Ứng dụng tích phân tính diện tích

1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

Giả sử một hình phẳng được tạo bởi y = f ( x ) và đường thẳng y = 0. Biết rằng y = f ( x ) liên tục trên [ a ; b ]. Khi đó diện tích quy hoạnh hình phẳng này được xác lập theo công thức :

1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

Giả sử một hình phẳng có diện tích S, được giới hạn bởi hai đồ thị y = f1(x), y = f2(x). Biết rằng hai đồ thị này liên tục trên[a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b. Lúc này diện tích hình phẳng được tính theo công thức

Trường hợp f ( x ) không đổi dấu [ a ; b ] thì diện tích quy hoạnh hình phẳng : USD S = \ int \ limits_ { a } ^ { b } { \ left | f \ left ( x \ right ) \ right | } dx = \ left | \ int \ limits_ { a } ^ { b } { f \ left ( x \ right ) dx } \ right | USD
Muốn bỏ dấu trị tuyệt đối thì :

• Bước 1: Giả sử nghiệm tìm được từ pt f(x) = 0 hay f(x) – g(x) = 0 là c, d (với c < d).
• Bước 2: Áp dụng công thức $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|}dx=\int\limits_{a}^{c}{\left| f\left( x \right) \right|}dx+\int\limits_{c}^{d}{\left| f\left( x \right) \right|}dx+\int\limits_{d}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|}dx$

Nếu diện tích quy hoạnh được số lượng giới hạn bởi hai đồ thị : x = g ( y ), x = h ( y ) và hai đường thẳng x = d, x = c .
Khi này diện tích quy hoạnh cần tìm tính theo công thức USD S = \ int \ limits_ { c } ^ { d } { \ left | g \ left ( x \ right ) – h \ left ( x \ right ) \ right | } dx USD

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay (đọc thêm)

2.1 Thể tích vật thể

Một vật thể được số lượng giới hạn như hình vẽ, khi này thể tích của nó được xác lập theo công thức

2.2 Thể tích khối tròn xoay

Giả sử một hình phẳng được hình thành bởi những được x = a ; x = b và đường cong y = f ( x ). Cho hình này xoay quanh trục Ox nó sẽ hình thành khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức :

3. Bài tập

Câu 0. Parabol USD y = \ frac { { { x } ^ { 2 } } } { 2 } USD chia hình tròn trụ có tâm là gốc tọa độ, nửa đường kính bằng USD 2 \ sqrt { 2 } USD thành hai phần có diện tích quy hoạnh là USD { { S } _ { 1 } } USD và USD { { S } _ { 2 } } USD, trong đó USD { { S } _ { 1 } } < { { S } _ { 2 } } USD. Tìm tỉ số USD \ frac { { { S } _ { 1 } } } { { { S } _ { 2 } } }. USD A. USD \ frac { 3 \ pi + 2 } { 21 \ pi - 2 }. USD B. USD \ frac { 3 \ pi + 2 } { 9 \ pi - 2 }. USD C. USD \ frac { 3 \ pi + 2 } { 12 \ pi }. USD D. USD \ frac { 9 \ pi - 2 } { 3 \ pi + 2 }. USD Hướng dẫn giải Chọn B .

Diện tích hình tròn trụ là USD S = \ pi { { r } ^ { 2 } } = 8 \ pi USD .
Ta có USD { { S } _ { 1 } } = \ int \ limits_ { – 2 } ^ { 2 } { \ left | \ sqrt { 8 – { { x } ^ { 2 } } } – \ frac { { { x } ^ { 2 } } } { 2 } \ right | } \ text { d } x = 2 \ pi + \ frac { 4 } { 3 } USD
Suy ra USD { { S } _ { 2 } } = S – { { S } _ { 1 } } = 6 \ pi – \ frac { 4 } { 3 } USD
Vậy USD \ frac { { { S } _ { 1 } } } { { { S } _ { 2 } } } = \ frac { 3 \ pi + 2 } { 9 \ pi – 2 } USD .
Câu 1. Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi USD y = { { x } ^ { 2 } } – x + 3 USD và USD y = 2 x + 1 USD là :
A. USD – \ frac { 1 } { 6 } USD .
B. USD \ frac { 2 } { 3 } USD .
C. USD \ frac { 3 } { 2 } USD .
D. USD \ frac { 1 } { 6 } USD .
Hướng dẫn giảiChọn D
Chọn DTa có : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là :
USD { { x } ^ { 2 } } – x + 3 = 2 x + 1 \ Leftrightarrow { { x } ^ { 2 } } – 3 x + 2 = 0 USD USD \ Leftrightarrow \ left [ { \ begin { array } { * { 20 } { c } } { x = 1 } \ \ { x = 2 } \ end { array } } \ right. USD
Diện tích hình phẳng là : USD \ left | \ int \ limits_ { 1 } ^ { 2 } { \ left ( { { x } ^ { 2 } } – 3 x + 2 \ right ) } dx \ right | = \ left | \ left. \ left ( \ frac { { { x } ^ { 3 } } } { 3 } – \ frac { 3 { { x } ^ { 2 } } } { 2 } + 2 x \ right ) \ right | _ { 1 } ^ { 2 } \ right | USD USD = \ left | { \ frac { 7 } { 3 } – \ frac { 9 } { 2 } + 2 } \ right | = \ left | { – \ frac { 1 } { 6 } } \ right | = \ frac { 1 } { 6 } USD
Câu 2. Tính diện tích quy hoạnh hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số USD y = { { x } ^ { 3 } } – 6 { { x } ^ { 2 } } + 17 x – 3 USD và USD y = { { x } ^ { 2 } } + 3 x + 5 USD
A. USD 3. USD
B. USD \ frac { 37 } { 12 }. USD
C. USD \ frac { 13 } { 14 }. USD

D. $\frac{75}{24}.$

Hướng dẫn giải.
Chọn B .
Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bới USD y = { { x } ^ { 3 } } – 6 { { x } ^ { 2 } } + 17 x – 3 USD và USD y = { { x } ^ { 2 } } + 3 x + 5 USD
PTHDGD : USD { { x } ^ { 3 } } – 6 { { x } ^ { 2 } } + 17 x – 3 = { { x } ^ { 2 } } + 3 x + 5 USD USD \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 2 \ \ x = 1 \ \ x = 4 \ end { array } \ right. USD
Vậy USD S = \ left | \ int \ limits_ { 1 } ^ { 2 } { \ left ( { { x } ^ { 3 } } – 7 { { x } ^ { 2 } } + 14 x – 8 \ right ) dx } \ right | + \ left | \ int \ limits_ { 2 } ^ { 4 } { \ left ( { { x } ^ { 3 } } – 7 { { x } ^ { 2 } } + 14 x – 8 \ right ) dx } \ right | = \ frac { 37 } { 12 } USD
Câu 3. Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi hai đường USD { { y } ^ { 2 } } = 2 x + 1 USD và USD y = x1 USD bằng diện tích quy hoạnh của một hình vuông vắn có chu vi là
A. USD \ frac { 16 } { \ sqrt { 3 } }. USD B. USD \ frac { 4 } { \ sqrt { 3 } }. USD C. USD 4 \ sqrt { 3 }. USD D. USD \ frac { 4 \ sqrt { 3 } } { 3 }. USD
Hướng dẫn giảiChọn A
Chọn ATa có phương trình tung độ giao điểm : USD \ frac { { { y } ^ { 2 } } – 1 } { 2 } = y + 1 \ Leftrightarrow y = – 1 \ vee y = 3 USD .
USD S = \ int \ limits_ { – 1 } ^ { 3 } { \ left | \ frac { { { y } ^ { 2 } } – 1 } { 2 } – y-1 \ right | \ text { d } x } = \ left | \ left. \ frac { { { y } ^ { 3 } } } { 6 } – \ frac { 3 y } { 2 } – \ frac { { { y } ^ { 2 } } } { 2 } \ right | _ { – 1 } ^ { 3 } \ right | = \ frac { 16 } { 3 } USD .
Suy ra cạnh hình vuông vắn là USD \ frac { 4 } { \ sqrt { 3 } } USD .
Vậy chu vi hình vuông vắn cần tìm là : USD \ frac { 16 } { \ sqrt { 3 } }. USD
Câu 4. Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường USD y = \ frac { x + 1 } { x-1 } USD và hai trục khi quay xung quanh $ Ox $ là
A. USD \ pi ( 3-4 \ ln 2 ). USD B. USD \ frac { \ pi } { 2 } ( 3-4 \ ln 2 ). USD C. USD \ frac { \ pi } { 2 } ( 3 + 4 \ ln 2 ). USD D. USD \ pi ( 3 + 4 \ ln 2 ). USD
Hướng dẫn giảiChọn A
Chọn ATacó USD V = \ pi \ int \ limits_ { – 1 } ^ { 0 } { { { \ left ( \ frac { x + 1 } { x-1 } \ right ) } ^ { 2 } } \ text { d } x } USD
USD = \, \ pi \ int \ limits_ { – 1 } ^ 0 { { { \ left ( { 1 + \ frac { 2 } { { x – 1 } } } \ right ) } ^ 2 } { \ rm { d } } x } USD USD = \ pi \ int \ limits_ { – 1 } ^ 0 { \ left ( { 1 + \ frac { 4 } { { x – 1 } } + { { \ left ( { \ frac { 2 } { { x – 1 } } } \ right ) } ^ 2 } } \ right ) { \ rm { d } } x } \, USD USD { = \ pi \ left. { \ left ( { x + 4 \ ln \ left | { x – 1 } \ right | – \ frac { 4 } { { ( x – 1 ) } } } \ right ) } \ right | _ { – 1 } ^ 0 } USD
USD = \ pi \ left ( 3-4 \ ln 2 \ right ) USD .
Câu 5. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng USD \ left ( H \ right ) USD số lượng giới hạn bởi USD y = { { x } ^ { 2 } } USD và USD y = x + 2 USD quanh trục USD Ox USD là
A. USD \ frac { 72 \ pi } { 10 } USD ( đvtt ) .
B. USD \ frac { 72 \ pi } { 5 } USD ( đvtt ) .
C. USD \ frac { 81 \ pi } { 10 } USD ( đvtt ) .
D. USD \ frac { 81 \ pi } { 5 } USD ( đvtt ) .
Hướng dẫn giảiChọn B
Chọn BPhương trình hoành độ giao điểm USD { x ^ 2 } = x + 2 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = – 1 \ \ x = 2 \ end { array } \ right. USD .
Thể tích cần tìm là USD V = \ pi \ left | \ int_ { – 1 } ^ { 2 } { \ left [ { { x } ^ { 4 } } – { { \ left ( x + 2 \ right ) } ^ { 2 } } \ right ] \ text { d } x } \ right | = \ frac { 72 \ pi } { 5 } USD .
Câu 6. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được số lượng giới hạn bởi những đường USD y = { { x } ^ { 2 } } USD và USD x = { { y } ^ { 2 } } USD quay quanh trục USD Ox USD bằng bao nhiêu ?
A. USD \ frac { 3 \ pi } { 10 } USD .
B. USD 10 \ pi USD .
C. USD \ frac { 10 \ pi } { 3 } USD .
D. USD 3 \ pi USD .
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có : USD x = { y ^ 2 } \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } x \ ge 0 \ \ y = \ sqrt x \ end { array } \ right. USD
Phương trình hoành độ giao điểm : USD { x ^ 2 } = \ sqrt x \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 0 \ \ x = 1 \ end { array } \ right. USD
Thể tích khối tròn xoay thu được : USD V = \ pi \ left | \ int \ limits_ { 0 } ^ { 1 } { { { x } ^ { 4 } } \ text { d } x } – \ int \ limits_ { 0 } ^ { 1 } { x \ text { d } x } \ right | = \ pi \ left | \ left ( \ frac { { { x } ^ { 5 } } } { 5 } – \ frac { { { x } ^ { 2 } } } { 2 } \ right ) _ { 0 } ^ { 1 } \ right | = \ frac { 3 \ pi } { 10 } \ cdot USD

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay