Số phức – Wikipedia tiếng Việt

Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức, với Re ( viết tắt cho Real, nghĩa là thực ) là trục thực, Im ( viết tắt cho Imaginary, nghĩa là ảo ) là trục ảo .

Số phức (tiếng Anh: Complex number) là số có thể viết dưới dạng

a
+
b
ı

{\displaystyle a+b\imath }

{\displaystyle a+b\imath }, trong đó ab là các số thực,

ı

{\displaystyle \imath }

{\displaystyle \imath } là đơn vị ảo, với

ı

2

=

1

{\displaystyle \imath ^{2}=-1}

{\displaystyle \imath ^{2}=-1} hay

ı
=


1

{\displaystyle \imath ={\sqrt {-1}}}

{\displaystyle \imath ={\sqrt {-1}}}.[1] Trong biểu thức này, số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức. Số phức có thể được biểu diễn trên mặt phẳng phức với trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo, do đó một số phức

a
+
b
ı

{\displaystyle a+b\imath }

được xác định bằng một điểm có tọa độ (a,b). Một số phức nếu có phần thực bằng không thì gọi là số thuần ảo (số ảo), nếu có phần ảo bằng không thì trở thành số thực R. Việc mở rộng trường số phức để giải những bài toán mà không thể giải trong trường số thực.

Số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, như khoa học kỹ thuật, điện từ học, cơ học lượng tử, toán học ứng dụng chẳng hạn như trong lý thuyết hỗn loạn. Nhà toán học người Ý Gerolamo Cardano là người đầu tiên đưa ra số phức. Ông sử dụng số phức để giải các phương trình bậc ba trong thế kỉ 16.[2]

Nhà toán học người Ý R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số “không thể có” hoặc “số ảo” trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của


1

{\displaystyle -1}

{\displaystyle -1}.

Nhà toán học người Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác lập được dạng tổng quát ” a + b ı { \ displaystyle a + b \ imath } ” của chúng, đồng thời gật đầu nguyên tắc sống sót n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler ( 1707 – 1783 ) đã đưa ra ký hiệu ” ı { \ displaystyle \ imath } ” để chỉ căn bậc hai của − 1 { \ displaystyle – 1 }, năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu này .
Số phức cho phép giải một phương trình nhất định mà không giải được trong trường số thực. Ví dụ, phương trình

( x + 1 ) 2 = − 9 { \ displaystyle \ left ( x + 1 \ right ) ^ { 2 } = – 9 \, }{\displaystyle \left(x+1\right)^{2}=-9\,}

không có nghiệm thực, vì bình phương của một số thực không thể âm. Các số phức cho phép giải phương trình này. Ý tưởng là mở rộng trường số thực sang đơn vị ảo

ı

{\displaystyle \imath }

với

ı

2

=

1

{\displaystyle \imath ^{2}=-1}

, vì vậy phương trình trên được giải. Trong trường hợp này các nghiệm là −1 + 3i và −1 − 3i, có thể kiểm tra lại nghiệm khi thế vào phương trình và với

ı

2

=

1

{\displaystyle \imath ^{2}=-1}

:

[ ( − 1 + 3 i ) + 1 ] 2 = ( 3 i ) 2 = ( 3 2 ) ( i 2 ) = 9 ⋅ ( − 1 ) = − 9 { \ displaystyle { \ big [ } \ left ( – 1 + 3 i \ right ) + 1 { \ big ] } ^ { 2 } = \ left ( 3 i \ right ) ^ { 2 } = \ left ( 3 ^ { 2 } \ right ) \ left ( i ^ { 2 } \ right ) = 9 \ cdot \ left ( – 1 \ right ) = – 9 }{\displaystyle {\big [}\left(-1+3i\right)+1{\big ]}^{2}=\left(3i\right)^{2}=\left(3^{2}\right)\left(i^{2}\right)=9\cdot \left(-1\right)=-9}
[ ( − 1 − 3 i ) + 1 ] 2 = ( − 3 i ) 2 = ( − 3 ) 2 ( i 2 ) = 9 ⋅ ( − 1 ) = − 9 { \ displaystyle { \ big [ } \ left ( – 1-3 i \ right ) + 1 { \ big ] } ^ { 2 } = \ left ( – 3 i \ right ) ^ { 2 } = \ left ( – 3 \ right ) ^ { 2 } \ left ( i ^ { 2 } \ right ) = 9 \ cdot ( – 1 ) = – 9 }{\displaystyle {\big [}\left(-1-3i\right)+1{\big ]}^{2}=\left(-3i\right)^{2}=\left(-3\right)^{2}\left(i^{2}\right)=9\cdot (-1)=-9}

Thực tế không riêng gì những phương trình bậc hai mà toàn bộ những phương trình đa thức có số thực hoặc số ảo với một biến số hoàn toàn có thể giải bằng số phức .

Số phức được biểu diễn dưới dạng

a
+
b
ı

{\displaystyle a+b\imath }

, với ab là các số thực và

i

{\displaystyle i}

iđơn vị ảo, thỏa mãn điều kiện

ı

2

=

1

{\displaystyle \imath ^{2}=-1}

. Ví dụ


3
,
5
+
2
ı

{\displaystyle -3,5+2\imath }

{\displaystyle -3,5+2\imath } là một số phức.

Số thực a được gọi là phần thực của

a
+
b
ı

{\displaystyle a+b\imath }

; số thực b được gọi là phần ảo của

a
+
b
ı

{\displaystyle a+b\imath }

. Theo đó, phần ảo không có chứa đơn vị ảo: do đó b, không phải bi, là phần ảo.[3][4] Phần thực của số phức z được ký hiệu là Re(z) hay ℜ(z); phần ảo của phức z được ký hiệu là Im(z) hay ℑ(z). Ví dụ:

Re ⁡ ( − 3.5 + 2 i ) = − 3.5 Im ⁡ ( − 3.5 + 2 i ) = 2 { \ displaystyle { \ begin { aligned } \ operatorname { Re } \ left ( – 3.5 + 2 i \ right ) và = – 3.5 \ \ \ operatorname { Im } ( – 3.5 + 2 i ) và = 2 \ end { aligned } } }{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} \left(-3.5+2i\right)&=-3.5\\\operatorname {Im} (-3.5+2i)&=2\end{aligned}}}

Do đó, nếu xét theo phần thực và phần ảo, một số phức z sẽ được viết là

Re

(
z
)
+
Im

(
z
)

i

{\displaystyle \operatorname {Re} (z)+\operatorname {Im} (z)\cdot i}

{\displaystyle \operatorname {Re} (z)+\operatorname {Im} (z)\cdot i}. Biểu thức này đôi khi được gọi là dạng Cartesi của z.

Một số thực a có thể được biểu diễn ở dạng phức là

a
+
0
ı

{\displaystyle a+0\imath }

{\displaystyle a+0\imath } với phần ảo là 0. Số thuần ảo

b
ı

{\displaystyle b\imath }

{\displaystyle b\imath } là một số phức được viết là

0
+
b
ı

{\displaystyle 0+b\imath }

{\displaystyle 0+b\imath } với phần thực bằng 0. Ngoài ra, khi phần ảo âm, nó được viết là

a

b
ı

{\displaystyle a-b\imath }

{\displaystyle a-b\imath } với

b
>
0

{\displaystyle b>0}

{\displaystyle b>0}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94436473a90bd55191a79c59474cb5456dcbec00″/> thay vì </p>
<p>a<br />
+<br />
(<br />
−<br />
b<br />
)<br />
ı</p>
<p>{\displaystyle a+(-b)\imath }</p>
<p><img alt=, ví dụ

3

4
ı

{\displaystyle 3-4\imath }

{\displaystyle 3-4\imath } thay vì

3
+
(

4
)
ı

{\displaystyle 3+(-4)\imath }

{\displaystyle 3+(-4)\imath }.

Tập hợp tất cả các số phức hay trường số phức được ký hiệu là ℂ,

C

{\displaystyle \mathbf {C} }

{\displaystyle \mathbf {C} } hay

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

\mathbb{C}. Có nhiều phương pháp xây dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằng phương pháp tiên đề.

Gọi

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

{\mathbb  {R}} là trường số thực. Ký hiệu

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

là tập hợp các cặp (a,b) với

a
,
b

R

{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }

{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }.

Trong C { \ displaystyle \ mathbb { C } }, định nghĩa hai phép cộng và phép nhân như sau :

( a, b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ) { \ displaystyle ( a, b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ) }{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}
( a, b ) ∗ ( c, d ) = ( a c − b d, a d + b c ) { \ displaystyle ( a, b ) * ( c, d ) = ( ac-bd, ad + bc ) }{\displaystyle (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)}

thì C { \ displaystyle \ mathbb { C } } là một trường ( xem cấu trúc đại số ) .

Ta có thể lập một đơn ánh từ tập số thực

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

vào

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

bằng cách cho mỗi số thực a ứng với cặp

(
a
,
0
)

C

{\displaystyle (a,0)\in \mathbb {C} }

{\displaystyle (a,0)\in \mathbb {C} }. Khi đó

0

(
0
,
0
)
,
1

(
1
,
0
)
,

1

(

1
,
0
)

{\displaystyle 0\to (0,0),1\to (1,0),-1\to (-1,0)}

{\displaystyle 0\to (0,0),1\to (1,0),-1\to (-1,0)}… Nhờ phép nhúng, ta đồng nhất tập các số thực

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

với tập con các số phức dạng

(
a
,
0
)

{\displaystyle (a,0)}

{\displaystyle (a,0)}, khi đó tập các số thực

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

là tập con của tập các số phức

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

được xem là một mở rộng của

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

.

Ký hiệu

ı

{\displaystyle \imath }

là cặp (0,1)

C

{\displaystyle \in \mathbb {C} }

{\displaystyle \in \mathbb {C} }. Ta có

ı

2

=
(
0
,
1
)
×
(
0
,
1
)
=
(

1
,
0
)
=

1

{\displaystyle \imath ^{2}=(0,1)\times (0,1)=(-1,0)=-1}

{\displaystyle \imath ^{2}=(0,1)\times (0,1)=(-1,0)=-1}.

Tất cả những số phức dạng b ı { \ displaystyle b \ imath } được gọi là những số thuần ảo .

Một số khái niệm quan trọng trong trường số phức[sửa|sửa mã nguồn]

Dạng đại số của số phức[sửa|sửa mã nguồn]

Trong trường số phức, đặc thù của đơn vị chức năng ảo ı { \ displaystyle \ imath } đặc trưng bởi biểu thức

i 2 = − 1 { \ displaystyle i ^ { 2 } = – 1 }{\displaystyle i^{2}=-1}
i = − 1 { \ displaystyle i = { \ sqrt { – 1 } } }{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}

Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

z = a + b i { \ displaystyle z = a + bi }{\displaystyle z=a+bi}

trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.

Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân các nhị thức bậc nhất với lưu ý rằng i2 = –1. Như vậy, ta có:

( a + i b ) + ( c + i d ) = ( a + c ) + i ( b + d ) { \ displaystyle ( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ) }{\displaystyle (a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)}
( a + i b ) − ( c + i d ) = ( a − c ) + i ( b − d ) { \ displaystyle ( a + ib ) – ( c + id ) = ( a-c ) + i ( b-d ) }{\displaystyle (a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)}
( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + i ( a d + b c ) { \ displaystyle ( a + bi ) ( c + di ) = ( ac-bd ) + i ( ad + bc ) }{\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc)}
a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c − d i ) ( c + d i ) ( c − d i ) = a c + b d c 2 + d 2 + b c − a d c 2 + d 2 i { \ displaystyle { \ frac { a + bi } { c + di } } = { \ frac { ( a + bi ) ( c-di ) } { ( c + di ) ( c-di ) } } = { \ frac { ac + bd } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } } + { \ frac { bc-ad } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } } i }{\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i}

Mặt phẳng phức[sửa|sửa mã nguồn]

Trong hệ toạ độ Descartes, hoàn toàn có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung cho tọa độ phần ảo để màn biểu diễn một số ít phức

z = x + i y. { \ displaystyle z = x + iy. }{\displaystyle z=x+iy.}

Khi đó mặt phẳng tọa độ được gọi là mặt phẳng phức .

Số thực và số thuần ảo[sửa|sửa mã nguồn]

Mỗi số thực

a

{\displaystyle a}

a được xem là một số phức có

b
=
0

{\displaystyle b=0}

{\displaystyle b=0}.

Ta có:

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

{\displaystyle \subset }

\subset

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

Nếu

a
=
0

{\displaystyle a=0}

{\displaystyle a=0}, số phức

b
i

{\displaystyle bi}

{\displaystyle bi} được gọi là thuần ảo.

Số phức phối hợp[sửa|sửa mã nguồn]

Cho số phức dưới dạng đại số

Z
=
a
+
b
i

{\displaystyle Z=a+bi\,}

{\displaystyle Z=a+bi\,}, số phức

Z
¯

=
a

b
i

{\displaystyle {\overline {Z}}=a-bi}

{\displaystyle {\overline {Z}}=a-bi} được gọi là số phức liên hợp của z.

Một số tính chất của số phức liên hợp:

  1. Z × Z ¯ = a 2 + b 2 { \ displaystyle Z \ times { \ overline { Z } } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }{\displaystyle Z\times {\overline {Z}}=a^{2}+b^{2}}
  2. Z + Z ¯ = 2 a { \ displaystyle Z + { \ overline { Z } } = 2 a }{\displaystyle Z+{\overline {Z}}=2a}
  3. Z + Z ′ ¯ { \ displaystyle { \ overline { Z + Z ‘ } } }{\displaystyle {\overline {Z+Z'}}}Z ¯ + Z ′ ¯ { \ displaystyle { \ overline { Z } } + { \ overline { Z ‘ } } }{\displaystyle {\overline {Z}}+{\overline {Z'}}}
  4. Z × Z ′ ¯ { \ displaystyle { \ overline { Z \ times Z ‘ } } }{\displaystyle {\overline {Z\times Z'}}}Z ¯ × Z ′ ¯ { \ displaystyle { \ overline { Z } } \ times { \ overline { Z ‘ } } }{\displaystyle {\overline {Z}}\times {\overline {Z'}}}

Module và Argument[sửa|sửa mã nguồn]

Bài chi tiết cụ thể : Module và Argument

  • Cho z = a + b i { \ displaystyle z = a + bi \, }{\displaystyle z=a+bi\,}z × z ¯ = a 2 + b 2 { \ displaystyle z \ times { \ overline { z } } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \, }{\displaystyle z\times {\overline {z}}=a^{2}+b^{2}\,}z × z ¯ { \ displaystyle z \ times { \ overline { z } } \, }{\displaystyle z\times {\overline {z}}\,}module của z, ký hiệu là | z | { \ displaystyle | z | }{\displaystyle |z|}| z | = a 2 + b 2 { \ displaystyle | z | = { \ sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } }{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
Xem thêm: giá trị tuyệt đối
  • Có thể biểu diễn số phức z = a + b i { \ displaystyle z = a + bi }M ( a, b ) { \ displaystyle M ( a, b ) }{\displaystyle M(a,b)}φ { \ displaystyle \ varphi }\varphi O M → { \ displaystyle { \ overrightarrow { OM } } }{\displaystyle {\overrightarrow {OM}}}a r g u m e n { \ displaystyle argumen }{\displaystyle argumen}z { \ displaystyle z }za r g ( z ) { \ displaystyle arg ( z ) }{\displaystyle arg(z)}
  • Một vài tính chất của module và argument

| z ¯ | = | z |, | z 1 ∗ z 2 | = | z 1 | ∗ | z 2 |, | z n | = | z | n, { \ displaystyle | { \ bar { z } } | = | z |, | z_ { 1 } * z_ { 2 } | = | z_ { 1 } | * | z_ { 2 } |, | z ^ { n } | = | z | ^ { n }, }{\displaystyle |{\bar {z}}|=|z|,|z_{1}*z_{2}|=|z_{1}|*|z_{2}|,|z^{n}|=|z|^{n},}

arg

(

z

1

z

2

)
=
arg

(

z

1

)
+
arg

(

z

2

)
,

{\displaystyle \arg(z_{1}*z_{2})=\arg(z_{1})+\arg(z_{2}),}

{\displaystyle \arg(z_{1}*z_{2})=\arg(z_{1})+\arg(z_{2}),}

arg ⁡ z 1 z 2 = arg ⁡ ( z 1 ) − arg ⁡ ( z 2 ), arg ⁡ ( z n ) = n arg ⁡ ( z ) { \ displaystyle \ arg { \ frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } } = \ arg ( z_ { 1 } ) – \ arg ( z_ { 2 } ), \ \ arg ( z ^ { n } ) = n \, \ arg ( z ) \, }{\displaystyle \arg {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\arg(z_{1})-\arg(z_{2}),\ \arg(z^{n})=n\,\arg(z)\,}

Dạng lượng giác của số phức[sửa|sửa mã nguồn]

Số phức z = a + b i { \ displaystyle z = a + bi } hoàn toàn có thể viết dưới dạng

z = a + b i = a 2 + b 2 ( a a 2 + b 2 + b a 2 + b 2 ⋅ i ) { \ displaystyle z = a + bi = { \ sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \ left ( { \ frac { a } { \ sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } } + { \ frac { b } { \ sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } } \ cdot i \ right ) }{\displaystyle z=a+bi={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left({\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\cdot i\right)}

Khi đặt

r = | z |, φ = arg ⁡ ( z ) { \ displaystyle r = | z |, \ varphi = \ arg ( z ) }{\displaystyle r=|z|,\varphi =\arg(z)}

ta có

z = r ( c o s φ + i s i n φ ) { \ displaystyle z = r ( cos \ varphi + i \, sin \ varphi ) }{\displaystyle z=r(cos\varphi +i\,sin\varphi )}

Cách trình diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức z { \ displaystyle z } .

Phép toán trên những số phức viết dưới dạng lượng giác[sửa|sửa mã nguồn]

  • Phép nhân và phép chia các số phức dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức dưới dạng lượng giác

z = r ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) { \ displaystyle z = r \ left ( \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi \ right ) }{\displaystyle z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}
z ′ = r ′ ( cos ⁡ φ ′ + i sin ⁡ φ ′ ) { \ displaystyle z ‘ = r ‘ \ left ( \ cos \ varphi ‘ + i \ sin \ varphi ‘ \ right ) }{\displaystyle z'=r'\left(\cos \varphi '+i\sin \varphi '\right)}

Khi đó

z ⋅ z ′ = r r ′ ( cos ⁡ ( φ + φ ′ ) + i sin ⁡ ( φ + φ ′ ) ) { \ displaystyle z \ cdot z ‘ = rr ‘ \ left ( \ cos \ left ( \ varphi + \ varphi ‘ \ right ) + i \ sin \ left ( \ varphi + \ varphi ‘ \ right ) \ right ) }{\displaystyle z\cdot z'=rr'\left(\cos \left(\varphi +\varphi '\right)+i\sin \left(\varphi +\varphi '\right)\right)}
z z ′ = r r ′ [ cos ⁡ ( φ − φ ′ ) + i sin ⁡ ( φ − φ ′ ) { \ displaystyle { \ frac { z } { z ‘ } } = { \ frac { r } { r ‘ } } \ left [ \ cos ( \ varphi – { \ varphi } ‘ \ right ) + i \ sin \ left ( \ varphi – { \ varphi } ‘ \ right ) }{\displaystyle {\frac {z}{z'}}={\frac {r}{r'}}\left[\cos(\varphi -{\varphi }'\right)+i\sin \left(\varphi -{\varphi }'\right)}
  • Lũy thừa tự nhiên của số phức dưới dạng lượng giác (công thức Moirve).
z n = r n ( cos ⁡ n φ + i sin ⁡ n φ ) { \ displaystyle z ^ { n } = r ^ { n } { \ Bigg ( } \ cos n \, \ varphi + i \ sin n \, \ varphi { \ Bigg ) } }{\displaystyle z^{n}=r^{n}{\Bigg (}\cos n\,\varphi +i\sin n\,\varphi {\Bigg )}}
  • Khai căn số phức dưới dạng lượng giác.

Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là những số dạng

ω k = r n ( cos ⁡ ψ k + i sin ⁡ ψ k ) { \ displaystyle { \ omega } _ { k } = { \ sqrt [ { n } ] { r } } \ left ( \ cos { \ psi } _ { k } + i \ sin { \ psi } _ { k } \ right ) }{\displaystyle {\omega }_{k}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\psi }_{k}+i\sin {\psi }_{k}\right)}

trong đó

ψ

k

=

φ
+
k

2

π

n

{\displaystyle {\psi }_{k}={\frac {\varphi +k\,2\,\pi }{n}}}

{\displaystyle {\psi }_{k}={\frac {\varphi +k\,2\,\pi }{n}}},

k
=
0
,
1
,
.
.
.
n

1

{\displaystyle k=0,1,…n-1}

{\displaystyle k=0,1,...n-1}

Một số ứng dụng[sửa|sửa mã nguồn]

Các tập hợp số[sửa|sửa mã nguồn]

Các tập hợp số

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Bản mẫu : Số phức

5/5 - (1 vote)
Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments