Bài 1. Phương trình liên tục

Chương 1. Phương trình khí động cho dòng khí đơn vị

Bài 1. Phương trình liên tục

Trong bài này chúng ta sẽ đưa ra các phương trình cơ sở của khí động lực học cho dòng khí đơn vị — là dòng khí có tiết diện ngang rất nhỏ, sao cho trên mỗi tiết diện đó có thể coi các thông số khí động cơ bản như: vận tốc, áp suất, nhiệt độ, khối lượng riêng, … là không đổi. Các phương trình này phần lớn được dùng trong lý thuyết về động cơ phản lực. Trong trường hợp các thông số thay đổi nhiều (ví dụ vận tốc hay nhiệt độ khác nhau ở mỗi điểm khác nhau trên cùng một thiết diện), chúng ta có thể đưa vào khái niệm giá trị trung bình của các đại lượng này theo mặt cắt và áp dụng các phương trình này cho dòng khí như trong trường hợp các thông số là không đổi. Phương pháp này chính là phương pháp cơ sở của thủy lực học, vì thế động lực học cho dòng khí đơn vị còn được gọi là thủy khí động lực học.

Để thu được phương trình liên tục, trước hết xét một dòng khí nguyên thủy trong dòng chảy dừng. Khi đó tại mỗi điểm của dòng đang xét tốc độ hoạt động và trạng thái ( khối lượng riêng, nhiệt độ, áp suất ) khí ( hoặc chất lỏng ) là không đổi theo thời hạn. Qũy đạo của những phần tử khí được gọi là những đường dòng. Đối với chất lỏng ( khí ), mặt bên của dòng chảy gọi là mặt dòng ( vector tốc độ chảy tiếp tuyến với nó ) ; đường sinh của mặt dòng là những đường dòng .

Hình 1.1. Minh họa một tia đơn vị

Bạn đang đọc: Bài 1. Phương trình liên tục

Xét một đoạn nhỏ của dòng khí giới hạn bởi hai thiết diện pháp tuyến với dòng là 1 và 2 ; theo hướng chảy như trên hình 1.1 luồng khí chảy vào thể tích 1-2 chỉ qua tiết diện ngang 1, và đi ra qua tiết diện 2 .

Trong một thời gian vô cùng bé dt, luồng khí dịch chuyển đến vị trí mới 1′-2′. Có nghĩa là, trong khoảng  d\tau, phần thể tích gạch sọc 1′-2 nhận vào một lượng khí từ 1-1’ và đẩy vào 2-2’ đúng một lượng như thế. Lượng khí mà 1′-2 nhận được là:

dG_1 = \rho_1 F_1 dl_1 [kg]      (1)( 1 )

\rho_1 là khối lượng riêng của khí tại mặt cắt 1,  F_1 — diện tích mặt cắt 1. Khoảng cách — diện tích mặt cắt 1. Khoảng cách  dl_1 giữa các mặt 1 và 1′ bằng tích của vận tốc chảy với thời gian d \tau:

dl_1 = \omega_1 d \tau

\omega là vận tốc tại mặt cắt 1, khi đó:

dG_1 = \rho_1 F_1 \omega_1 d\tauLượng khí thoát ra từ thể tích 1 ′ – 2 bằng :
dG_2 = \rho_2 F_2 \omega_2 d\tauTrong chính sách chảy dừng và môi trường tự nhiên liên tục thì lượng khí chảy vào bằng lượng khí thoát ra ( điều kiện kèm theo không sống sót sự tích đọng vật chất ) :
 \rho_1 F_1 \omega_1 = \rho_2 F_2 \omega_2      (2)( 2 )

Trong trường hợp chất lỏng không bị nén (\rho = const), phương trình (2) có thể viết lại ở dạng đơn giản sau:

\omega_1 F_1 = \omega_2 F_2      (3)( 3 )Công thức này cũng hoàn toàn có thể vận dụng cho chất khí trong những trường hợp mà sự thay đổi khác về khối lượng riêng của nó hoàn toàn có thể bỏ lỡ được .
Từ phương trình liên tục ( 3 ) ta hoàn toàn có thể đưa ra nhận xét về tốc độ hoạt động của khí dọc theo đường dòng trong môi trường tự nhiên liên tục như sau : ở những nơi đường dòng có khuynh hướng tập trung chuyên sâu lại thì tốc độ dòng chảy tăng lên, ngược lại tốc độ giảm ở những vùng mà những đường dòng tách xa nhau. Trong hoạt động chất khí không phải khi nào cũng hoàn toàn có thể ngay lập tức xác lập được sự đổi khác tốc độ dựa vào tỷ lệ đường dòng, chính do còn phải đo lường và thống kê đến sử đổi khác khối lượng riêng của khí .
Từ phương trình ( 2 ) hoàn toàn có thể thấy rằng bức tranh về đường dòng trọn vẹn xác lập tỷ lệ dòng :
j = \rho\omega = \frac{G}{F}

nó bằng tích khối lượng riêng chất khí với vận tốc, nghĩa là khối lượng khí chảy qua một đơn vị diện tích mặt cắt.

Tại nơi đường dòng đặc tỷ lệ dòng tăng lên, tại nơi đường dòng phân tán – giảm đi .

Phương trình lưu lượng không đổi của khí: G = \rho\omega F   có thể biểu diễn dưới dạng vi phân:

dG = \rho\omega dF + \omega F d\rho + \rho F d\omega

Chia hai vế cho \omega\rho F, thu được:

\frac{dG}{G} = \frac{d\rho}{\rho} + \frac{d\omega}{\omega} + \frac{dF}{F}     (4)( 4 )Phương trình liên tục, cũng như phương trình nguồn năng lượng ( sẽ dẫn ra trong bài 2 ) cho 1 đơn vị chức năng dòng chảy được sử dụng thoáng đãng trong thống kê giám sát ống dẫn khí, thủy động lực học, ống nguồn năng lượng và ống dẫn, động cơ phản lực và nhiều thiết bị khác khi có sự hoạt động của dòng khí hoặc chất lỏng .
Trong những trường hợp này, 1 đơn vị chức năng dòng chảy được hiểu không phải là một phần trong sự chảy tổng quát, bị số lượng giới hạn bởi mặt phẳng dòng chảy có tiết diện nhỏ, mà là hàng loạt dòng chất lỏng ( khí ), và sử dụng một quy mô thủy động lực học sau .
Trong mỗi mặt cắt ngang, tốc độ chảy tương đối so với thành ống, và những thông số kỹ thuật miêu tả đặc thù của môi trường tự nhiên ( áp suất, nhiệt độ, khối lượng riêng, … ) coi như hằng số và bằng giá trị trung bình. Để xác lập những giá trị trung bình này cần những chiêu thức đặc biệt quan trọng ( xem chương 5, bài 8 ) .

Sự thay đổi các giá trị trung bình của vận tốc và các thông số của môi trường từ mặt cắt này đến mặt cắt khác trong mô hình này tuân theo phương trình 1 chiều của một đơn vị dòng chảy giả định. Việc phân tích tính chất của nó sẽ được trình bày trong chương I.

Share this:

Thích bài này:

Thích

Đang tải …

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments