Ngày đăng : 13/01/2021, 04 : 16

Để vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có một số hướng biến đổi (tương ứng với 3 dạng thông dụng) sau đây:.. 1..[r] (1)Chủ đề: VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BPT VÀ HPT I- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP: Xét phương trình f x( )=0 ( ) (x∈D) với D khoảng cho trước Để vận dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, ta có số hướng biến đổi (tương ứng với dạng thông dụng) sau đây: 1 Đối với loại phương trình có hướng để giải quyết: Dạng 1: Dạ ng ( )F x =0, vớ i ( ) hoặF x c đồng biến, nghịch biến D Bước 1: Đưa phương trỡnh (1) dạng: ( ) =F x Bước 2: Xét hàm số y=F x ( ) Chỉ rõ hàm số y=F x ( ) đồng biến hay nghịch biến D Bước 3: Đoán F x( )0 =0 Lúc phương trình (1) có nghiệm x=x 0 Dạng 2: Ph- ơng trình (1) có: ( ) đồng biến D hoặ( c ng- ợ c lạ i ) ( ) nghịch biến D    F x G x Bước 1: Đưa phương trình (1) dạng : ( )F x =G x (1) ( ) Bước 2: Xét hai hàm số y= f x ( ) y=g x ( ) Chỉ rõ hàm số y=F x ( ) là hàm đồng biến (nghịch biến) vày=G x hàm ( ) nghịch biến (đồng biến) Bước 3: Đoán F x( )0 =G x( )0 Lúc phương trình (1) có nghiệm 0 = x x Dạng 3: Dạ ng ph- ơng trình ( )F u =F v( ) (* ), vớ i ( ) hoặF x c đồng biến, ( ) nghịch biến a b; Lúc đó, (* ) có nghiệm u=v Bước 1: Đưa phương trỡnh dạng ( )F u =F v (1) ( ) Bước 2: Xét hàm số: y=F t ( ) Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến ( )a b ; Bước 3: Khi đó: ( )F u =F v( )⇔ =u v Nhận xét: + Định lí tính đơn điệu đoạn: “ Nếu hàm số y= f x( ) liên tục [ ]a b ; và có đạo hàm /( ) 0 f x > khoảng ( )a b ; thì hàm số y= f x( ) đồng biến [ ]a b ” ; + Đối với bất phương trình, hệ phương trình, tư vận dụng tính đơn điệu hồn tồn tương tự II- BÀI TẬP MINH HỌA: Loại 1: Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình Bài tập 1: Giải phương trình sau: (2)Hướng dẫn giải: a) 4x− +1 4x2− =1 Điều kiện: 4 − ≥   − ≥  x x 1 ⇔ ≥x Nhận xét: Số nghiệm phương trình số giao điểm hàm số 4 = − + − y x x 1 = y Xét hàm số 4 = − + − y x x Miền xác định: 1;   = +∞  D Đạo hàm / 2 2 0 2 4 = + > ∀ > − − x y x x x Do hàm số liên tục 1;   +∞   nên hàm số đồng biến ;   +∞   Dễ thấy 2 = x thỏa (1) Do hàm số có nghiệm = x b) sin+ x− sin− x =1 TXĐ: D R= Đặt t =sinx , điều kiện t ≤1 Khi phương trình có dạng : 3+ −t 2− =t 1⇔ 3+ = +t 2−t (2) Dễ thấy: + Hàm số ( )f t = 3+t là hàm đồng biến D= −[ 1;1] + Hàm số ( ) 1g t = + 2−t là hàm nghịch biến D= −[ 1;1] Từ (*) suy : ( )f t =g t ( ) có nghiệm nghiệm Ta thấy t =1 thỏa phương trình (2), đó: sin 2 π π = ⇔ = + x x k c) x− = − −1 x3 4x+5 (3) TXĐ: D= +∞ [1; ) Xét hàm số ( )f x = x−1 có /( ) 1 = > ∀ > − f x x x nên hàm số đồng biến (1;+∞ ) Và hàm số g x( )= − −x3 4x+5 Đạo hàm : y/ = −3x2 − <4 ∀ ∈ ⇔x D hàm số nghịch biến trên D Phương trình (3) có dạng ( )f x =g x ( ) Do phương trình có nghiệm nghiệm Ta thấyx=1 thoả mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm x=1 d) x+ x2− + −x x+ +1 x2+ + =x 1 Điều kiện: 2 2 1 1  + − + ≥   + + + + ≥  x x x x x x 2 2 1 1  − + ≥ −  ⇔  + + ≥ − −  x x x (3)+ Với 2 2 0 1 0  − ≤   − + ≥   − + ≥ − ⇔  − ≥  − + ≥   x x x x x x x x x x 0 ≥  ⇔ ≤ ⇔ ∀  x x x + Với 2 2 1 1 1 1  − − ≤   + + ≥   + + ≥ − − ⇔  − − ≥  + + ≥ + +   x x x x x x x x x x x 1 ≥ −  ⇔  ≤ − ⇔ ∀  x x x Vậy =D R Biến đổi phương trình dạng : 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) + − + = + + + + − + + x x x x x x ⇔ x+ x2− + + =x x (x+ +1) (x+ +1) (x+1)2− + +(x 1) (4) Xét hàm số ( )= + − +1 f t t t t Miền xác định =D R Đạo hàm : ( ) / 2 / 2 2 1 2 1 2 1 ( ) 2 1 + − + − + + − = = + − + + − + − + t t t t t t f t t t t t t t t t Nhận xét : 2 2 2 t − + + − =t 2t 4t − + + − =4t 2t (2t−1) + + − >3 2t 2t− + − ≥1 2t / ( ) ⇒ f x > ∀ ⇔x hàm số đồng biến D Khi đó: (*)⇔ f x( )= f x( + ⇔ = +1) x x 1vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài tập 2: Giải phương trình sau: a) ( ) 2 3 3 1 log 2 5 − −   − + + +  =   x x x x b) 2x−1−2x2−x =(x−1)2 c) 8sin 4sin 1 8sin 4sin − − − = − − − x x e e x x Hướng dẫn giải: a) ( ) 2 3 3 1 log 2 5 − −   − + + +  =   x x x x (1) Điều kiện: 3 − + ≥ x x 2 ≤  ⇔  ≥  x x Đặt ( ) 2 3 = − + ≥ u x x u Lúc : 2 3x−x − = −1 u Khi : (1) 2 1 3 1 log ( 2) −   ⇔ + +  =   u u (2) Xét hàm số: 2 1 3 1 ( ) log ( 2) 5 −   = + +     x (4)Đạo hàm : / 1 ( ) ln3 ( 2) ln3 = + > + x f x x x ,∀ ∈x D Suy hàm số đồng biến D Mặc khác: (1) 2f = Do (2) có dạng : ( )f u = f(1) ⇔ =u 1: 5 2 + − = ∨ = x x b) 2x−1−2x2−x =(x−1)2 TXĐ: D R= Biến đổi phương trình dạng : 1 2 2x− + − =x 2x −x+x −x (2) Xét hàm số ( ) 2= +t f t t Miền xác định : =D R Đạo hàm : / ( )=ln2.2t + >1 ∀ ∈ f t t D Suy hàm số đồng biến D Từ (2) có dạng ( − =1) ( − ) f x f x x ⇔ − =x x2− ⇔ =x x Vậy x=1là nghiệm phương trình c) 8sin 4sin 1 8sin 4sin − − − = − − − x x e e x x Điều kiện: 1 sin 4 sin 8  ≠    ≠  x x Biến đổi phương trình dạng: 8sin 4sin 1 8sin 4sin − − = − − − − x x e e x x (3) Xét hàm số f t( )= −et t Miền xác định: D=(0;+∞) Đạo hàm : / 2 ( )= +t >0 ∀ ∈ f x e x D t Suy hàm số đồng biến D Từ (*) có dạng : f (8sinx−5) (= f 4sinx−1)⇔ 8sinx− =5 4sinx−1 8sin 4sin 8sin 4sin − = −  ⇔  − = −  x x x x sin 1 sin 2 =   ⇔  =  x x 2 5 2 6 π π π π π π  = +  ⇔   = + ∨ = +  x k x k x k Loại 2: Vận dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình Bài tập 1: Giải bất phương trình sau: a) x+ +9 2x+ >4 b) x2 −2x+ −3 x2−6x+11> 3− −x x−1 Hướng dẫn giải: a) x+ +9 2x+ >4 (1) Điều kiện: 2 + ≥  ⇔ ≥ −  + ≥  x x x (5)Đạo hàm / 1 ( ) 2 = + > ∀ > − + + f x x x x Suy hàm số đồng biến D Để ý rằng: (0) 5f =, đó: + Nếu x>0 ( )f x > f(0)⇔ x+ +9 2x+ >4 5, nên x>0 nghiệm bpt + Nếu 2− ≤ ≤x ( )f x ≤ f(5)⇔ x+ +9 2x+ ≤4 nên 2− ≤ ≤x không nghiêm bpt Đối chiếu với điều kiện, suy tập nghiệm (1) T =(0;+∞ ) b) x2−2x+ −3 x2−6x+11> 3− −x x−1 (2) Điều kiện: 2 2 11 1 3 1  − + ≥  − + ≥  ⇔ ≤ ≤  − ≥   − ≥  x x x x x x x (*) Biến đổi bất phương trình: 2 2 11 ⇔ x − x+ + x− > x − x+ + −x ⇔ (x−1)2+ +2 x− >1 (3−x)2+ +2 3−x (3) Xét hàm số ( )= + +2 f t t t Ta thấy hàm số đồng biến [ ]1;3 Từ (3) ta có (f x− >1) f(3−x)⇔ − > − ⇔ >x x x Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm bất phương trình (2) T =(2;3] Loại 3: Vận dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau: a) ( ) 3 4 1 1  − − = −   − =  x y x x y b) 2 2 3 3  + + = +   + + = +  x x y y y x c) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 ln 3 ln 3 ln  + − + − + =  + − + − + =   + − + − + =  x x x x y y y y y z z z z z x Hướng dẫn giải: a) ( ) 3 4 1 1  − − = −   − =  x y x x y (I) Điều kiện: 1 0  − ≥  ≥ ⇔  ≥  ≥   x x y y Ta có (I) ( ) ( ) 2 3 4 1 1 1  − − − = −  ⇔  − =  x x x x y Từ phương trình : ( )2 3 1 1 − − − = − x x x ⇔ x− = − +1 x3 x2−2x+2 (1) Ta thấy hàm số ( )f x = x−1 hàm đồng biến [1;+∞ ) Xét hàm số ( )= − + −2 +2 (6)Đạo hàm / ( )= −3 +2 − <2 ∀ ∈ g x x x x D Suy hàm số nghich biến D Từ (1) ta thấy x=1là nghiệm phương trình nghiệm Vậy hệ có nghiệm ( )1;0 b) 2 2 3 3  + + = +   + + = +  x x y y y x (II) Điều kiện: 0 ≥   ≥  x y Ta có (II) 2 2 3 3  + + = +  ⇔  + = + +  x x y x y y Cộng vế theo vế ta có: 2 3+x +3 x+ =3 3+y +3 y+3 (2) Xét hàm số ( )= 3+ +3 +3 f t t t Miền xác định: D= +∞[1; ) Đạo hàm: / 2 ( ) 2 = + + > ∀ ∈ + t f t x D t t Suy hàm số đồng biến D Từ (*) ta có ( )f x = f y( )⇔ =x y Lúc đó: 3+x + x =3 (3) + VT (3) hàm số hàm đồng biến D + VP (3) hàm D Ta thấy x=1 nghiệm phương trình (3) (thỏa điều kiện) Suy phương trình có nghiệm x=1là nghiệm Vậy hệ có nghiệm ( )1;1 c) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 ln 3 ln 3 ln  + − + − + =  + − + − + =   + − + − + =  x x x x y y y y y z z z z z x Xét hàm số ( ) ( )= + − +3 ln − +1 f t t t t t Lúc hệ có dạng: ( ) ( ) ( ) =   =   =  f x y f y z f z x Miền xác định: =D R Đạo hàm : / 2 ( ) 3 2 − = + + > ∀ ∈ − + t f x t x R t t Suy hàm số đồng biến D Ta giả sử (x y z; ; )là nghiệm hệ x=max{x y z ,, } ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) = ≥ = ⇒ = ≥ = y f x f y z z f y f z x Vậy ≥ ≥ ≥ ⇔ = =x y z x x y z Thay vào hệ ta có : ( ) 3 ln + − + − + = (7)III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Giải phương trình sau: a) 3− +x x2 − 2+ −x x2 =1 b) x− = − +3 x3 3x2+ −x 12 c) 2x− +1 x2+ = −3 x d) 1 1 1 − − − = − − − x x e e x x e) 2m x2 +6−24x+3m =(4−m x2) +3m−6 f) tanx+2.3log tan2 x =3 g) 2 4 sin sin cos 1 sin 2 x −2 x x = x h) ( ) 2sin sin 3 x− + 3sinx−10 x− + −3 sinx=0 Bài tập 2: Giải bất phương trình sau: a) x+ x2− ≥1 b) x− +1 x2− ≥1 (x+1 3)( −x ) c) x+ ≤ −1 2x+x2−x 3 d) x+3 x− ≥ −3 x Bài tập 3: Giải hệ phương trình sau: a) 22 2 12  − = −  + + =  x y y x x xy y b) ( ) 2 4 ( 3) 4  + + − − =    + + − =  x x y y x y x c) 2 2 3 3  + + + = + +   + + + = + +  x x y y y x d) 2 2 25  =  + =  y x x y x y e) sin2 sin2 2, π − = −   + =   >  x y y x x y x y f) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 6.log 2 6.log 2 6.log  − + − =  − + − =   − + − =  x x y x y y z y z z x z g) tan tan 1 − = −   + − = − +  x y y x y x y h) ( ) 6 sin sin 10 5, 4 π π −  =   + = +    < <  x y x e y x y