Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (660.91 KB, 60 trang )
Bạn đang đọc: Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
1
MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài
Ma trận ñược ứng dụng rộng rãi trong Toán học tính toán, Vật lý, Kinh tế
và nhiều ngành khoa học khác. Trong ðại số tuyến tính, ma trận là công cụ ñể
nghiên cứu ánh xạ tuyến tính. Chính vì vậy, ma trận và ánh xạ tuyến tính có liên
hệ chặt chẽ với nhau. Khi cho hai cơ sở của hai không gian vectơ thì một ánh xạ
tuyến tính giữa hai không gian ấy cho ta một ma trận, ngược lại một ma trận xác
ñịnh một ánh xạ tuyến tính duy nhất.
Các giá trị riêng và vectơ riêng của một ánh xạ tuyến tính ñược xác ñịnh
thông qua ma trận, do ñó những không gian con bất biến ứng với những giá trị
riêng cũng ñược xác ñịnh. Các giá trị riêng và vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính
là công cụ ñể ñưa ma trận về dạng ñơn giản hơn ñó là ma trận chéo. Giá trị riêng
và chéo hóa ma trận ñược khám phá ra năm 1926 bởi Augustin Luois Cauchy
trong quá trình ông tìm ra công thức ñơn giản hơn cho ñường bậc 2. Cauchy ñã
chứng minh ñịnh lý phổ dụng cho các ma trận tự liên hợp, ví dụ như mỗi ma trận
ñối xứng ñều chéo hóa ñược.
Khi cho ma trận của một tự ñồng cấu với một cơ sở nào ñó, ta muốn tìm
cơ sở mà ñối với ma trận của tự ñồng cấu ñã cho ở dạng “ñẹp nhất” – dạng chéo
thì khi ñó ta nói rằng ma trận ñã cho chéo hóa ñược. Nếu ma trận A chéo hóa
ñược thì việc nghiên cứu các tính chất (bảo toàn quan hệ ñồng dạng) của ma trận
A dẫn ñến việc nghiên cứu các tính chất ñó trên ma trận chéo và như vậy vấn ñề
sẽ trở nên ñơn giản hơn nhiều.
Ma trận chéo là một ma trận vuông mà các phần tử bằng không ngoại trừ
các phần tử trên ñường chéo chính. Việc ñưa một ma trận về ma trận chéo gọi là
chéo hóa ma trận. Ma trận chéo có ứng dụng rất quan trọng trong việc tính các
lũy thừa của ma trận vuông, xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính ñồng thời cấp 1
với hệ số không ñổi, xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không ñổi và
một số ứng dụng khác. Thông qua ma trận chéo mà việc giải nhiều bài toán trở
nên ñơn giản hơn.
Như vậy, qua quá trình học tập và nghiên cứu, xuất phát từ nhu cầu bản
thân, nhu cầu thực tế của nhiều sinh viên, tôi ñã chọn ñề tài: “Tính chéo hóa
của ma trận và một số ứng dụng”.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
2
Thông qua việc nghiên cứu nội dung này, tôi ñã có thêm ñiều kiện ñể
củng cố các kiến thức ñã học, ñồng thời bổ sung nhiều ñiều bổ ích, rèn luyện
khả năng nghiên cứu, làm việc khoa học.
2. Mục tiêu nghiên cứu
– Mục tiêu khoa học công nghệ: ðưa ra ñiều kiện ñể một ma trận có thể chéo
hóa một ma trận và các bước ñể chéo hóa một ma trận, ứng dụng của ma trận
chéo.
– Sản phẩm khoa học công nghệ: ðề tài là tài liệu tham khảo cho các sinh viên
ngành toán trường ðại học Hùng Vương.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
– Nghiên cứu véctơ riêng, giá trị riêng, ma trận chéo, tính chéo hóa của ma trận.
– Nghiên cứu một số ứng dụng của ma trận chéo thông qua các bài toán cụ thể.
4. Phương pháp nghiên cứu
– Phương pháp nghiên cứu lý luận: ðọc giáo trình, tài liệu liên quan ñến véctơ
riêng, giá trị riêng, tính chéo hóa ñược và ứng dụng của nó.
– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, rút
ra ñược kinh nghiệm ñể giải các bài toán chéo hóa ma trận.
5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu
– ðối tượng nghiên cứu: Ma trận.
– Phạm vi nghiên cứu: Tính chéo hóa của ma trận và tập trung chủ yếu trên
trường số thực và trường số phức.
6. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở ñầu, phần phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung
của khóa luận bao gồm có 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Ma trận của một ánh xạ tuyến tính.
1.2. Ma trận nghịch ñảo.
1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới. Ma trận ñồng dạng
1.4. Vectơ riêng – Giá trị riêng
Chương 2. Tính chéo hóa của ma trận
2.1. Tính chéo hóa của ma trận
2.2. Chéo hóa ñồng thời
2.3. ða thức các tự ñồng cấu, ña thức ma trận
2.4. Một số ví dụ
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
3
Chương 3. Một số ứng dụng của ma trận chéo
3.1. Tính các lũy thừa của một ma trận vuông
3.2. Xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không ñổi
3.3. Giải một số phương trình ma trận
3.4. ðưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
4
DANH MỤC KÝ HIỆU
~
A B
: Ma trận A ñồng dạng với ma trận B.
( )
n
D K
: Tập hợp các ma trận chéo cấp n trên trường K.
( )
n
GL K
: Tập hợp các ma trận vuông cấp n khả nghịch trên trường K.
( )
L V
: Tập hợp các tự ñồng cấu của không gian vectơ V.
( )
n
M K
: Tập hợp các ma trận vuông cấp n, có các phần tử thuộc trường K.
χ
A
: ða thức ñặc trưng của ma trận vuông A.
χ
f
: ða thức ñặc trưng của ñồng cấu f.
( )
K
Sp f
: Phổ của tự ñồng cấu f hay tập hợp các giá trị riêng của ñồng cấu f.
( )
K
Sp A
: Phổ của ma trận A hay tập hợp các giá trị riêng của A.
1
(, , )
m
L e e
: Không gian vectơ sinh bởi hệ các vectơ
1
(, , )
m
e e
.
KGCR(
0
,
λ
f
): Không gian con riêng của tự ñồng cấu f liên kết với giá trị riêng
0
λ
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
5
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính,
ma trận nghịch ñảo, ma trận ñồng dạng Ngoài ra các khái niệm về vectơ riêng,
giá trị riêng và cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng cũng ñược nêu ra. ðây là
những kiến thức trọng tâm ñể chuẩn bị cho phần nội dung chính ở chương sau.
1.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
ðịnh nghĩa 1.1. Giả sử
V
và
W
là
K
– không gian vectơ với cơ sở lần lượt là
(
)
{
}
1 2
ε ε ,ε, ,ε
n
=
,
(
)
{
}
1 2
ξ ξ ,ξ, ,ξ
m
=
,
:
f V W
→
là một ánh xạ tuyến mà
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 1
(
ε ) ξ ξ ξ
(
ε ) ξ ξ ξ
(
ε ) ξ ξ ξ
m m
m m
n n n mn m
f a a a
f a a a
f a a a
= + + +
= + + +
= + + +
(1)
Ma trận
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
=
ñược gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính
f
ñối với cơ sở
(
ε)
và
(
ξ)
.
Có thể viết gọn các ñẳng thức (1) như sau:
1
(
ε ) ξ ,
m
j ij i
i
f a
=
=
∑
với mọi
{
}
1,2, ,
j n
∈
.
Chú ý: Vì
(
ξ
)
là cơ sở của
W
nên các thành phần
ij
a
ñược xác ñịnh duy nhất, do
ñó ma trận
A
ñược xác ñịnh duy nhất.
Giả sử
1 :
V
V V
→
là ñồng cấu ñồng nhất của không gian vectơ
V
và
(
)
{
}
1 2
ε ε ,ε, ,ε
n
=
là m
ột cơ sở bất kì trong
V
. Khi ñó:
1 1 2
2 1 2
1 2
1 (
ε ) ε 0ε 0ε
1 (
ε ) 0ε ε 0ε
1 (
ε ) 0ε 0ε ε
V n
V n
V n n
= + + +
= + + +
= + + +
Do
ñó ma trận của
1
V
ñối với
(
ε)
là:
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
6
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
I
ñược gọi là ma trận ñơn vị.
Ma trận
(
)
ij
I a
=
ñược gọi là ma trận ñơn vị nếu:
1,
0,
ij
khi i j
a
khi i j
=
=
≠
Nếu
V
và
W
là hai
K
-không gian vectơ
dim ,dim
V n W m
= =
thì ñồng
cấu 0 có ma trận ñối với mọi cơ sở của
V
và
W
là ma trận
O
kiểu
(, )
m n
dưới
ñây :
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
O
ñược gọi là ma trận không, tức là ma trận mà mọi thành phần ñều
bằng 0.
Kí hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ
K
-không gian vectơ
V
ñến
K
– không gian vectơ
W
là
(, ).
K
Hom V W
Sau ñây là mệnh ñề nêu lên mối liên hệ giữa
(, )
K
Hom V W
với
(, )
( )
m n
M K
Mệnh ñề 1.1. Giả sử
V
và
W
là hai
K
-không gian vectơ và
(
)
{
}
1 2
ε ε ,ε, ,ε
n
=
,
(
)
{
}
1 2
ξ ξ ,ξ, ,ξ
m
=
lần lượt là cơ sở cố ñịnh của
V
và
W
.
Khi ñó:
a, Mỗi ma trận kiểu
(, )
m n
xác ñịnh duy nhất một ánh xạ tuyến tính
:
f V W
→
b, Có một song ánh
(, )
φ
: (, ) ( ).
K m n
Hom V W M K
→
1.2. Ma trận nghịch ñảo
ðịnh nghĩa 1.2. Ma trận
( )
n
A M K
∈
ñược gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma
trận
( )
n
B M K
∈
sao cho
AB I BA
= =
.
B
ñược gọi là ma trận nghịch ñảo của
A
. Kí hiệu:
1
B A
−
=
ðịnh lí 1.2. Ma trận vuông
A
có ngh
ị
ch
ñả
o khi và ch
ỉ
khi
0.
A
≠
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
7
1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới. Ma trận ñồng dạng
Giả sử
V
là không gian vectơ
n
chiều trên trường
K
, trong ñó
{
}
1 2
α ,α, ,α
n
(1) và
{
}
1 2
α ,α, ,α (1)
n
′ ′ ′ ′
là cơ sở.
W
là không gian vectơ
m
chiều trên trường
K
, trong ñó chọn cơ sở
{
}
1 2
β ,β, ,β
m
(2) và
(
)
1 2
β ,β, ,β (2 )
m
′ ′ ′ ′
G
ọi A, B là ma trận của
f
ñối với cặp cơ sở (1), (2) và
(1),(2 )
′ ′
.
S, T là ma tr
ận chuyển cơ sở từ (1) sang
(1)
′
và (2) sang
(2 )
′
.
•
Tìm quan hệ giữa A, B, S, T.
Ta có
ij
( )
m n
A a
×
=
,
ij
( )
m n
B b
×
=
ij
( )
n
S s
=
, S không suy biến.
ij
( )
m
T t
=
, T không suy biến.
Theo gi
ả thiết
1
(
α ) β, 1,, .(3)
m
j ij i
i
f a j n
=
= =
∑
1
(
α ) β, 1, ,. (4)
m
j ij i
i
f b j n
=
′ ′
= =
∑
1
α α, 1, ,. (5)
n
j ij i
i
s j n
=
′
= =
∑
1
β β, 1, ,. (6)
m
j ij i
i
t j m
=
′
= =
∑
T
ừ (5) ta có :
1 1 1 1 1 1
(
α ) α (α ) β β (*)
n n n m n m
j ij i ij i ij ki k ki ij k
i i i k i k
f f s s f s a a s
= = = = = =
′
= = = =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
Mặt khác thay (6) vào (4):
1 1 1 1
(
α ) β β (**)
m m m m
j ij hi h hi ij h
i h i h
f b t t b
= = = =
′
= =
∑ ∑ ∑ ∑
Vì 1 vectơ biểu thị qua cơ sở là duy nhất
Từ (*) và (**) ta ñược
ij ij
1 1
n m
ki hi
i i
a s t b
= =
=
∑ ∑
, (
1,, ; 1,, ; 1, ,
k m j n h m
= = =
).
Viết dưới dạng ma trận ta có:
1
AS AS
TB B T
−
= ⇔ =
.
ðịnh lí 1.3. Giả sử
: W
f V
→
là ánh xạ tuyến tính có ma trận là A ñối với cơ sơ
(1) trong
V
và cơ sở (2) trong
W
, ngoài ra trong
V
có cơ sở
(1 )
′
và trong
W
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
8
có cơ sở
(2 )
′
, với ma trận chuyển cơ sở là S, T. Khi ñó ma trận của
f
ñối với
cơ sở
(1 )
′
,
(2 )
′
là
1
B T AS
−
=
.
ðịnh nghĩa 1.3. Hai ma trận
A
và
B
ñược gọi là ñồng dạng nếu có một ma trận
T
sao cho
1
B T AT
−
=
. Kí hiệu
~
A B
.
Hệ quả 1.4. Hai ma trận ñồng dạng khi và chỉ khi chúng là hai ma trận của
cùng một tự ñồng cấu.
1.4. Vectơ riêng – Giá trị riêng
ðịnh nghĩa 1.4. Giả sử
V
là một không gian vectơ,
:
f V V
→
là một tự ñồng
cấu. Vectơ
α 0
≠
của
V
ñược gọi là một vectơ riêng của
f
nếu tồn tại một số
k K
∈
sao cho
(
α) α
f k
=
.
Số
k
ñược gọi là giá trị riêng của
f
ứng với vectơ riêng
α
.
Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của
f
là phổ của
f
, và kí hiệu
( )
K
Sp f
.
Nếu
A
là một ma trận của tự ñồng cấu
f
thì giá trị riêng của
f
cũng
ñược gọi là giá trị riêng của ma trận
A
.
Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của
A
là phổ của
A
, kí hiệu
( )
K
Sp A
(hay
( )
Sp A
).
ðịnh nghĩa 1.5. Giả sử
:
f V V
→
là một tự ñồng cấu của không gian vectơ
V
. Không gian con
W
của
V
ñược gọi là một không gian con bất biến ñối với
f
nếu với mọi
α
W
∈
ta ñều có
(α)
f W
∈
.
Mệnh ñề 1.5. Giả sử
V
là một không gian vectơ, tập hợp gồm các vectơ
0
và
các vectơ riêng ứng với giá trị riêng
k
của tự ñồng cấu
:
f V V
→
là một
không gian con bất biến của
V
và ñược gọi là không gian riêng ứng với giá trị
riêng
k
.
ðịnh lí 1.6. Nếu
1 2
α, α, ,α
p
là những vectơ riêng tương ứng với các giá trị
riêng ñôi một phân biệt
1 2
,, ,
p
k k k
c
ủ
a t
ự
ñồ
ng c
ấ
u
f
thì chúng l
ậ
p thành m
ộ
t
h
ệ
vect
ơ
ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính.
Nhận xét: Giả sử
dim
V n
=
, B là một cơ sở của V,
( )
f L V
∈
và
( )
B
A M f
=
là
ma trận của
f
ñối với cơ sở B. Khi ñó:
i,
λ
K
∈
là một giá trị riêng của
f
khi và chỉ khi
λ
là một giá trị riêng của A.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
9
ii,
α {0}
V
∈ −
là một vectơ riêng của
f
khi và chỉ khi ma trận cột tọa ñộ của
α
ñối với cơ sở B tức là
(
α)
B
M
là một vectơ riêng của A.
iii, Các vectơ riêng của
f
ứng với giá trị riêng
λ
cùng với vectơ 0 lập nên không
gian vectơ con là
(
λ )
v
Ker f Id
−
.
ðịnh nghĩa 1.6.
Giả sử ma trận của tự ñồng cấu
:
f V V
→
ñối với cơ sở
(
)
ε
là
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
=
k
ñược gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại
1 2
,, ,
n
x x x
không ñồng thời
bằng 0 sao cho
1 1
n n
x x
A k
x x
=
⋮ ⋮
hay
1
0
( )
0
n
x
A kI
x
− =
⋮ ⋮
Nói cách khác
ij
1
n
j i
j
a x kx
=
=
∑
với mọi
{
}
1,2, ,
i n
∈
.
hay
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x kx
a x a x a x kx
a x a x a x kx
+ + + =
+ + + =
+ + + =
(1)
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
n n
n n
n n nn n
a k x a x a x
a x a k x a x
a x a x a k x
− + + + =
+ − + + =
⇔
+ + + − =
(2)
α
là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng k khi và chỉ khi tọa ñộ
1 2
(, ,, )
n
x x x
của nó là nghiệm của hệ phương trình (2).
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
10
ðịnh nghĩa 1.7. Giả sử
A
là một ma trận của tự ñồng cấu
f
. Ma trận
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a k a a
a a k a
A kI
a a a k
−
−
− =
−
ñược gọi là ma trận ñặc trưng, còn ña
thức
( 1)
n n
A kI k A
− = − + +
ñược gọi là ña thức ñặc trưng của tự ñồng cấu
f
.
Kí hiệu:
χ
A
là ña thức ñặc trưng của
A
.
CÁCH TÌM VECTƠ RIÊNG
Tìm nghiệm của ña thức ñặc trưng, tức là nghiệm của phương trình
11 12 1
21 22 2
1 2
0(*)
n
n
n n nn
a k a a
a a k a
D
a a a k
−
−
= =
−
ñó là các giá trị riêng.
Thay mỗi giá trị riêng tìm ñược vào vị trí của
k
trong hệ
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) 0
( ) 0
( ) 0
n n
n n
n n nn n
a k x a x a x
a x a k x a x
a x a x a k x
− + + + =
+ − + + =
+ + + − =
(**)
rồi giải hệ này. Mỗi nghiệm riêng của hệ là tọa ñộ của một vectơ riêng ứng với
giá trị riêng ấy. Không gian nghiệm của hệ (**) xác ñịnh không gian riêng ứng
với giá trị riêng vừa chọn.
Ví dụ 1.1. Cho phép biến ñổi tuyến tính
3 3
:f →
ℝ ℝ
có ma trận ñối với cơ sở
chính tắc là
1 2 2
1 0 3
1 3 0
A
−
=
Tìm các giá trị riêng của
f
và ứng với mỗi giá trị riêng tìm một vectơ
riêng. Tìm các không gian con bất biến của
f
.
Giải. Giải phương trình
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
11
1 2 2
1 3 0
1 3
k
k
k
− −
− =
−
hay
2
( 3)( 4 3) 0
k k k
+ − + =
Ta ñược
1 2 3
3, 1, 3.
k k k
= − = =
Với
1
3
k
= −
, hệ phương trình (**) là hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(1 ( 3)) 2 2 0
(0 ( 3)) 3 0
3 (0 ( 3)) 0
x x x
x x x
x x x
− − + − =
+ − − + =
+ + − − =
hay
1 2 3
1 2 3
4 2 2 0
3 3 0
x x x
x x x
+ − =
+ + =
Giải hệ này ñược nghiệm tổng quát là
6 7
(, , )
5 5
c c c
−
.
Cho
5
c
=
ta ñược một nghiệm riêng
1
α (6, 7,5)
= −
.
Không gian bất biến gồm tất cả các vectơ có dạng
6 7
(, , )
5 5
c c c
−
hay
(6, 7,5)
5
c
−
. ðó là không gian sinh bởi
1
α
.
Với
2
1
k
=
, giải hệ
2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 0
3 0
3 0
x x
x x x
x x x
− =
− + =
+ − =
ta ñược nghiệm tổng quát
(
)
2, ,
c c c
−
.
Cho
1
c
=
, ñược một nghiệm riêng
2
α
( 2,1,1)
= −
.
Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng
2
( 2,1,1)
α
c c
− =
.
Vậy không gian bất biến này sinh bởi
2
α
.
Với
3
3
k
=
, giải hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 2 0
3 3 0
3 3 0
x x x
x x x
x x x
− + − =
− + =
+ − =
ta ñược nghiệm tổng quát:
(
)
0, ,
c c
.
Cho
1
c
=
, ñược một vectơ riêng ứng với
3
3
k
=
là
3
α
(0,1,1)
=
.
Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng
3
(0,, ) (0,1,1)
α
c c c c
= =
. Vậy không gian bất biến này sinh bởi
3
α
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
12
Vì ba vectơ riêng
1
α
,
2
α
,
3
α
tương ứng với ba giá trị riêng phân biệt nên
theo ñịnh lí 3 chương 1, chúng ñộc lập tuyến tính. Vì
3
dim 3
=
ℝ
nên chúng tạo
thành một cơ sở của
3
ℝ
.
Ví dụ 1.2. Cho một tự ñồng cấu
3 3
:f →
ℝ ℝ
có ma trận ñối với cơ sở chính tắc
là
1 4 8
4 7 4
8 4 1
B
− −
= − −
− −
Tìm các giá trị riêng và với mỗi không gian con riêng tìm một cơ sở.
Giải. Giải phương trình
1 4 8
4 7 4 0
8 4 1
k
k
k
− − −
− − − =
− − −
hay
2
( 9) ( 9) 0
k k
− + =
ta ñược:
1 2 3
9, 9.
k k k
= − = =
Với
1
9
k
= −
, giải hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
10 4 8 0
4 16 4 0
8 4 10 0
x x x
x x x
x x x
− − =
− + − =
− − + =
Ta
ñược nghiệm tổng quát :
(
)
2, ,2
c c c
. Vì hạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình b
ằ
ng 2 nên không gian riêng
1
W
t
ươ
ng
ứ
ng (t
ứ
c là không gian
nghi
ệ
m) có
3
1
dim dim 2 1
W
= − =
ℝ
. Do
ñ
ó m
ộ
t vect
ơ
riêng b
ấ
t kì là m
ộ
t c
ơ
s
ở
,
ch
ẳ
ng h
ạ
n, v
ớ
i
1
c
=
,
α
(2,1,2)
=
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
.
V
ớ
i
2 3
9
k k
= =
, gi
ả
i h
ệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
8 4 8 0
4 2 4 0
8 4 8 0
x x x
x x x
x x x
− − − =
− − − =
− − − =
hay
1 2 3
2 2 0
x x x
+ + =
Ta
ñượ
c nghi
ệ
m t
ổ
ng quát:
(
)
1 1 3 3
, 2 2 ,
c c c c
− −
. H
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình này b
ằ
ng 1 nên không gian riêng t
ươ
ng
ứ
ng
2
W
(không gian
nghi
ệ
m) có
3
2
dim dim 1 2
W
= − =
ℝ
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
13
Một cơ sở của nó là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình.
Với
1 3
1, 0
c c
= =
ta có nghiệm riêng
(
)
1
β 1, 2,0
= −
, với
1 3
0, 1
c c
= =
ta có
nghiệm riêng
(
)
2
β 0, 2,1
= −
. Hệ vectơ
{
}
1 2
β ,β
là m
ột cơ sở của
2
W
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
14
Chương 2
TÍNH CHÉO HÓA CỦA MA TRẬN
Chương này trình bày nội dung chính của ñề tài. Phần mở ñầu là một số
khái niệm về ma trận ñường chéo, ma trận chéo hóa ñược. Tiếp theo ñó là ñiều
kiện chéo hóa một ma trận và các bước cơ bản ñể chéo hóa một ma trận. Ngoài
ra, chéo hóa các ma trận ñối xứng và chéo hóa ñồng thời của một họ giao hoán
các ma trận ñối xứng cũng ñược ñề cập ñến ở ñây. Cuối cùng là phần trình bày
về ña thức của tự ñồng cấu, ña thức của ma trận ñể nêu lên ñiều kiện cần và ñủ
ñể một ma trận chéo hóa ñược. Sau khi trình bày một vấn ñề thường có một vài
ví dụ minh họa cụ thể cho vấn ñề ñó.
2.1. Tính chéo hóa của ma trận
ðịnh nghĩa 2.1. Một ma trận vuông
( )
ij
A a
=
thuộ
c
( )
n
M K
g
ọ
i là
ma trận
ñường chéo
khi và ch
ỉ
khi
11
22
0 0
0 0
0 0
nn
a
a
A
a
=
,
(( ) 0, )
ij
a khi i j
= ≠
.
T
ậ
p h
ợ
p các ma tr
ậ
n
ñườ
ng chéo c
ấ
p
n
v
ớ
i h
ệ
t
ử
trong
K
là
( )
n
D K
.
ðịnh nghĩa 2.2. Một ma trận vuông ñược gọi là chéo hóa ñược nếu nó ñồng
dạng với một ma trận chéo.
Ví dụ 2.1. Ma trận
8 5
10 7
A
−
=
−
chéo hóa ñược. Thật vậy, với
1 1
2 1
T
−
=
−
và
2 0
0 3
B
−
=
ta có:
1
1 1
2 1
T
−
− −
=
− −
. Ta có
1
B T AT
−
=
nên
~
A B
.
2.1.1. ðiều kiện ñể một ma trận chéo hóa ñược
ðịnh lí 2.1. Một ma trận vuông chéo hóa ñược khi và chỉ khi nó là ma trận của
một tự ñồng cấu có một hệ vectơ riêng là cơ sở của không gian.
Chứng minh
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
15
Coi
A
như ma trận của một tự ñồng cấu
:
f V V
→
ñối với cơ sở
(
ε)
.
A là ma trận vuông chéo hóa ñược khi và chỉ khi có một ma trận
T
sao
cho
1
1
1
0 0
0 0
0 0
n
k
k
T AT B
k
−
= =
ðiều này xảy ra khi và chỉ khi
B
là ma trận của
f
ñối với một cơ sở
(
ε )
′
mà
(
ε ) ε
j j j
f k
′ ′
=
, với mọi
{
}
1,2, ,
j n
∈
, nghĩa là (
ε )
′
là một cơ sở gồm những
vectơ riêng.
Hệ quả 2.2. Nếu
A
là ma trận vuông cấp
n
mà ña thức ñặc trưng
A kI
−
có
n
nghiệm phân biệt thì
A
chéo hóa ñược.
ðịnh lí 2.3. Giả sử
A
là một ma trận vuông cấp
n
;
1 2
,, ,
p
k k k
là các nghi
ệ
m
c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
ñặ
c tr
ư
ng
A kI
−
,
i
m
là b
ộ
i s
ố
c
ủ
a nghi
ệ
m
i
k
, v
ớ
i
1 2
{1,2,, },
p
i p m m m n
∈ + + + =
, t
ứ
c là:
1 2
1 2
det( ) ( 1) ( ) ( ) ( )
p
m
m mn
p
A kI k k k k k k
− = − − − −
và h
ạ
ng
( )
i i
A k I n m
− = −
. Khi
ñ
ó
A
chéo hóa
ñượ
c
.
Chứng minh
Giả sử
A
là một ma trận của một tự ñồng cấu
:
n n
f →
ℝ ℝ
ñối với cơ sở
chính tắc. Gọi
i
W
là không gian con riêng ứng với giá trị riêng
i
k
. Vì hạng
( )
i i
A k I n m
− = −
nên
1
dim ( )
i i
W n n m m
= − − =
.
Với mỗi
{1,2,, }
i p
∈
, ta chọn một cơ sở
{
}
1 2
ξ ,ξ, ,ξ
i
i i im
của
i
W
. Hệ
vectơ
{
}
2
11 12 1 21 22 2 1 2
ξ ,ξ, ,ξ ,ξ ,ξ, ,ξ, ,ξ ,ξ, ,ξ
i p
m m p p pm
(1).
ñộc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử
1 2 2
11 11 1 1 21 21 2 2 1 1 2 2
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 0
i p p
m m m m p p p p pm pm
r r r r r r r
+ + + + + + + + + + =
. (2)
ðặt
1 1 2 2
α ξ ξ
ξ
i i
i i i i i im im
r r r= + + +
, với mọi
{1,2,, }
i p
∈
, (2) trở thành:
1 1
α α
α
0
p
+ + + =
(3)
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
16
Vì
α
i i
W
∈
nên nó là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
i
k
. Nhưng các
i
k
là
những giá trị riêng ñôi một phân biệt của
f
.Ta có hệ vectơ
1 2
{
α, α, ,α }
p
ñộc
lập tuyến tính. Từ (3) suy ra
1 1 2 2
α ξ ξ ξ 0
i i
i i i i i im im
r r r
= + + + =
.
Theo cách chọn, hệ
{
}
\
1 2
ξ ,ξ, ,ξ
i
i i im
ñộc lập tuyến tính. Do ñó các hệ
0
ij
r
=
, với mỗi
{1,2,, }
i p
∈
và
{1,2,, }
j
j m
∈
. Vì
dim
n
n
=
ℝ
và hệ (1) gồm
n
vectơ riêng ñộc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của
n
ℝ
. Vậy
A
chéo hóa
ñược.
Ví dụ 2.2. Cho ma trận vuông cấp 2 thực hay phức
a b
A
c d
=
Tìm ñiều kiện cần và ñủ về các phần tử
,, ,
a b c d
ñể ma trận
A
chéo hóa ñược?
Giải. ða thức ñặc trưng của ma trận
A
2
2
( )
a k b
A kI k a d k ac bd
c d k
−
− = = − + + −
−
(
)
(
)
2
4
a d ad bc
∆ = + − −
Trường hợp 1.
A
là ma trận thực
+ Nếu
0
∆ >
thì
A
có 2 giá trị riêng phân biệt nên
A
chéo hóa ñược
+ Nếu
0
∆ =
thì
A
có một giá trị riêng duy nhất
0
k
. ðể
A
chéo hóa ñược thì
A
phải có 2 giá trị riêng ñộc lập tuyến tính
(
)
(
)
1 1 2 2 1 2
α, ; α ,
x x y y
= =
1 2
1 2
0
x x
y y
≠
. Khi ñó ta có
(
)
( )
(
)
( )
0 1 2 1 0 2
0 1 2 1 0 2
0 0
;
0 0
a k x bx cx d k x
a k y by cy d k y
− + = + − =
− + = + − =
Hai h
ệ
ph
ươ
ng trình trên có
1 2
1 2
0
x x
y y
≠
nên
0
0
a k b
− = =
và
0
0
c d k
= − =
, hay
0 0
;
0 0
a k d k
b c
= =
= =
Suy ra
a d
=
và
0
b c
= =
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
17
Từ những ñiều trên ta suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñể ma trận thực
A
chéo hóa
ñược là hoặc
0
∆ >
hoặc
a d
=
và
0
b c
= =
.
Trường hợp 2.
A
là ma trận phức
Tương tự như trường hợp thực ta suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñể ma trận phức
A
chéo hóa ñược là hoặc
0
∆ ≠
hoặc
a d
=
và
0
b c
= =
.
Ví dụ 2.3. Chứng minh rằng ma trận vuông
A
giao hoán ñược với tất cả các ma
trận vuông cùng cấp thì chéo hóa ñược.
Giải. Gọi
B
là ma trận vuông cấp
n
:
1
2
ij
α 0 0
0 α 0
( ) ,
α α
0 0 α
i j
n
B b
= = ≠
với mọi
i j
≠
và
ij
( )
A a
=
. Ta có
ij
( )
AB c
=
,
ij
( )
BA d
=
. Khi ñó
1
. .
α
n
ij ik kj ij jj ij j
k
c a b a b a
=
= = =
∑
1
.
α
n
ij ik kj ii ij i ij
k
d b a b a a
=
= = =
∑
Vì
AB BA
=
nên ta có với mọi
i j
≠
thì
.
α α (α α ) 0 0
ij j i ij ij i j ij
a a a a
= ⇔ − = ⇔ =
V
ậy ma trận
A
có dạng chéo.
2.1.2. Các bước chéo hóa ma trận.
Bước 1. Tìm các giá trị riêng của ma trận
A
(Tức là nghiệm của phương
trình ñặc trưng)
Bước 2. ðối với mỗi giá trị riêng, ta tìm cơ sở (gồm toàn vectơ riêng) của
không gian con riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương trình
( ) 0
A kI x
− =
.
Bước 3. Lấy tất cả các cơ sở tìm ñược ở bước 2, nếu ñủ làm cơ sở của
E
,
thì chéo hóa ñược và ma trận dạng chéo gồm các giá trị riêng.
Lưu ý: Trong trường hợp
K
=
ℝ
, ta có thể trình bày cụ thể hơn như sau:
Bước 1. Tính các ña thức ñặc trưng và tìm nghiệm của nó.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
18
Nếu ña thức có một nhân tử là tam thức bậc hai vô nghiệm thì kết luận
không chéo hóa ñược và dừng lại, ngược lại thực hiện bước 2.
Bước 2. Phân tích ña thức ñặc trưng thành dạng
1 2
1 2
det( ) ( 1) ( ) ( ) ( )
p
m
m mn
p
A kI k k k k k k− = − − − −
Bước 3. Lần lượt với mỗi
λ
i
, ta tìm ñược một cơ sở của không gian riêng
ứng với giá trị riêng này bằng cách giải hệ phương trình:
( ) 0
i
A k I x
− =
và chú ý rằng, số chiều của không gian con riêng là
( )
i i
s n rank A k I
= − −
, nếu
thấy
i i
s m
S
và
1
S AS
−
là ma trận
có dạng ñường chéo.
Ví dụ 2.4. Cho ma trận
1 2 2
1 0 3
1 3 0
A
−
=
a) Chéo hóa ma trận.
b) Giả sử ma trận chéo vừa tìm ñược là
B
. Hãy tìm ma trận
T
ñể
1
B T AT
−
=
.
Giải. Ở ví dụ 1.1 mục 1.4, ta ñã thấy, nếu coi
A
như ma trận của tự ñồng cấu
f
của
3
ℝ
ñối với cơ sở chính tắc thì
f
có ba giá trị riêng phân biệt là
1 2 3
3, 1, 3.
k k k
= − = =
Các vectơ riêng tương ứng là :
1
α (6, 7,5)
= −
,
2
α ( 2,1,1)
= −
,
3
α (0,1,1)
=
lập thành một cơ sở của
3
ℝ
. Do ñó, ta có
3 0 0
~ 0 1 0
0 0 3
A B
−
=
Gọi
T
là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của
3
ℝ
sang cơ sở
{
}
1 2 3
α ,α ,α
.
Vì
1 1 2 3
2 1 2 3
3 2 3
α 6ε 7ε 5ε
α 2ε ε ε
α ε ε
= − +
= − + +
= +
nên ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở
{
}
1 2 3
α ,α ,α
là
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
19
6 2 0
7 1 1
5 1 1
T
−
= −
Vậy
1
B T AT
−
=
.
Ví dụ 2.5. Chéo hóa ma trận
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A
−
= −
−
Giải. ða thức ñặc trưng của
A
2
3
1 1 1
det( ) 1 1 1 (1 )( 2)
1 1 1
k
A kI k k k
k
− −
− = − − = − +
− −
ða thức ñặc trưng có nghiệm
1 2
1, 2
k k
= = −
(kép).
Với
1
1
k
=
, giải hệ
1 2 3
1 3 1 3
1 2 3
1 2 1 2
1 2 3
2 0
0
2 0
0
2 0
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
− + + =
− + = =
− + = ⇔ ⇔
− = =
+ − =
Nghiệm tổng quát
(, , )
a a a
,
a
∈
ℝ
,không gian riêng
1
W
tương ứng gồm
các vectơ có dạng
(, , )
a a a
hay
1
W
sinh bởi vectơ
1
α
(1,1,1)
=
.
Với
2
2
k
= −
, giải hệ
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
0
0 0
0
x x x
x x x x x x
x x x
+ + =
+ + = ⇔ + + =
+ + =
Nghiệm tổng quát
(, , )
a b a b
− −
,
,
a b
∈
ℝ
,không gian riêng
1
W
tương ứng
gồm các vectơ có dạng
(, , )
a b a b
− −
hay
1
W
sinh bởi vectơ
1 2
α ( 1,1, 0),α ( 1, 0, 1)
= − = −
Ma trận chuyển cơ sở
1 1 1
1 1 0
1 0 1
T
− −
=
và
1
1 0 0
0 2 0
0 0 2
T AT
−
= −
−
Bây giờ ta xét trường hợp ña thức ñặc trưng của ma trận
A
có nghiệm
bội. Chẳng hạn:
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
20
1 2 5
0 2 4
1 0 1
A
=
.
ða thức ñặc trưng
3 2 2
1 2 5
0 2 4 4 ( 4)
1 0 1
k
A kI k k k k k
k
−
− = − = − + = − −
−
phương trình
2
( 4) 0
k k
− − =
có nghiệm ñơn
1
4
k
=
, nghiệm kép
2 3
0
k k
= =
.
Với
1
4
k
=
, không gian riêng
1
W
tương ứng gồm các vectơ có dạng
(3 ,2, )
c c c
hay
1
W
sinh bởi vectơ
(3,2,1)
. Do ñó
1
dim 1
W
=
.
Với
2 3
0
k k
= =
, không gian riêng
2
W
tương ứng gồm các vectơ có dạng
( ,2, )
c c c
−
hay
(1, 2, 1)
c
−
, tức là
2
W
sinh bởi vectơ
(1, 2, 1)
−
và
2
dim 1
W
=
.
Vì
A
chỉ có hai giá trị riêng
0; 4
k k
= =
nên nếu
A
chéo hóa ñược thì
A
ñồng dạng với ma trận có dạng
0 0 0
0 0 0
0 0 4
B
=
hoặc
0 0 0
0 4 0
0 0 4
C
=
Nếu
A
ñồng dạng với
B
thì
3
ℝ
có một cơ sở
{
}
1 2 3
ξ ,ξ ,ξ
sao cho
1 2
(
ξ ) 0 (ξ )
f f= =
. Suy ra
1 2
ξ ,ξ
thuộc không gian riêng
2
W
. Nhưng hai vectơ
này ñộc lập tuyến tính. Trái với nhận xét trên rằng
2
dim 1
W
=
.
Nếu
A
ñồng dạng với
C
thì xét tương tự như
A
ñồng dạng với
B
. Vậy
A
không chéo hóa ñược.
Tóm lại, nếu số bội của nghiệm riêng lớn hơn số chiều của không gian
riêng tương ứng thì ma trận không chéo hóa ñược.
2.1.3. Vấn ñề chéo hóa ma trận ñối xứng
ðịnh nghĩa 2.3. Một ma trận vuông
A
thuộc
( )
n
M K
ñược gọi là ma trận ñối
xứng (ma trận phản ñối xứng) khi và chỉ khi
( )
t t
A A A A
= = −
. T
ậ
p h
ợ
p các
ma tr
ậ
n
ñố
i x
ứ
ng (ma tr
ậ
n ph
ả
n
ñố
i x
ứ
ng) c
ấ
p
n
v
ớ
i h
ệ
t
ử
trong
K
ñượ
c kí hi
ệ
u
là
( ) ( ( ))
n n
S K A K
.
ðịnh nghĩa 2.4.
M
ộ
t t
ự
ñồ
ng c
ấ
u
f
c
ủ
a không gian véc t
ơ
Ơ
-c
ơ
-lít
E
ñượ
c g
ọ
i
là
trực giao
khi và ch
ỉ
khi
f
b
ả
o toàn tích vô h
ướ
ng, t
ứ
c là
2
(, ), ( ). ( ) .
x y E f x f y x y
∀ ∈ =
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
21
ðịnh nghĩa 2.5. Ma trận
P
thuộc
( )
n
M
ℝ
ñược gọi là trực giao khi và chỉ khi
tự ñồng cấu của
n
ℝ
, biểu diễn bởi
P
trong cơ sở chính tắc của
n
ℝ
, là một tự
ñồng cấu trực giao của
n
ℝ
ñược trang bị tích vô hướng thông thường.
Ta kí hiệu
( )
n
O
ℝ
là tập các ma trận trực giao của
( )
n
M
ℝ
.
ðịnh lí 2.4.
1). Giả sử
E
là một không gian véc tơ Ơ-cơ-lít, f là một tự ñồng cấu ñối
xứng của E. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn của E trong ñó ma trận của f là ma
trận chéo.
2) Với mọi ma trận
( )
n
S S
∈
ℝ
, luôn tồn tại
( )
n
P O
∈
ℝ
và
( )
n
D D
∈
ℝ
sao
cho
1
S PDP
−
=
.
Chứng minh. Rõ ràng 2) là dạng ma trận của 1). Ta ñi chứng minh quy nạo theo
n
, với
dim( )
n E
=
.
Tính chất là hiển nhiên với
1
n
=
. Ta giả sử tính chất ñó ñúng với một số
nguyên
*
n
∈
ℕ
và giả sử
E
là một không gian véc tơ Ơ-cơ-lít có số chiều là
1
n
+
,
f
là tự ñồng cấu ñối xứng của
E
,
B
là một cơ sở trực chuẩn của
E
,
( )
B
A Mat f
=
. Phân tích
A
theo khối
α
t
C
A
C B
=
, trong ñó
,1
α, ( ), ( )
n n
C M B S
∈ ∈ ∈
ℝ ℝ ℝ
Theo giả thiết quy nạp, tồn tại
( )
n
P O
∈
ℝ
,
( )
n
D D
∈
ℝ
sao cho
1
B PDP
−
=
.
Kí hiệu
1 0
0
U
P
=
, rõ ràng
U
là trực giao và
1
1
1 0
0
U
P
−
−
=
. Ta có
1
1
α
t
C P
U AU
P C D
−
−
=
Ta kí hiệu
1
G P C
−
=
và
1
α
t
G
A U AU
G D
−
= =
′
′′
′
.
1). Ta ñi chứng minh
A
′
′′
′
có ít nhất một giá trị riêng và một véc tơ riêng.
Giả sử
1,1
λ, ( )
n
V M
+
∈ ∈
ℝ ℝ
. Phân tích
V
theo khối:
x
V
X
=
với
x
∈
ℝ
và
1,1
( )
n
X M
+
∈
ℝ
, ta có
α α λ
λ λ
λ
t t
x x
G x G X x
AV V
X X
G D xG DX X
+ =
= ⇔ = ⇔
+ =
′
′′
′
Giả sử
λ ( )
Sp D
∉
ℝ
, vậy thì
λ
n
D I
−
khả nghịch và do vậy
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
22
( )
( )
1
1
λ
λ
α λ λ
n
t
n
X x D I G
AV V
x xG D I G x
−
−
= − −
= ⇔
− − =
′
′′
′
Kí hiệu
1
n
g
G
g
=
⋮
,
(
)
1
, ,
n
D diag d d
=
ta có
( )
2
1
1
λ λ α λ α
λ
n
t
i
n
i
i
g
G D I G
d
−
=
− + = ⇔ + =
−
∑
N
ế
u
0
G
=
thì rõ ràng ta có th
ể
ch
ọ
n
λ α, 1, 0
x X
= = =
.
Gi
ả
s
ử
0
G
≠
, ta có th
ể
gi
ả
thi
ế
t
1
n
d d
≥ ≥
.
+ N
ế
u
1
0
g
≠
thì ánh x
ạ
( )
2
1
1
φ :, , λ λ
λ
n
i
i
i
g
d
d
=
+ ∞ → +
−
∑
ℝ ֏
liên t
ụ
c trên
(
)
1
,d
+ ∞
và
1
2
λ
1
lim λ
λ
n
i
d
i
i
g
d
+
→
=
+ = −∞
−
∑
,
2
λ
1
lim λ
λ
n
i
i
i
g
d
→+∞
=
+ = +∞
−
∑
nên theo
ñị
nh
lí giá tr
ị
trung gian, t
ồ
n t
ạ
i
(
)
0 1
λ
,d
∈ + ∞
sao cho
(
)
0
φ λ α
=
.
+ N
ế
u
1
0
g
=
thì l
ậ
p lu
ậ
n này v
ẫ
n
ñượ
c áp d
ụ
ng
ñượ
c b
ằ
ng vi
ệ
c thay th
ế
1
d
b
ằ
ng
r
d
, trong
ñ
ó
{
}
{
}
min 1,, ; 0
i
r i n g
= ∈ ≠
.
Ta
ñ
ã ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
f
có ít nh
ấ
t m
ộ
t giá tr
ị
riêng và m
ộ
t véc t
ơ
riêng
th
ự
c.
2). Ta kí hi
ệ
u
0
x
là m
ộ
t véc t
ơ
riêng c
ủ
a
f
. Trong m
ộ
t c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu
ẩ
n c
ủ
a
E
b
ắ
t
ñầ
u b
ở
i
0
0
x
x
, ma tr
ậ
n c
ủ
a
f
có d
ạ
ng
0
λ 0
0
S
, trong
ñ
ó
0
λ, ( )
n
S S
∈ ∈
ℝ ℝ
.
Theo gi
ả
thi
ế
t quy n
ạ
p, t
ồ
n t
ạ
i
1
( )
n
P O
∈
ℝ
,
1
( )
n
D D
∈
ℝ
sao cho
1
1 1 1
S PD P
−
=
. Kí
hi
ệ
u
2
1
1 0
0
P
P
=
và
0
2
1
λ 0
0
D
D
=
thì ta th
ấ
y
2 1
( )
n
P O
+
∈
ℝ
,
2 1
( )
n
D D
+
∈
ℝ
và
0
1
2 2 2
λ 0
0
P D P
S
−
=
.
ð
i
ề
u này ch
ứ
ng t
ỏ
t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu
ẩ
n c
ủ
a
E
sao
cho ma tr
ậ
n c
ủ
a
f
là ma tr
ậ
n chéo.
□
ðị
nh lí trên
ñ
ây kh
ẳ
ng
ñị
nh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i ma tr
ậ
n
ñố
i x
ứ
ng th
ự
c
( )
n
S S
∈
ℝ
thì luôn chéo hóa
ñượ
c, t
ứ
c là luôn t
ồ
n t
ạ
i
( )
n
P O
∈
ℝ
và
( )
n
D D
∈
ℝ
sao cho
1
S PDP
−
=
.
Còn ma tr
ậ
n
ñố
i x
ứ
ng trên tr
ườ
ng s
ố
ph
ứ
c thì sao? Câu tr
ả
l
ờ
i là không. Ví d
ụ
sau
ñ
ây s
ẽ
làm sáng t
ỏ
ñ
i
ề
u
ñ
ó.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
23
Ví dụ 2.6. Cho
( )
2
0
2
i
A S
i
= ∈
ℂ
. Ta sẽ chứng minh rằng ma trận
A
không
chéo hóa ñược. Thật vậy ta có
( )
2
2
1
2
k i
A kI k
i k
−
− = = −
−
Giả sử ma trận
A
chéo hóa ñược, khi ñó tồn tại
2
( )
P O
∈
ℂ
sao cho
1 1
1 0 1 0
0 1 0 1
A P P PP
− −
= = =
. ðiều này mâu thuẫn.
2.2. Chéo hóa ñồng thời
ðịnh lí 2.5
.
Cho
*
n
∈
ℕ
,
E
là một
K
– không gian véc tơ hữu hạn chiều với số
chiều
n
,
I
là một tập khác rỗng.
( )
i i I
f
∈
là một họ các ñồng cấu chéo hóa ñược
của
E
và giao hoán từng ñôi, nghĩa là:
2
(, ) ,
i j j i
i j I f f f f
∀ ∈ =
Tồn tại một cơ sở của
E
trong ñó các ma trận của
i
f
ñều là chéo, ta nói
rằng các
i
f
chéo hóa ñược ñồng thời. ðặc biệt, nếu hai ma trận chéo hóa ñược
mà giao hoán thì chúng chéo hóa ñồng thời ñược.
Chứng minh. Với
1
n
=
, tính chất này ñược suy ra từ phần 2.1. Giả sử nó ñúng
với mọi
{1, ,n}
p
∈
và giả
E
là một
K
– KGVT hữu hạn chiều với số chiều
1
n
+
,
I
là một tập khác rỗng,
( )
i i I
f
∈
là một họ các ñồng cấu chéo hóa ñược của
E
và giao hoán từng ñôi một.
Dễ dàng khảo sát trong từng trường hợp tất cả
i
f
là các phép vị tự.
Giả sử tồn tại
o
i I
∈
sao cho
0
i
f
không phải là một phép vị tự.
Kí hiệu
{
}
0
1
λ, ,λ ( )
r K i
Sp f
=
và
0
( ,
λ )
k i k
E KGCR f
=
với
1
k r
≤ ≤
. Vì
0
i
f
không phải là một phép vị tự và
0
i
f
chéo hóa ñược, ta có:
2
r
≥
, vậy
{
}
1,, ,1 dim( )
k
k r E n
∈ ≤ ≤
.
Cho
i I
∈
,
{1, ,r}
k
∈
, chứng minh rằng
k
E
ổn ñịnh ñối với
i
f
. Giả sử
k
x E
∈
, ta có:
0 0 0
( ( )) ( )( ) ( )( ) (
λ ) λ ( )
i i i i i i i k k i
f f x f f x f f x f x f x
= = = =
,
Vậy
( )
i k
f x E
∈
.
Kí hiệu
,
i k
f
là tự ñồng cấu cảm sinh bởi
i
f
trên
k
E
, với
i I
∈
và
{1, ,r}
k
∈
.
Cho
{1, ,r}
k
∈
:
• Với m ỗi
i I
∈
,
i
f
chéo hóa ñược nên
,
i k
f
chéo hóa ñược.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
24
• Các
,
( )( )
i k
f i I
∈
ñ
ôi m
ộ
t giao hoán vì các
i
f
ñ
ôi m
ộ
t giao hoán.
V
ậ
y ta có th
ể
áp d
ụ
ng gi
ả
thi
ế
t quy n
ạ
p cho h
ọ
, ( )
( )
i k i I
f
∈
. T
ồ
n t
ạ
i c
ơ
s
ở
k
B
thu
ộ
c
k
E
sao cho :
, dim( )
, ( ) ( )
k k
B i k E
i I Mat f D K
∀ ∈ ∈
.
Khi
ñ
ó
1
r
B B B
= ∪ ∪
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
E
và
,1
( 1)
,
( ) 0
, ( ) ( )
0 ( )
r
k
r
B i
B i n
B i r
Mat f
i I Mat f D K
Mat f
+
∀ ∈ = ∈
⋱
.
Chéo hóa ñồng thời của một họ giao hoán các ma trận ñối xứng
ðịnh lí 2.6. Cho một tập không rỗng
I
,
(
)
i
i I
S
∈
là một họ phần tử giao hoán
từng ñôi một của
( )
n
S
ℝ
. Khi ñó tồn tại
( )
n
P O
∈
ℝ
sao cho
1
, ( )
i n
i I P S P D
−
∀ ∈ ∈
ℝ
Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo
n
.
Với
1
n
=
, ñịnh lí 2.4 ñã chỉ ra.
Giả sử tính chất trên ñúng với mọi
p
thuộc
*
ℕ
sao cho
p n
<
và
I
là một
tập hợp không rỗng,
(
)
i
i I
S
∈
là một họ phần tử thuộc
( )
n
S
ℝ
ñôi một giao hoán.
Trường hợp
α
i n
S I
=
, với
α
∀ ∈
ℝ
và
i I
∀ ∈
là tầm thường. Giả sử tồn tại
0
i I
∈
sao cho
0
α
i n
S I
≠
,
α
∀ ∈
ℝ
. Theo ñịnh lí 2.4, tồn tại
( )
n
P O
∈
ℝ
và
( )
n
D D
∈
ℝ
sao cho
0
1
i
S PDP
−
=. Vì
0
α
i n
S I
≠
nên các phần tử trên ñường chéo
chính của
D
không bằng nhau. Vậy ta có thể giả thiết
0
λ 0
0
r
I
D
D
=
′
′′
′
, trong ñó
0
λ
∈
ℝ
,
{
}
1,, 1
r n
∈ −
,
(
)
n r
D D
−
∈
ℝ
′
′′
′
v
ớ
i các ph
ầ
n t
ử
chéo khác
0
λ
. V
ớ
i m
ỗ
i
i I
∈
, phân tích
1
i
P S P
−
theo kh
ố
i:
1
i i
i
t
i i
A B
P S P
B C
−
=
, trong
ñ
ó
(
)
i r
A S
∈
ℝ
,
(
)
,
i r n r
B M
−
∈
ℝ
,
(
)
i n r
C S
−
∈
ℝ
.
Vì
(
)
i
i I
S
∈
ñ
ôi m
ộ
t giao hoán,
ñặ
c bi
ệ
t
0 0
,
i i i i
i I S S S S
∀ ∈ =
nên th
ự
c hi
ệ
n phép
nhân theo kh
ố
i ta suy ra
0
,
λ
i i
i I B B D
∀ ∈ =
′
′′
′
, t
ứ
c là
(
)
0
,
λ 0
i n r
i I B D I
−
∀ ∈ − =
′
′′
′
.
Nh
ư
ng
0
λ
n r
D I
−
−
′
′′
′
là khả nghịch nên
, 0
i
i I B
∀ ∈ =
. Vậy ta chứng minh
i j j i
i j j i
A A A A
C C C C
=
=
với mọi
,
i j I
∈
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
25
Như vậy ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp với hai họ
(
)
i
i I
A
∈
và
(
)
i
i I
C
∈
. Tồn tại
(
)
1 r
P O
∈
ℝ
và
(
)
2 n r
P O
−
∈
ℝ
sao cho với
i I
∀ ∈
thì
(
)
( )
1
1 1
1
2 2
i r
i n r
P A P D
P C P D
−
−
−
∈
∈
ℝ
ℝ
Kí hiệu
1
2
0
0
P
Q P
P
=
, khi ñó ta có
(
)
n
Q O
∈
ℝ
và
1
, ( )
i n
i I Q S Q D
−
∀ ∈ ∈
ℝ
.
2.3. ða thức của tự ñồng cấu, ña thức của ma trận
ðịnh nghĩa 2.6. Giả sử
[
]
0 1
N
N
P a a X a X K X
= + + + ∈
.
Với
f
∈
L
)
(
E
, ta kí hiệu
N
N
fafaeafP
+
+
+
=
)(
10
, và
)
(
f
P
ñượ
c
g
ọ
i là
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a t
ự
ñồ
ng c
ấ
u.
V
ớ
i
( )
n
A M K
∈
,
*
( )
n ∈
ℕ
, ta kí hi
ệ
u
N
Nn
AaAaIaAP
+
+
+
=
)(
10
,
)
(
A
P
ñượ
c g
ọ
i là
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n.
ðịnh nghĩa 2.7.
Gi
ả
s
ử
∈
f
L
)
(
E
,
[
]
XKP
∈
. Ta nói r
ằ
ng
P
tri
ệ
t tiêu
f
(hay
P
là
ñ
a th
ứ
c
tri
ệ
t tiêu c
ủ
a
f
) khi và ch
ỉ
khi
0
)
(
=
f
P
.
Gi
ả
s
ử
( )
n
A M K
∈
,
[
]
XKP
∈
.Ta nói r
ằ
ng
P
tri
ệ
t tiêu
A
(hay
P
là
ñ
a
th
ứ
c tri
ệ
t tiêu c
ủ
a
A
) khi và ch
ỉ
khi
0
)
(
=
A
P
.
ðịnh lí 2.7.
1) Giả sử
E
là K – không gian vectơ hữu hạn chiều,
( )
f L E
∈
. ðể
f
chéo
hóa ñược thì ñiều kiện cần và ñủ là tồn tại
[
]
P K X
∈
tách ñượ
c trên K
và có nghi
ệ
m
ñơ
n sao cho
( ) 0
P f
=
.
2)
Gi
ả
s
ử
*
n
∈
ℕ
,
( )
n
A M K
∈
.
ðể
A
chéo hóa
ñượ
c,
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ
là
t
ồ
n t
ạ
i
[
]
XKP
∈
tách
ñượ
c trên
K
và có các nghi
ệ
m
ñơ
n sao cho
0
)
(
=
A
P
.
Ta có thể viết tắt “tách ñược và có các nghiệm ñơn” là: tách ñơn.
Chứng minh
1) a, Giả sử
f
chéo hóa ñược.
nên ñơn giản hơn. Như vậy, qua quy trình học tập và điều tra và nghiên cứu, xuất phát từ nhu yếu bảnthân, nhu yếu trong thực tiễn của nhiều sinh viên, tôi ñã chọn ñề tài : “ Tính chéo hóacủa ma trận và một số ít ứng dụng ”. Tính chéo hóa của ma trận và 1 số ít ứng dụng Phạm Thị NguyệtThông qua việc điều tra và nghiên cứu nội dung này, tôi ñã có thêm ñiều kiện ñểcủng cố những kỹ năng và kiến thức ñã học, ñồng thời bổ trợ nhiều ñiều hữu dụng, rèn luyệnkhả năng điều tra và nghiên cứu, thao tác khoa học. 2. Mục tiêu nghiên cứu và điều tra – Mục tiêu khoa học công nghệ tiên tiến : ðưa ra ñiều kiện ñể một ma trận hoàn toàn có thể chéohóa một ma trận và những bước ñể chéo hóa một ma trận, ứng dụng của ma trậnchéo. – Sản phẩm khoa học công nghệ tiên tiến : ðề tài là tài liệu tìm hiểu thêm cho những sinh viênngành toán trường ðại học Hùng Vương. 3. Nhiệm vụ điều tra và nghiên cứu – Nghiên cứu véctơ riêng, giá trị riêng, ma trận chéo, tính chéo hóa của ma trận. – Nghiên cứu một số ít ứng dụng của ma trận chéo trải qua những bài toán đơn cử. 4. Phương pháp nghiên cứu và điều tra – Phương pháp điều tra và nghiên cứu lý luận : ðọc giáo trình, tài liệu tương quan ñến véctơriêng, giá trị riêng, tính chéo hóa ñược và ứng dụng của nó. – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm tay nghề : Từ việc điều tra và nghiên cứu tài liệu, giáo trình, rútra ñược kinh nghiệm tay nghề ñể giải những bài toán chéo hóa ma trận. 5. ðối tượng và khoanh vùng phạm vi nghiên cứu và điều tra – ðối tượng điều tra và nghiên cứu : Ma trận. – Phạm vi điều tra và nghiên cứu : Tính chéo hóa của ma trận và tập trung chuyên sâu hầu hết trêntrường số thực và trường số phức. 6. Bố cục của khóa luậnNgoài phần mở ñầu, phần phụ lục, Kết luận, tài liệu tìm hiểu thêm, nội dungcủa khóa luận gồm có có 3 chương : Chương 1. Kiến thức chuẩn bị1. 1. Ma trận của một ánh xạ tuyến tính. 1.2. Ma trận nghịch ñảo. 1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới. Ma trận ñồng dạng1. 4. Vectơ riêng – Giá trị riêngChương 2. Tính chéo hóa của ma trận2. 1. Tính chéo hóa của ma trận2. 2. Chéo hóa ñồng thời2. 3. ða thức những tự ñồng cấu, ña thức ma trận2. 4. Một số ví dụTính chéo hóa của ma trận và 1 số ít ứng dụng Phạm Thị NguyệtChương 3. Một số ứng dụng của ma trận chéo3. 1. Tính những lũy thừa của một ma trận vuông3. 2. Xác ñịnh những dãy truy hồi tuyến tính với thông số không ñổi3. 3. Giải một số ít phương trình ma trận3. 4. ðưa dạng toàn phương về dạng chính tắcTính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị NguyệtDANH MỤC KÝ HIỆUA B : Ma trận A ñồng dạng với ma trận B. ( ) D K : Tập hợp những ma trận chéo cấp n trên trường K. ( ) GL K : Tập hợp những ma trận vuông cấp n khả nghịch trên trường K. ( ) L V : Tập hợp những tự ñồng cấu của khoảng trống vectơ V. ( ) M K : Tập hợp những ma trận vuông cấp n, có những thành phần thuộc trường K. : ða thức ñặc trưng của ma trận vuông A. : ða thức ñặc trưng của ñồng cấu f. ( ) Sp f : Phổ của tự ñồng cấu f hay tập hợp những giá trị riêng của ñồng cấu f. ( ) Sp A : Phổ của ma trận A hay tập hợp những giá trị riêng của A. (, , ) L e e : Không gian vectơ sinh bởi hệ những vectơ (, , ) e eKGCR ( ) : Không gian con riêng của tự ñồng cấu f link với giá trị riêngTính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị NguyệtChương 1KI ẾN THỨC CHUẨN BỊChương này trình diễn 1 số ít khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính, ma trận nghịch ñảo, ma trận ñồng dạng Ngoài ra những khái niệm về vectơ riêng, giá trị riêng và cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng cũng ñược nêu ra. ðây lànhững kiến thức và kỹ năng trọng tâm ñể chuẩn bị sẵn sàng cho phần nội dung chính ở chương sau. 1.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tínhðịnh nghĩa 1.1. Giả sửvàlà – khoảng trống vectơ với cơ sở lần lượt là1 2 ε ε, ε, , ε 1 2 ξ ξ, ξ, , ξ f V Wlà một ánh xạ tuyến mà1 11 1 21 2 12 12 1 22 2 21 1 2 1 ε ) ξ ξ ξε ) ξ ξ ξε ) ξ ξ ξm mm mn n n mn mf a a af a a af a a a = + + + = + + + = + + + ( 1 ) Ma trận11 12 121 22 21 2 m m mna a aa a aa a a ñược gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tínhñối với cơ sởε ) vàξ ) Có thể viết gọn những ñẳng thức ( 1 ) như sau : ε ) ξ, j ij if avới mọi1, 2, , j nChú ý : Vìlà cơ sở củanên những thành phầnijñược xác ñịnh duy nhất, doñó ma trậnñược xác ñịnh duy nhất. Giả sử1 : V Vlà ñồng cấu ñồng nhất của khoảng trống vectơvà1 2 ε ε, ε, , ε là một cơ sở bất kể trong. Khi ñó : 1 1 22 1 21 21 ( ε ) ε 0 ε 0 ε1 ( ε ) 0 ε ε 0 ε1 ( ε ) 0 ε 0 ε εV nV nV n n = + + + = + + + = + + + Doñó ma trận củañối vớiε ) là : Tính chéo hóa của ma trận và 1 số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt1 0 00 1 00 0 1 ñược gọi là ma trận ñơn vị. Ma trậnijI añược gọi là ma trận ñơn vị nếu : 1,0, ijkhi i jkhi i jNếuvàlà hai-không gian vectơdim, dimV n W m = = thì ñồngcấu 0 có ma trận ñối với mọi cơ sở củavàlà ma trậnkiểu (, ) m ndướiñây : 0 0 00 0 00 0 0 ñược gọi là ma trận không, tức là ma trận mà mọi thành phần ñềubằng 0. Kí hiệu tập hợp những ánh xạ tuyến tính từ-không gian vectơñến – khoảng trống vectơlà (, ). Hom V WSau ñây là mệnh ñề nêu lên mối liên hệ giữa (, ) Hom V Wvới (, ) ( ) m nM KMệnh ñề 1.1. Giả sửvàlà hai-không gian vectơ và1 2 ε ε, ε, , ε 1 2 ξ ξ, ξ, , ξ lần lượt là cơ sở cố ñịnh củavàKhi ñó : a, Mỗi ma trận kiểu (, ) m nxác ñịnh duy nhất một ánh xạ tuyến tínhf V Wb, Có một tuy nhiên ánh (, ) : (, ) ( ). K m nHom V W M K1. 2. Ma trận nghịch ñảoðịnh nghĩa 1.2. Ma trận ( ) A M Kñược gọi là khả nghịch nếu sống sót một matrận ( ) B M Ksao choAB I BA = = ñược gọi là ma trận nghịch ñảo của. Kí hiệu : B Aðịnh lí 1.2. Ma trận vuôngcó nghchñảo khi và chkhi0. Tính chéo hóa của ma trận và 1 số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt1. 3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới. Ma trận ñồng dạngGiả sửlà khoảng trống vectơchiều trên trường, trong ñó1 2 α, α, , α ( 1 ) và1 2 α, α, , α ( 1 ) ′ ′ ′ ′ là cơ sở. là khoảng trống vectơchiều trên trường, trong ñó chọn cơ sở1 2 β, β, , β ( 2 ) và1 2 β, β, , β ( 2 ) ′ ′ ′ ′ ọi A, B là ma trận củañối với cặp cơ sở ( 1 ), ( 2 ) và ( 1 ), ( 2 ) ′ ′ S, T là ma trận chuyển cơ sở từ ( 1 ) sang ( 1 ) và ( 2 ) sang ( 2 ) Tìm quan hệ giữa A, B, S, T.Ta cóij ( ) m nA aij ( ) m nB bij ( ) S s, S không suy biến. ij ( ) T t, T không suy biến. Theo giả thiếtα ) β, 1, ,. ( 3 ) j ij if a j n = = α ) β, 1, ,. ( 4 ) j ij if b j n ′ ′ = = α α, 1, ,. ( 5 ) j ij is j n = = β β, 1, ,. ( 6 ) j ij it j m = = ừ ( 5 ) ta có : 1 1 1 1 1 1 α ) α ( α ) β β ( * ) n n n m n mj ij i ij i ij ki k ki ij ki i i k i kf f s s f s a a s = = = = = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Mặt khác thay ( 6 ) vào ( 4 ) : 1 1 1 1 α ) β β ( * * ) m m m mj ij hi h hi ij hi h i hf b t t b = = = = = = ∑ ∑ ∑ ∑ Vì 1 vectơ biểu lộ qua cơ sở là duy nhấtTừ ( * ) và ( * * ) ta ñượcij ij1 1 n mki hii ia s t b = = ∑ ∑, ( 1, , ; 1, , ; 1, , k m j n h m = = = ). Viết dưới dạng ma trận ta có : AS ASTB B T = ⇔ = ðịnh lí 1.3. Giả sử : Wf Vlà ánh xạ tuyến tính có ma trận là A ñối với cơ sơ ( 1 ) trongvà cơ sở ( 2 ) trong, ngoài những trongcó cơ sở ( 1 ) và trongTính chéo hóa của ma trận và 1 số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệtcó cơ sở ( 2 ), với ma trận chuyển cơ sở là S, T. Khi ñó ma trận củañối vớicơ sở ( 1 ) ( 2 ) làB T ASðịnh nghĩa 1.3. Hai ma trậnvàñược gọi là ñồng dạng nếu có một ma trậnsao choB T AT. Kí hiệuA BHệ quả 1.4. Hai ma trận ñồng dạng khi và chỉ khi chúng là hai ma trận củacùng một tự ñồng cấu. 1.4. Vectơ riêng – Giá trị riêngðịnh nghĩa 1.4. Giả sửlà một khoảng trống vectơ, f V Vlà một tự ñồngcấu. Vectơα 0 củañược gọi là một vectơ riêng củanếu sống sót một sốk Ksao choα ) αf k Sốñược gọi là giá trị riêng củaứng với vectơ riêngTa gọi tập hợp những giá trị riêng củalà phổ của, và kí hiệu ( ) Sp fNếulà một ma trận của tự ñồng cấuthì giá trị riêng củacũngñược gọi là giá trị riêng của ma trậnTa gọi tập hợp những giá trị riêng củalà phổ của, kí hiệu ( ) Sp A ( hay ( ) Sp A ). ðịnh nghĩa 1.5. Giả sửf V Vlà một tự ñồng cấu của khoảng trống vectơ. Không gian concủañược gọi là một khoảng trống con không bao giờ thay đổi ñối vớinếu với mọita ñều có ( α ) f WMệnh ñề 1.5. Giả sửlà một khoảng trống vectơ, tập hợp gồm những vectơvàcác vectơ riêng ứng với giá trị riêngcủa tự ñồng cấuf V Vlà mộtkhông gian con không bao giờ thay đổi củavà ñược gọi là khoảng trống riêng ứng với giá trịriêngðịnh lí 1.6. Nếu1 2 α, α, , α là những vectơ riêng tương ứng với những giá trịriêng ñôi một phân biệt1 2, ,, k k ka tñồng cthì chúng lp thành mvectñộc lp tuyn tính. Nhận xét : Giả sửdimV n, B là một cơ sở của V, ( ) f L Vvà ( ) A M flàma trận củañối với cơ sở B. Khi ñó : i, là một giá trị riêng củakhi và chỉ khilà một giá trị riêng của A.Tính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệtii, α { 0 } ∈ − là một vectơ riêng củakhi và chỉ khi ma trận cột tọa ñộ củañối với cơ sở B tức làα ) là một vectơ riêng của A.iii, Các vectơ riêng củaứng với giá trị riêngcùng với vectơ 0 lập nên khônggian vectơ con làλ ) Ker f Idðịnh nghĩa 1.6. Giả sử ma trận của tự ñồng cấuf V Vñối với cơ sởlà11 12 121 22 21 2 n n nna a aa a aa a a ñược gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại1 2, ,, x x xkhông ñồng thờibằng 0 sao cho1 1 n nx xA kx x ⋮ ⋮ hay ( ) A kI − = ⋮ ⋮ Nói cách khácijj ia x kxvới mọi1, 2, , i nhay11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2 n nn nn n nn n na x a x a x kxa x a x a x kxa x a x a x kx + + + = + + + = + + + = ( 1 ) 11 1 12 2 121 1 22 2 21 1 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 n nn nn n nn na k x a x a xa x a k x a xa x a x a k x − + + + = + − + + = + + + − = ( 2 ) là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng k khi và chỉ khi tọa ñộ1 2 (, ,, ) x x xcủa nó là nghiệm của hệ phương trình ( 2 ). Tính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt10ðịnh nghĩa 1.7. Giả sửlà một ma trận của tự ñồng cấu. Ma trận11 12 121 22 21 2 n n nna k a aa a k aA kIa a a k − = ñược gọi là ma trận ñặc trưng, còn ñathức ( 1 ) n nA kI k A − = − + + ñược gọi là ña thức ñặc trưng của tự ñồng cấuKí hiệu : là ña thức ñặc trưng củaCÁCH TÌM VECTƠ RIÊNGTìm nghiệm của ña thức ñặc trưng, tức là nghiệm của phương trình11 12 121 22 21 20 ( * ) n n nna k a aa a k aa a a k = = ñó là những giá trị riêng. Thay mỗi giá trị riêng tìm ñược vào vị trí củatrong hệ11 1 12 2 121 1 22 2 21 1 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 n nn nn n nn na k x a x a xa x a k x a xa x a x a k x − + + + = + − + + = + + + − = ( * * ) rồi giải hệ này. Mỗi nghiệm riêng của hệ là tọa ñộ của một vectơ riêng ứng vớigiá trị riêng ấy. Không gian nghiệm của hệ ( * * ) xác ñịnh khoảng trống riêng ứngvới giá trị riêng vừa chọn. Ví dụ 1.1. Cho phép biến ñổi tuyến tính3 3 : f → ℝ ℝcó ma trận ñối với cơ sởchính tắc là1 2 21 0 31 3 0 Tìm những giá trị riêng củavà ứng với mỗi giá trị riêng tìm một vectơriêng. Tìm những khoảng trống con không bao giờ thay đổi củaGiải. Giải phương trìnhTính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt111 2 21 3 01 3 − − − = hay ( 3 ) ( 4 3 ) 0 k k k + − + = Ta ñược1 2 33, 1, 3. k k k = − = = Với = −, hệ phương trình ( * * ) là hệ1 2 31 2 31 2 3 ( 1 ( 3 ) ) 2 2 0 ( 0 ( 3 ) ) 3 03 ( 0 ( 3 ) ) 0 x x xx x xx x x − − + − = + − − + = + + − − = hay1 2 31 2 34 2 2 03 3 0 x x xx x x + − = + + = Giải hệ này ñược nghiệm tổng quát là6 7 (, , ) 5 5 c c cChota ñược một nghiệm riêngα ( 6, 7,5 ) = − Không gian không bao giờ thay đổi gồm toàn bộ những vectơ có dạng6 7 (, , ) 5 5 c c chay ( 6, 7,5 ). ðó là khoảng trống sinh bởiVới, giải hệ2 31 2 31 2 32 2 03 03 0 x xx x xx x x − = − + = + − = ta ñược nghiệm tổng quát2, , c c cCho, ñược một nghiệm riêng ( 2,1,1 ) = − Không gian không bao giờ thay đổi tương ứng gồm những vectơ có dạng ( 2,1,1 ) c c − = Vậy khoảng trống không bao giờ thay đổi này sinh bởiVới, giải hệ1 2 31 2 31 2 32 2 2 03 3 03 3 0 x x xx x xx x x − + − = − + = + − = ta ñược nghiệm tổng quát : 0, , c cCho, ñược một vectơ riêng ứng vớilà ( 0,1,1 ) Không gian không bao giờ thay đổi tương ứng gồm những vectơ có dạng ( 0, , ) ( 0,1,1 ) c c c c = =. Vậy khoảng trống không bao giờ thay đổi này sinh bởiTính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt12Vì ba vectơ riêngtương ứng với ba giá trị riêng phân biệt nêntheo ñịnh lí 3 chương 1, chúng ñộc lập tuyến tính. Vìdim 3 nên chúng tạothành một cơ sở củaVí dụ 1.2. Cho một tự ñồng cấu3 3 : f → ℝ ℝcó ma trận ñối với cơ sở chính tắclà1 4 84 7 48 4 1 − − = − − − − Tìm những giá trị riêng và với mỗi khoảng trống con riêng tìm một cơ sở. Giải. Giải phương trình1 4 84 7 4 08 4 1 − − − − − − = − − − hay ( 9 ) ( 9 ) 0 k k − + = ta ñược : 1 2 39, 9. k k k = − = = Với = −, giải hệ1 2 31 2 31 2 310 4 8 04 16 4 08 4 10 0 x x xx x xx x x − − = − + − = − − + = Tañược nghiệm tổng quát : 2, , 2 c c c. Vì hạng ca ma trn ca hphương trình bng 2 nên khoảng trống riêngươngng ( tc là không giannghim ) códim dim 2 1 = − =. Doó mt vectriêng bt kì là mt cchng hn, v ( 2,1,2 ) là mt c2 3 k k = =, gii h1 2 31 2 31 2 38 4 8 04 2 4 08 4 8 0 x x xx x xx x x − − − = − − − = − − − = hay1 2 32 2 0 x x x + + = Tañược nghim tng quát : 1 1 3 3, 2 2, c c c c − −. Hng ca ma trn ca hphương trình này bng 1 nên khoảng trống riêng tươngng ( không giannghim ) códim dim 1 2 = − = Tính chéo hóa của ma trận và 1 số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt13Một cơ sở của nó là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình. Với1 31, 0 c c = = ta có nghiệm riêngβ 1, 2,0 = −, với1 30, 1 c c = = ta cónghiệm riêngβ 0, 2,1 = −. Hệ vectơ1 2 β, β là một cơ sở củaTính chéo hóa của ma trận và 1 số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt14Chương 2T ÍNH CHÉO HÓA CỦA MA TRẬNChương này trình diễn nội dung chính của ñề tài. Phần mở ñầu là một sốkhái niệm về ma trận ñường chéo, ma trận chéo hóa ñược. Tiếp theo ñó là ñiềukiện chéo hóa một ma trận và những bước cơ bản ñể chéo hóa một ma trận. Ngoàira, chéo hóa những ma trận ñối xứng và chéo hóa ñồng thời của một họ giao hoáncác ma trận ñối xứng cũng ñược ñề cập ñến ở ñây. Cuối cùng là phần trình bàyvề ña thức của tự ñồng cấu, ña thức của ma trận ñể nêu lên ñiều kiện cần và ñủñể một ma trận chéo hóa ñược. Sau khi trình diễn một vấn ñề thường có một vàiví dụ minh họa đơn cử cho vấn ñề ñó. 2.1. Tính chéo hóa của ma trậnðịnh nghĩa 2.1. Một ma trận vuông ( ) ijA athuộ ( ) M Ki làma trậnñường chéokhi và chkhi11220 00 00 0 nn ( ( ) 0, ) ija khi i j = ≠ p hp những ma trñường chéo ci htronglà ( ) D Kðịnh nghĩa 2.2. Một ma trận vuông ñược gọi là chéo hóa ñược nếu nó ñồngdạng với một ma trận chéo. Ví dụ 2.1. Ma trận8 510 7 chéo hóa ñược. Thật vậy, với1 12 1 và2 00 3 ta có : 1 12 1 − − − − . Ta cóB T ATnênA B2. 1.1. ðiều kiện ñể một ma trận chéo hóa ñượcðịnh lí 2.1. Một ma trận vuông chéo hóa ñược khi và chỉ khi nó là ma trận củamột tự ñồng cấu có một hệ vectơ riêng là cơ sở của khoảng trống. Chứng minhTính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt15Coinhư ma trận của một tự ñồng cấuf V Vñối với cơ sởε ) A là ma trận vuông chéo hóa ñược khi và chỉ khi có một ma trậnsaocho0 00 00 0T AT B = = ðiều này xảy ra khi và chỉ khilà ma trận củañối với một cơ sởε ) màε ) εj j jf k ′ ′, với mọi1, 2, , j n, nghĩa là ( ε ) là một cơ sở gồm nhữngvectơ riêng. Hệ quả 2.2. Nếulà ma trận vuông cấpmà ña thức ñặc trưngA kIcónghiệm phân biệt thìchéo hóa ñược. ðịnh lí 2.3. Giả sửlà một ma trận vuông cấp1 2, ,, k k klà những nghia thñặc trngA kIlà bi sa nghi, v1 2 { 1,2, , }, i p m m m n ∈ + + + =, tc là : 1 21 2 det ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) m mnA kI k k k k k k − = − − − − và hng ( ) i iA k I n m − = −. Khichéo hóañượChứng minhGiả sửlà một ma trận của một tự ñồng cấun nf → ℝ ℝñối với cơ sởchính tắc. Gọilà khoảng trống con riêng ứng với giá trị riêng. Vì hạng ( ) i iA k I n m − = − nêndim ( ) i iW n n m m = − − = Với mỗi { 1,2, , } i p, ta chọn một cơ sở1 2 ξ, ξ, , ξi i im của. Hệvectơ11 12 1 21 22 2 1 2 ξ, ξ, , ξ, ξ, ξ, , ξ, , ξ, ξ, , ξi pm m p p pm ( 1 ). ñộc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử1 2 211 11 1 1 21 21 2 2 1 1 2 2 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 0 i p pm m m m p p p p pm pmr r r r r r r + + + + + + + + + + = . ( 2 ) ðặt1 1 2 2 α ξ ξi ii i i i i im imr r r = + + + , với mọi { 1,2, , } i p, ( 2 ) trở thành : 1 1 α α + + + = ( 3 ) Tính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt16Vìi inên nó là vectơ riêng ứng với giá trị riêng. Nhưng cáclànhững giá trị riêng ñôi một phân biệt của. Ta có hệ vectơ1 2 α, α, , α } ñộclập tuyến tính. Từ ( 3 ) suy ra1 1 2 2 α ξ ξ ξ 0 i ii i i i i im imr r r = + + + = Theo cách chọn, hệ1 2 ξ, ξ, , ξi i im ñộc lập tuyến tính. Do ñó những hệij, với mỗi { 1,2, , } i pvà { 1,2, , } j m. Vìdimvà hệ ( 1 ) gồmvectơ riêng ñộc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của. Vậychéo hóañược. Ví dụ 2.2. Cho ma trận vuông cấp 2 thực hay phứca bc d Tìm ñiều kiện cần và ñủ về những thành phần, ,, a b c dñể ma trậnchéo hóa ñược ? Giải. ða thức ñặc trưng của ma trận ( ) a k bA kI k a d k ac bdc d k − = = − + + − a d ad bc ∆ = + − − Trường hợp 1. là ma trận thực + Nếu ∆ > thìcó 2 giá trị riêng phân biệt nênchéo hóa ñược + Nếu ∆ = thìcó một giá trị riêng duy nhất. ðểchéo hóa ñược thìphải có 2 giá trị riêng ñộc lập tuyến tính1 1 2 2 1 2 α, ; α, x x y y = = 1 21 2 x xy y . Khi ñó ta có ( ) ( ) 0 1 2 1 0 20 1 2 1 0 20 00 0 a k x bx cx d k xa k y by cy d k y − + = + − = − + = + − = Hai hphương trình trên có1 21 2 x xy ynêna k b − = = vàc d k = − =, hay0 00 0 a k d kb c = = = = Suy raa dvàb c = = Tính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt17Từ những ñiều trên ta suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñể ma trận thựcchéo hóañược là hoặc ∆ > hoặca dvàb c = = Trường hợp 2. là ma trận phứcTương tự như trường hợp thực ta suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñể ma trận phứcchéo hóa ñược là hoặc ∆ ≠ hoặca dvàb c = = Ví dụ 2.3. Chứng minh rằng ma trận vuônggiao hoán ñược với tổng thể những matrận vuông cùng cấp thì chéo hóa ñược. Giải. Gọilà ma trận vuông cấpijα 0 00 α 0 ( ), α α0 0 αi jB b = = ≠ với mọii jvàij ( ) A a. Ta cóij ( ) AB cij ( ) BA d. Khi ñó. . ij ik kj ij jj ij jc a b a b a = = = ij ik kj ii ij i ijd b a b a a = = = VìAB BAnên ta có với mọii jthìα α ( α α ) 0 0 ij j i ij ij i j ija a a a = ⇔ − = ⇔ = ậy ma trậncó dạng chéo. 2.1.2. Các bước chéo hóa ma trận. Bước 1. Tìm những giá trị riêng của ma trận ( Tức là nghiệm của phươngtrình ñặc trưng ) Bước 2. ðối với mỗi giá trị riêng, ta tìm cơ sở ( gồm toàn vectơ riêng ) củakhông gian con riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương trình ( ) 0A kI x − = Bước 3. Lấy toàn bộ những cơ sở tìm ñược ở bước 2, nếu ñủ làm cơ sở củathì chéo hóa ñược và ma trận dạng chéo gồm những giá trị riêng. Lưu ý : Trong trường hợp, ta hoàn toàn có thể trình diễn đơn cử hơn như sau : Bước 1. Tính những ña thức ñặc trưng và tìm nghiệm của nó. Tính chéo hóa của ma trận và 1 số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt18Nếu ña thức có một nhân tử là tam thức bậc hai vô nghiệm thì kết luậnkhông chéo hóa ñược và dừng lại, ngược lại thực thi bước 2. Bước 2. Phân tích ña thức ñặc trưng thành dạng1 21 2 det ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) m mnA kI k k k k k k − = − − − − Bước 3. Lần lượt với mỗi, ta tìm ñược một cơ sở của khoảng trống riêngứng với giá trị riêng này bằng cách giải hệ phương trình : ( ) 0A k I x − = và quan tâm rằng, số chiều của khoảng trống con riêng là ( ) i is n rank A k I = − −, nếuthấyi is mthì Tóm lại ngay không chéo hóa ñược. Bước 4. Lấy cơ sở tìm ñược ở bước 3, lập ma trậnvàS ASlà ma trậncó dạng ñường chéo. Ví dụ 2.4. Cho ma trận1 2 21 0 31 3 0 a ) Chéo hóa ma trận. b ) Giả sử ma trận chéo vừa tìm ñược là. Hãy tìm ma trậnñểB T ATGiải. Ở ví dụ 1.1 mục 1.4, ta ñã thấy, nếu coinhư ma trận của tự ñồng cấucủañối với cơ sở chính tắc thìcó ba giá trị riêng phân biệt là1 2 33, 1, 3. k k k = − = = Các vectơ riêng tương ứng là : α ( 6, 7,5 ) = − α ( 2,1,1 ) = − α ( 0,1,1 ) lập thành một cơ sở của. Do ñó, ta có3 0 0 ~ 0 1 00 0 3A B Gọilà ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc củasang cơ sở1 2 3 α, α, α Vì1 1 2 32 1 2 33 2 3 α 6 ε 7 ε 5 εα 2 ε ε εα ε ε = − + = − + + = + nên ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở1 2 3 α, α, α làTính chéo hóa của ma trận và 1 số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt196 2 07 1 15 1 1 = − VậyB T ATVí dụ 2.5. Chéo hóa ma trận1 1 11 1 11 1 1 = − Giải. ða thức ñặc trưng của1 1 1 det ( ) 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) 1 1 1A kI k k k − − − = − − = − + − − ða thức ñặc trưng có nghiệm1 21, 2 k k = = − ( kép ). Với, giải hệ1 2 31 3 1 31 2 31 2 1 21 2 32 02 02 0 x x xx x x xx x xx x x xx x x − + + = − + = = − + = ⇔ ⇔ − = = + − = Nghiệm tổng quát (, , ) a a a, khoảng trống riêngtương ứng gồmcác vectơ có dạng (, , ) a a ahaysinh bởi vectơ ( 1,1,1 ) Với = −, giải hệ1 2 31 2 3 1 2 31 2 30 0 x x xx x x x x xx x x + + = + + = ⇔ + + = + + = Nghiệm tổng quát (, , ) a b a b − − a b, khoảng trống riêngtương ứnggồm những vectơ có dạng (, , ) a b a b − − haysinh bởi vectơ1 2 α ( 1,1, 0 ), α ( 1, 0, 1 ) = − = − Ma trận chuyển cơ sở1 1 11 1 01 0 1 − − và1 0 00 2 00 0 2T AT = − Bây giờ ta xét trường hợp ña thức ñặc trưng của ma trậncó nghiệmbội. Chẳng hạn : Tính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt201 2 50 2 41 0 1 ða thức ñặc trưng3 2 21 2 50 2 4 4 ( 4 ) 1 0 1A kI k k k k k − = − = − + = − − phương trình ( 4 ) 0 k k − − = có nghiệm ñơn, nghiệm kép2 3 k k = = Với, khoảng trống riêngtương ứng gồm những vectơ có dạng ( 3, 2, ) c c chaysinh bởi vectơ ( 3,2,1 ). Do ñódim 1V ới2 3 k k = =, khoảng trống riêngtương ứng gồm những vectơ có dạng (, 2, ) c c chay ( 1, 2, 1 ), tức làsinh bởi vectơ ( 1, 2, 1 ) vàdim 1V ìchỉ có hai giá trị riêng0 ; 4 k k = = nên nếuchéo hóa ñược thìñồng dạng với ma trận có dạng0 0 00 0 00 0 4 hoặc0 0 00 4 00 0 4 Nếuñồng dạng vớithìcó một cơ sở1 2 3 ξ, ξ, ξ sao cho1 2 ξ ) 0 ( ξ ) f f = = . Suy ra1 2 ξ, ξ thuộc khoảng trống riêng. Nhưng hai vectơnày ñộc lập tuyến tính. Trái với nhận xét trên rằngdim 1N ếuñồng dạng vớithì xét tương tự như nhưñồng dạng với. Vậykhông chéo hóa ñược. Tóm lại, nếu số bội của nghiệm riêng lớn hơn số chiều của không gianriêng tương ứng thì ma trận không chéo hóa ñược. 2.1.3. Vấn ñề chéo hóa ma trận ñối xứngðịnh nghĩa 2.3. Một ma trận vuôngthuộc ( ) M Kñược gọi là ma trận ñốixứng ( ma trận phản ñối xứng ) khi và chỉ khi ( ) t tA A A A = = −. Tp hp cácma trñối xng ( ma trn phñối xng ) ci htrongñược kí hilà ( ) ( ( ) ) n nS K A Kðịnh nghĩa 2.4. t tñồng ca khoảng trống véc t-c-lítñược glàtrực giaokhi và chkhio toàn tích vô hướng, tc là (, ), ( ). ( ). x y E f x f y x y ∀ ∈ = Tính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt21ðịnh nghĩa 2.5. Ma trậnthuộc ( ) ñược gọi là trực giao khi và chỉ khitự ñồng cấu của, màn biểu diễn bởitrong cơ sở chính tắc của, là một tựñồng cấu trực giao củañược trang bị tích vô hướng thường thì. Ta kí hiệu ( ) là tập những ma trận trực giao của ( ) ðịnh lí 2.4.1 ). Giả sửlà một khoảng trống véc tơ Ơ-cơ-lít, f là một tự ñồng cấu ñốixứng của E. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn của E trong ñó ma trận của f là matrận chéo. 2 ) Với mọi ma trận ( ) S S, luôn sống sót ( ) P Ovà ( ) D DsaochoS PDPChứng minh. Rõ ràng 2 ) là dạng ma trận của 1 ). Ta ñi chứng tỏ quy nạo theo, vớidim ( ) n ETính chất là hiển nhiên với. Ta giả sử đặc thù ñó ñúng với một sốnguyênvà giả sửlà một khoảng trống véc tơ Ơ-cơ-lít có số chiều làlà tự ñồng cấu ñối xứng củalà một cơ sở trực chuẩn của ( ) A Mat f. Phân tíchtheo khốiC B , trong ñó, 1 α, ( ), ( ) n nC M B S ∈ ∈ ∈ ℝ ℝ ℝTheo giả thiết quy nạp, sống sót ( ) P O ( ) D Dsao choB PDPKí hiệu1 0 , rõ rànglà trực giao và1 0 . Ta cóC PU AUP C D Ta kí hiệuG P CvàA U AUG D = = ′ ′ 1 ). Ta ñi chứng tỏ ′ ′ có tối thiểu một giá trị riêng và một véc tơ riêng. Giả sử1, 1 λ, ( ) V M ∈ ∈ ℝ ℝ. Phân tíchtheo khối : vớivà1, 1 ( ) X M, ta cóα α λλ λt tx xG x G X xAV VX XG D xG DX X + = = ⇔ = ⇔ + = ′ ′ Giả sửλ ( ) Sp D, vậy thìD Ikhả nghịch và do vậyTính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt22 ( ) ( ) α λ λX x D I GAV Vx xG D I G x = − − = ⇔ − − = ′ ′ Kí hiệu , , D diag d dta có ( ) λ λ α λ αG D I G − + = ⇔ + = thì rõ ràng ta có thchλ α, 1, 0 x X = = = Gi, ta có thgithid d ≥ ≥ + Nthì ánh x ( ) φ :, , λ λ + ∞ → + ℝ ֏ liên tc trên, d + ∞ vàlim λ + = − ∞ lim λ → + ∞ + = + ∞ nên theoñịnhlí giá trtrung gian, tn t0 1, d ∈ + ∞ sao choφ λ α + Nthì lp lun này vñược áp dngñược bng vic thay thng, trongmin 1, , ; 0 r i n g = ∈ ≠ Taã chng minh rngcó ít nht mt giá trriêng và mt véc triêngthc. 2 ). Ta kí hilà mt véc triêng c. Trong mt ctrc chun cñầu b, ma trn ccó dngλ 0 , trongλ, ( ) S S ∈ ∈ ℝ ℝTheo githit quy np, tn t ( ) P O ( ) D Dsao cho1 1 1S PD P. Kíhi1 0 vàλ 0 thì ta th2 1 ( ) P O2 1 ( ) D Dvà2 2 2 λ 0P D P u này chng tn ti mt ctrc chun csaocho ma trn clà ma trn chéo. ðịnh lí trênây khngñịnh rng vi mi ma trñối xng th ( ) S Sthì luôn chéo hóañược, tc là luôn tn t ( ) P Ovà ( ) D Dsao choS PDPCòn ma trñối xng trên trường sphc thì sao ? Câu tri là không. Ví dsauây slàm sáng tó. Tính chéo hóa của ma trận và 1 số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt23Ví dụ 2.6. Cho ( ) A S = ∈ . Ta sẽ chứng tỏ rằng ma trậnkhôngchéo hóa ñược. Thật vậy ta có ( ) k iA kI ki k − = = − Giả sử ma trậnchéo hóa ñược, khi ñó sống sót ( ) P Osao cho1 11 0 1 00 1 0 1A P P PP − − = = = . ðiều này xích míc. 2.2. Chéo hóa ñồng thờiðịnh lí 2.5 Cholà một – khoảng trống véc tơ hữu hạn chiều với sốchiềulà một tập khác rỗng. ( ) i i Ilà một họ những ñồng cấu chéo hóa ñượccủavà giao hoán từng ñôi, nghĩa là : (, ), i j j ii j I f f f f ∀ ∈ = Tồn tại một cơ sở củatrong ñó những ma trận củañều là chéo, ta nóirằng cácchéo hóa ñược ñồng thời. ðặc biệt, nếu hai ma trận chéo hóa ñượcmà giao hoán thì chúng chéo hóa ñồng thời ñược. Chứng minh. Với, đặc thù này ñược suy ra từ phần 2.1. Giả sử nó ñúngvới mọi { 1, , n } và giảlà một – KGVT hữu hạn chiều với số chiềulà một tập khác rỗng, ( ) i i Ilà một họ những ñồng cấu chéo hóa ñược củavà giao hoán từng ñôi một. Dễ dàng khảo sát trong từng trường hợp tất cảlà những phép vị tự. Giả sử tồn tạii Isao chokhông phải là một phép vị tự. Kí hiệuλ, , λ ( ) r K iSp fvà (, λ ) k i kE KGCR fvớik r ≤ ≤. Vìkhông phải là một phép vị tự vàchéo hóa ñược, ta có :, vậy1, ,, 1 dim ( ) k r E n ∈ ≤ ≤ Choi I { 1, , r }, chứng tỏ rằngổn ñịnh ñối với. Giả sửx E, ta có : 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( λ ) λ ( ) i i i i i i i k k if f x f f x f f x f x f x = = = = Vậy ( ) i kf x EKí hiệui klà tự ñồng cấu cảm sinh bởitrên, vớii Ivà { 1, , r } Cho { 1, , r } • Với m ỗii Ichéo hóa ñược nêni kchéo hóa ñược. Tính chéo hóa của ma trận và 1 số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt24 • Các ( ) ( ) i kf i Iôi mt giao hoán vì cácôi mt giao hoán. y ta có tháp dng githit quy np cho h, ( ) ( ) i k i I. Tn ti cthusao cho :, dim ( ), ( ) ( ) k kB i k Ei I Mat f D K ∀ ∈ ∈ KhiB B B = ∪ ∪ là mt cvà, 1 ( 1 ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 ( ) B iB i nB i rMat fi I Mat f D KMat f ∀ ∈ = ∈ Chéo hóa ñồng thời của một họ giao hoán những ma trận ñối xứngðịnh lí 2.6. Cho một tập không rỗngi Ilà một họ thành phần giao hoántừng ñôi một của ( ). Khi ñó sống sót ( ) P Osao cho, ( ) i ni I P S P D ∀ ∈ ∈ Chứng minh. Ta chứng tỏ quy nạp theoVới, ñịnh lí 2.4 ñã chỉ ra. Giả sử đặc thù trên ñúng với mọithuộcsao chop nvàlà mộttập hợp không rỗng, i Ilà một họ thành phần thuộc ( ) ñôi một giao hoán. Trường hợpi nS I, với ∀ ∈ vài I ∀ ∈ là tầm thường. Giả sử tồn tạii Isao choi nS I ∀ ∈. Theo ñịnh lí 2.4, sống sót ( ) P Ovà ( ) D Dsao choS PDP =. Vìi nS Inên những thành phần trên ñường chéochính củakhông bằng nhau. Vậy ta hoàn toàn có thể giả thiếtλ 0 ′ ′, trong ñó1, , 1 r n ∈ − n rD D ′ ′ i những phn tchéo khác. Vi mi I, phân tíchP S Ptheo khi : i ii iA BP S PB C , trongi rA Si r n rB Mi n rC SVìi Iôi mt giao hoán, ñặc bi0 0 i i i ii I S S S S ∀ ∈ = nên thc hin phépnhân theo khi ta suy rai ii I B B D ∀ ∈ = ′ ′, tc làλ 0 i n ri I B D I ∀ ∈ − = ′ ′ Nhngn rD I ′ ′ là khả nghịch nên, 0 i I B ∀ ∈ =. Vậy ta chứng minhi j j ii j j iA A A AC C C Cvới mọii j ITính chéo hóa của ma trận và một số ít ứng dụng Phạm Thị Nguyệt25Như vậy ta hoàn toàn có thể vận dụng giả thiết quy nạp với hai họi Ivài I. Tồn tại1 rP Ovà2 n rP Osao cho vớii I ∀ ∈ thì ( ) 1 12 2 i ri n rP A P DP C P DKí hiệuQ P , khi ñó ta cóQ Ovà, ( ) i ni I Q S Q D ∀ ∈ ∈ 2.3. ða thức của tự ñồng cấu, ña thức của ma trậnðịnh nghĩa 2.6. Giả sử0 1P a a X a X K X = + + + ∈ Với, ta kí hiệufafaeafP ) ( 10, vàñượi làa thc ca tñồng cu. ( ) A M K ( ) n ∈, ta kí hiNnAaAaIaAP ) ( 10 ñược gi làa thc ca ma trn. ðịnh nghĩa 2.7. GiXKP. Ta nói rngtrit tiêu ( haylàa thtrit tiêu c ) khi và chkhiGi ( ) A M KXKP.Ta nói rngtrit tiêu ( haylàthc trit tiêu c ) khi và chkhiðịnh lí 2.7.1 ) Giả sửlà K – khoảng trống vectơ hữu hạn chiều, ( ) f L E. ðểchéohóa ñược thì ñiều kiện cần và ñủ là tồn tạiP K Xtách ñược trên Kvà có nghiñơn sao cho ( ) 0P f2 ) Gi ( ) A M Kðểchéo hóañược, u kin cn vàñủlàn tXKPtáchñược trênvà có những nghiñơn sao choTa hoàn toàn có thể viết tắt ” tách ñược và có những nghiệm ñơn ” là : tách ñơn. Chứng minh1 ) a, Giả sửchéo hóa ñược .
