tự nhiên, số hữu tỉ (lập luận chéo đầu tiên của Cantor) và số đại số là đếm được và có lực lượng bằng nhau.
• Tập hợp số thực có lực lượng lớn hơn so với các số tự nhiên, đó là không đếm được (luận chéo thứ hai củaCantor).
• Tập hợp của tất cả các tập hợp con của một tập hợp M luôn luôn có lực lượng lớn hơn là M , mà còn được gọi là định lý Cantor.
• Từ bất kỳ hai tập hợp có ít nhất một tập hợp cùng lực lượng với một tập hợp con của tập hợp kia.
• Có rất nhiều lực lượng của tập hợp không đếm được.

Cantor gọi Giả thiết continuum là “có một lực lượng ở giữa tập hợp các số tự nhiên và tập hợp các số thực ” Ông đã cố gắng để giải quyết, nhưng không thành công. Sau đó nó bật ra rằng vấn đề này trên nguyên tắc không quyết định được.

Ngoài Cantor, Richard Dedekind là một nhà tiên phong quan trọng của lý thuyết về lý thuyết tập hợp. Ông đã nói về những ” mạng lưới hệ thống ” thay vì tập hợp và tăng trưởng một cấu trúc lý thuyết tập hợp của những số lượng thực vào năm 1872 [ 4 ], một số lượng lý thuyết thiết kế xây dựng số thực [ 2 ] và 1888 nói về tiên đề hóa lý thuyết tập hợp những số lượng tự nhiên. [ 5 ] Ông là người tiên phong tạo ra công thức tiên đề Axiom of extensionality của lý thuyết tập hợp .

Ngay từ năm 1889, Giuseppe Peano, người đã miêu tả tập hợp là các tầng lớp, đã tạo ra cách tính toán bằng công thức logic các tầng lớp đầu tiên làm cơ sở cho số học của ông với các tiên đề Peano, mà ông đã mô tả lần đầu tiên trong một ngôn ngữ lý thuyết tập hợp chính xác. Do đó ông đã phát triển cơ sở cho ngông ngữ công thức ngày nay của lý thuyết tập hợp và giới thiệu nhiều biểu tượng được phổ biến ngày nay, đặc biệt là ký hiệu phần tử

∈

{\displaystyle \in }

, được đọc là là “phần tử của”[6]. Trong khi đó

∈

{\displaystyle \in }

là chữ viết thường của ε (epsilon) của từ ἐστί (tiếng Hy Lạp: “là”).[7]

Gottlob Frege đã nỗ lực đưa ra một lý giải lý thuyết tập hợp khác của lý thuyết về số học vào năm 1893. Bertrand Russell đã phát hiện ra xích míc của nó vào năm 1902, được biết đến như là Nghịch lý Russell. Sự xích míc này và những xích míc khác phát sinh do sự thiết lập tập hợp không hạn chế, đó là nguyên do tại sao dạng thức khởi đầu của lý thuyết tập hợp sau này được gọi là lý thuyết tập hợp ngây thơ. Tuy nhiên, định nghĩa của Cantor không có ý muốn nói tới một lý thuyết tập hợp ngây thơ như vậy, như chứng tỏ của ông về loại toàn bộ là Nichtmenge cho thấy bởi nghịch lý Cantor thứ hai [ 6 ]. [ 8 ]Học thuyết của Cantor về lý thuyết tập hợp phần nhiều không được công nhận bởi những người đương thời về vai trò quan trọng của nó, và không được coi là bước tiến cách mạng, mà đã bị một số ít những nhà toán học như Leopold Kronecker không gật đầu. Thậm chí nhiều hơn, nó còn bị mang tiếng khi những nghịch lý được biết tới, ví dụ như Henri Poincaré, chế diễu, ” Logic không còn trọn vẹn, giờ đây nó tạo ra những xích míc. ”
Trong thế kỷ XX, những sáng tạo độc đáo của Cantor liên tục chiếm lợi thế ; đồng thời, trong Logic toán, một lý thuyết Axiomatic Quantum đã được thiết lập, qua đó hoàn toàn có thể vượt qua những xích míc hiện thời .Năm 1903 / 1908 Bertrand Russell tăng trưởng Type theory của mình, trong đó tập hợp luôn luôn có một kiểu cao hơn những thành phần của chúng, do đó sự hình thành những tập hợp có yếu tố sẽ không hề xảy ra. Ông chỉ ra cách tiên phong ra khỏi những xích míc và cho thấy trong ” Principia Mathematica ” của 1910 – 1913 cũng là một phần hiệu suất cao của Type theory ứng dụng. Cuối cùng, tuy nhiên, nó chứng tỏ là không thích hợp với lý thuyết tập hợp của Cantor và cũng không hề vượt qua được sự phức tạp của nó .Tiên đề lý thuyết tập hợp được tăng trưởng bởi Ernst Zermelo vào năm 1907 ngược lại dễ sử dụng và thành công xuất sắc hơn, trong đó schema of replacement của ông là thiết yếu để bổ trợ vào. Zermelo thêm nó vào mạng lưới hệ thống Zermelo-Fraenkel năm 1930, mà ông gọi tắt là hệ thống-ZF. Ông đã phong cách thiết kế nó cho Urelement mà không phải là tập hợp, nhưng hoàn toàn có thể là thành phần của tập hợp và được xem như cái Cantor gọi là ” đối tượng người dùng của quan điểm của chúng tôi. ” Lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, tuy nhiên, theo ý tưởng sáng tạo Fraenkel là lý thuyết tập hợp thuần túy mà đối tượng người dùng trọn vẹn là những tập hợp .Tuy nhiên, nhiều nhà toán học thay vì theo một tiên đề hài hòa và hợp lý lại chọn một lý thuyết tập hợp thực dụng, tránh tập hợp có yếu tố, ví dụ điển hình như những vận dụng của Felix Hausdorff 1914 hoặc Erich Kamke từ năm 1928. Dần dần những nhà toán học ý thức hơn rằng lý thuyết tập hợp là một cơ bản không hề thiếu cho cấu trúc toán học. Hệ thống ZF chứng tỏ được trong thực hành thực tế, thế cho nên thời nay nó được đa phần những nhà toán học công nhận là cơ sở của toán học tân tiến ; không còn có xích míc hoàn toàn có thể bắt nguồn từ mạng lưới hệ thống ZF. Tuy nhiên, sự không xích míc chỉ hoàn toàn có thể được chứng tỏ cho lý thuyết tập hợp với tập hợp hữu hạn, chứ không phải cho hàng loạt mạng lưới hệ thống ZF, mà chứa lý thuyết tập hợp của Cantor với tập hợp vô hạn. Theo Gödel ‘ s incompleteness theorems năm 1931 một chứng tỏ về tính đồng điệu về nguyên tắc là không hề được. Những tò mò Gödel chỉ là chương trình của Hilbert để phân phối toán học và lý thuyết tập hợp vào một cơ sở tiên đề không xích míc được chứng tỏ, một số lượng giới hạn, nhưng không cản trở sự thành công xuất sắc của lý thuyết trong bất kể cách nào, thế cho nên mà một khủng hoảng cục bộ nền tảng của toán học, mà những người ủng hộ của Intuitionismus, trong trong thực tiễn không được cảm thấy .Tuy nhiên, sự công nhận ở đầu cuối của lý thuyết tập hợp ZF trong trong thực tiễn trì hoãn trong một thời hạn dài. Nhóm toán học với bút danh Nicolas Bourbaki đã góp phần đáng kể cho sự công nhận này ; họ muốn miêu tả mới toán học như nhau dựa trên lý thuyết tập hợp và biến hóa nó vào năm 1939 tại những lãnh vực toán học chính thành công xuất sắc. Trong những năm 1960, nó trở nên thông dụng thoáng đãng rằng, lý thuyết tập hợp ZF thích hợp là cơ sở cho toán học. Đã có một khoảng chừng thời hạn trong thời điểm tạm thời trong đó lý thuyết số lượng đã được dạy ở tiểu học .Song song với câu truyện thành công xuất sắc của thuyết tập hợp, tuy nhiên, việc tranh luận về những tiên đề tập hợp vẫn còn lưu hành trong quốc tế chuyên nghiệp. Nó cũng hình thành những lý thuyết tập hợp tiên đề sửa chữa thay thế khoảng chừng năm 1937 mà không hướng theo Cantor và Zermelo-Fraenkel, nhưng dựa trên Lý thuyết kiểu ( Type Theory ) của Willard Van Orman Quine từ New Foundations ( NF ) của ông ta, năm 1940 lý thuyết tập hợp Neumann-Bernays-Godel, mà khái quát hóa ZF về những lớp, hay năm 1955, lý thuyết tập hợp Ackermann, khai triển mới định nghĩa tập hợp của Cantor .

Khái niệm và ký hiệu cơ bản[sửa|sửa mã nguồn]

Lý thuyết tập hợp khởi đầu với một quan hệ nhị phân cơ bản giữa một thành phần o và một tập hợp A. Nếu o là một thành viên ( hoặc thành phần ) của A, ký hiệu o ∈ A được sử dụng. Khi đó ta cũng nói rằng thành phần a thuộc tập hợp A. Vì những tập cũng là những đối tượng người dùng, quan hệ thành phần cũng hoàn toàn có thể tương quan đến những tập .

Quan hệ giữa những tập hợp[sửa|sửa mã nguồn]

Quan hệ bao hàm[sửa|sửa mã nguồn]

Nếu tất cả các thành viên của tập A cũng là thành viên của tập B , thì A là một Tập hợp con của B , được biểu thị

A
⊆
B

{\displaystyle A\subseteq B}

, và tập hợp B bao hàm tập hợp A. Ví dụ, {1, 2} là một tập hợp con của {1, 2, 3}, và {2} cũng vậy, nhưng { 1, 4} thì không.

Xem thêm: Viber

Quan hệ bằng nhau[sửa|sửa mã nguồn]

• Hai tập hợp A và B được gọi là bằng nhau nếu A là tập hợp con của B và B cũng là tập hợp con của A, ký hiệu A = B.

Theo định nghĩa, mọi tập hợp đều là tập con của chính nó; tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. Mọi tập hợp A không rỗng có ít nhất hai tập con là rỗng và chính nó. Chúng được gọi là các tập con tầm thường của tập A. Nếu tập con B của A khác với chính A, nghĩa là có ít nhất một phần tử của A không thuộc B thì B được gọi là tập con thực sự hay tập con chân chính của tập A.

Chú ý rằng 1 và 2 và 3 là những thành viên của tập { 1, 2, 3 } nhưng không phải là tập con, những tập con ví dụ điển hình như { 1 } không phải là thành viên của tập { 1, 2, 3 } .

Các phép toán trên những tập hợp[sửa|sửa mã nguồn]

• Hợp (Union): Hợp của A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp A và B, ký hiệu A ∪ { \ displaystyle \ cup }

Ta có A ∪ { \ displaystyle \ cup }∈ { \ displaystyle \ in }∈ { \ displaystyle \ in }

• Giao (Intersection): Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B, ký hiệu A ∩ { \ displaystyle \ cap }

Ta có A ∩ { \ displaystyle \ cap }∈ { \ displaystyle \ in }∈ { \ displaystyle \ in }

• Hiệu (Difference): Hiệu của tập hợp A với tập hợp B là tập hợp tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, ký hiệu A ∖ B { \ displaystyle A \ setminus B }

Ta có: A \ B = {x: x ∈ { \ displaystyle \ in }∉ { \ displaystyle \ notin }

Lưu ý, A \ B ≠ { \ displaystyle \ neq }

• Phần bù (Complement): là hiệu của tập hợp con. Nếu A⊂ { \ displaystyle \ subset }CAB (hay CB A)

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

• Foreman, M., Akihiro Kanamori, eds. Handbook of Set Theory. 3 vols., to appear in December 2009. Each chapter surveys some aspect of contemporary research in set theory. Does not cover established elementary set theory, on which see Devlin (1993).

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay