Tài liệu Toán ứng dụng – chương 4: Không gian vecto pdf

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.54 MB, 51 trang )

Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Khoa Khoa học ứng dụng – Bộ mơn Tốn ứng dụng

Đại số tuyến tính
Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
Giảng viên TS. Đặng Văn Vinh
www.tanbachkhoa.edu.vn
Nội dung

I – Đònh nghóa và Ví dụ
V – Không gian con.
II – Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
IV – Cơ sở và số chiều
III – Hạng của họ véctơ
KHễNG GIAN VẫCT V
I. ẹũnh nghúa vaứ caực vớ duù

2. (x + y) + z = x + (y + z)
3. Tn ti vộc t khụng, ký hiu 0 sao cho x + 0 = x
4. Mi x thuc V, tn ti vect, ký hiu x sao cho x + (-x) = 0
1. x + y = y + x;
8. 1x = x
Tp khỏc rng V
Hai phộp toỏn
Nhõn vộct vi 1 sCng
8 tiờn
5. Vi mi s v mi vector x:
, K

( )x x x

6. Vi mi s, vi mi :
K

x ,y V

( x y ) x y

7.
( )x ( x )

I.
Định nghĩa và các ví dụ

3) 0x = 0
5) -x = (-1)x
Tính chất của không gian véctơ
1) Véctơ không là duy nhất.
2) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất.
Với mọi vectơ x thuộc V và mọi số :
K


4)
0 0



I. Định nghĩa và các ví dụ



Rxxxx
V
i


),,(
3211
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
3
3
2
2
1

1
3
2
1
3
2
1
y
x
y
x
y
x
y
y
y
x
x
x
y
x







)
,

,
(
)
,
,
(
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x


















33
22
11
yx
yx
yx
yx
Ví dụ 1
V
1
– Không gian véctơ trên trường số thực
3
R
Định nghĩa phép cộng hai véctơ như sau:
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số thực như sau:
Định nghĩa sự bằng nhau:
I.
Định nghĩa và các ví dụ



Rcbacbxax
V
 ,,

2
2
Ví dụ 2
V
2
– Không gian véctơ
]
[
2
x
P
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai đa thức
thông thường, đã biết ở phổ thông.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân đa thức
với một số thực thông thường, đã biết ở phổ thông.
Định nghĩa sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau nếu hai đa
thức bằng nhau, tức là các hệ số tương ứng bằng nhau).
I.
Định nghĩa và các ví dụ















 Rdcba
dc
ba
V
,,,
3
Ví dụ 3
V
3
– Không gian véctơ
]
[
2
R
M
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai ma trận đã
biết trong chương ma trận.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân ma trận
với một số đã biết.
Định nghĩa sự bằng nhau của hai véctơ: hai véc tơ bằng nhau
hai ma trận bằng nhau.
I. Định nghĩa và các ví dụ



4 1 2 3 1 2 3

2 3 0
i
V x x x x R x x x
     
(, , )
Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như
trong ví dụ 1.
V
4
– là KGVT
Ví dụ 4
CHÚ Ý: Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai phép
toán trên V
1
, ( hoặc V
2
, hoặc V
3
) sao cho V
1
( hoặc V
2
, hoặc
V
3
) là không gian véctơ.
I. Định nghĩa và các ví dụ




5 1 2 3 1 2 3
2 1
i
V ( x ,x ,x ) x R x x x
     
Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như
trong ví dụ 1.
V
4
– KHÔNG là KGVT
4 4
(1,2,1), (2,3,2)
   
x V y V
4
)
3
,
5
,
3
(
V
y
x



Ví dụ 5

II.
Độc lập tuyến tính

V- KGVT trên K
1 2
{, ,, }
m
M x x x

Tập con
M– PTTT
1 2
,, ,
m
K
  
 

không đồng thời bằng 0
1 1 2 2
0
m m
x x x
  
   

M – độc lập tuyến tính
1 1 2 2
0
m m

x x x
  
   

1 2
0
m
  
   

II.
Độc lập tuyến tính

V- KGVT trên K
1 2
{, ,, }
m
M x x x

Tập con
1 2
,, ,
m
K
  
 

1 1 2 2
m m
x x x x

  
   

Vector x thuộc V được gọi là Tổ hợp tuyến tính của M, nếu
II.
Độc lập tuyến tính

{ (1,1,1); ( 2 ,1, 3 ), (1, 2, 0 )}
M

Trong không gian R
3
cho họ véc tơ
Ví dụ 5
1. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
2. Véctơ x = (2,-1,3) có là tổ hợp tuyến tính của họ M?
Giải câu 1. Giả sử
111 2 1 3 1 2 0 0
(, , ) (, , ) (, , )
  
  
2 2 3 0 0 0
(, , ) (, , )
       
      
2 0
2 0
3 0
  
  

 
  


   


 

1 2 1
1 1 2
1 3 0
A
 
 

 
 
 
2
r( A )
 
Hệ có vô số nghiệm, suy ra M phụ thuộc tuyến tính
II.
Độc lập tuyến tính

Giải câu 2. Giả sử
111 2 1 3 1 2 0
(, , ) (, , ) (, , ) x
  

  
2 2 3 2 1 3
(, , ) (, , )
       
       
2 2
2 1
3 3
  


    


 

  
  
 
1 2 1 2
1 1 2 1
1 3 0 3
(A|b)
 
 
 
 
 
 
r(A| b) r(A)


Vậy véctơ x không là tổ hợp tuyến tính của M.
Hệ phương trình vô nghiệm, suy ra không tồn tại bộ số
, ,
  
II.
Độc lập tuyến tính

1 2
{, ,, }
m
M x x x


1 1 2 2
0
m m
x x x
  
   

Hệ thuần nhất
AX=0
Có duy nhất
nghiệm X = 0
M – phụ thuộc tuyến
tính
Có nghiệm
khác không
M – độc lập tuyến tính

II.
Độc lập tuyến tính

1 2
{, ,, }
m
M x x x


1 1 2 2
  
   

m m
x x x x
Hệ thuần pt
AX= b
Hệ có nghiệm
x không là tổ hợp
tuyến tính
Hệ vô nghiệm
x là tổ hợp tuyến tính
của M
II.
Độc lập tuyến tính

{, , 2 3, }
 
M x y x y z
Ví dụ

Trong không gian véctơ V cho họ
a. Vécto 2x + 3y có là tổ hợp tuyến tính của x, y, z.
b. M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
II.
Độc lập tuyến tính

Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ M = { x, y, z} độc lập tuyến
tính.
Chứng tỏ {x+y+2z, 2x+3y+z, 3x+4y+z} độc lập tuyến tính.
Giả sử
( 2 ) (2 3 ) (3 4 ) 0
x y z x y z x y z
  
        
( 2 3 ) ( 3 4 ) (2 ) 0
x y z
        
         
Vì M độc lập tuyến tính nên ta có
2 3 0
3 4 0
2 0
  
  
  
  


  



  

0
  
   
Vậy M độc lập tuyến tính
II.
Độc lập tuyến tính

{, }

M x y
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ ĐLTT
a.
b.
1
2 3

M { x, y}
2

M {x+y,2x+3y}
c.
3

M {x+y,2x+3y,x-y}
Các tập hợp con sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc

tuyến tính
II.
Độc lập tuyến tính

{, }
x y
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho độc lập tuyến tính, z
không là tổ hợp tuyến tính của x và y.
Chứng minh rằng độc lập tuyến tính
{, , }
x y z
II.
Độc lập tuyến tính

1 2
{, ,, }
m
M x x x


– phụ thuộc tt
•
– là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn
lại trong M
i
x


Nếu M chứa véctơ 0, thì M phụ thuộc tuyến tính.


II.
Độc lập tuyến tính

Thêm một số véctơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu
được một họ phụ thuộc tuyến tính.

Bỏ đi một số véctơ của họ độc lập tuyến tính ta thu được
họ độc lập tuyến tính.


Cho họ véctơ M chứa m véctơ
1 2
{, ,, }
m
M x x x

Cho họ véctơ N chứa n véctơ
1 2
{, ,, }
n
N y y y

Nếu mỗi véctơ y
k
của N là tổ hợp tuyến tính của M và
n > m, thì N là tập phụ thuộc tuyến tính.
II.
Độc lập tuyến tính

Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ M = { x, y} tùy ý.
Hỏi M
1
={2x+y, x+3y, 3x+y} độc lập hay phụ thuộc tt?
Giả sử
(2 ) ( 3 ) (3 ) 0
x y x y x y
  
     
(2 3 ) ( 3 ) 0
x y
     
      
Sai vì M chưa chắc độc lập tuyến tính
2 3 0
3 0
  
  
  



  

Lời giải đúng. Kiểm tra thấy mỗi vectơ của M
1
là tổ hợp tt của M
Vì số lượng véctơ trong M
1

là 3 nhiều hơn trong M là 2
Theo bổ đề cơ bản, M
1
phụ thuộc tuyến tính.
II.
Độc lập tuyến tính

{, , }

M x y z
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho hai họ
a. Chứng minh rằng nếu M ĐLTT tính thì M
1
ĐLTT
và
1
2 3 3 4
{, -, }
M x y z x y z x y z
     
b. Chứng minh rằng nếu M
1
ĐLTT tính thì M ĐLTT
III. H
ạng của họ véctơ

1 2
{, ,, , }
m

M x x x V
 
 
Định nghĩa hạng của họ véctơ
Hạng của họ M là k
0
nếu tồn tại k
0
véctơ độc lập tuyến
tính của M và mọi tập con của M chứa nhiều hơn k
0
véctơ
thì phụ thuộc tuyến tính.
Hạng của họ M là số tối đại các véctơ độc lập tuyến tính
của M.
II.
Độc lập tuyến tính

{, }

M x y
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ ĐLTT
a.
b.
1
2 3

M { x, y}
2

2 3
M {x,y, x y}
 
Tìm hạng của các họ véc tơ sau đây.
c.
3
2 3 0
M {x,y, x y, }
 
6. Vi mi s, vi mi : x, y V ( x y ) x y7. ( ) x ( x ) I.Định nghĩa và những ví dụ3 ) 0 x = 05 ) – x = ( – 1 ) xTính chất của không gian véctơ1 ) Véctơ không là duy nhất. 2 ) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất. Với mọi vectơ x thuộc V và mọi số : 4 ) 0 0I. Định nghĩa và những ví dụRxxxx ), , ( 3211   332211 yxyxyxyxVí dụ 1 – Không gian véctơ trên trường số thựcĐịnh nghĩa phép cộng hai véctơ như sau : Định nghĩa phép nhân véctơ với 1 số ít thực như sau : Định nghĩa sự bằng nhau : I.Định nghĩa và những ví dụRcbacbxax    , , Ví dụ 2 – Không gian véctơĐịnh nghĩa phép cộng hai véctơ : là phép cộng hai đa thứcthông thường, đã biết ở đại trà phổ thông. Định nghĩa phép nhân véctơ với một số ít : là phép nhân đa thứcvới một số ít thực thường thì, đã biết ở đại trà phổ thông. Định nghĩa sự bằng nhau : hai véc tơ bằng nhau nếu hai đathức bằng nhau, tức là những thông số tương ứng bằng nhau ). I.Định nghĩa và những ví dụ  Rdcbadcba, ,, Ví dụ 3 – Không gian véctơĐịnh nghĩa phép cộng hai véctơ : là phép cộng hai ma trận đãbiết trong chương ma trận. Định nghĩa phép nhân véctơ với 1 số ít : là phép nhân ma trậnvới 1 số ít đã biết. Định nghĩa sự bằng nhau của hai véctơ : hai véc tơ bằng nhauhai ma trận bằng nhau. I. Định nghĩa và những ví dụ4 1 2 3 1 2 32 3 0V x x x x R x x x       (, , ) Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số ít giống nhưtrong ví dụ 1. – là KGVTVí dụ 4CH Ú Ý : Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai phéptoán trên V, ( hoặc V, hoặc V ) sao cho V ( hoặc V, hoặc ) là không gian véctơ. I. Định nghĩa và những ví dụ5 1 2 3 1 2 32 1V ( x, x, x ) x R x x x       Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số ít giống nhưtrong ví dụ 1. – KHÔNG là KGVT4 4 ( 1,2,1 ), ( 2,3,2 )     x V y VVí dụ 5II. Độc lập tuyến tínhV – KGVT trên K1 2 {, ,, } M x x xTập conM – PTTT1 2, ,,      không đồng thời bằng 01 1 2 2 m mx x x        M – độc lập tuyến tính1 1 2 2 m mx x x        1 2        II.Độc lập tuyến tínhV – KGVT trên K1 2 {, ,, } M x x xTập con1 2, ,,      1 1 2 2 m mx x x x        Vector x thuộc V được gọi là Tổ hợp tuyến tính của M, nếuII. Độc lập tuyến tính { ( 1,1,1 ) ; ( 2, 1, 3 ), ( 1, 2, 0 ) } Trong không gian Rcho họ véc tơVí dụ 51. Hỏi M độc lập tuyến tính hay nhờ vào tuyến tính ? 2. Véctơ x = ( 2, – 1,3 ) có là tổng hợp tuyến tính của họ M ? Giải câu 1. Giả sử111 2 1 3 1 2 0 0 (, , ) (, , ) (, , )       2 2 3 0 0 0 (, , ) (, , )                2 02 03 0                  1 2 11 1 21 3 0           r ( A )   Hệ có vô số nghiệm, suy ra M phụ thuộc vào tuyến tínhII. Độc lập tuyến tínhGiải câu 2. Giả sử111 2 1 3 1 2 0 (, , ) (, , ) (, , ) x       2 2 3 2 1 3 (, , ) (, , )                 2 22 13 3                   1 2 1 21 1 2 11 3 0 3 ( A | b )             r ( A | b ) r ( A ) Vậy véctơ x không là tổng hợp tuyến tính của M.Hệ phương trình vô nghiệm, suy ra không sống sót bộ số, ,    II.Độc lập tuyến tính1 2 {, ,, } M x x x1 1 2 2 m mx x x        Hệ thuần nhấtAX = 0C ó duy nhấtnghiệm X = 0M – nhờ vào tuyếntínhCó nghiệmkhác khôngM – độc lập tuyến tínhII. Độc lập tuyến tính1 2 {, ,, } M x x x1 1 2 2        m mx x x xHệ thuần ptAX = bHệ có nghiệmx không là tổ hợptuyến tínhHệ vô nghiệmx là tổng hợp tuyến tínhcủa MII.Độc lập tuyến tính {, , 2 3, }   M x y x y zVí dụTrong không gian véctơ V cho họa. Vécto 2 x + 3 y có là tổng hợp tuyến tính của x, y, z. b. M độc lập tuyến tính hay nhờ vào tuyến tínhII. Độc lập tuyến tínhVí dụTrong không gian véctơ V cho họ M = { x, y, z } độc lập tuyếntính. Chứng tỏ { x + y + 2 z, 2 x + 3 y + z, 3 x + 4 y + z } độc lập tuyến tính. Giả sử ( 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) 0 x y z x y z x y z             ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 2 ) 0 x y z                    Vì M độc lập tuyến tính nên ta có2 3 03 4 02 0                          Vậy M độc lập tuyến tínhII. Độc lập tuyến tính {, } M x yVí dụTrong không gian véctơ V cho họ ĐLTTa. b. 2 3M { x, y } M { x + y, 2 x + 3 y } c. M { x + y, 2 x + 3 y, x-y } Các tập hợp con sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộctuyến tínhII. Độc lập tuyến tính {, } x yVí dụTrong không gian véctơ V cho độc lập tuyến tính, zkhông là tổng hợp tuyến tính của x và y. Chứng minh rằng độc lập tuyến tính {, , } x y zII. Độc lập tuyến tính1 2 {, ,, } M x x x – phụ thuộc vào tt – là tổng hợp tuyến tính của những véctơ cònlại trong MNếu M chứa véctơ 0, thì M nhờ vào tuyến tính. II.Độc lập tuyến tínhThêm một số ít véctơ vào họ nhờ vào tuyến tính ta thuđược một họ phụ thuộc vào tuyến tính. Bỏ đi 1 số ít véctơ của họ độc lập tuyến tính ta thu đượchọ độc lập tuyến tính. Cho họ véctơ M chứa m véctơ1 2 {, ,, } M x x xCho họ véctơ N chứa n véctơ1 2 {, ,, } N y y yNếu mỗi véctơ ycủa N là tổng hợp tuyến tính của M vàn > m, thì N là tập nhờ vào tuyến tính. II.Độc lập tuyến tínhVí dụTrong không gian véctơ V cho họ M = { x, y } tùy ý. Hỏi M = { 2 x + y, x + 3 y, 3 x + y } độc lập hay phụ thuộc vào tt ? Giả sử ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) 0 x y x y x y          ( 2 3 ) ( 3 ) 0 x y              Sai vì M chưa chắc độc lập tuyến tính2 3 03 0             Lời giải đúng. Kiểm tra thấy mỗi vectơ của Mlà tổng hợp tt của MVì số lượng véctơ trong Mlà 3 nhiều hơn trong M là 2T heo bổ đề cơ bản, Mphụ thuộc tuyến tính. II.Độc lập tuyến tính {, , } M x y zVí dụTrong không gian véctơ V cho hai họa. Chứng minh rằng nếu M ĐLTT tính thì MĐLTTvà2 3 3 4 {, -, } M x y z x y z x y z       b. Chứng minh rằng nếu MĐLTT tính thì M ĐLTTIII. Hạng của họ véctơ1 2 {, ,, , } M x x x V     Định nghĩa hạng của họ véctơHạng của họ M là knếu sống sót kvéctơ độc lập tuyếntính của M và mọi tập con của M chứa nhiều hơn kvéctơthì nhờ vào tuyến tính. Hạng của họ M là số tối đại những véctơ độc lập tuyến tínhcủa M.II.Độc lập tuyến tính {, } M x yVí dụTrong không gian véctơ V cho họ ĐLTTa. b. 2 3M { x, y } 2 3M { x, y, x y }   Tìm hạng của những họ véc tơ sau đây. c. 2 3 0M { x, y, x y, }  

Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay