Tài liệu Toán ứng dụng – chương 4: Không gian vecto pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.54 MB, 51 trang )
Bạn đang đọc: chương 4: Không gian vecto pdf
Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Khoa Khoa học ứng dụng – Bộ mơn Tốn ứng dụng
Đại số tuyến tính
Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ
Giảng viên TS. Đặng Văn Vinh
www.tanbachkhoa.edu.vn
Nội dung
I – Đònh nghóa và Ví dụ
V – Không gian con.
II – Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính
IV – Cơ sở và số chiều
III – Hạng của họ véctơ
KHễNG GIAN VẫCT V
I. ẹũnh nghúa vaứ caực vớ duù
2. (x + y) + z = x + (y + z)
3. Tn ti vộc t khụng, ký hiu 0 sao cho x + 0 = x
4. Mi x thuc V, tn ti vect, ký hiu x sao cho x + (-x) = 0
1. x + y = y + x;
8. 1x = x
Tp khỏc rng V
Hai phộp toỏn
Nhõn vộct vi 1 sCng
8 tiờn
5. Vi mi s v mi vector x:
, K
( )x x x
6. Vi mi s, vi mi :
K
x ,y V
( x y ) x y
7.
( )x ( x )
I.
Định nghĩa và các ví dụ
3) 0x = 0
5) -x = (-1)x
Tính chất của không gian véctơ
1) Véctơ không là duy nhất.
2) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất.
Với mọi vectơ x thuộc V và mọi số :
K
4)
0 0
I. Định nghĩa và các ví dụ
Rxxxx
V
i
),,(
3211
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
3
3
2
2
1
1
3
2
1
3
2
1
y
x
y
x
y
x
y
y
y
x
x
x
y
x
)
,
,
(
)
,
,
(
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
33
22
11
yx
yx
yx
yx
Ví dụ 1
V
1
– Không gian véctơ trên trường số thực
3
R
Định nghĩa phép cộng hai véctơ như sau:
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số thực như sau:
Định nghĩa sự bằng nhau:
I.
Định nghĩa và các ví dụ
Rcbacbxax
V
,,
2
2
Ví dụ 2
V
2
– Không gian véctơ
]
[
2
x
P
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai đa thức
thông thường, đã biết ở phổ thông.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân đa thức
với một số thực thông thường, đã biết ở phổ thông.
Định nghĩa sự bằng nhau: hai véc tơ bằng nhau nếu hai đa
thức bằng nhau, tức là các hệ số tương ứng bằng nhau).
I.
Định nghĩa và các ví dụ
Rdcba
dc
ba
V
,,,
3
Ví dụ 3
V
3
– Không gian véctơ
]
[
2
R
M
Định nghĩa phép cộng hai véctơ: là phép cộng hai ma trận đã
biết trong chương ma trận.
Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: là phép nhân ma trận
với một số đã biết.
Định nghĩa sự bằng nhau của hai véctơ: hai véc tơ bằng nhau
hai ma trận bằng nhau.
I. Định nghĩa và các ví dụ
4 1 2 3 1 2 3
2 3 0
i
V x x x x R x x x
(, , )
Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như
trong ví dụ 1.
V
4
– là KGVT
Ví dụ 4
CHÚ Ý: Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai phép
toán trên V
1
, ( hoặc V
2
, hoặc V
3
) sao cho V
1
( hoặc V
2
, hoặc
V
3
) là không gian véctơ.
I. Định nghĩa và các ví dụ
5 1 2 3 1 2 3
2 1
i
V ( x ,x ,x ) x R x x x
Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số giống như
trong ví dụ 1.
V
4
– KHÔNG là KGVT
4 4
(1,2,1), (2,3,2)
x V y V
4
)
3
,
5
,
3
(
V
y
x
Ví dụ 5
II.
Độc lập tuyến tính
V- KGVT trên K
1 2
{, ,, }
m
M x x x
Tập con
M– PTTT
1 2
,, ,
m
K
không đồng thời bằng 0
1 1 2 2
0
m m
x x x
M – độc lập tuyến tính
1 1 2 2
0
m m
Xem thêm: Ứng dụng công nghệ ADN tái tổ hợp
x x x
1 2
0
m
II.
Độc lập tuyến tính
V- KGVT trên K
1 2
{, ,, }
m
M x x x
Tập con
1 2
,, ,
m
K
1 1 2 2
m m
x x x x
Vector x thuộc V được gọi là Tổ hợp tuyến tính của M, nếu
II.
Độc lập tuyến tính
{ (1,1,1); ( 2 ,1, 3 ), (1, 2, 0 )}
M
Trong không gian R
3
cho họ véc tơ
Ví dụ 5
1. Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
2. Véctơ x = (2,-1,3) có là tổ hợp tuyến tính của họ M?
Giải câu 1. Giả sử
111 2 1 3 1 2 0 0
(, , ) (, , ) (, , )
2 2 3 0 0 0
(, , ) (, , )
2 0
2 0
3 0
1 2 1
1 1 2
1 3 0
A
2
r( A )
Hệ có vô số nghiệm, suy ra M phụ thuộc tuyến tính
II.
Độc lập tuyến tính
Giải câu 2. Giả sử
111 2 1 3 1 2 0
(, , ) (, , ) (, , ) x
2 2 3 2 1 3
(, , ) (, , )
2 2
2 1
3 3
1 2 1 2
1 1 2 1
1 3 0 3
(A|b)
r(A| b) r(A)
Vậy véctơ x không là tổ hợp tuyến tính của M.
Hệ phương trình vô nghiệm, suy ra không tồn tại bộ số
, ,
II.
Độc lập tuyến tính
1 2
{, ,, }
m
M x x x
1 1 2 2
0
m m
x x x
Hệ thuần nhất
AX=0
Có duy nhất
nghiệm X = 0
M – phụ thuộc tuyến
tính
Có nghiệm
khác không
M – độc lập tuyến tính
II.
Độc lập tuyến tính
1 2
{, ,, }
m
M x x x
1 1 2 2
m m
x x x x
Hệ thuần pt
AX= b
Hệ có nghiệm
x không là tổ hợp
tuyến tính
Hệ vô nghiệm
x là tổ hợp tuyến tính
của M
II.
Độc lập tuyến tính
{, , 2 3, }
M x y x y z
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ
a. Vécto 2x + 3y có là tổ hợp tuyến tính của x, y, z.
b. M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
II.
Độc lập tuyến tính
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ M = { x, y, z} độc lập tuyến
tính.
Chứng tỏ {x+y+2z, 2x+3y+z, 3x+4y+z} độc lập tuyến tính.
Giả sử
( 2 ) (2 3 ) (3 4 ) 0
x y z x y z x y z
( 2 3 ) ( 3 4 ) (2 ) 0
x y z
Vì M độc lập tuyến tính nên ta có
2 3 0
3 4 0
2 0
0
Vậy M độc lập tuyến tính
II.
Độc lập tuyến tính
{, }
M x y
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ ĐLTT
a.
b.
1
2 3
M { x, y}
2
M {x+y,2x+3y}
c.
3
M {x+y,2x+3y,x-y}
Các tập hợp con sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc
tuyến tính
II.
Độc lập tuyến tính
{, }
x y
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho độc lập tuyến tính, z
không là tổ hợp tuyến tính của x và y.
Chứng minh rằng độc lập tuyến tính
{, , }
x y z
II.
Độc lập tuyến tính
1 2
{, ,, }
m
M x x x
– phụ thuộc tt
•
– là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn
lại trong M
i
x
Nếu M chứa véctơ 0, thì M phụ thuộc tuyến tính.
II.
Độc lập tuyến tính
Thêm một số véctơ vào họ phụ thuộc tuyến tính ta thu
được một họ phụ thuộc tuyến tính.
Bỏ đi một số véctơ của họ độc lập tuyến tính ta thu được
họ độc lập tuyến tính.
Cho họ véctơ M chứa m véctơ
1 2
{, ,, }
m
M x x x
Cho họ véctơ N chứa n véctơ
1 2
{, ,, }
n
N y y y
Nếu mỗi véctơ y
k
của N là tổ hợp tuyến tính của M và
n > m, thì N là tập phụ thuộc tuyến tính.
II.
Độc lập tuyến tính
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ M = { x, y} tùy ý.
Hỏi M
1
={2x+y, x+3y, 3x+y} độc lập hay phụ thuộc tt?
Giả sử
(2 ) ( 3 ) (3 ) 0
x y x y x y
(2 3 ) ( 3 ) 0
x y
Sai vì M chưa chắc độc lập tuyến tính
2 3 0
3 0
Lời giải đúng. Kiểm tra thấy mỗi vectơ của M
1
là tổ hợp tt của M
Vì số lượng véctơ trong M
1
Xem thêm: Tiểu luận Lịch sử nghệ thuật
là 3 nhiều hơn trong M là 2
Theo bổ đề cơ bản, M
1
phụ thuộc tuyến tính.
II.
Độc lập tuyến tính
{, , }
M x y z
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho hai họ
a. Chứng minh rằng nếu M ĐLTT tính thì M
1
ĐLTT
và
1
2 3 3 4
{, -, }
M x y z x y z x y z
b. Chứng minh rằng nếu M
1
ĐLTT tính thì M ĐLTT
III. H
ạng của họ véctơ
1 2
{, ,, , }
m
M x x x V
Định nghĩa hạng của họ véctơ
Hạng của họ M là k
0
nếu tồn tại k
0
véctơ độc lập tuyến
tính của M và mọi tập con của M chứa nhiều hơn k
0
véctơ
thì phụ thuộc tuyến tính.
Hạng của họ M là số tối đại các véctơ độc lập tuyến tính
của M.
II.
Độc lập tuyến tính
{, }
M x y
Ví dụ
Trong không gian véctơ V cho họ ĐLTT
a.
b.
1
2 3
M { x, y}
2
2 3
M {x,y, x y}
Tìm hạng của các họ véc tơ sau đây.
c.
3
2 3 0
M {x,y, x y, }
6. Vi mi s, vi mi : x, y V ( x y ) x y7. ( ) x ( x ) I.Định nghĩa và những ví dụ3 ) 0 x = 05 ) – x = ( – 1 ) xTính chất của không gian véctơ1 ) Véctơ không là duy nhất. 2 ) Phần tử đối xứng của véctơ x là duy nhất. Với mọi vectơ x thuộc V và mọi số : 4 ) 0 0I. Định nghĩa và những ví dụRxxxx ), , ( 3211 332211 yxyxyxyxVí dụ 1 – Không gian véctơ trên trường số thựcĐịnh nghĩa phép cộng hai véctơ như sau : Định nghĩa phép nhân véctơ với 1 số ít thực như sau : Định nghĩa sự bằng nhau : I.Định nghĩa và những ví dụRcbacbxax , , Ví dụ 2 – Không gian véctơĐịnh nghĩa phép cộng hai véctơ : là phép cộng hai đa thứcthông thường, đã biết ở đại trà phổ thông. Định nghĩa phép nhân véctơ với một số ít : là phép nhân đa thứcvới một số ít thực thường thì, đã biết ở đại trà phổ thông. Định nghĩa sự bằng nhau : hai véc tơ bằng nhau nếu hai đathức bằng nhau, tức là những thông số tương ứng bằng nhau ). I.Định nghĩa và những ví dụ Rdcbadcba, ,, Ví dụ 3 – Không gian véctơĐịnh nghĩa phép cộng hai véctơ : là phép cộng hai ma trận đãbiết trong chương ma trận. Định nghĩa phép nhân véctơ với 1 số ít : là phép nhân ma trậnvới 1 số ít đã biết. Định nghĩa sự bằng nhau của hai véctơ : hai véc tơ bằng nhauhai ma trận bằng nhau. I. Định nghĩa và những ví dụ4 1 2 3 1 2 32 3 0V x x x x R x x x (, , ) Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số ít giống nhưtrong ví dụ 1. – là KGVTVí dụ 4CH Ú Ý : Có nhiều cách khác nhau để định nghĩa hai phéptoán trên V, ( hoặc V, hoặc V ) sao cho V ( hoặc V, hoặc ) là không gian véctơ. I. Định nghĩa và những ví dụ5 1 2 3 1 2 32 1V ( x, x, x ) x R x x x Phép cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số ít giống nhưtrong ví dụ 1. – KHÔNG là KGVT4 4 ( 1,2,1 ), ( 2,3,2 ) x V y VVí dụ 5II. Độc lập tuyến tínhV – KGVT trên K1 2 {, ,, } M x x xTập conM – PTTT1 2, ,, không đồng thời bằng 01 1 2 2 m mx x x M – độc lập tuyến tính1 1 2 2 m mx x x 1 2 II.Độc lập tuyến tínhV – KGVT trên K1 2 {, ,, } M x x xTập con1 2, ,, 1 1 2 2 m mx x x x Vector x thuộc V được gọi là Tổ hợp tuyến tính của M, nếuII. Độc lập tuyến tính { ( 1,1,1 ) ; ( 2, 1, 3 ), ( 1, 2, 0 ) } Trong không gian Rcho họ véc tơVí dụ 51. Hỏi M độc lập tuyến tính hay nhờ vào tuyến tính ? 2. Véctơ x = ( 2, – 1,3 ) có là tổng hợp tuyến tính của họ M ? Giải câu 1. Giả sử111 2 1 3 1 2 0 0 (, , ) (, , ) (, , ) 2 2 3 0 0 0 (, , ) (, , ) 2 02 03 0 1 2 11 1 21 3 0 r ( A ) Hệ có vô số nghiệm, suy ra M phụ thuộc vào tuyến tínhII. Độc lập tuyến tínhGiải câu 2. Giả sử111 2 1 3 1 2 0 (, , ) (, , ) (, , ) x 2 2 3 2 1 3 (, , ) (, , ) 2 22 13 3 1 2 1 21 1 2 11 3 0 3 ( A | b ) r ( A | b ) r ( A ) Vậy véctơ x không là tổng hợp tuyến tính của M.Hệ phương trình vô nghiệm, suy ra không sống sót bộ số, , II.Độc lập tuyến tính1 2 {, ,, } M x x x1 1 2 2 m mx x x Hệ thuần nhấtAX = 0C ó duy nhấtnghiệm X = 0M – nhờ vào tuyếntínhCó nghiệmkhác khôngM – độc lập tuyến tínhII. Độc lập tuyến tính1 2 {, ,, } M x x x1 1 2 2 m mx x x xHệ thuần ptAX = bHệ có nghiệmx không là tổ hợptuyến tínhHệ vô nghiệmx là tổng hợp tuyến tínhcủa MII.Độc lập tuyến tính {, , 2 3, } M x y x y zVí dụTrong không gian véctơ V cho họa. Vécto 2 x + 3 y có là tổng hợp tuyến tính của x, y, z. b. M độc lập tuyến tính hay nhờ vào tuyến tínhII. Độc lập tuyến tínhVí dụTrong không gian véctơ V cho họ M = { x, y, z } độc lập tuyếntính. Chứng tỏ { x + y + 2 z, 2 x + 3 y + z, 3 x + 4 y + z } độc lập tuyến tính. Giả sử ( 2 ) ( 2 3 ) ( 3 4 ) 0 x y z x y z x y z ( 2 3 ) ( 3 4 ) ( 2 ) 0 x y z Vì M độc lập tuyến tính nên ta có2 3 03 4 02 0 Vậy M độc lập tuyến tínhII. Độc lập tuyến tính {, } M x yVí dụTrong không gian véctơ V cho họ ĐLTTa. b. 2 3M { x, y } M { x + y, 2 x + 3 y } c. M { x + y, 2 x + 3 y, x-y } Các tập hợp con sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộctuyến tínhII. Độc lập tuyến tính {, } x yVí dụTrong không gian véctơ V cho độc lập tuyến tính, zkhông là tổng hợp tuyến tính của x và y. Chứng minh rằng độc lập tuyến tính {, , } x y zII. Độc lập tuyến tính1 2 {, ,, } M x x x – phụ thuộc vào tt – là tổng hợp tuyến tính của những véctơ cònlại trong MNếu M chứa véctơ 0, thì M nhờ vào tuyến tính. II.Độc lập tuyến tínhThêm một số ít véctơ vào họ nhờ vào tuyến tính ta thuđược một họ phụ thuộc vào tuyến tính. Bỏ đi 1 số ít véctơ của họ độc lập tuyến tính ta thu đượchọ độc lập tuyến tính. Cho họ véctơ M chứa m véctơ1 2 {, ,, } M x x xCho họ véctơ N chứa n véctơ1 2 {, ,, } N y y yNếu mỗi véctơ ycủa N là tổng hợp tuyến tính của M vàn > m, thì N là tập nhờ vào tuyến tính. II.Độc lập tuyến tínhVí dụTrong không gian véctơ V cho họ M = { x, y } tùy ý. Hỏi M = { 2 x + y, x + 3 y, 3 x + y } độc lập hay phụ thuộc vào tt ? Giả sử ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) 0 x y x y x y ( 2 3 ) ( 3 ) 0 x y Sai vì M chưa chắc độc lập tuyến tính2 3 03 0 Lời giải đúng. Kiểm tra thấy mỗi vectơ của Mlà tổng hợp tt của MVì số lượng véctơ trong Mlà 3 nhiều hơn trong M là 2T heo bổ đề cơ bản, Mphụ thuộc tuyến tính. II.Độc lập tuyến tính {, , } M x y zVí dụTrong không gian véctơ V cho hai họa. Chứng minh rằng nếu M ĐLTT tính thì MĐLTTvà2 3 3 4 {, -, } M x y z x y z x y z b. Chứng minh rằng nếu MĐLTT tính thì M ĐLTTIII. Hạng của họ véctơ1 2 {, ,, , } M x x x V Định nghĩa hạng của họ véctơHạng của họ M là knếu sống sót kvéctơ độc lập tuyếntính của M và mọi tập con của M chứa nhiều hơn kvéctơthì nhờ vào tuyến tính. Hạng của họ M là số tối đại những véctơ độc lập tuyến tínhcủa M.II.Độc lập tuyến tính {, } M x yVí dụTrong không gian véctơ V cho họ ĐLTTa. b. 2 3M { x, y } 2 3M { x, y, x y } Tìm hạng của những họ véc tơ sau đây. c. 2 3 0M { x, y, x y, }
Source: https://mindovermetal.org
Category: Ứng dụng hay
