Phương trình toán lý và cơ sở toán ứng dụng Lê Xuân Đại

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (298.09 KB, 35 trang )

PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG
DỤNG
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2015.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 1 / 1
Giới thiệu môn học Nội dung môn học
Nội dung môn học
1
Môn học trang bị cho sinh viên các kiến thức
cơ bản của phương trình toán lý và cơ sở toán
ứng dụng.
2
Môn học giúp sinh viên hiểu được vai trò và
ứng dụng của phương trình toán lý trong các
ngành khoa học cũng như trong cuộc sống.
3
Kết thúc môn học sinh viên biết ứng dụng các
mô hình phương trình toán lý đơn giản cho các
bài toán trong chuyên ngành.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 2 / 1
Giới thiệu môn học Nội dung môn học
Nội dung bao gồm các chương sau:
1
Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai
2
Bài toán Cauchy và phương trình sóng
3
Chuỗi Fourier và ứng dụng
4

Phương pháp tách biến
5
Bài toán biên và ứng dụng
6
Bài toán biên cấp cao
7
Hàm Green và bài toán biên
8
Phương pháp biến đổi tích phân
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 3 / 1
Giới thiệu môn học Nhiệm vụ của sinh viên
Nhiệm vụ của sinh viên
Đi học đầy đủ (nếu vắng quá phân nửa số buổi
học trong học kỳ, giáo viên có quyền đề nghị
cấm thi).
Tham dự giờ giảng trên lớp và làm tất cả các
bài tập.
Đọc bài mới trước khi đến lớp.
Nghiên cứu phần mềm tính toán MatLab để
tính toán mô phỏng.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 4 / 1
Giới thiệu môn học Phương pháp đánh giá
Phương pháp đánh giá
1
Thi giữa kỳ tự luận – 40%.
2
Thi viết tự luận cuối kỳ (90 phút) – 60%
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 5 / 1
Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phan Huy Thiện. Phương trình toán lý. NXB
GIÁO DỤC VIỆT NAM (2010)
Nguyễn Văn Hùng, Lê Văn Trực. Phương
pháp toán cho vật lý, tập 1. NXB ĐHQG HÀ
NỘI (2007)
Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa. Phương
pháp toán cho vật lý, tập 2. NXB ĐHQG HÀ
NỘI (2008)
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 6 / 1
Giới thiệu môn học Tài liệu tham khảo
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Nguyễn Kim Đính. Phép biến đổi Laplace.
NXB ĐHQG TPHCM (2011)
Đặng Đình Áng. Biến đổi tích phân. NXB
GIÁO DỤC VIỆT NAM (2009)
Tyn Myint-U, Lokenath Debnath. Linear
Partial Differential Equations for Scientists and
Engineers. Birkhauser, Boston, Basel, Berlin
(2007).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 7 / 1
Những kiến thức cơ bản Định nghĩa
Định nghĩa
Phương trình đạo hàm riêng là phương trình có
dạng
F (x, y,. .., u, u
x
, u
y
,. .., u
xx

, u
xy
,. . .) = 0, (1)
F −là hàm nhiều biến với biến số là
x, y ,. .., u, u
x
, u
y
,. .., u
xx
, u
xy
,. .. .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 8 / 1
Những kiến thức cơ bản Định nghĩa
Ta phải tìm hàm số u(x, y,. . .) sao cho phương
trình (1) là đồng nhất thức theo những biến này,
khi ta thay u(x, y,. . .) và những đạo hàm riêng
của nó vào phương trình trên
u
x
=
∂u
∂x
, u
y
=
∂u
∂y
,. . .

u
xx
=
∂
2
u
∂x
2
, u
xy
=
∂
2
u
∂x∂y
,. . .
.. .. .. .. .
Lúc này hàm số u(x, y,. . .) được gọi là nghiệm
của phương trình đạo hàm riêng (1).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 9 / 1
Những kiến thức cơ bản Định nghĩa
Chúng ta không chỉ tìm nghiệm riêng lẻ mà còn
nghiên cứu mọi tập hợp nghiệm, và trong trường
hợp riêng chọn ra những nghiệm riêng với những
điều kiện bổ sung vào phương trình (1).
Phương trình đạo hàm riêng (1) sẽ trở thành
phương trình vi phân thông thường, nếu chỉ có 1
biến số.
Cấp của đạo hàm cao nhất trong phương trình vi
phân, được gọi là cấp của phương trình vi phân

này.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 10 / 1
Những kiến thức cơ bản Ví dụ
Ví dụ 1. 3x
∂u
∂y
+ xy
2
∂u
∂x
= 0− PTĐHR cấp 1.
Ví dụ 2.

∂u
∂x

2
+ 3 sin x
∂u
∂y
+ u − 1 = 0−
PTĐHR cấp 1.
Ví dụ 3.
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u

∂x
2
− PTĐHR cấp 2.
Ví dụ 4.
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
= 0− PTĐHR cấp 2.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 11 / 1
Những kiến thức cơ bản Phương trình tuyến tính
Định nghĩa
Phương trình vi phân được gọi là tuyến tính, nếu
hàm số F tuyến tính theo biến
u, u
x
, u

y
,. .., u
xx
, u
xy
,. .. và những hệ số chỉ phụ
thuộc vào biến số x, y,. .. .
Phần lớn ta sẽ nghiên cứu những phương trình
tuyến tính; những phương trình có dạng tổng quát
hơn thường sẽ được biến đổi về những phương
trình tuyến tính.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 12 / 1
Những kiến thức cơ bản Ví dụ
Ví dụ 1. Phương trình tuyến tính cấp 1 hai biến
A
∂u
∂x
+ B
∂u
∂y
+ Cu = f ,
trong đó A, B, C, f là hàm hai biến phụ thuộc vào
x, y .
Ví dụ 2. Phương trình tuyến tính cấp 2 hai biến
A
∂
2
u
∂x
2

+2B
∂
2
u
∂x∂y
+C
∂
2
u
∂y
2
+D
∂u
∂x
+E
∂u
∂y
+Fu = g,
trong đó A, B, C, D, E, F, g là hàm hai biến phụ
thuộc vào x, y.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 13 / 1
Những kiến thức cơ bản Phân loại phương trình tuyến tính cấp 2
PTVPĐHR tuyến tính cấp 2 được gọi là
Eliptic nếu AC − B
2
> 0
Parabolic nếu AC − B
2
= 0
Hyperbolic nếu AC − B

2
< 0
thuần nhất nếu g = 0, không thuần nhất nếu
g = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 14 / 1
Những kiến thức cơ bản Ví dụ
1
Phương trình Laplace
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0 là
phương trình eliptic.
2
Phương trình truyền nhiệt
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u

∂x
2
là
phương trình parabolic.
3
Phương trình sóng
∂
2
u
∂t
2
= a
2
∂
2
u
∂x
2
là phương
trình hyperbolic.
4
Phương trình Tricomi y
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2

u
∂y
2
= 0 là PT
eliptic ở y > 0 và là PT hyperbolic ở y < 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 15 / 1
Những kiến thức cơ bản Bài tập
Tìm các miền trong đó các phương trình sau đây
là hyperbolic, parabolic, elliptic
1
∂
2
u
∂x
2
+ 2
∂
2
u
∂x∂y
− 3
∂
2
u
∂y
2
= 0
2
∂
2

u
∂x
2
− 2x
∂
2
u
∂x∂y
+ y
∂
2
u
∂y
2
= u + 1.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 16 / 1
Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Đặt vấn đề
Cho phương trình tuyến tính cấp 2 hai biến
A
∂
2
u
∂x
2
+2B
∂
2
u
∂x∂y
+C

∂
2
u
∂y
2
+D
∂u
∂x
+E
∂u
∂y
+Fu = g,
trong đó A, B, C, D, E, F, g là hàm hai biến phụ
thuộc vào x, y.
Bài toán. Bằng cách đổi biến
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y) và giả sử tồn tại phép
biến đổi ngược, ta sẽ nhận được phương trình mới
có dạng đơn giản nhất tương đương với phương
trình ban đầu. Vấn đề chọn biến mới như thế nào?
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 17 / 1
Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Đặt vấn đề
u
x
= u
ξ
ξ
x
+ u
η
η

x
, u
y
= u
ξ
ξ
y
+ u
η
η
y
.
u
xx
= u
ξξ
(ξ
x
)
2
+2u
ξη
ξ
x
η
x
+u
ηη
(η
x

)
2
+u
ξ
ξ
xx
+u
η
η
xx
u
xy
=
u
ξξ
ξ
x
ξ
y
+u
ξη
(ξ
x
η
y
+ξ
y
η
x
)+u

ηη
η
x
η
y
+u
ξ
ξ
xy
+u
η
η
xy
u
yy
= u
ξξ
(ξ
y
)
2
+2u
ξη
ξ
y
η
y
+u
ηη
(η

y
)
2
+u
η
ξ
yy
+u
η
.η
yy
Thay vào phương trình ban đầu ta được
a
11
u
ξξ
+ 2a
12
u
ξη
+ a
22
u
ηη
+ G = 0, trong đó
a
11
= A(ξ
x
)

2
+ 2Bξ
x
ξ
y
+ C (ξ
y
)
2
,
a
12
= Aξ
x
η
x
+ B(ξ
x
η
y
+ ξ
y
η
x
) + C ξ
y
η
y
,
a

22
= A(η
x
)
2
+ 2Bη
x
η
y
+ C (η
y
)
2
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 18 / 1
Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Phương trình đặc trưng
Định nghĩa
Đường ϕ(x, y ) = C = const được gọi là đường
cong tích phân đặc trưng, nếu nó là nghiệm của
phương trình
A

∂ϕ
∂x

2
+ 2B
∂ϕ
∂x
.

∂ϕ
∂y
+ C

∂ϕ
∂y

2
= 0.
Vì ϕ(x, y ) = C nên
∂ϕ
∂x
dx +
∂ϕ
∂y
dy = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 19 / 1
Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Phương trình đặc trưng
Phương trình đặc trưng
A(dy)
2
− 2B.dxdy + C (dx)
2
= 0
1
Nếu B
2
− AC > 0 thì PTĐHR có 2 họ đặc
trưng Ady −(B +
√

B
2
− AC )dx = 0 và
Ady + (B +
√
B
2
− AC )dx = 0
2
Nếu B
2
− AC = 0 thì PTĐHR có 1 họ đặc
trưng Ady −Bdx = 0
3
Nếu B
2
− AC < 0 thì PTĐHR có 2 họ đặc
trưng Ady −(B + i

|B
2
− AC |)dx = 0 và
Ady + (B −i

|B
2
− AC |)dx = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 20 / 1
Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Phương trình loại Hyperbolic
Đối với phương trình Hyperbolic thì B

2
− AC > 0
nên ta có 2 đường cong tích phân ξ(x, y) và
η(x, y ) do đó a
11
= 0 và a
22
= 0. Lúc này phương
trình thu được có dạng u
ξη
= Φ(ξ, η, u
ξ
, u
η
). Đây
là dạng chính tắc thứ nhất của phương trình loại
Hyperbolic. Nếu đổi biến thêm 1 lần nữa
α =
ξ + η
2
, β =
ξ − η
2
, ta được u
ξ
=
1
2
(u
α

+ u
β
),
u
η
=
1
2
(u
α
− u
β
), u
ξη
=
1
4
(u
αα
− u
ββ
). Vậy
u
αα
− u
ββ
= 4Φ
1
. Đây là dạng chính tắc thứ hai
của phương trình loại Hyperbolic.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 21 / 1
Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Phương trình loại Parabolic
Đối với phương trình Parabolic thì B
2
− AC = 0
nên ta có 1 đường cong tích phân ξ(x, y) do đó
a
11
= A(ξ
x
)
2
+ 2Bξ
x
ξ
y
+ C (ξ
y
)
2
=
(
√
Aξ
x
+
√
C ξ
y
)

2
= 0. Từ đó suy ra
a
12
= Aξ
x
η
x
+ B(ξ
x
η
y
+ ξ
y
η
x
) + C ξ
y
η
y
=
(
√
Aξ
x
+
√
C ξ
y
)(

√
Aη
x
+
√
C η
y
) = 0. Lúc này
phương trình thu được có dạng
u
ηη
= Φ(ξ, η, u
ξ
, u
η
). Đây là dạng chính tắc của
phương trình loại Parabolic.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 22 / 1
Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Phương trình loại Elliptic
Đối với phương trình Elliptic thì B
2
−AC < 0 nên
ta có 2 đường cong tích phân phức
ξ(x, y) = ϕ(x, y) và η(x, y) = ϕ(x, y ) do đó
a
11
= 0 và a
22
= 0. Lúc này phương trình thu
được có dạng u

ξη
= Φ(ξ, η, u
ξ
, u
η
) giống như
phương trình loại Hyperbolic. Để không gặp biến
phức, ta đổi biến thêm 1 lần nữa α =
ξ + η
2
,
β =
ξ − η
2i
, ta được u
ξη
=
1
4
(u
αα
+ u
ββ
). Vậy
u
αα
+ u
ββ
= 4Φ
1

. Đây là dạng chính tắc của
phương trình loại Elliptic.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 23 / 1
Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Ví dụ
Ví dụ 1.
Đưa phương trình sau về dạng chính tắc
x
2
u
xx
− y
2
u
yy
= 0
A = x
2
, B = 0, C = −y
2
. B
2
− AC = x
2
y
2
> 0.
Đây là phương trình thuộc dạng Hyperbolic.
Phương trình đặc trưng x
2
(dy)

2
− y
2
(dx)
2
= 0 ⇒

xdy + ydx = 0
xdy −ydx = 0
⇔

xy = C
1
y
x
= C
2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 24 / 1
Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Ví dụ
Thực hiện phép đổi biến ξ = xy, η =
y
x
. Khi đó ta
có u
x
= u
ξ
ξ
x
+ u

η
η
x
= u
ξ
y −u
η
y
x
2
,
u
y
= u
ξ
ξ
y
+ u
η
η
y
= u
ξ
x + u
η
1
x
.
u
xx

= (u
x
)

x
=
∂
2
u
∂ξ
2
y
2
− 2
∂
2
u
∂ξ∂η
.
y
2
x
2
+
∂
2
u
∂η
2
.

y
2
x
4
+ 2
∂u
∂η
.
y
x
3
u
yy
= (u
y
)

y
=
∂
2
u
∂ξ
2
x
2
+ 2
∂
2
u

∂ξ∂η
+
∂
2
u
∂η
2
.
1
x
2
.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. HCM — 2015. 25 / 1
Phương pháp tách biếnBài toán biên và ứng dụngBài toán biên cấp caoHàm Green và bài toán biênPhương pháp biến hóa tích phânTS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. TP HCM — năm ngoái. 3 / 1G iới thiệu môn học Nhiệm vụ của sinh viênNhiệm vụ của sinh viênĐi học không thiếu ( nếu vắng quá phân nửa số buổihọc trong học kỳ, giáo viên có quyền đề nghịcấm thi ). Tham dự giờ giảng trên lớp và làm toàn bộ cácbài tập. Đọc bài mới trước khi đến lớp. Nghiên cứu ứng dụng đo lường và thống kê MatLab đểtính toán mô phỏng. TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. TP HCM — năm ngoái. 4 / 1G iới thiệu môn học Phương pháp đánh giáPhương pháp đánh giáThi giữa kỳ tự luận – 40 %. Thi viết tự luận cuối kỳ ( 90 phút ) – 60 % TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. Hồ Chí Minh — năm ngoái. 5 / 1G iới thiệu môn học Tài liệu tham khảoTÀI LIỆU THAM KHẢOPhan Huy Thiện. Phương trình toán lý. NXBGIÁO DỤC VIỆT NAM ( 2010 ) Nguyễn Văn Hùng, Lê Văn Trực. Phươngpháp toán cho vật lý, tập 1. NXB ĐHQG HÀNỘI ( 2007 ) Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa. Phươngpháp toán cho vật lý, tập 2. NXB ĐHQG HÀNỘI ( 2008 ) TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. Hồ Chí Minh — năm ngoái. 6 / 1G iới thiệu môn học Tài liệu tham khảoTÀI LIỆU THAM KHẢONguyễn Kim Đính. Phép biến hóa Laplace. NXB ĐHQG TPHCM ( 2011 ) Đặng Đình Áng. Biến đổi tích phân. NXBGIÁO DỤC VIỆT NAM ( 2009 ) Tyn Myint-U, Lokenath Debnath. LinearPartial Differential Equations for Scientists andEngineers. Birkhauser, Boston, Basel, Berlin ( 2007 ). TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. Hồ Chí Minh — năm ngoái. 7 / 1N hững kiến thức và kỹ năng cơ bản Định nghĩaĐịnh nghĩaPhương trình đạo hàm riêng là phương trình códạngF ( x, y ,. .., u, u, u ,. .., uxx, uxy ,. .. ) = 0, ( 1 ) F − là hàm nhiều biến với biến số làx, y ,. .., u, u, u ,. .., uxx, uxy ,. .. . TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. TP HCM — năm ngoái. 8 / 1N hững kiến thức và kỹ năng cơ bản Định nghĩaTa phải tìm hàm số u ( x, y ,. .. ) sao cho phươngtrình ( 1 ) là đồng nhất thức theo những biến này, khi ta thay u ( x, y ,. .. ) và những đạo hàm riêngcủa nó vào phương trình trên ∂ u ∂ x, u ∂ u ∂ y ,. .. xx ∂ x, uxy ∂ x ∂ y ,. . … .. .. .. . Lúc này hàm số u ( x, y ,. .. ) được gọi là nghiệmcủa phương trình đạo hàm riêng ( 1 ). TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. Hồ Chí Minh — năm ngoái. 9 / 1N hững kỹ năng và kiến thức cơ bản Định nghĩaChúng ta không chỉ tìm nghiệm riêng không liên quan gì đến nhau mà cònnghiên cứu mọi tập hợp nghiệm, và trong trườnghợp riêng chọn ra những nghiệm riêng với nhữngđiều kiện bổ trợ vào phương trình ( 1 ). Phương trình đạo hàm riêng ( 1 ) sẽ trở thànhphương trình vi phân thường thì, nếu chỉ có 1 biến số. Cấp của đạo hàm cao nhất trong phương trình viphân, được gọi là cấp của phương trình vi phânnày. TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. TP HCM — năm ngoái. 10 / 1N hững kiến thức và kỹ năng cơ bản Ví dụVí dụ 1. 3 x ∂ u ∂ y + xy ∂ u ∂ x = 0 − PTĐHR cấp 1. Ví dụ 2. ∂ u ∂ x + 3 sin x ∂ u ∂ y + u − 1 = 0 − PTĐHR cấp 1. Ví dụ 3. ∂ u ∂ t = a ∂ x − PTĐHR cấp 2. Ví dụ 4. ∂ x ∂ y ∂ z = 0 − PTĐHR cấp 2. TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. Hồ Chí Minh — năm ngoái. 11 / 1N hững kiến thức và kỹ năng cơ bản Phương trình tuyến tínhĐịnh nghĩaPhương trình vi phân được gọi là tuyến tính, nếuhàm số F tuyến tính theo biếnu, u, u ,. .., uxx, uxy ,. .. và những thông số chỉ phụthuộc vào biến số x, y ,. .. . Phần lớn ta sẽ điều tra và nghiên cứu những phương trìnhtuyến tính ; những phương trình có dạng tổng quáthơn thường sẽ được đổi khác về những phươngtrình tuyến tính. TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. Hồ Chí Minh — năm ngoái. 12 / 1N hững kiến thức và kỹ năng cơ bản Ví dụVí dụ 1. Phương trình tuyến tính cấp 1 hai biến ∂ u ∂ x + B ∂ u ∂ y + Cu = f, trong đó A, B, C, f là hàm hai biến nhờ vào vàox, y. Ví dụ 2. Phương trình tuyến tính cấp 2 hai biến ∂ x + 2B ∂ x ∂ y + C ∂ y + D ∂ u ∂ x + E ∂ u ∂ y + Fu = g, trong đó A, B, C, D, E, F, g là hàm hai biến phụthuộc vào x, y. TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. Hồ Chí Minh — năm ngoái. 13 / 1N hững kiến thức và kỹ năng cơ bản Phân loại phương trình tuyến tính cấp 2PTVP ĐHR tuyến tính cấp 2 được gọi làEliptic nếu AC − B > 0P arabolic nếu AC − B = 0H yperbolic nếu AC − B < 0 thuần nhất nếu g = 0, không thuần nhất nếug  = 0. TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. TP HCM — năm ngoái. 14 / 1N hững kỹ năng và kiến thức cơ bản Ví dụPhương trình Laplace ∂ x ∂ y = 0 làphương trình eliptic. Phương trình truyền nhiệt ∂ u ∂ t = a ∂ xlàphương trình parabolic. Phương trình sóng ∂ t = a ∂ xlà phươngtrình hyperbolic. Phương trình Tricomi y ∂ x ∂ y = 0 là PTeliptic ở y > 0 và là PT hyperbolic ở y < 0. TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. Hồ Chí Minh — năm ngoái. 15 / 1N hững kiến thức và kỹ năng cơ bản Bài tậpTìm những miền trong đó những phương trình sau đâylà hyperbolic, parabolic, elliptic ∂ x + 2 ∂ x ∂ y − 3 ∂ y = 0 ∂ x − 2 x ∂ x ∂ y + y ∂ y = u + 1. TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. Hồ Chí Minh — năm ngoái. 16 / 1 Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Đặt vấn đềCho phương trình tuyến tính cấp 2 hai biến ∂ x + 2B ∂ x ∂ y + C ∂ y + D ∂ u ∂ x + E ∂ u ∂ y + Fu = g, trong đó A, B, C, D, E, F, g là hàm hai biến phụthuộc vào x, y. Bài toán. Bằng cách đổi biếnξ = ϕ ( x, y ), η = ψ ( x, y ) và giả sử sống sót phépbiến đổi ngược, ta sẽ nhận được phương trình mớicó dạng đơn thuần nhất tương tự với phươngtrình khởi đầu. Vấn đề chọn biến mới như thế nào ? TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. TP HCM — năm ngoái. 17 / 1 Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Đặt yếu tố = u + u, u = u + uxx = uξξ ( ξ + 2 uξη + uηη ( η + uxx + uxxxyξξ + uξη ( ξ + ξ ) + uηη + uxy + uxyyy = uξξ ( ξ + 2 uξη + uηη ( η + uyy + u. ηyyThay vào phương trình bắt đầu ta được11ξξ + 2 a12ξη + a22ηη + G = 0, trong đó11 = A ( ξ + 2B ξ + C ( ξ12 = Aξ + B ( ξ + ξ ) + C ξ22 = A ( η + 2B η + C ( ηTS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. Hồ Chí Minh — năm ngoái. 18 / 1 Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Phương trình đặc trưngĐịnh nghĩaĐường ϕ ( x, y ) = C = const được gọi là đườngcong tích phân đặc trưng, nếu nó là nghiệm củaphương trình ∂ ϕ ∂ x + 2B ∂ ϕ ∂ x ∂ ϕ ∂ y + C ∂ ϕ ∂ y = 0. Vì ϕ ( x, y ) = C nên ∂ ϕ ∂ xdx + ∂ ϕ ∂ ydy = 0. TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. TP HCM — năm ngoái. 19 / 1 Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Phương trình đặc trưngPhương trình đặc trưngA ( dy ) − 2B. dxdy + C ( dx ) = 0N ếu B − AC > 0 thì PTĐHR có 2 họ đặctrưng Ady − ( B + − AC ) dx = 0 vàAdy + ( B + − AC ) dx = 0N ếu B − AC = 0 thì PTĐHR có 1 họ đặctrưng Ady − Bdx = 0N ếu B − AC < 0 thì PTĐHR có 2 họ đặctrưng Ady − ( B + i | B − AC | ) dx = 0 vàAdy + ( B − i | B − AC | ) dx = 0TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. TP HCM — năm ngoái. 20 / 1 Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Phương trình loại HyperbolicĐối với phương trình Hyperbolic thì B − AC > 0 nên ta có 2 đường cong tích phân ξ ( x, y ) vàη ( x, y ) do đó a11 = 0 và a22 = 0. Lúc này phươngtrình thu được có dạng uξη = Φ ( ξ, η, u, u ). Đâylà dạng chính tắc thứ nhất của phương trình loạiHyperbolic. Nếu đổi biến thêm 1 lần nữaα = ξ + η, β = ξ − η, ta được u ( u + u ), ( u − u ), uξη ( uαα − uββ ). Vậyαα − uββ = 4 Φ. Đây là dạng chính tắc thứ haicủa phương trình loại Hyperbolic. TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. TP HCM — năm ngoái. 21 / 1 Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Phương trình loại ParabolicĐối với phương trình Parabolic thì B − AC = 0 nên ta có 1 đường cong tích phân ξ ( x, y ) do đó11 = A ( ξ + 2B ξ + C ( ξAξC ξ = 0. Từ đó suy ra12 = Aξ + B ( ξ + ξ ) + C ξAξC ξ ) ( AηC η ) = 0. Lúc nàyphương trình thu được có dạngηη = Φ ( ξ, η, u, u ). Đây là dạng chính tắc củaphương trình loại Parabolic. TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. TP HCM — năm ngoái. 22 / 1 Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Phương trình loại EllipticĐối với phương trình Elliptic thì B − AC < 0 nênta có 2 đường cong tích phân phứcξ ( x, y ) = ϕ ( x, y ) và η ( x, y ) = ϕ ( x, y ) do đó11 = 0 và a22 = 0. Lúc này phương trình thuđược có dạng uξη = Φ ( ξ, η, u, u ) giống nhưphương trình loại Hyperbolic. Để không gặp biếnphức, ta đổi biến thêm 1 lần nữa α = ξ + ηβ = ξ − η2i, ta được uξη ( uαα + uββ ). Vậyαα + uββ = 4 Φ. Đây là dạng chính tắc củaphương trình loại Elliptic. TS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. Hồ Chí Minh — năm ngoái. 23 / 1 Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Ví dụVí dụ 1. Đưa phương trình sau về dạng chính tắcxx − yyy = 0A = x, B = 0, C = − y. B − AC = x > 0. Đây là phương trình thuộc dạng Hyperbolic. Phương trình đặc trưng x ( dy ) − y ( dx ) = 0 ⇒ xdy + ydx = 0 xdy − ydx = 0 xy = C = CTS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. TP HCM — năm ngoái. 24 / 1 Đưa PTĐHR cấp 2 về dạng chính tắc Ví dụThực hiện phép đổi biến ξ = xy, η =. Khi đó tacó u = u + u = uy − u = u + u = ux + uxx = ( u ∂ ξ − 2 ∂ ξ ∂ η ∂ η + 2 ∂ u ∂ ηyy = ( u ∂ ξ + 2 ∂ ξ ∂ η ∂ ηTS. Lê Xuân Đại ( BK TPHCM ) PHƯƠNG TRÌNH TOÁN LÝ VÀ CƠ SỞ TOÁN ỨNG DỤNGTP. Hồ Chí Minh — năm ngoái. 25 / 1

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay