Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz – Wikipedia tiếng Việt

> khác 0. Giả sử

λ

{\displaystyle \lambda }

là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

0 ≤ ‖ x − λ y ‖ 2 = ⟨ x − λ y, x − λ y ⟩ = ⟨ x, x ⟩ − λ ⟨ x, y ⟩ − λ ¯ ⟨ y, x ⟩ + | λ | 2 ⟨ y, y ⟩. { \ displaystyle 0 \ leq \ left \ | x – \ lambda y \ right \ | ^ { 2 } = \ langle x – \ lambda y, x – \ lambda y \ rangle = \ langle x, x \ rangle – \ lambda \ langle x, y \ rangle – { \ bar { \ lambda } } \ langle y, x \ rangle + | \ lambda | ^ { 2 } \ langle y, y \ rangle. }

Chọn

λ = ⟨ y, x ⟩ ⋅ ⟨ y, y ⟩ − 1 { \ displaystyle \ lambda = \ langle y, x \ rangle \ cdot \ langle y, y \ rangle ^ { – 1 } }

tất cả chúng ta được

0 ≤ ⟨ x, x ⟩ − | ⟨ x, y ⟩ | 2 ⋅ ⟨ y, y ⟩ − 1 { \ displaystyle 0 \ leq \ langle x, x \ rangle – | \ langle x, y \ rangle | ^ { 2 } \ cdot \ langle y, y \ rangle ^ { – 1 } }

mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

| ⟨ x, y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x, x ⟩ ⋅ ⟨ y, y ⟩ { \ displaystyle | \ langle x, y \ rangle | ^ { 2 } \ leq \ langle x, x \ rangle \ cdot \ langle y, y \ rangle }

hay tương tự :

| ⟨ x, y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖. { \ displaystyle { \ big | } \ langle x, y \ rangle { \ big | } \ leq \ left \ | x \ right \ | \ left \ | y \ right \ |. }

Một số trường hợp đặc biệt quan trọng đáng chú ý quan tâm[sửa|sửa mã nguồn]

• Trong trường hợp không gian Euclide Rn, bất đẳng thức này trở thành

( ∑ i = 1 n x i y i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) { \ displaystyle \ left ( \ sum _ { i = 1 } ^ { n } x_ { i } y_ { i } \ right ) ^ { 2 } \ leq \ left ( \ sum _ { i = 1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } \ right ) \ left ( \ sum _ { i = 1 } ^ { n } y_ { i } ^ { 2 } \ right ) }tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh:

|

x

⋅

y

|

=

|

x

|

|

y

|

|

cos
⁡
θ

|

≤

|

x

|

|

y

|

{\displaystyle |\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} |=|\mathbf {x} ||\mathbf {y} ||\cos \theta |\leq |\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}

Xem thêm: Hướng dẫn cách khóa ứng dụng trên iPhone bằng mật khẩu

đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng:

⟨ x, x ⟩ ⋅ ⟨ y, y ⟩ = | ⟨ x, y ⟩ | 2 + | x × y | 2. { \ displaystyle \ langle x, x \ rangle \ cdot \ langle y, y \ rangle = | \ langle x, y \ rangle | ^ { 2 } + | x \ times y | ^ { 2 }. }

Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức

• Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có

| ∫ f ( x ) g ( x ) d x | 2 ≤ ∫ | f ( x ) | 2 d x ⋅ ∫ | g ( x ) | 2 d x. { \ displaystyle \ left | \ int f ( x ) g ( x ) \, dx \ right | ^ { 2 } \ leq \ int \ left | f ( x ) \ right | ^ { 2 } \, dx \ cdot \ int \ left | g ( x ) \ right | ^ { 2 } \, dx. }

Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder .

Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng Engel

(

a

1

+

a

2

+
.
.
.
+

a

n
−
1

+

a

n

)

2

b

1

+

b

2

+
.
.
+

b

n
−
1

+

b

n

≤

a

1

2

b

1

+

a

2

2

b

2

+
.
.
.
+

a

n
−
1

2

b

n
−
1

+

a

n

2

b

n

{\displaystyle {\frac {(a_{1}+a_{2}+…+a_{n-1}+a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+..+b_{n-1}+b_{n}}}\leq {\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+…+{\frac {a_{n-1}^{2}}{b_{n-1}}}+{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}}

Một vài ứng dụng[sửa|sửa mã nguồn]

Bất đẳng thức tam giác cho tích trong thường được xem là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz như sau: cho các vector x và y,

‖ x + y ‖ 2 { \ displaystyle \ | x + y \ | ^ { 2 } }
= ⟨ x + y, x + y ⟩ { \ displaystyle = \ langle x + y, x + y \ rangle }
= ‖ x ‖ 2 + ⟨ x, y ⟩ + ⟨ y, x ⟩ + ‖ y ‖ { \ displaystyle = \ | x \ | ^ { 2 } + \ langle x, y \ rangle + \ langle y, x \ rangle + \ | y \ | }
≤ ‖ x ‖ 2 + 2 | ⟨ x, y ⟩ | + ‖ y ‖ 2 { \ displaystyle \ leq \ | x \ | ^ { 2 } + 2 | \ langle x, y \ rangle | + \ | y \ | ^ { 2 } }
≤ ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ + ‖ y ‖ 2 { \ displaystyle \ leq \ | x \ | ^ { 2 } + 2 \ | x \ | \ | y \ | + \ | y \ | ^ { 2 } }
≤ ( ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ) 2 { \ displaystyle \ leq \ left ( \ | x \ | + \ | y \ | \ right ) ^ { 2 } }

Lấy căn bậc hai hai vế ta được bất đẳng thức tam giác .

Một số dạng cơ bản[sửa|sửa mã nguồn]

Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng thường thì[sửa|sửa mã nguồn]

• (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
• Chứng minh: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² ↔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)² ↔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ↔ (ad)² – 2abcd + (bc)² ≥ 0 ↔ (ad – bc)² ≥ 0
• Dấu ” = ” xảy ra khi a c = b d { \ displaystyle { \ frac { a } { c } } = { \ frac { b } { d } } }

Để thuận tiện chứng tỏ ta thường đưa về dạng hai vecto có tọa độ trong mặt phẳng Oxy rồi vận dụng công thức như trên .

Bất đẳng thức Bunyakovsky cho 2 bộ số[sửa|sửa mã nguồn]

• Với hai bộ số ( a 1 ; a 2 ;. .. ; a n ) { \ displaystyle ( a_ { 1 } ; a_ { 2 } ; … ; a_ { n } ) }( b 1 ; b 2 ;. .. ; b n ) { \ textstyle ( b_ { 1 } ; b_ { 2 } ; … ; b_ { n } ) }

(

a

1

2

+

a

2

2

+
.
.
.
+

a

n

2

)

(

b

1

2

+

b

2

2

+
.
.
.
+

b

n

2

)

≥

(

a

1

b

1

+

a

2

b

2

+
.
.
.
+

a

n

b

n

)

2

{\displaystyle \left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+…+a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+…+b_{n}^{2}\right)\geq \left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}\right)^{2}}

• Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

  a

  1

  b

  1

  =

  a

  2

  b

  2

  =
  .
  .
  .
  =

  a

  n

  b

  n

  {\displaystyle {\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=…={\frac {a_{n}}{b_{n}}}}

  Xem thêm: 21 ứng dụng xem phim Anime Online trên điện thoại Android/iPhone Không bị Giật

  b i { \ displaystyle b_ { i } }a i { \ displaystyle a_ { i } }