Hình học xạ ảnh và một số ứng dụng trong hình học sơ cấp

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.28 MB, 45 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VĂN ĐỨC CHÍN

HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VĂN ĐỨC CHÍN

HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGÔ VĂN ĐỊNH

Thái Nguyên – 2015

Mục lục
Mở đầu

5

1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

7

1.1

1.2

1.3

Mặt phẳng xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

7

1.1.1

Định nghĩa. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

7

1.1.2

Mục tiêu và tọa độ xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

7

1.1.3

Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. .

8

1.1.4

Tỉ số kép trong P 2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

8

1.1.5

Các đường bậc hai trong P 2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

9

Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

9

1.2.1

Mục tiêu và tọa độ affine trong A2. .. .. .. .. .. .. .. .

10

1.2.2

Đường thẳng trong A2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

10

1.2.3

Tỉ số kép trong A2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

11

1.2.4

Thể hiện affine của các đường cônic trong A2

.. .. .. .. . .

11

Phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu. .. .. .. .. .. .. .. .. .

13

1.3.1

Ánh xạ xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

13

1.3.2

Phép chiếu xuyên tâm. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

13

1.3.3

Tính đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. .

14

1.3.4

Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm. .. .. .. .. .. .. .. .

15

2 Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp
2.1

16

Một số kết quả hình học sơ cấp thu được từ các định lý trong mặt phẳng
xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

16

2.1.1

Định lý Papuýt. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

16

2.1.2

Định lý Mênêlauýt và Định lý Xêva. .. .. .. .. .. .. .. .

22

2.1.3

Định lý Desargues. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

26

3

2.1.4
2.2

2.3

Định lý Pascal. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

29

Sáng tạo một số bài toán hình học sơ cấp từ các bài toán trong mặt
phẳng xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

35

Ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu. .. .. .. .. .

39

2.3.1

Bài toán đối ngẫu. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

39

2.3.2

Ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm. .. .. .. .. .. .. . .

40

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45

4

Mở đầu
Hình học xạ ảnh là một môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính. Nhiều
định lý hình học nổi tiếng cũng như nhiều bài toán hình học hay trở nên đơn giản dưới
góc nhìn của hình học xạ ảnh. Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là công cụ hữu hiệu
trong việc giải và sáng tạo các bài toán hình học sơ cấp.
Mục đích của luận văn là trình bày một số khái niệm trong mặt xạ ảnh, mô hình
xạ ảnh của mặt phẳng affine và đặc biệt là ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và sáng
tạo một số định lý và bài toán trong hình học sơ cấp.
Nội dung chính của luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1 – Cơ sở lý
thuyết và Chương 2 – Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp.
Trong chương 1, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về mặt phẳng xạ ảnh và mô
hình xạ ảnh của mặt phẳng affine. Mục đầu tiên của chương này giới thiệu khái niệm
về mặt phẳng xạ ảnh P 2 liên kết với một không gian véc tơ thực 3 chiều V 3 ; mục tiêu
và tọa độ xạ ảnh; khái niệm và phương trình đường thẳng trong P 2 ; tỷ số kép trong
P 2 và đường bậc hai trong P 2. Trong mục tiếp theo, chúng tôi trình bày mô hình xạ
ảnh của mặt phẳng affine. Mục cuối cùng của chương này giới thiệu về ánh xạ xạ ảnh,
đặc biệt là phép chiếu xuyên tâm, và trình bày về tính đối ngẫu trong không gian xạ
ảnh.
Chương 2 của luận văn trình bày về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và mô hình
xạ ảnh của mặt phẳng affine vào việc giải và sáng tạo một số định lý và bài toán hình
học sơ cấp.
Chọn trước một đường thẳng ∆ trong mặt phẳng xạ ảnh P 2. Khi đó trên tập hợp
A2 = P 2 \ ∆ có cấu trúc mặt phẳng affine. Các điểm nằm trên đường thẳng ∆ khi
đó được gọi là các điểm vô tận. Từ một định lý hoặc một bài toán trong mặt phẳng
xạ ảnh P 2, bằng cách chọn đường thẳng ∆ thích hợp ta có thể sáng tạo ra nhiều bài
toán khác nhau trong mặt phẳng affine. Luận văn trình bày việc chuyển đổi này đối

5

với một số định lý nổi tiếng và một số bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh. Với cách làm
này, chúng ta thu được nhiều kết quả hay của hình học sơ cấp.
Trong phần cuối của chương 2, chúng tôi trình bày ứng dụng của tính đối ngẫu
trong không gian xạ ảnh để sáng tạo các bài toán mới từ một số bài toán cho trước.
Đồng thời, chúng tôi trình bày ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm trong một số bài
toán chứng minh hình học.
Do thời gian hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất
mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả

Văn Đức Chín

6

Chương 1

CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1

Mặt phẳng xạ ảnh

Ở mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về mặt phẳng xạ ảnh và một số yếu tố liên
quan được sử dụng trong các phần tiếp theo của luận văn.
1.1.1

Định nghĩa

Cho V 3 là một không gian vectơ thực 3- chiều. Ta ký hiệu [V 3 ] là tập hợp các
không gian vectơ con một chiều của V 3. Một mặt phẳng xạ ảnh thực liên kết với không
gian V 3 là một bộ ba (P, p, V 3 ), trong đó P là một tập khác rỗng và p : [V 3 ] −→ P
là một song ánh, kí hiệu P 2. Mỗi phần tử A ∈ P 2 được gọi là một điểm. Nếu điểm
M ∈ P 2, M = p(V 1 ) và 0 = x ∈ V 3, sao cho V 1 = x, khi đó ta gọi x là vectơ đại
diện cho điểm M .
Nhận xét: Hai véc tơ cùng đại diện cho một điểm thì cộng tuyến với nhau. Hai véc
tơ đại diện cho hai điểm phân biệt thì độc lập tuyến tính.
1.1.2

Mục tiêu và tọa độ xạ ảnh

Trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 hệ điểm {M1, M2, M3 } được gọi là hệ điểm độc lập nếu
hệ các vectơ đại diện tương ứng của chúng {x1, x2, x3 } độc lập tuyến tính.
Hệ điểm {A1, A2, A3 ; E} được gọi là một mục tiêu ứng với cơ sở đại diện {e1, e2, e3 }
trong P 2 nếu {A1, A2, A3 } độc lập và e = e1 + e2 + e3, trong đó e = 0 là vectơ đại diện
của E và ei là vectơ đại diện cho Ai, với i = 1, 2, 3.
Giả sử {A1, A2, A3 ; E} là mục tiêu ứng với cơ sở {e1, e2, e3 } và M ∈ P 2 có vectơ đại
diện là x. Khi đó, nếu x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 thì bộ ba (x1 : x2 : x3 ) được gọi là tọa
7

độ điểm M đối với mục tiêu đã cho và ta viết M (x1 : x2 : x3 ).
1.1.3

Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh

Cho V 2 là một không gian véc tơ con 2 chiều của không gian véc tơ V 3. Kí hiệu

[V 2 ] là tập tất cả các không gian véc tơ con 1 chiều của V 2. Khi đó tập hợp p([V 2 ])
được gọi là đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh P 2, ký hiệu là P 1 hoặc ∆.
Giả sử đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt M1, M2 ∈ P 2 và điểm X(x1, x2, x3 ) ∈
∆. Khi đó ta có
[X] = t1 [M1 ] + t2 [M2 ],

(t21 + t22 = 0),

với [X], [M1 ], [M2 ] là các ma trận tọa độ cột của các điểm X, M1, M2. Từ đó ta có
phương trình của ∆ là a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0 (a1, a2, a3 không đồng thời bằng 0). Bộ
số (a1, a2, a3 ) được gọi là tọa độ của đường thẳng ∆ đối với mục tiêu đã chọn.
1.1.4

Tỉ số kép trong P 2

Tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng: Trong P 2 với mục tiêu cho trước, cho bốn điểm
phân biệt A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng. Giả sử
[C] = k1 [A] + l1 [B]
và

[D] = k2 [A] + l2 [B].

Khi đó, tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D được ký hiệu là [A, B, C, D] và được xác
định bởi
l1 l2
: .
k1 k2
Nếu [A, B, C, D] = −1 ta nói A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa (hay cặp C, D chia
[A, B, C, D] =

điều hòa cặp điểm A, B).
Tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng: Cho chùm bốn đường thẳng phân biệt α, β, γ, δ
trong P 2. Với mục tiêu cho trước, giả sử bốn đường thẳng α, β, γ, δ có ma trận tọa độ
lần lượt là [α], [β[, [γ[, [δ[. Ta có
[γ] = µ1 [α] + λ1 [β],
[δ] = µ2 [α] + λ2 [β],
trong đó, µ1, µ2, λ1, λ2 là các hệ số thực khác không. Tỉ số kép của chùm bốn đường
thẳng trên được xác định bởi
[α, β, γ, δ] =
8

λ1 λ2
: .
µ1 µ2

Nếu [α, β, γ, δ] = −1 ta nói α, β, γ, δ lập thành chùm đường thẳng điều hòa.
Nhận xét: nếu chùm bốn đường thẳng α, β, γ, δ bị cắt bởi một đường thẳng tương
ứng tại bốn điểm A, B, C, D thì ta có [α, β, γ, δ] = [A, B, C, D]. Đặc biệt, nếu chùm
bốn đường thẳng α, β, γ, δ điều hòa thì A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa.
1.1.5

Các đường bậc hai trong P 2

Một đường bậc hai trong P 2 là tập hợp S các điểm X(x1, x2, x3 ) ∈ P 2, thỏa mãn
phương trình
a11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2a12 x1 x2 + 2a12 x1 x3 + 2a23 x2 x3 = 0,
trong đó, aij là các hệ số không đồng thời bằng 0 và aij = aji, với i, j = 1, 2, 3.
Bằng cách chọn mục tiêu thích hợp, ta có thể đưa phương trình của một đường bậc
hai trong P 2 về một trong năm dạng chuẩn tắc sau:

1. Đường Ôvan ảo x21 + x22 + x23 = 0.
2. Đường cônic x21 + x22 − x23 = 0.
3. Cặp đường thẳng ảo x21 + x22 = 0.
4. Cặp đường thẳng phân biệt −x1 + x22 = 0.
5. Cặp đường thẳng trùng nhau x21 = 0.

1.2

Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine

Cho (và cố định) đường thẳng ∆ trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 với nền là không gian
véc tơ thực 3 chiều V 3. Đặt A2 = P 2 \∆. Chọn mục tiêu {A1, A2, A3 ; E} của P 2 sao
cho {A1, A2 } ∈ ∆. Khi đó đường thẳng ∆ có phương trình x3 = 0.
x1
x2
Giả sử X(x1, x2, x3 ) ∈ A2 thì x3 = 0. Đặt X1 =
và X2 =
thì bộ số (X1, X2 )
x3
x3
được gọi là tọa độ không thuần nhất của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh đã cho và
ta viết X = (X1, X2 ). Khi đó có một song ánh từ tập A2 vào R2 bằng cách ta cho mỗi
điểm thuộc A2 tương ứng với tọa độ không thuần nhất của nó. Gọi V 2 là không gian
vectơ 2 chiều trên trường số thực R với cơ sở {a1, a2 } và ta xét ánh xạ
ϕ:

A2 × A2 −→ V 2
−−→
(X, Y ) −→ ϕ(X, Y ) = XY = v = (Y1 − X1 )a1 + (Y2 − X2 )a2 .
9

Ta có
• ∀X = (X1, X2 ) ∈ A2 và v = (v1, v2 ) ∈ V 2. Khi đó có duy nhất điểm Y (Y1, Y2 ), với
Y1 = X1 + v1, Y2 = X2 + v2, thỏa mãn ϕ(X, Y ) = v.
• ∀X = (X1, X2 ), Y = (Y1, Y2 ), Z = (Z1, Z2 ) ∈ A2, ϕ(X, Z) = ϕ(Z, Y ) + ϕ(Y, X).
Điều này suy ra, A2 là một không gian affine liên kết với không gian véc tơ V 2. Ta gọi
A2 là mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine.
1.2.1

Mục tiêu và tọa độ affine trong A2

Ta vẫn xét mục tiêu xạ ảnh {A1, A2, A3 ; E} trong P 2 như trên. Gọi E1, E2 lần lượt
là giao điểm của đường thẳng A1 A3, A2 A3 với đường thẳng ∆. Tọa độ không thuần
nhất của E1, E2 và A3 là
E1 = (1, 0), E2 = (0, 1), A3 = (0, 0).
−−−→
−−−→
Đặt A3 E1 = e1 và A3 E2 = e2 thì {A3 ; E1, E2 } là một mục tiêu affine trong A2, được
gọi là mục tiêu affine sinh bởi mục tiêu xạ ảnh {A1, A2, A3 ; E}.
−−→
Khi đó, ∀X = (X1, X2 ) ∈ A2 ta có A3 X = X1 e1 + X2 e2, tức là (X1, X2 ) là tọa độ
affine của X đối với mục tiêu affine {A3 ; E1, E2 }.
1.2.2

Đường thẳng trong A2

Giả sử d1 là đường thẳng trong P 2 và không trùng với ∆. Khi đó, d1 = d1 \∆ là một
đường thẳng trong A2. Thật vậy, với mục tiêu xạ ảnh đã chọn, giả sử đường thẳng d1
có phương trình

a1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 3 = 0

(1.2.1)

Vì d1 là đường thẳng không trùng với ∆ nên mỗi X ∈ d1, X = (x1, x2, x3 ) thì x3 = 0.
Ta chia hai vế (1.2.1) cho x3 thì tọa độ không thuần nhất của X thỏa mãn phương
trình
a1 X1 + a2 X2 + a3 = 0

(1.2.2)

Từ (1.2.2) suy ra d1 là đường thẳng trong A2 .
Cho d1, d2 là hai đường thẳng phân biệt trong P 2 khác ∆, I = d1 ∩ d2 và trong
A2 = P 2 \∆ gọi d1, d2 là các đường thẳng tương ứng với d1, d2. Khi đó:
• nếu I ∈ ∆ thì d1 d2 ;
10

• nếu I ∈
/ ∆ thì d1 ∩ d2 = I.
1.2.3

Tỉ số kép trong A2

Trong không gian P 2 lấy bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng với A(a1, a2, 1), B(b1, b2, 1).
Khi đó tọa độ C và D lần lượt có dạng
C(k1 a1 + l1 b1, k1 a2 + l1 b2, k1 + l1 ), D(k2 a1 + l2 b1, k2 a2 + l2 b2, k2 + l2 ),
trong đó, k1, k2, l1, l2 là các hệ số khác không. Tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D trong
P 2 là
[ABCD] =

l1 l2
: .
k1 k2

Trong A2 = P 2 \∆ thì tọa độ của bốn điểm trên là: A(a1, a2 ), B(b1, b2 ), C(c1, c2 ) và
D(d1, d2 ). Trong đó
ci =

k1 ai + l1 bi
k1 + l1

và di =

k2 ai + l2 bi
,
k2 + l2

(i = 1, 2).

k1 (bi − ai )
l1 (ai − bi )
và bi − ci =
.
k1 + l1
k1 + l1
−→
l1 −−→
l1
Do đó CA = − CB nên tỉ số đơn của ba điểm A, B, C là [ABC] = −. Tương tự

k1
k1
l2
[ABC]
ta có [ABD] = −. Vậy [ABCD] =
.
k2
[ABD]
Đặc biệt nếu C hoặc D nằm trên ∆, giả sử là D thì ta có
Suy ra ai − ci =

[ABCD] = [ABC∞] = [ABC] =

l1
.
k1

Tương tự ta cũng có thể tính được tỉ số kép trên trong trường hợp C ∈ ∆.
1.2.4

Thể hiện affine của các đường cônic trong A2

Trong P 2 cho đường cônic S và đường thẳng ∆ sao cho S ∩ ∆ = ∅. Khi đó thể hiện
của S trong mô hình affine A2 = P 2 \∆ là một elip (E). Thật vậy, giả sử cônic S có
phương trình chuẩn tắc x21 + x22 − x23 = 0 (1) và đường thẳng ∆ có phương trình x3 = 0
thì ta có S ∩ ∆ = ∅. Với điểm X(x1, x2, x3 ) ∈ S và X ∈
/ ∆ thì x3 = 0 nên ta chia hai
vế (1) cho X32 sẽ thu được phương trình
x1
x3

2

+

x2
x3

2

− 1 = 0 hay X12 + X22 = 1.

11

Trong P 2 cho đường cônic S và đường thẳng ∆ sao cho S ∩ ∆ = I. Khi đó trong
mô hình affine A2 = P 2 \∆ ta sẽ thu được một Parabol (P ). Thật vậy, giả sử cônic S
có phương trình x21 − x2 x3 = 0(2) và đường thẳng ∆ có phương trình x3 = 0. Khi đó
S ∩ ∆ = {0; 1; 0}. Chia hai vế (2) cho x23 ta thu được phương trình
x1
x3

2

−

x2
= 0 hay X12 − X2 = 0.
x3

Trong P 2 cho đường bậc hai S và đường thẳng ∆ sao cho S ∩ ∆ = {I; J}. Khi đó
trong mô hình affine A2 = P 2 \∆ ta sẽ thu được một Hypebol (H). Thật vậy, giả sử
cônic S có phương trình là
x21 − x22 − x23 = 0

(1.2.3)

và đường thẳng ∆ có phương trình là x3 − = 0 thì ta có S ∩∆ = {I(1, 1, 0), J(1, −1, 0)}.
Chia hai vế (1.2.3) cho x23 ta thu được phương trình
x1
x3

2

−

x2
x3

2

= 0 hay X12 − X22 = 0.

Đây là phương trình của một Hypebol (H) trong mô hình A2 = P 2 \∆. Hơn nữa, các
12

đường tiệm cận của (H) là các tiếp tuyến với cônic S tại I và J nên ta tìm được phương
trình các đường tiệm cận lần lượt là Y1 − Y2 = 0 và Y1 + Y2 = 0.

1.3
1.3.1

Phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu
Ánh xạ xạ ảnh

Cho V và W là hai không gian véc tơ thực 2 hoặc 3 chiều. Gọi P (V ) và P (W ) lần
lượt là không gian xạ ảnh liên kết với V và W. Giả sử T : V −→ W là một ánh xạ
tuyến tính. Khi đó, T biến một không gian véc tơ con U của V thành một không gian
véc tơ con T (U ) của W. Hơn nữa, nếu T là một đơn cấu thì dim T (U ) = dim U. Đặc
biệt, khi đó T biến không gian con 1 chiều của V thành không gian con 1 chiều của W
và do đó T hoàn toàn xác định một ánh xạ
τ : P (V ) −→ P (W ).
Định nghĩa 1.3.1. Một ánh xạ xạ ảnh từ P (V ) vào P (W ) là ánh xạ τ được sinh bởi
một đẳng cấu tuyến tính T : V −→ W .
Chú ý: Nếu λ là một hằng số khác không thì hai ánh xạ tuyến tính λT và T xác
định cùng một ánh xạ xạ ảnh. Ngược lại, nếu hai ánh xạ tuyến tính T và T cùng xác
định một ánh xạ xạ ảnh τ thì tồn tại hằng số λ = 0 sao cho T = λT .
1.3.2

Phép chiếu xuyên tâm

Định nghĩa 1.3.2. Trong mặt phẳng xạ ảnh P 2 cho 2 đường thẳng α và β và điểm
C ∈ P 2 \{α ∪ β}. Ánh xạ pc : α −→ β cho tương ứng X ∈ α với pc (X) = X sao cho
CX ∩ β = X được gọi là phép chiếu xuyên tâm từ α lên β với tâm C.
13

Nhận xét:
– Phép chiếu xuyên tâm hoàn toàn xác định bởi cặp đường thẳng α, β và tâm chiếu

C.
– Phép chiếu xuyên tâm giữ bất động tất cả những điểm giao của hai đường thẳng
α và β.
Phép chiếu xuyên tâm trong mặt phẳng P 2 có một số tính chất sau:
Định lý 1.3.3. Nếu coi 2 đường thẳng α và β là hai không gian xạ ảnh 1 chiều thì
phép chiếu xuyên tâm là một ánh xạ xạ ảnh.
Định lý 1.3.4. Cho hai đường thẳng α, α trong P 2. Một ánh xạ xạ ảnh f : α −→ α
là một phép chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi mọi phần tử của α ∩ α là tự ứng, tức là
f (M ) = M, ∀M ∈ α ∩ α .
1.3.3

Tính đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnh

Cho trước không gian véc tơ thực 3 chiều V. Kí hiệu V ∗ là không gian véc tơ các
dạng tuyến tính f : V −→ R trên V. Không gian véc tơ V ∗ được gọi là không gian véc
tơ đối ngẫu với của V. Không gian véc tơ đối ngẫu V ∗ có một số tính chất sau:
1. dim V ∗ = dim V và nếu v1, v2, v3 là một cơ sở của V thì tồn tại một cơ sở f1, f2, f3
của V ∗ thỏa mãn
fi (vj ) = δij =



1 nếu i = j,

0 nếu i = j.

2. Cho U là một không gian véc tơ con của V. Khi đó,
U 0 = {f ∈ V ∗ |f (v) = 0, ∀v ∈ U }
là một không gian véc tơ con của V ∗ và dim U + dim U 0 = dim V .
Tính chất [2] ở trên cho ta một tương ứng 1 − 1 tự nhiên giữa các điểm trong mặt

phẳng xạ ảnh P (V ∗ ) liên kết với V ∗ và các đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh P (V )
liên kết với V. Từ tương ứng 1 − 1 này, mỗi kết quả trong mặt phẳng xạ ảnh P (V ∗ )
có thể được thể hiện dưới dạng khác trong mặt phẳng xạ ảnh P (V ). Đó chính là tính
đối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh.

14

1.3.4

Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm

Bằng cách sử dụng tính đối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh, ta có thể thể hiện phép
chiếu xuyên tâm dưới dạng sau đây:
Định nghĩa 1.3.5. Trong không gian xạ ảnh P 2 cho 2 điểm O, O và đường thẳng α
không đi qua O và O. Gọi B là bó đường thẳng qua O và B là bó đường thẳng qua
O. Ánh xạ pα : B −→ B cho tương ứng m ∈ B với pα (m) = m sao cho (α ∩ m) ∈ m
được gọi là phép chiếu xuyên trục từ B lên B với trục α.
Các tính chất của phép chiếu xuyên tâm kéo theo các tính chất của phép chiếu
xuyên trục. Chẳng hạn, ta có hai tính chất dưới đây:
Định lý 1.3.6. Phép chiếu xuyên trục là một ánh xạ xạ ảnh.
Định lý 1.3.7. Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếu xuyên trục
là đường nối hai tâm phải tự ứng.

15

Chương 2

Ứng dụng hình học xạ ảnh trong

hình học sơ cấp
Từ mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine, ta có thể đưa một số bài toán trong mặt
phẳng xạ ảnh về những bài toán sơ cấp bằng cách chọn một đường thẳng thích hợp
trong mặt phẳng xạ ảnh làm đường thẳng vô tận. Do đó từ một bài toán xạ ảnh ban
đầu ta có thể có nhiều bài toán sơ cấp khác nhau.
Các bước thực hiện chuyển đổi như sau:
1. Chọn đường thẳng vô tận thích hợp (thường là đường đi qua nhiều giao điểm
nhất).
2. Biểu diễn lại các khái niệm, tính chất trong bài toán cũ sang hình sơ cấp.
3. Phát biểu bài toán sơ cấp vừa chuyển.

2.1

Một số kết quả hình học sơ cấp thu được từ các định lý
trong mặt phẳng xạ ảnh

Trước tiên, chúng tôi trình bày một số định lý trong mặt phẳng affine thu được
bằng cách chuyển từ các định lý quan trọng trong mặt phẳng xạ ảnh.
2.1.1

Định lý Papuýt

Trong mặt phẳng xạ ảnh P 2, định lý Papuýt được phát biểu như sau:

16

Định lý 2.1.1 (Định lý Papuýt). Trong mặt phẳng P 2, cho ba điểm phân biệt A, B, C
cùng nằm trên đường thẳng a và ba điểm phân biệt A, B, C cùng nằm trên đường
thẳng b khác a. Đặt M = AB ∩ BA, N = AC ∩ CA, P = BC ∩ CB. Khi đó ba điểm

M, N, P thẳng hàng.

Từ định lý này, ta thu được một số kết quả trong hình học sơ cấp bằng cách chuyển
vào mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine.
Cách chuyển 1:
• Ta chọn ∆ là đường M N và xét A2 = P 2 \M N .
• Khi ta xét trong A2 thì BC B C, CA C A và định lý Papuýt trong P 2 trở thành
định lý sau.
Định lý 2.1.2. Cho sáu điểm phân biệt A, B, C, A, B, C, trong đó A, B, C ∈ d và
A, B, C ∈ d. Nếu BC B C và CA C A thì AB A B.
Chứng minh:

• Trường hợp 1: d ∩ d = I
IB
IC
Ta có BC B C nên
=
= λ. Hay
IC
IB
−→
−→
IB = λIC

(2.1.1)

−→
−→
IC = λIB

(2.1.2)

IC
IA
=
= µ hay
IA
IC
−→
−
→
IC = µIA,

(2.1.3)

Ta có CA C A nên

17

−→
−→
IA = µIC

(2.1.4)

−→
−
→
Từ (2.1.1) và (2.1.2) ta có IB = λµIA.

−→
−→
Từ (2.1.3) và (2.1.4) ta có IA = µλIB .
−−→
−−→
−→ −→
−
→ −→
Do đó IB − IA = λµ(IA − IB ) hay A B = λµAB. Mà lại có A = B nên
AB A B
• Trường hợp 2 d d

Từ giả thiết BC B C và d d nên suy ra BC = C B .
−−→ −−→
−→ −−→
−−→ −→ −−→ −−→
Suy ra CA = A C, nên BC + CA = C B + A C hayBA = AB mà A = B nên
−−→ −−→
AB A B.

Cách chuyển 2:
• Ta chọn ∆ là CC, gọi I là giao điểm của d và d và xét A2 = P 2 \CC .
18

• Trong A2 thì ta có IB B N, AP IB, BN IB, IA A P nên IBN B, IAP A là
các hình bình hành. Định lí trên trở thành định lí sau.
Định lý 2.1.3. Cho hai hình bình hành IBN B ,IAP A với A, A tương ướng thuộc
IB,IB. Gọi M = AB ∩ BA. Khi đó M, N, P thẳng hàng.
Chứng minh:

Để chứng minh M, N, P thẳng hàng ta dùng phương pháp vectơ, nghĩa là chứng minh
−−→
−−→
N P = aM B.
Vì I, A, B thẳng hàng và I, A, B thẳng hàng và M = AB ∩ BA nên M, B, A và
M, B, A cũng là các bộ ba điểm thẳng hàng. Do vậy ta đặt:
−→
−
→
IB = tIA
−→
−→
IB = k IA
−−→
−−→
AM = αAB
−−→
−−→
BM = β A B
−−→
−→ −
−−→
−−→ −
→
→
Từ (2.1.5): AM = αAB ⇔ IM − IA = α(IB − IA)
−→
−→
−−→

⇔ IM = αIB + (1 − α)IA
(theo(2))
−→
−−→
−
→
⇔ IM = αk IA + (1 − α)IA

(2.1.5)
(2.1.6)
(2.1.7)
(2.1.8)

(2.1.9)

Tương tự từ (2.1.6) ta có :
−→
−−→
−
→
IM = βtIA + (1 − β)IA
19

(2.1.10)

−→
−
→ −→
−−→

−
→
Vì IA, IA không cộng tuyến nên IM biểu diễn qua IA và IA là duy nhất nên từ
(5), (6) ta có hệ:


1 − α = βt

1 − β

⇔






= αk
1−k

α =



β

(2.1.11)

1 − αk

= 1 − αk

Thay (2.1.7) vào(2.1.8) ta đươc:




1 − t −→
1−t −
−−→
→
 IA
IM =
k IA + 1 −
1 − kt
1 − kt
1 − t −→ t(1 − k)−
→
−−→
k IA +
IA
⇔ IM =
1 − kt
1 − kt

(2.1.12)

Mặt khác ta lại có :
−→ −→ −→
IN = IB + IB

(quy tắc hình bình hành)

−→
−→
−
→
⇔ IN = tIA + k IA

(2.1.13)

−→ −
→ −→
IP = IA + IA

(2.1.14)

Và

Trừ vế với vế của (2.1.13) cho (2.1.14) ta được
−→
−−→
−
→
P N = (t − 1)IA + (k − 1)IA .

(2.1.15)

Trừ vế với vế của (2.1.12) cho (2.1.14) ta được:
−→

1−t
t(1 − k) −→
k − 1 IA +
IA
1 − kt
1 − kt




1−t
t(1 − k) −
−→
→
 IA.
= 
k − 1 IA + 
1 − kt
1 − kt

−−→
PM =

−−→
−−→
−−→
−−→
Từ (2.1.15),(2.1.16) ta có P N = aP M hay N P = aM P với a = 1 − k.
Vậy ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Cách chuyển 3:
20

(2.1.16)

• Ta chọn AC là đường thẳng ∆ và xét A2 = P 2 \AC .
• Trong A2 ta có BCM B, BN A B. Khi đó ta có định lý sau trong hình học sơ
cấp.
Định lý 2.1.4. Tứ giác BCB A (BC không song song với A B ). Từ B kẻ song song
với BC giao BA tại M, từ B kẻ song song với A B giao CB tại N thì M N A C.

Cách chuyển 4:
• Ta chọn đường thẳng ∆ là đường thẳng không chứa bất kỳ điểm nào của bài toán
và xét trong A2 = P 2 \∆.
• Trong A2 các quan hệ giữa các cặp cạnh trong định lý trên được giữ nguyên và ta
có định lý Papuýt trong hình sơ cấp phát biểu như sau.
Định lý 2.1.5. Ba điểm phân biệt A, B, C nằm trên đường thẳng a và ba điểm phân
biệt A, B, C nằm trên đường thẳng b.M = AB ∩BA, N = AC ∩CA, P = BC ∩CB
thì ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Nhận xét: Từ định lý ban đầu trong hình học xạ ảnh, chúng ta có thể chọn các
đường thẳng ∆ khác nhau nên ta có thể chuyển định lý đó thành nhiều định lý khác
nhau trong hình sơ cấp mà các định lý này nói về quan hệ song song hoặc tính thẳng
hàng của hệ điểm. Ví dụ như định lý 3, 4 trên được nhắc đến trong Nâng cao và phát
triển 7 – tập 1, 2 NXB GD, 2004. Mặt khác, định lý 1,2 được chứng minh bằng phương
21

pháp vectơ được học trong chương trình hình học 10, tức là từ một bài toán xạ ảnh ta
có thể chuyển thành các bài toán sơ cấp phù hợp với các cấp học khác nhau.

2.1.2

Định lý Mênêlauýt và Định lý Xêva

Chúng ta tiếp tục xét với định lý Mênêlauýt:
Định lý 2.1.6 (Định lý Mênêlauýt). Trong P 2 cho ba điểm không thẳng hàng A1, A2, A3
và một đường thẳng d không đi qua ba điểm đó cắt các đường thẳng A2 A3, A3 A1, A1 A2
tương ứng tại K1, K2, K3. Gọi L1, L2, L3 lần lượt là các điểm tương ứng trên các đường
thẳng A2 A3, A3 A1, A1 A2 (khác A1, A2, A3 ). Điều kiện cần và đủ để ba điểm L1, L2, L3
thẳng hàng là:
[A2 A3 K1 L1 ].[A3 A1 K2 L2 ].[A1 A2 K3 L3 ] = 1
Cách chuyển:
• Ta chọn d là đường thẳng vô tận và xét A2 = P 2 \d.

22

• Lúc đó trong A2 thì K1, K2, K3 là các điểm vô tận và ta có
1
[A2 A3 K1 L1 ] =

[A2 A3 L1 ]

=

1
[A3 A1 K2 L2 ] =

[A3 A1 L2 ]

=

1
[A1 A2 K3 L3 ] =

[A1 A2 L3 ]

=

L1 A2
L1 A3
L2 A3
L2 A1
L3 A1
L3 A2

,

,

.

• Định lý Mênêlauýt trong hình học sơ cấp được phát biểu lại như sau.
Định lý 2.1.7. Cho tam giác ABC, ba điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.
MB NC P A
Ba điểm M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi

MC NAP B

= 1.

Chứng minh:

Điều kiện cần:
∆ABC; M ∈ BC, N ∈ CA, P ∈ AB; M, N, P thẳng hàng. Chứng minh:
MB NC P A
MC NAP B

23

=1

Từ A kẻ AQ BC, Q ∈ M N, ta có:
AN

AQ
MC

=

NC

AQ
MB

⇒
⇒

AP

=

AP N C
P B NA

PB

AQ M C
=

M B AQ

MC
=

MB

M B N C AP
MC NAP B

= 1.

Điều kiện đủ:
∆ABC; M ∈ BC, N ∈ CA, P ∈ AB;

MB NC P A
MC NAP B

= 1.

Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Giả sử P N ∩ BC = M, theo định lý Mênêlauýt phần thuận ta có:

M B NC P A
M C NAP B

= 1.

M B N C AP
Theo giả thiết phần đảo ta có :

MC NAP B
⇒ M ≡ M hay M, N, P thẳng hàng.

= 1.

Định lý được chứng minh.

Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển định lý Xêva sang mặt phẳng affine. Định lý Xêva trong
mặt phẳng xạ ảnh được phát biểu như sau:
Định lý 2.1.8 (Định lý Xêva). Trong P 2 cho ba điểm không thẳng hàng A1, A2, A3
và một đường thẳng d không đi qua ba điểm đó cắt các đường A2 A3, A3 A1, A1 A2 tương
24

ứng tại K1, K2, K3. Gọi L1, L2, L3 lần lượt là các điểm tương ứng trên các đường thẳng
A2 A3, A3 A1, A1 A2 (khác A1, A2, A3 ). Điều kiện cần và đủ A1 L1, A2 L2, A3 L3 đồng quy
tại một điểm là:
[A2 A3 K1 L1 ].[A3 A1 K2 L2 ].[A1 A2 K3 L3 ] = −1
.

Cách chuyển:
• Ta chọn d là đường thẳng vô tận và xét A2 = P 2 \d.
• Lúc đó trong A2 thì K1, K2, K3 là các điểm vô tận và ta có
[A2 A3 K1 L1 ] =

L1 A2
1
=
,
[A2 A3 L1 ]
L1 A3

[A3 A1 K2 L2 ] =

1
L2 A3
=
,
[A3 A1 L2 ]
L2 A1

[A1 A2 K3 L3 ] =

1
L3 A1
=
.
A1 A2 L3
L3 A2

Định lý Xêva trong hình sơ cấp phát biểu như sau.
Định lý 2.1.9. Cho tam giác ABC, ba điểm E, F, G lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB.
Khi đó ba đường thẳng AE, BF, CG đồng quy khi và chỉ khi
EB F C GA
EC F A GB

= −1.

Chứng minh:
Ta chứng minh định lý này bằng phương pháp đại số.

Điều kiện cần: ∆ABC; E ∈ BC, F ∈ CA, G ∈ AB; AE, BF, CG đồng quy.
25

Thái Nguyên – 2015M ục lụcMở đầu1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT1. 11.21.3 Mặt phẳng xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1.1.1 Định nghĩa. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1.1.2 Mục tiêu và tọa độ xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1.1.3 Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. . 1.1.4 Tỉ số kép trong P. 2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1.1.5 Các đường bậc hai trong P. 2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affine. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 1.2.1 Mục tiêu và tọa độ affine trong A2. .. .. .. .. .. .. .. . 101.2.2 Đường thẳng trong A2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 101.2.3 Tỉ số kép trong A2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 111.2.4 Thể hiện affine của những đường cônic trong A2. .. .. .. .. . 11P hép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu. .. .. .. .. .. .. .. .. . 131.3.1 Ánh xạ xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 131.3.2 Phép chiếu xuyên tâm. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 131.3.3 Tính đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. . 141.3.4 Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâm. .. .. .. .. .. .. .. . 152 Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp2. 116M ột số hiệu quả hình học sơ cấp thu được từ những định lý trong mặt phẳngxạ ảnh. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 162.1.1 Định lý Papuýt. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 162.1.2 Định lý Mênêlauýt và Định lý Xêva. .. .. .. .. .. .. .. . 222.1.3 Định lý Desargues. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 262.1.42.22.3 Định lý Pascal. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 29S áng tạo một số ít bài toán hình học sơ cấp từ những bài toán trong mặtphẳng xạ ảnh. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 35 Ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫu. .. .. .. .. . 392.3.1 Bài toán đối ngẫu. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 392.3.2 Ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm. .. .. .. .. .. .. .. 40K ết luận44Tài liệu tham khảo45Mở đầuHình học xạ ảnh là một môn hình học tổng quát sử dụng công cụ tuyến tính. Nhiềuđịnh lý hình học nổi tiếng cũng như nhiều bài toán hình học hay trở nên đơn thuần dướigóc nhìn của hình học xạ ảnh. Vì vậy, sử dụng hình học xạ ảnh là công cụ hữu hiệutrong việc giải và phát minh sáng tạo những bài toán hình học sơ cấp. Mục đích của luận văn là trình diễn 1 số ít khái niệm trong mặt xạ ảnh, mô hìnhxạ ảnh của mặt phẳng affine và đặc biệt quan trọng là ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và sángtạo một số ít định lý và bài toán trong hình học sơ cấp. Nội dung chính của luận văn được trình diễn trong hai chương : Chương 1 – Cơ sở lýthuyết và Chương 2 – Ứng dụng hình học xạ ảnh trong hình học sơ cấp. Trong chương 1, chúng tôi trình diễn những kỹ năng và kiến thức cơ sở về mặt phẳng xạ ảnh và môhình xạ ảnh của mặt phẳng affine. Mục tiên phong của chương này ra mắt khái niệmvề mặt phẳng xạ ảnh P. 2 link với một khoảng trống véc tơ thực 3 chiều V 3 ; mục tiêuvà tọa độ xạ ảnh ; khái niệm và phương trình đường thẳng trong P. 2 ; tỷ số kép trongP 2 và đường bậc hai trong P. 2. Trong mục tiếp theo, chúng tôi trình diễn quy mô xạảnh của mặt phẳng affine. Mục ở đầu cuối của chương này ra mắt về ánh xạ xạ ảnh, đặc biệt quan trọng là phép chiếu xuyên tâm, và trình diễn về tính đối ngẫu trong khoảng trống xạảnh. Chương 2 của luận văn trình diễn về ứng dụng của mặt phẳng xạ ảnh và mô hìnhxạ ảnh của mặt phẳng affine vào việc giải và phát minh sáng tạo 1 số ít định lý và bài toán hìnhhọc sơ cấp. Chọn trước một đường thẳng ∆ trong mặt phẳng xạ ảnh P. 2. Khi đó trên tập hợpA2 = P. 2 \ ∆ có cấu trúc mặt phẳng affine. Các điểm nằm trên đường thẳng ∆ khiđó được gọi là những điểm vô tận. Từ một định lý hoặc một bài toán trong mặt phẳngxạ ảnh P. 2, bằng cách chọn đường thẳng ∆ thích hợp ta hoàn toàn có thể phát minh sáng tạo ra nhiều bàitoán khác nhau trong mặt phẳng affine. Luận văn trình diễn việc quy đổi này đốivới 1 số ít định lý nổi tiếng và 1 số ít bài toán trong mặt phẳng xạ ảnh. Với cách làmnày, tất cả chúng ta thu được nhiều hiệu quả hay của hình học sơ cấp. Trong phần cuối của chương 2, chúng tôi trình diễn ứng dụng của tính đối ngẫutrong khoảng trống xạ ảnh để phát minh sáng tạo những bài toán mới từ một số ít bài toán cho trước. Đồng thời, chúng tôi trình diễn ứng dụng của phép chiếu xuyên tâm trong một số ít bàitoán chứng tỏ hình học. Do thời hạn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rấtmong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và bè bạn đồng nghiệp. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015T ác giảVăn Đức ChínChương 1C Ơ SỞ LÝ THUYẾT1. 1M ặt phẳng xạ ảnhỞ mục này, chúng tôi trình diễn sơ lược về mặt phẳng xạ ảnh và một số ít yếu tố liênquan được sử dụng trong những phần tiếp theo của luận văn. 1.1.1 Định nghĩaCho V 3 là một khoảng trống vectơ thực 3 – chiều. Ta ký hiệu [ V 3 ] là tập hợp cáckhông gian vectơ con một chiều của V 3. Một mặt phẳng xạ ảnh thực link với khônggian V 3 là một bộ ba ( P., p, V 3 ), trong đó P. là một tập khác rỗng và p : [ V 3 ] − → Plà một tuy nhiên ánh, kí hiệu P. 2. Mỗi thành phần A ∈ P. 2 được gọi là một điểm. Nếu điểmM ∈ P. 2, M = p ( V 1 ) và 0 = x ∈ V 3, sao cho V 1 = x, khi đó ta gọi x là vectơ đạidiện cho điểm M. Nhận xét : Hai véc tơ cùng đại diện thay mặt cho một điểm thì cộng tuyến với nhau. Hai véctơ đại diện thay mặt cho hai điểm phân biệt thì độc lập tuyến tính. 1.1.2 Mục tiêu và tọa độ xạ ảnhTrong mặt phẳng xạ ảnh P. 2 hệ điểm { M1, M2, M3 } được gọi là hệ điểm độc lập nếuhệ những vectơ đại diện thay mặt tương ứng của chúng { x1, x2, x3 } độc lập tuyến tính. Hệ điểm { A1, A2, A3 ; E } được gọi là một tiềm năng ứng với cơ sở đại diện thay mặt { e1, e2, e3 } trong P. 2 nếu { A1, A2, A3 } độc lập và e = e1 + e2 + e3, trong đó e = 0 là vectơ đại diệncủa E và ei là vectơ đại diện thay mặt cho Ai, với i = 1, 2, 3. Giả sử { A1, A2, A3 ; E } là tiềm năng ứng với cơ sở { e1, e2, e3 } và M ∈ P. 2 có vectơ đạidiện là x. Khi đó, nếu x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 thì bộ ba ( x1 : x2 : x3 ) được gọi là tọađộ điểm M so với tiềm năng đã cho và ta viết M ( x1 : x2 : x3 ). 1.1.3 Đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnhCho V 2 là một khoảng trống véc tơ con 2 chiều của khoảng trống véc tơ V 3. Kí hiệu [ V 2 ] là tập tổng thể những khoảng trống véc tơ con 1 chiều của V 2. Khi đó tập hợp p ( [ V 2 ] ) được gọi là đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh P. 2, ký hiệu là P. 1 hoặc ∆. Giả sử đường thẳng ∆ đi qua hai điểm phân biệt M1, M2 ∈ P. 2 và điểm X ( x1, x2, x3 ) ∈ ∆. Khi đó ta có [ X ] = t1 [ M1 ] + t2 [ M2 ], ( t21 + t22 = 0 ), với [ X ], [ M1 ], [ M2 ] là những ma trận tọa độ cột của những điểm X, M1, M2. Từ đó ta cóphương trình của ∆ là a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0 ( a1, a2, a3 không đồng thời bằng 0 ). Bộsố ( a1, a2, a3 ) được gọi là tọa độ của đường thẳng ∆ so với tiềm năng đã chọn. 1.1.4 Tỉ số kép trong P. 2T ỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng : Trong P. 2 với tiềm năng cho trước, cho bốn điểmphân biệt A, B, C, D cùng thuộc một đường thẳng. Giả sử [ C ] = k1 [ A ] + l1 [ B ] và [ D ] = k2 [ A ] + l2 [ B ]. Khi đó, tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D được ký hiệu là [ A, B, C, D ] và được xácđịnh bởil1 l2 :. k1 k2Nếu [ A, B, C, D ] = − 1 ta nói A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa ( hay cặp C, D chia [ A, B, C, D ] = điều hòa cặp điểm A, B ). Tỉ số kép của chùm bốn đường thẳng : Cho chùm bốn đường thẳng phân biệt α, β, γ, δtrong P. 2. Với tiềm năng cho trước, giả sử bốn đường thẳng α, β, γ, δ có ma trận tọa độlần lượt là [ α ], [ β [, [ γ [, [ δ [. Ta có [ γ ] = µ1 [ α ] + λ1 [ β ], [ δ ] = µ2 [ α ] + λ2 [ β ], trong đó, µ1, µ2, λ1, λ2 là những thông số thực khác không. Tỉ số kép của chùm bốn đườngthẳng trên được xác lập bởi [ α, β, γ, δ ] = λ1 λ2 :. µ1 µ2Nếu [ α, β, γ, δ ] = − 1 ta nói α, β, γ, δ lập thành chùm đường thẳng điều hòa. Nhận xét : nếu chùm bốn đường thẳng α, β, γ, δ bị cắt bởi một đường thẳng tươngứng tại bốn điểm A, B, C, D thì ta có [ α, β, γ, δ ] = [ A, B, C, D ]. Đặc biệt, nếu chùmbốn đường thẳng α, β, γ, δ điều hòa thì A, B, C, D là một hàng điểm điều hòa. 1.1.5 Các đường bậc hai trong P. 2M ột đường bậc hai trong P. 2 là tập hợp S những điểm X ( x1, x2, x3 ) ∈ P. 2, thỏa mãnphương trìnha11 x21 + a22 x22 + a33 x23 + 2 a12 x1 x2 + 2 a12 x1 x3 + 2 a23 x2 x3 = 0, trong đó, aij là những thông số không đồng thời bằng 0 và aij = aji, với i, j = 1, 2, 3. Bằng cách chọn tiềm năng thích hợp, ta hoàn toàn có thể đưa phương trình của một đường bậchai trong P. 2 về một trong năm dạng chuẩn tắc sau : 1. Đường Ôvan ảo x21 + x22 + x23 = 0.2. Đường cônic x21 + x22 − x23 = 0.3. Cặp đường thẳng ảo x21 + x22 = 0.4. Cặp đường thẳng phân biệt − x1 + x22 = 0.5. Cặp đường thẳng trùng nhau x21 = 0.1.2 Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng affineCho ( và cố định và thắt chặt ) đường thẳng ∆ trong mặt phẳng xạ ảnh P. 2 với nền là không gianvéc tơ thực 3 chiều V 3. Đặt A2 = P. 2 \ ∆. Chọn tiềm năng { A1, A2, A3 ; E } của P. 2 saocho { A1, A2 } ∈ ∆. Khi đó đường thẳng ∆ có phương trình x3 = 0. x1x2Giả sử X ( x1, x2, x3 ) ∈ A2 thì x3 = 0. Đặt X1 = và X2 = thì bộ số ( X1, X2 ) x3x3được gọi là tọa độ không thuần nhất của điểm X so với tiềm năng xạ ảnh đã cho vàta viết X = ( X1, X2 ). Khi đó có một tuy nhiên ánh từ tập A2 vào R2 bằng cách ta cho mỗiđiểm thuộc A2 tương ứng với tọa độ không thuần nhất của nó. Gọi V 2 là không gianvectơ 2 chiều trên trường số thực R với cơ sở { a1, a2 } và ta xét ánh xạϕ : A2 × A2 − → V 2 − − → ( X, Y ) − → ϕ ( X, Y ) = XY = v = ( Y1 − X1 ) a1 + ( Y2 − X2 ) a2. Ta có • ∀ X = ( X1, X2 ) ∈ A2 và v = ( v1, v2 ) ∈ V 2. Khi đó có duy nhất điểm Y ( Y1, Y2 ), vớiY1 = X1 + v1, Y2 = X2 + v2, thỏa mãn nhu cầu ϕ ( X, Y ) = v. • ∀ X = ( X1, X2 ), Y = ( Y1, Y2 ), Z = ( Z1, Z2 ) ∈ A2, ϕ ( X, Z ) = ϕ ( Z, Y ) + ϕ ( Y, X ). Điều này suy ra, A2 là một khoảng trống affine link với khoảng trống véc tơ V 2. Ta gọiA2 là quy mô xạ ảnh của mặt phẳng affine. 1.2.1 Mục tiêu và tọa độ affine trong A2Ta vẫn xét tiềm năng xạ ảnh { A1, A2, A3 ; E } trong P. 2 như trên. Gọi E1, E2 lần lượtlà giao điểm của đường thẳng A1 A3, A2 A3 với đường thẳng ∆. Tọa độ không thuầnnhất của E1, E2 và A3 làE1 = ( 1, 0 ), E2 = ( 0, 1 ), A3 = ( 0, 0 ). − − − → − − − → Đặt A3 E1 = e1 và A3 E2 = e2 thì { A3 ; E1, E2 } là một tiềm năng affine trong A2, đượcgọi là tiềm năng affine sinh bởi tiềm năng xạ ảnh { A1, A2, A3 ; E }. − − → Khi đó, ∀ X = ( X1, X2 ) ∈ A2 ta có A3 X = X1 e1 + X2 e2, tức là ( X1, X2 ) là tọa độaffine của X so với tiềm năng affine { A3 ; E1, E2 }. 1.2.2 Đường thẳng trong A2Giả sử d1 là đường thẳng trong P. 2 và không trùng với ∆. Khi đó, d1 = d1 \ ∆ là mộtđường thẳng trong A2. Thật vậy, với tiềm năng xạ ảnh đã chọn, giả sử đường thẳng d1có phương trìnha1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 3 = 0 ( 1.2.1 ) Vì d1 là đường thẳng không trùng với ∆ nên mỗi X ∈ d1, X = ( x1, x2, x3 ) thì x3 = 0. Ta chia hai vế ( 1.2.1 ) cho x3 thì tọa độ không thuần nhất của X thỏa mãn nhu cầu phươngtrìnha1 X1 + a2 X2 + a3 = 0 ( 1.2.2 ) Từ ( 1.2.2 ) suy ra d1 là đường thẳng trong A2. Cho d1, d2 là hai đường thẳng phân biệt trong P. 2 khác ∆, I = d1 ∩ d2 và trongA2 = P. 2 \ ∆ gọi d1, d2 là những đường thẳng tương ứng với d1, d2. Khi đó : • nếu I ∈ ∆ thì d1 d2 ; 10 • nếu I ∈ / ∆ thì d1 ∩ d2 = I. 1.2.3 Tỉ số kép trong A2Trong khoảng trống P. 2 lấy bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng với A ( a1, a2, 1 ), B ( b1, b2, 1 ). Khi đó tọa độ C và D lần lượt có dạngC ( k1 a1 + l1 b1, k1 a2 + l1 b2, k1 + l1 ), D ( k2 a1 + l2 b1, k2 a2 + l2 b2, k2 + l2 ), trong đó, k1, k2, l1, l2 là những thông số khác không. Tỉ số kép của bốn điểm A, B, C, D trongP 2 là [ ABCD ] = l1 l2 :. k1 k2Trong A2 = P. 2 \ ∆ thì tọa độ của bốn điểm trên là : A ( a1, a2 ), B ( b1, b2 ), C ( c1, c2 ) vàD ( d1, d2 ). Trong đóci = k1 ai + l1 bik1 + l1và di = k2 ai + l2 bik2 + l2 ( i = 1, 2 ). k1 ( bi − ai ) l1 ( ai − bi ) và bi − ci = k1 + l1k1 + l1 − → l1 − − → l1Do đó CA = − CB nên tỉ số đơn của ba điểm A, B, C là [ ABC ] = −. Tương tựk1k1l2 [ ABC ] ta có [ ABD ] = −. Vậy [ ABCD ] = k2 [ ABD ] Đặc biệt nếu C hoặc D nằm trên ∆, giả sử là D thì ta cóSuy ra ai − ci = [ ABCD ] = [ ABC ∞ ] = [ ABC ] = l1k1Tương tự ta cũng hoàn toàn có thể tính được tỉ số kép trên trong trường hợp C ∈ ∆. 1.2.4 Thể hiện affine của những đường cônic trong A2Trong P 2 cho đường cônic S và đường thẳng ∆ sao cho S ∩ ∆ = ∅. Khi đó thể hiệncủa S trong quy mô affine A2 = P. 2 \ ∆ là một elip ( E ). Thật vậy, giả sử cônic S cóphương trình chuẩn tắc x21 + x22 − x23 = 0 ( 1 ) và đường thẳng ∆ có phương trình x3 = 0 thì ta có S ∩ ∆ = ∅. Với điểm X ( x1, x2, x3 ) ∈ S và X ∈ / ∆ thì x3 = 0 nên ta chia haivế ( 1 ) cho X32 sẽ thu được phương trìnhx1x3x2x3 − 1 = 0 hay X12 + X22 = 1.11 Trong P. 2 cho đường cônic S và đường thẳng ∆ sao cho S ∩ ∆ = I. Khi đó trongmô hình affine A2 = P. 2 \ ∆ ta sẽ thu được một Parabol ( P. ). Thật vậy, giả sử cônic Scó phương trình x21 − x2 x3 = 0 ( 2 ) và đường thẳng ∆ có phương trình x3 = 0. Khi đóS ∩ ∆ = { 0 ; 1 ; 0 }. Chia hai vế ( 2 ) cho x23 ta thu được phương trìnhx1x3x2 = 0 hay X12 − X2 = 0. x3Trong P. 2 cho đường bậc hai S và đường thẳng ∆ sao cho S ∩ ∆ = { I ; J }. Khi đótrong quy mô affine A2 = P. 2 \ ∆ ta sẽ thu được một Hypebol ( H ). Thật vậy, giả sửcônic S có phương trình làx21 − x22 − x23 = 0 ( 1.2.3 ) và đường thẳng ∆ có phương trình là x3 − = 0 thì ta có S ∩ ∆ = { I ( 1, 1, 0 ), J ( 1, − 1, 0 ) }. Chia hai vế ( 1.2.3 ) cho x23 ta thu được phương trìnhx1x3x2x3 = 0 hay X12 − X22 = 0. Đây là phương trình của một Hypebol ( H ) trong quy mô A2 = P. 2 \ ∆. Hơn nữa, các12đường tiệm cận của ( H ) là những tiếp tuyến với cônic S tại I và J nên ta tìm được phươngtrình những đường tiệm cận lần lượt là Y1 − Y2 = 0 và Y1 + Y2 = 0.1.31. 3.1 Phép chiếu xuyên tâm và tính đối ngẫuÁnh xạ xạ ảnhCho V và W là hai khoảng trống véc tơ thực 2 hoặc 3 chiều. Gọi P. ( V ) và P. ( W ) lầnlượt là khoảng trống xạ ảnh link với V và W. Giả sử T : V − → W là một ánh xạtuyến tính. Khi đó, T biến một khoảng trống véc tơ con U của V thành một không gianvéc tơ con T ( U ) của W. Hơn nữa, nếu T là một đơn cấu thì dim T ( U ) = dim U. Đặcbiệt, khi đó T biến khoảng trống con 1 chiều của V thành khoảng trống con 1 chiều của Wvà do đó T trọn vẹn xác lập một ánh xạτ : P. ( V ) − → P. ( W ). Định nghĩa 1.3.1. Một ánh xạ xạ ảnh từ P. ( V ) vào P. ( W ) là ánh xạ τ được sinh bởimột đẳng cấu tuyến tính T : V − → W. Chú ý : Nếu λ là một hằng số khác không thì hai ánh xạ tuyến tính λT và T xácđịnh cùng một ánh xạ xạ ảnh. trái lại, nếu hai ánh xạ tuyến tính T và T cùng xácđịnh một ánh xạ xạ ảnh τ thì sống sót hằng số λ = 0 sao cho T = λT. 1.3.2 Phép chiếu xuyên tâmĐịnh nghĩa 1.3.2. Trong mặt phẳng xạ ảnh P. 2 cho 2 đường thẳng α và β và điểmC ∈ P. 2 \ { α ∪ β }. Ánh xạ pc : α − → β cho tương ứng X ∈ α với pc ( X ) = X sao choCX ∩ β = X được gọi là phép chiếu xuyên tâm từ α lên β với tâm C. 13N hận xét : – Phép chiếu xuyên tâm trọn vẹn xác lập bởi cặp đường thẳng α, β và tâm chiếuC. – Phép chiếu xuyên tâm giữ bất động toàn bộ những điểm giao của hai đường thẳngα và β. Phép chiếu xuyên tâm trong mặt phẳng P. 2 có một số ít đặc thù sau : Định lý 1.3.3. Nếu coi 2 đường thẳng α và β là hai khoảng trống xạ ảnh 1 chiều thìphép chiếu xuyên tâm là một ánh xạ xạ ảnh. Định lý 1.3.4. Cho hai đường thẳng α, α trong P. 2. Một ánh xạ xạ ảnh f : α − → αlà một phép chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi mọi thành phần của α ∩ α là tự ứng, tức làf ( M ) = M, ∀ M ∈ α ∩ α. 1.3.3 Tính đối ngẫu trong mặt phẳng xạ ảnhCho trước khoảng trống véc tơ thực 3 chiều V. Kí hiệu V ∗ là khoảng trống véc tơ cácdạng tuyến tính f : V − → R trên V. Không gian véc tơ V ∗ được gọi là khoảng trống véctơ đối ngẫu với của V. Không gian véc tơ đối ngẫu V ∗ có một số ít đặc thù sau : 1. dim V ∗ = dim V và nếu v1, v2, v3 là một cơ sở của V thì sống sót một cơ sở f1, f2, f3của V ∗ thỏa mãnfi ( vj ) = δij =  1 nếu i = j,  0 nếu i = j. 2. Cho U là một khoảng trống véc tơ con của V. Khi đó, U 0 = { f ∈ V ∗ | f ( v ) = 0, ∀ v ∈ U } là một khoảng trống véc tơ con của V ∗ và dim U + dim U 0 = dim V. Tính chất [ 2 ] ở trên cho ta một tương ứng 1 − 1 tự nhiên giữa những điểm trong mặtphẳng xạ ảnh P. ( V ∗ ) link với V ∗ và những đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh P. ( V ) link với V. Từ tương ứng 1 − 1 này, mỗi tác dụng trong mặt phẳng xạ ảnh P. ( V ∗ ) hoàn toàn có thể được bộc lộ dưới dạng khác trong mặt phẳng xạ ảnh P. ( V ). Đó chính là tínhđối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh. 141.3.4 Đối ngẫu của phép chiếu xuyên tâmBằng cách sử dụng tính đối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh, ta hoàn toàn có thể bộc lộ phépchiếu xuyên tâm dưới dạng sau đây : Định nghĩa 1.3.5. Trong khoảng trống xạ ảnh P. 2 cho 2 điểm O, O và đường thẳng αkhông đi qua O và O. Gọi B là bó đường thẳng qua O và B là bó đường thẳng quaO. Ánh xạ pα : B − → B cho tương ứng m ∈ B với pα ( m ) = m sao cho ( α ∩ m ) ∈ mđược gọi là phép chiếu xuyên trục từ B lên B với trục α. Các đặc thù của phép chiếu xuyên tâm kéo theo những đặc thù của phép chiếuxuyên trục. Chẳng hạn, ta có hai đặc thù dưới đây : Định lý 1.3.6. Phép chiếu xuyên trục là một ánh xạ xạ ảnh. Định lý 1.3.7. Điều kiện cần và đủ để một ánh xạ xạ ảnh là phép chiếu xuyên trụclà đường nối hai tâm phải tự ứng. 15C hương 2 Ứng dụng hình học xạ ảnh tronghình học sơ cấpTừ quy mô xạ ảnh của mặt phẳng affine, ta hoàn toàn có thể đưa một số ít bài toán trong mặtphẳng xạ ảnh về những bài toán sơ cấp bằng cách chọn một đường thẳng thích hợptrong mặt phẳng xạ ảnh làm đường thẳng vô tận. Do đó từ một bài toán xạ ảnh banđầu ta hoàn toàn có thể có nhiều bài toán sơ cấp khác nhau. Các bước triển khai quy đổi như sau : 1. Chọn đường thẳng vô tận thích hợp ( thường là đường đi qua nhiều giao điểmnhất ). 2. Biểu diễn lại những khái niệm, đặc thù trong bài toán cũ sang hình sơ cấp. 3. Phát biểu bài toán sơ cấp vừa chuyển. 2.1 Một số hiệu quả hình học sơ cấp thu được từ những định lýtrong mặt phẳng xạ ảnhTrước tiên, chúng tôi trình diễn 1 số ít định lý trong mặt phẳng affine thu đượcbằng cách chuyển từ những định lý quan trọng trong mặt phẳng xạ ảnh. 2.1.1 Định lý PapuýtTrong mặt phẳng xạ ảnh P. 2, định lý Papuýt được phát biểu như sau : 16 Định lý 2.1.1 ( Định lý Papuýt ). Trong mặt phẳng P. 2, cho ba điểm phân biệt A, B, Ccùng nằm trên đường thẳng a và ba điểm phân biệt A, B, C cùng nằm trên đườngthẳng b khác a. Đặt M = AB ∩ BA, N = AC ∩ CA, P = BC ∩ CB. Khi đó ba điểmM, N, P. thẳng hàng. Từ định lý này, ta thu được 1 số ít hiệu quả trong hình học sơ cấp bằng cách chuyểnvào quy mô xạ ảnh của mặt phẳng affine. Cách chuyển 1 : • Ta chọn ∆ là đường M N và xét A2 = P. 2 \ M N. • Khi ta xét trong A2 thì BC B C, CA C A và định lý Papuýt trong P. 2 trở thànhđịnh lý sau. Định lý 2.1.2. Cho sáu điểm phân biệt A, B, C, A, B, C, trong đó A, B, C ∈ d vàA, B, C ∈ d. Nếu BC B C và CA C A thì AB A B.Chứng minh : • Trường hợp 1 : d ∩ d = IIBICTa có BC B C nên = λ. HayICIB − → − → IB = λIC ( 2.1.1 ) − → − → IC = λIB ( 2.1.2 ) ICIA = µ hayIAIC − → IC = µIA, ( 2.1.3 ) Ta có CA C A nên17 − → − → IA = µIC ( 2.1.4 ) − → Từ ( 2.1.1 ) và ( 2.1.2 ) ta có IB = λµIA. − → − → Từ ( 2.1.3 ) và ( 2.1.4 ) ta có IA = µλIB. − − → − − → − → − → → − → Do đó IB − IA = λµ ( IA − IB ) hay A B = λµAB. Mà lại có A = B nênAB A B • Trường hợp 2 d dTừ giả thiết BC B C và d d nên suy ra BC = C B. − − → − − → − → − − → − − → − → − − → − − → Suy ra CA = A C, nên BC + CA = C B + A C hayBA = AB mà A = B nên − − → − − → AB A B.Cách chuyển 2 : • Ta chọn ∆ là CC, gọi I là giao điểm của d và d và xét A2 = P. 2 \ CC. 18 • Trong A2 thì ta có IB B N, AP IB, BN IB, IA A P nên IBN B, IAP A làcác hình bình hành. Định lí trên trở thành định lí sau. Định lý 2.1.3. Cho hai hình bình hành IBN B, IAP A với A, A tương ướng thuộcIB, IB. Gọi M = AB ∩ BA. Khi đó M, N, P. thẳng hàng. Chứng minh : Để chứng tỏ M, N, P. thẳng hàng ta dùng chiêu thức vectơ, nghĩa là chứng tỏ − − → − − → N P = aM B.Vì I, A, B thẳng hàng và I, A, B thẳng hàng và M = AB ∩ BA nên M, B, A vàM, B, A cũng là những bộ ba điểm thẳng hàng. Do vậy ta đặt : − → IB = tIA − → − → IB = k IA − − → − − → AM = αAB − − → − − → BM = β A B − − → − → − − − → − − → − Từ ( 2.1.5 ) : AM = αAB ⇔ IM − IA = α ( IB − IA ) − → − → − − → ⇔ IM = αIB + ( 1 − α ) IA ( theo ( 2 ) ) − → − − → ⇔ IM = αk IA + ( 1 − α ) IA ( 2.1.5 ) ( 2.1.6 ) ( 2.1.7 ) ( 2.1.8 ) ( 2.1.9 ) Tương tự từ ( 2.1.6 ) ta có : − → − − → IM = βtIA + ( 1 − β ) IA19 ( 2.1.10 ) − → → − → − − → Vì IA, IA không cộng tuyến nên IM biểu diễn qua IA và IA là duy nhất nên từ ( 5 ), ( 6 ) ta có hệ :  1 − α = βt  1 − β = αk1 − kα =  β ( 2.1.11 ) 1 − αk = 1 − αkThay ( 2.1.7 ) vào ( 2.1.8 ) ta đươc : 1 − t − → 1 − t − − − →  IAIM = k IA +  1 − 1 − kt1 − kt1 − t − → t ( 1 − k ) − − − → k IA + IA ⇔ IM = 1 − kt1 − kt ( 2.1.12 ) Mặt khác ta lại có : − → − → − → IN = IB + IB ( quy tắc hình bình hành ) − → − → ⇔ IN = tIA + k IA ( 2.1.13 ) − → − → − → IP = IA + IA ( 2.1.14 ) VàTrừ vế với vế của ( 2.1.13 ) cho ( 2.1.14 ) ta được − → − − → P N = ( t − 1 ) IA + ( k − 1 ) IA. ( 2.1.15 ) Trừ vế với vế của ( 2.1.12 ) cho ( 2.1.14 ) ta được : − → 1 − tt ( 1 − k ) − → k − 1 IA + IA1 − kt1 − kt1 − tt ( 1 − k ) − − →  IA. =  k − 1  IA +  1 − kt1 − kt − − → PM = − − → − − → − − → − − → Từ ( 2.1.15 ), ( 2.1.16 ) ta có P N = aP M hay N P = aM P. với a = 1 − k. Vậy ba điểm M, N, P. thẳng hàng. Cách chuyển 3 : 20 ( 2.1.16 ) • Ta chọn AC là đường thẳng ∆ và xét A2 = P. 2 \ AC. • Trong A2 ta có BCM B, BN A B. Khi đó ta có định lý sau trong hình học sơcấp. Định lý 2.1.4. Tứ giác BCB A ( BC không song song với A B ). Từ B kẻ tuy nhiên songvới BC giao BA tại M, từ B kẻ song song với A B giao CB tại N thì M N A C.Cách chuyển 4 : • Ta chọn đường thẳng ∆ là đường thẳng không chứa bất kể điểm nào của bài toánvà xét trong A2 = P. 2 \ ∆. • Trong A2 những quan hệ giữa những cặp cạnh trong định lý trên được giữ nguyên và tacó định lý Papuýt trong hình sơ cấp phát biểu như sau. Định lý 2.1.5. Ba điểm phân biệt A, B, C nằm trên đường thẳng a và ba điểm phânbiệt A, B, C nằm trên đường thẳng b. M = AB ∩ BA, N = AC ∩ CA, P = BC ∩ CBthì ba điểm M, N, P. thẳng hàng. Nhận xét : Từ định lý bắt đầu trong hình học xạ ảnh, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể chọn cácđường thẳng ∆ khác nhau nên ta hoàn toàn có thể chuyển định lý đó thành nhiều định lý khácnhau trong hình sơ cấp mà những định lý này nói về quan hệ song song hoặc tính thẳnghàng của hệ điểm. Ví dụ như định lý 3, 4 trên được nhắc đến trong Nâng cao và pháttriển 7 – tập 1, 2 NXB GD, 2004. Mặt khác, định lý 1,2 được chứng tỏ bằng phương21pháp vectơ được học trong chương trình hình học 10, tức là từ một bài toán xạ ảnh tacó thể chuyển thành những bài toán sơ cấp tương thích với những cấp học khác nhau. 2.1.2 Định lý Mênêlauýt và Định lý XêvaChúng ta liên tục xét với định lý Mênêlauýt : Định lý 2.1.6 ( Định lý Mênêlauýt ). Trong P. 2 cho ba điểm không thẳng hàng A1, A2, A3và một đường thẳng d không đi qua ba điểm đó cắt những đường thẳng A2 A3, A3 A1, A1 A2tương ứng tại K1, K2, K3. Gọi L1, L2, L3 lần lượt là những điểm tương ứng trên những đườngthẳng A2 A3, A3 A1, A1 A2 ( khác A1, A2, A3 ). Điều kiện cần và đủ để ba điểm L1, L2, L3thẳng hàng là : [ A2 A3 K1 L1 ]. [ A3 A1 K2 L2 ]. [ A1 A2 K3 L3 ] = 1C ách chuyển : • Ta chọn d là đường thẳng vô tận và xét A2 = P. 2 \ d. 22 • Lúc đó trong A2 thì K1, K2, K3 là những điểm vô tận và ta có [ A2 A3 K1 L1 ] = [ A2 A3 L1 ] [ A3 A1 K2 L2 ] = [ A3 A1 L2 ] [ A1 A2 K3 L3 ] = [ A1 A2 L3 ] L1 A2L1 A3L2 A3L2 A1L3 A1L3 A2 • Định lý Mênêlauýt trong hình học sơ cấp được phát biểu lại như sau. Định lý 2.1.7. Cho tam giác ABC, ba điểm M, N, P. lần lượt thuộc những cạnh BC, CA, AB.MB NC P ABa điểm M, N, P. thẳng hàng khi và chỉ khiMC NAP B = 1. Chứng minh : Điều kiện cần : ∆ ABC ; M ∈ BC, N ∈ CA, P ∈ AB ; M, N, P. thẳng hàng. Chứng minh : MB NC P AMC NAP B23 = 1T ừ A kẻ AQ BC, Q ∈ M N, ta có : ANAQMCNCAQMBAPAP N CP B NAPBAQ M CM B AQMCMBM B N C APMC NAP B = 1. Điều kiện đủ : ∆ ABC ; M ∈ BC, N ∈ CA, P ∈ AB ; MB NC P AMC NAP B = 1. Chứng minh M, N, P. thẳng hàng. Giả sử P N ∩ BC = M, theo định lý Mênêlauýt phần thuận ta có : M B NC P AM C NAP B = 1. M B N C APTheo giả thiết phần hòn đảo ta có : MC NAP B ⇒ M ≡ M hay M, N, P. thẳng hàng. = 1. Định lý được chứng tỏ. Bây giờ, tất cả chúng ta sẽ chuyển định lý Xêva sang mặt phẳng affine. Định lý Xêva trongmặt phẳng xạ ảnh được phát biểu như sau : Định lý 2.1.8 ( Định lý Xêva ). Trong P. 2 cho ba điểm không thẳng hàng A1, A2, A3và một đường thẳng d không đi qua ba điểm đó cắt những đường A2 A3, A3 A1, A1 A2 tương24ứng tại K1, K2, K3. Gọi L1, L2, L3 lần lượt là những điểm tương ứng trên những đường thẳngA2 A3, A3 A1, A1 A2 ( khác A1, A2, A3 ). Điều kiện cần và đủ A1 L1, A2 L2, A3 L3 đồng quytại một điểm là : [ A2 A3 K1 L1 ]. [ A3 A1 K2 L2 ]. [ A1 A2 K3 L3 ] = − 1C ách chuyển : • Ta chọn d là đường thẳng vô tận và xét A2 = P. 2 \ d. • Lúc đó trong A2 thì K1, K2, K3 là những điểm vô tận và ta có [ A2 A3 K1 L1 ] = L1 A2 [ A2 A3 L1 ] L1 A3 [ A3 A1 K2 L2 ] = L2 A3 [ A3 A1 L2 ] L2 A1 [ A1 A2 K3 L3 ] = L3 A1A1 A2 L3L3 A2Định lý Xêva trong hình sơ cấp phát biểu như sau. Định lý 2.1.9. Cho tam giác ABC, ba điểm E, F, G lần lượt thuộc những cạnh BC, CA, AB.Khi đó ba đường thẳng AE, BF, CG đồng quy khi và chỉ khiEB F C GAEC F A GB = − 1. Chứng minh : Ta chứng minh định lý này bằng chiêu thức đại số. Điều kiện cần : ∆ ABC ; E ∈ BC, F ∈ CA, G ∈ AB ; AE, BF, CG đồng quy. 25

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay