Ứng dụng của tích phân tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay – Toán lớp 12

Ứng dụng của tích phân tính diện tích, thể tích, quãng đường, vận tốc cực hay – Toán lớp 12

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Dạng 1. Diện tích hình phẳng

Dạng 1.1. Tính diện tích hình phẳng

1. Phương pháp giải

Quảng cáo

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x=a; x= b được xác định

* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a; x= b được xác định

– Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

– Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x= g(y),x=h(y) và hai đường thẳng y = c; y= d được xác định:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y= x2 + x − 1 và y = x4 + x − 1 là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 + x − 1 và y = x4 + x − 1 là :

Ta có

Do đó

Quảng cáo

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 − 4|x| + 3 và trục hoành?

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Phương trình hoành độ giao điểm

Do hàm số y = x2 − 4 | x | + 3 là hàm chẵn nên diện tích quy hoạnh hình phẳng cần tính là :

Vậy

Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x2 − 1|, y = |x| + 5

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :

( Do hàm số y = | x | + 5 là hàm số chẵn )
Bảng xét dấu

Vậy

Ví dụ 4. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = √x; d:y = x − 2; Ox là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

* Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong ( C ) với đường thẳng d là : √ x = x − 2 ⇔ x = 4
* Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong ( C ) với trục hoành là : √ x = 0 ⇔ x = 0
* Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d với trục hoành là : x − 2 = 0 ⇔ x = 2
Diện tích hình phẳng cần tìm là :

Ví dụ 5. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sinx, y = cosx, x = 0; x = π là:

A. 2. B. 3. C. 3 √ 2. D. 2 √ 2 .
Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx là :

Vì x ∈ [0; π] nên
.

Ta có :

Do đó :

Dạng 1.2. Tìm tham số m để diện tích hình phẳng bằng S0

1. Phương pháp giải

+ Bước 1. Tính diện tích quy hoạnh hình phẳng ( H ) .
+ Bước 2. Lập phương trình ẩn m, giải m .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y= m.x.cosx, trục Ox, x= 0 và x = π bằng 3π. Khi đó giá trị của m là:

A. m = − 3 B. m = 3 C. m = − 4 D. ± 3 .
Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có diện tích quy hoạnh hình phẳng cần tính là :

Đặt

Khi đó



Theo giả thiết S = 3 π ⇔ r | m | = 3 π ⇔ m = ± 3 .

Quảng cáo

Ví dụ 2. Cho . Giá trị sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), y= 0; x= 0; x= 2 có diện tích bằng 4 là

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Với mọi
, xét hàm số
có
,

Mặt khác ,

Do đó

Diện tích hình phẳng là :

Theo giả thiết

Vậy

Ví dụ 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y2 = ax, x2 = ay ( a > 0) là 3. Tìm a.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Hệ phương trình tọa độ giao điểm của 2 đường cong trên là

Khi đó hình phẳng cần tìm được tạo bởi đồ thị các hàm số: và các đường thẳng x= 0; x= a (a > 0).

Diện tích hình phẳng cần tìm là :

Theo giả thiết, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong đã cho là 3 nên ta có: . Mà a > 0 nên a= 3.

Dạng 2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

1. Phương pháp giải

a. Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm a a ≤ x ≤ b. Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Thể tích của B là:

b. Thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số y= f(x) liên tục; không âm trên [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x); trục hoành và hai đường thẳng x=a; x=b quay quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích của nó là:

– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x= g(y), trục tung và hai đường thẳng y=c; y= d quay quanh trục Oy là:

– Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường y = f ( x ) ; y = g ( x ) và hai đường thẳng x = a ; x = b quay quanh trục Ox :

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y = (1 − x2); y = 0; x = 0 và x= 2 khi quay quanh trục Ox bằng:

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Thể tích khối tròn xoay được số lượng giới hạn bởi những đường y = ( 1 − x2 ) ; y = 0 ; x = 0 và x = 2 khi quay quanh trục Ox là :

Ví dụ 2. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong
, trục Ox và trục Oy. Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox là:

A. 3 π. B. 4 πln2. C. ( 3 − 4 ln2 ) π. D. ( 4 − 3 ln2 ) π .
Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Phương trình hoành độ giao điểm:

Suy ra :

Ví dụ 3. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = −y2 + 5; x = 3 − y quay quanh Oy

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Tung độ giao điểm −y2 + 5 = 3 − y ⇔ −y2 + y + 2 = 0

Vậy

Ví dụ 4. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y= lnx, y=0, x= e quay quanh trục Ox có kết quả là:

A. πe. B. π ( e − 1 ). C. π ( e − 2 ). D. π ( e + 1 ) .
Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Xét phương trình : lnx = 0, x > 0 ⇔ x = 1 .
Thể tích khối tròn xoay cần tính là :

Đặt u = ln2x

Dạng 3. Ứng dụng của tích phân để tính quãng đường, vận tốc của chuyển động.

1. Phương pháp giải

* Cho vật chuyển động có phương trình vận tốc v= v(t). Quãng đường vật đi được từ t0 đến t1 là :

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t)= 160 − 10t (m/s). Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm mà vật dừng lại là

A. 1028 m B. 1280 m C. 1380 m D. 1308 m
Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Khi vật dừng lại thì v ( t ) = 160 − 10 t ⇔ t = 16
Suy ra :

Ví dụ 2. Một chiếc ô tô chuyển động với vận tốc v(m/s), có gia tốc
. Vận tốc của ô tô sau 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị) là

A. 4,6 m / s. B. 7,2 m / s C. 1,5 m / s D. 2,2 m / s
Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Vận tốc của xe hơi sau 10 giây là :

Ví dụ 3. Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc ( theo cm2/s) là
(với t tính bằng giây).Tìm hàm vận tốc v theo t,biết rằng khi t=0 thì v=30 (cm/s)

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Do v(0) = 30, suy ra

Vậy, hàm

Ví dụ 4. Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t)= 3t +t2. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Hàm vận tốc :

Lấy mốc thời hạn lúc tăng cường => v ( 0 ) = 10 => C = 10

Ta được:

Sau 10 giây, quãng đường vật đi được là :

Ví dụ 5. Gọi h(t) (cm) là mức nước trong bồn chứa sau khi bơm được t giây. Biết rằng
và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây (chính xác đến 0,01 cm)

A. 2,67 cm B. 2,66 cm C. 2,65 cm D. 2,68 cm
Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Hàm

Lúc t = 0, bồn không chứa nước .
Suy ra

Vậy, hàm

Mức nước trong bồn sau 6 giây là

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay